Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s07/anex2_8.ps Дата изменения: Wed Apr 11 14:52:44 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 14:28:19 2007 Кодировка: koi8-r

Анализ, листок 8 (весна 2007, 2 семестр)
Свойства гладких отображений
1. Пусть F 1 ; F 2  R n | два непересекающихся замкнутых подмножества.
Докажите, что существует бесконечно гладкая функция f : R n ! R со сле-
дующими свойствами: f(x) = 1 для всех x 2 F 1 , f(x) = 0 для всех x 2 F 2 ,
0 6 f(x) 6 1 для всех x.
2. Пусть F  R n | замкнутое множество, U  F | открытое множество
и f : U ! R| функция класса C k (0 < k 6 1). Докажите, что существует
функция e
f : R n ! R (также класса C k ), обладающая тем свойством, что
e
f = f на некотором открытом множестве, содержащем F .
3. Пусть fang | последовательность действительных чисел, обладающая
тем свойством, что существует (конечный) предел lim n!1 an
ф
1
n . Выясните,
всегда ли в этой ситуации существует C 1 -функция f : R! R, обладающая
тем свойством, что f(1=n) = an для всех n 2 N.
В следующих трех задачах участвует пространство C 1 (R n ; R m ). По
определению, это множество C 1 -отображений из R n в R m со следующей
топологией: базу открытых множеств составляют всевозможные подмно-
жества вида
W (K; r; f; ") = fg 2 C 1 (R n ; R m ) j sup
jj6r
x2K
kD  g(x) D  f(x)k < "g;
где K  R n компактно, " > 0, n 2 N и f 2 C 1 (R n ; R m ) ( может быть и
ЂпустымЃ мультииндексом веса 0). Общее указание к задачам 4{6: пользуй-
тесь теоремой Сарда.
4. Пусть f 2 C 1 (R 2 ; R 2 ). а) Докажите, что в любой окрестности отобра-
жения f найдется отображение g, для которого ранг g 0 не меньше единицы
всюду на R 2 . (Указание: поищите его среди отображений вида f + A, где
A : R 2 ! R 2 линейно.) б*) Верно ли, что в любой окрестности данного f
найдется g, у которого g 0 всюду невырождено?
5. Пусть f 2 C 1 (R;R). Докажите, что в любой окрестности отображения
f найдется отображение g, обладающее тем свойством, что если g(x) = 0,
то g 0 (x) 6= 0.
6. Критическая точка p гладкой (класса C 2 ) функции f : R n ! Rназывает-
ся невырожденной, если det k@ 2 f=@x i @x j (p)k 6= 0 (матрица, об определителе
которой идет речь, называется гессианом этой критической точки). Пусть
f 2 C 1 (R n ; R). Докажите, что в любой окрестности отображения f най-
дется отображение g, все критические точки которого невырождены.
7. Докажите, что для всякого k > 0 существует функция класса C k из R n
в R с несчетным множеством критических значений.