Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_exam2.ps Дата изменения: Sun Oct 18 17:49:00 2009 Дата индексирования: Fri Apr 9 12:41:11 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: релятивистское движение

Математический анализ, 1 курс 4.10.2009
Повторный экзамен
Задача 1. Даны функции f(x; y; z) = x 2 yz 3 и F (x; y; z) = x 2 + 2y 2 + 4z 2
- 7xyz.
1) Найдите @f
@x
(1; 1; 1), если x; y | независимые переменные, а z = z(x; y) задана неявно
уравнением F (x; y; z) = 0.
2) Найдите @f
@x
(1; 1; 1), если x; z | независимые переменные, а y = y(x; z) задана неявно
уравнением F (x; y; z) = 0.
Задача 2. Пусть S | поверхность в R 3 , заданная уравнением z = f(x; y), где f # C 2 (R 2 ).
1) Предположим, что в некоторой точке (x 0 ; y 0
) выполнено неравенство f ##
xx f ##
yy -(f ##
xy ) 2 > 0.
Докажите, что в некоторой окрестности точки P = (x 0
; y 0
; f(x 0
; y 0
)) поверхность S и ее
касательная плоскость в P имеют лишь одну общую точку.
2) Что можно сказать о взаимном расположении S и касательной плоскости к S в точке
P , если в (x 0 ; y 0
) выполнено противоположное неравенство f ##
xx f ##
yy - (f ##
xy ) 2 < 0?
Задача 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x; y; z; u) = xyz +
xyu + xzu + yzu на торе {(x; y; z; u) # R 4 : x 2 + y 2 = z 2 + u 2 = 1}.
Задача 4. Пусть | граница ортогональной проекции на плоскость Oxy поверхности
в R 3 , заданной уравнением
x 8 + y 8 + z 8
- 2xyz 4 = a:
1) При каких a # R кривая касается окружности x 2 + y 2 = 4? Нарисуйте для таких
a.
2) Найдите радиус окружности x 2 + y 2 = R 2 , касающейся при a = 0, и нарисуйте
соответствующую .
Задача 5. При каких  # [-1; 1] сходится интеграл # 1
0
ln(1 -  2 x 2 )
x 2
# 1 - x 2
dx? Вычислите его.
Задача 6. Пусть A | положительно определенная 4 в 4-матрица. Вычислите интеграл
# E
e (Ax;x) dx, где E = {x # R 4 : (Ax; x) # 1}.
Задача 7. Пусть U # R n | выпуклая область, f : U # R n | отображение класса C 1 ,
причем #df(x)# < 1 для всех x # U . Положим g(x) = x + f(x). Докажите, что g(U)
открыто в R n и что g : U # g(U) | диффеоморфизм.