Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s11/difgem-listok3.ps Дата изменения: Tue Feb 22 22:08:25 2011 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:18:06 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: фундаментальные постоянные

НМУ, 2 курс, дифференциальная геометрия. Листок 3.
Поверхности в n-мерном евклидовом
пространстве. 21.02.2011.
Задача 1. Рассмотрим двумерную поверхность в E 3 : В качестве базиса
нормального пространства выберем единичный нормальный вектор  1 = m:
Доказать, что W 1 = I -1 ћII: Вывести отсюда, что определения главных кривизн
для поверхностей в тр?хмерном (через первую и вторую квадратичную форму)
и n-мерном пространстве (через оператор Вейнгартена) совпадают.
Задача 2. Рассмотрим гиперповерхность в E n : В качестве базиса нормал-
ьного пространства будем брать единичный нормальный вектор  1 = m: Найти
связность в нормальном расслоении.
Задача 3. Докажите формулу
##X Y; Z# =
1
2
(@ X #Y; Z# + @ Y #Z; X# - @Z #X; Y #+
+#Z; [X; Y ]# + #Y; [Z; X ]# - #X; [Y; Z]#);
не используя координат векторных полей и символов Кристоффеля.
Задача 4. Найти в частном случае k = 2; n = 3 деривационные формулы
Гаусса-Вейнгартена, если выбрать базис в касательных векторных полях r u ; r v
и базис m в нормальных векторных полях.
Задача 5. Написать уравнение Гаусса d i
j + i
l # l
j = b 
m g  g mi
# b 
j в
терминах l
ij и b 
ij : Написать его в частном случае двумерной поверхности в E 3 :
Задача 6. Вывести соотношение между db; b; и K (уравнение Петерсона-
Кодацци) по аналогии с уравнением Гаусса d + # = b  # b  ; связывающим
d ; и b: Доказать, что в случае гиперповерхности если взять единичное по-
ле нормалей в качестве базиса в нормальных векторных полях, то уравнение
Петерсона-Кодацци не содержит K: Записать уравнение Петерсона-Кодацци в
терминах l
ij ; b 
ij ; K 
i; в частном случае двумерной поверхности в E 3 :
Задача 7. Выписать формулу преобразования символов Кристоффеля ~ =
T -1 ћ ћ T + T -1 ћ dT в терминах l
ij и ~ l
ij :
Задача 8. Рассмотрим кривую в E n : Легко видеть, что любое базисное
касательное векторное поле e 1 можно рассматривать как вектор скорости для
некоторой параметризации. Пусть t такой параметр. Доказать, что кривизна
кривой может быть найдена по формуле
k =
# # b 1
11
g 11
# 2
+ : : : + # b n-1
11
g 11
#2 :
Задача 9. В условиях предыдущей задачи доказать, что 1
11 = 1
2
d
dt ln g 11 :
Задача 10 # . Доказать первое структрурное уравнение Картана
d e  = e 
# 
 ;
где e   базис, дуальный к выбранному базису e  пространства касательных
векторных полей.