Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s09/analiz2_4.ps Дата изменения: Wed May 6 17:39:48 2009 Дата индексирования: Fri Oct 16 23:21:33 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: экстремум

Математический анализ, 1 курс 5.03.2009
4. Экстремум. Теорема о неявной функции
Пусть U # R n | открытое множество, f # C 2 (U) и x # U . Гессианом f в x называется
квадратичная форма
H f (x) : T x U # R; H f (x)h = # i;j
@ 2 f(x)
@x i @x j
dx i (h)dx j (h):
Задача 1. Пусть df(x) = 0. Может ли f иметь экстремум в x, если H f (x) принимает как
положительные, так и отрицательные значения?
Задача 2. Как меняется H f (x) при замене декартовых координат на криволинейные?
Задача 3. Можно ли исследовать функцию на экстремум в криволинейных координатах
по тому же рецепту, что и в декартовых?
Задача 4. Даны функции: 1) f(x; y) = -y 2 +x 2
-x 4 ; 2) f(x; y) = cos x-y 2 . Нарисуйте
их линии уровня (т.е. множества {(x; y) : f(x; y) = c}) и графики. Найдите их экстремумы.
Задача 5. Пусть f | гладкая функция на R 2 , и пусть ее ограничение на любую прямую,
проходящую через x 0 # R 2 , имеет максимум в x 0 . Верно ли, что x 0 | точка максимума
функции f?
Задача 6. (Задача Гюйгенса). Известно (легко выводится из законов сохранения энергии
и импульса), что при соударении шара массы M , имеющего скорость v 0
, и неподвижного
шара массы m последний приобретает скорость 2Mv 0
m +M
. При заданных M; m и v 0
подбе-
рите массы m 1 ; : : : ; m n промежуточных шаров (см. рис.) так чтобы скорость последнего
шара оказалась максимальной. Что произойдет при увеличении числа шаров n?
Задача 7. Пусть U # R 2 , (x 0 ; y 0 ) # U , и пусть F # C 2 (U) такова, что @F
@y (x 0 ; y 0 ) #= 0.
Пусть y = f(x) | функция, неявно заданная уравнением F (x; y) = 0 в окрестности (x 0
; y 0
)
(см. лекцию). Выразите f ## (x 0 ) через частные производные функции F .
Задача 8. Пусть U # R 3 . F # C 1 (U ), и частные производные F не обращаются в нуль в
некоторой точке. Пусть x = x(y; z); y = y(z; x); z = z(x; y) | функции, неявно заданные
уравнением F (x; y; z) = 0. Найдите @x
@y
@y
@z
@z
@x
.
Пусть { t } t#I | семейство кривых на плоскости, заданных неявно: t = {(x; y) :
f t (x; y) = 0}, где f t | гладкая функция, причем df t #= 0 на t . Предположим, что функ-
ция f(t; x; y) = f t (x; y) также гладкая, и положим M = {(t; x; y) # R 3 : f(t; x; y) = 0}.
Обозначим через  проекцию R 3
# R 2 ; (t; x; y) ## (x; y).

Определение. Огибающей семейства { t } называется множество E # R 2 , являющееся
образом при проекции  тех точек из M , в которых касательная плоскость T x M (см.
лекцию) содержит прямую, параллельную оси Ot.
Следующая задача показывает, как искать огибающие.
Задача 9. Докажите, что E = # (x; y) : #t # I : f(t; x; y) = @
@t
f(t; x; y) = 0 # .
А следующая задача объясняет, почему огибающая так называется.
Задача 10. Пусть I 0 # I и ' : I 0 # R 2 | гладкая кривая, касающаяся t в точке '(t) для
всех t. Докажите, что '(I 0 ) # E.
Задача 11. Найдите огибающую семейства отрезков постоянной длины ` с концами на
положительных координатных полуосях.
Задача 12. (Кривая безопасности). Найдите границу зоны досягаемости снаряда при
стрельбе из артиллерийского орудия с постоянной начальной скоростью снаряда v 0
под
произвольными углами к горизонту.