Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f15/lie2015-list6.pdf Дата изменения: Thu Dec 3 18:42:56 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 14:31:20 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: изучение луны

Задачи по группам и алгебрам Ли 6. Формула Вейля.
Для получения оценки 10 по данному листку заменяет 2 пункта без звездочки. В дальнейшем ская группа

80%

пунктов задач без звездочки. Пункт со звездочкой

G=U

n унитарная группа пространства

C

n . Зафиксируем базис в

C

n и определим

T U

n

как подгруппу унитарных матриц, диагональных в этом базисе (это, очевидно,

n

-мерный тор). Симметриче-

S

n , переставляющая базисные элементы пространства

щего листка следует, что нормализатор сопряженности в группе

N (T )

тора

T

в группе

Cn Ли G

, содержится в есть

G = Un

. Из задач предыду-

TS

n и пересечение любого класса

G с тором T есть орбита симметрической группы Sn таким образом, корректно определено отображение : G - T /Sn , переводящее g G в пересечение класса сопряженности элемента g с тором T . Пусть ekl стандартный базис из матричных единиц в алгебре nЧn -матриц. Тогда ekl -elk , iekl +ielk образуют базис в алгебре Ли g = un . Зафиксируем также координаты на торе T , tk := exp(iekk ) .
Докажите, что однородное пространство

1. а)
Ли

G/T

является гладким многообразием и левое действие группы

G на G/T гладко. б) Докажите, g T g hT ) определено корректно и
действие пропускается через фактор

что правое действие группы

N (T )

на

G/T

(

перестановочно с левым действием группы

N (T )/T = S

n , т.е. подгруппа

T N (T )

h N (T ) действует G . в) Докажите, что

как это

действует тривиально.

2 . а)

Докажите, что множество

Gr

eg унитарных матриц с попарно различными собственными значениями

является в действия

G

открытым подмножеством полной меры.

G

сопряжениями и диффеоморфно

(Tr

eg

Ч G)/N (T ) = (T

б)

Докажите, что

reg

Greg инвариантно относительно Ч (G/T ))/Sn (группа N (T ) действует

на первом сомножителе сопряжениями, а на втором справа). Указание: покажите, что класс сопряженности

G/T . Искомый диффеоморфизм дается отображением : (Treg Ч G)/N (T ) - Greg , t Ч g g tg -1 . г) Вычислите значение полей скоростей элементов ekl - elk g и iekl + ielk g в точке t T при действии группы G на себе сопряжениями, отождествив касательное пространство Tt G с алгеброй Ли g при помощи диффеоморфизма правого сдвига на t . д) Вычислите дифференциал диффеоморфизма : (Treg Ч (G/T ))/Sn Greg точке t Ч eT как оператор t g/t - g = Tt G . -
регулярного элемента есть

3. а)
ее

Докажите, что на однородном пространстве

G/T

существует единственная с точностью до пропорцио-

нальности

G

-инвариантная дифференциальная форма старшей степени. Зафиксируем такую форму и обозначим

косоинвариантна относительно правого действия Sn на G/T . в) Пусть чG мера чT мера Хаара на торе T . Докажите, что на многообразии (Treg Ч (G/T ))/Sn имеем чG = pчT , где p : T R функция, инвариантная относительно действия Sn . г ) Пользуясь задачей - 2д, докажите, что p(t) = (ti - tj )(t-1 - t-1 ) = |ti - tj |2 с точностью до постоянного множителя. i j
Докажите, что Хаара на группе

. б)

G

,а

i
i
4. а)

Пусть

Докажите,

n V (t1 , . . . , tn ) определитель матрицы Вандермонда, т.е. n Ч n -матрицы с коэффициентами ti -j . что V (t1 , . . . , tn ) = (ti - tj ) . б) Докажите, что всякий кососимметрический полином Лорана от i
t1 , . . . , t

n делится на

V (t1 , . . . , tn )

, и частное есть симметрический полином Лорана.

в)

Пусть



доминантный

вес, т.е. невозрастающий набор целых чисел

V (t1 ,...,tn ) V (t1 ,...,tn ) , где

V (t1 , . . . , tn )

n . Полиномом Шура называется функция s (t1 , . . . , tn ) = j +n-j определитель матрицы с коэффициентами ti . Докажите, что полиномы

1 , . . . ,

Шура образуют базис в пространстве симметрических полиномов Лорана от переменных

t1 , . . . , t
1 n!

n.

5. а)
на

Пользуясь задачей 3г, докажите, что характеры неприводимых представлений группы образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения

T

(f , g ) :=
1 n!

G

как функции

б)

T

f (t)g (t)p(t)чT
T.

.

Докажите, что характеры представлений

V

являются ортогонализацией мономиального базиса в простран-

стве симметрических полиномов Лорана относительно скалярного произведения цией по этому порядку.

(f , g ) :=
.



T

f (t)g (t)p(t)ч

Указание: введите линейный порядок на весах, согласованный с имеющимся частичным, и воспользуйтесь индук-

в)

Докажите формулу Вейля для характера:

V (t) = s (t)



6.



Докажите формулу Вейля для размерности:

dim V =

1k
(k -l +l-k) . Указание: надо вычислить знаk!
в кольцо Лопита-

k
чение характера

C[z , z
ля.

-1 ] , действующий как

V (t)

при

t = 1 . Примените к V (t) гомоморфизм из кольца функций на торе T tk z n-k , а затем воспользуйтесь формулой Вандермонда и правилом dim V ( )

7 .
от

Для и

G=U
.

3 выразите размерность весового пространства

явно в виде кусочно-линейной функции