Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/s03/top1ex3.ps Дата изменения: Tue Mar 4 17:22:14 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:57:29 2007 Кодировка: koi8-r

Математический Колледж НМУ Топология, 2 семестр
Фундаментальные группы классических пространств
Задача 1. (Напоминание.) Докажите, что фундаментальная группа тора (граница бублика, оно
же S 1  S 1 ) изоморфна ZZ. И, более общо:
Задача 2. (Напоминание.) Пусть A и B | линейно связные топологические пространства. Дока-
жите, что  1 (A B) =  1 (A)   1 (B).
Задача 3. Вычислите фундаментальную группу n-мерной сферы (S n ).
Указание. Докажите, что для любого пути на сфере существует гомотопный ему путь, не прохо-
дящий через какую-нибудь точку.
Лентой Мебиуса M называется квадрат, правая и левая сторона которого отождествлены, как на
рисунке 1.
Проективной плоскостью RP 2 и Бутылкой Клейна K называ ются квадраты, стороны которых
попарно отождествлены, как на рис. 2 и 3 соответственно.
1 2 3 4 5
Задача 4. Что изображено на рисунках 4 и 5?
Задача 5. Постройте двулистное накрытие s : C !M ленты Мебиуса цилиндром C = S 1  [0; 1].
Докажите, что  1 (M ) =  1 (C) = Z, и опишите отображение фундаментальных групп s  :  1 (C) !
 1 (M ).
Задача 6. Постройте двулистное накрытие c : S 2 ! RP 2 и вычислите группу  1 (RP 2 ). Докажите,
что окрестность границы квадрата на рисунке гомеоморфна ленте Мебиуса. Что представляет собой
прообраз c 1 (окрестности)  S 2 ?
Задача 7. Постройте двулистное накрытие c : T 2 ! K и опишите подгруппу (индекса 2) c  ( 1 (T 2 )) 
 1 (K). Докажите, что  1 (K) порождена двумя образующими a и b, связанными единственным соот-
ношением abab 1 = 1.
n-мерное проективное пространство (RP n ) определяется одним из трех способов:
(n + 1)-ки чисел, не все из которых равны 0, с точностью до пропорциональности.
n-мерная сфера со склеенными противоположными точками.
n-мерный диск со склеенными противоположными точками границы.
Задача 8. Докажите гомеоморфность вышеописанных пространств и вычислите фундаменталь-
ную группу RP n .
Сечением накрытия  : Y ! X называется отображение : X ! Y , такое что  ф = Id.
Задача 9. Докажите, что накрытие со связной базой, имеющее сечение, тривиально.
Задача 10. Докажите, что не существует однозначного корня из комплексного числа.
Задача 11. Докажите, что непрерывное отображение круга в себя имеет неподвижную точку.
1