Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/topology4_1.ps Дата изменения: Tue Mar 31 18:51:15 2009 Дата индексирования: Mon Apr 6 13:02:51 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: m 2

Топология, 4 семестр, 2008/09 уч.г.
Листок N 1, 10 февраля 2009 года.
1. Найдите гомологии и когомологии а) M g = ] g T 2 ; б) N k = ] k RP 2 .
2. Пусть задано некоторое вложение L = S 1
# : : : # S 1
| {z }
n штук
# S 3 .
а) Найдите гомологии и когомологии дополнения S 3
\L;
б) Явно постройте образующие групп H # (S 3
\L).
3. Для конечного клеточного пространства X и некоторого поля K опре-
делим многочлен Пуанкаре
PX (t) =
#
X i=0
t i dimKH i (X; K) # Z[t]
Докажите, что PXвY (t) = PX (t)P Y (t).
4. Докажите, что многообразия а) S n , б) RP n , в) CP n нельзя представить
в виде произведения многообразий положительной размерности.
5. Пусть топологичекое пространство X представлено в виде объединения
X = A#B, для которого выполняется точная последовательность Майера-
Виеториса, причём гомологии всех участвующих в ней пространств конеч-
номерны и присутствуют только до конечной размерности. Докажите, что
(X) = (A) + (B) - (A # B).
6. Докажите, что эйлерова характеристика края компактного многообра-
зия чётна.
7. а) Является ли RP 2 краем компактного многообразия?
б) Является ли бутылка Клейна краем компактного многообразия?
в) Выясните какие из поверхностей M g и N k являются краями компактных
трёхмерных многообразий.
8. Пусть M n { замкнутое ориентируемое многообразие. Определим его
сигнатуру (M n ) следующим образом. Если 4 # n, то (M n ) = 0, если 4 | n,
то пусть (M n ) равно сигнатуре формы пересечения в H n
2
(M n ; R).
а) Докажите, что (M 1 # M 2 ) = (M 1 ) + (M 2 ), где dim(M 1 ) = dim(M 2 );
б) Докажите, что (-M) = -(M ), где через -M мы обозначаем много-
образие M с противоположной ориентацией.
в) Докажите, что (M 1 вM 2 ) = (M 1 )(M 2 ).
г) Докажите, что для связных M 1 и M 2 одинаковой размерности выполнено
(M 1 ]M 2 ) = (M 1 ) + (M 2 ).
д) # Докажите, что если M n является краем компактного ориентируемого
многообразия, то (M n ) = 0.
9. Положим L n
m = S 2n-1 =Zm , где образующая T группы Zm действует в
S 2n-1
# C n по формуле T (z 1 ; : : : ; z n ) = (e 2i
m z 1 ; : : : ; e 2i
m z n ). Найдите гомо-
логии и когомологии L n
m .
10. Расмотрим следующее действие группы Z 2 на S n
вS n : нетривиальный
элемент действует центральным отражением в обоих сферах. Положим
Xn = S n
в S n =Z 2 . Найдите гомологии и когомологии Xn при а) n = 1; б)
n = 2; в) n = 3; г) n # 4. (Любопытно, что X 2 # = G 2;4 , X 3 # = SO(4))
1