Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f14/geom2014-listok4.pdf Дата изменения: Tue Sep 30 01:20:49 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 15:49:10 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: внешние планеты

Геометрия: листок 4. Классификация движений плоскости и пространства (29 сентября 2014)
Движение, сохраняющее ориентацию, называют собственным, а движение, изменяющее ориентацию, называют несобственным.

Задача 1. Докажите, что любое движение плоскости можно представить в виде композиции не более трёх
симметрий относительно прямых.

Задача 2. а) Докажите, что со бственное движение плоскости | это поворот или параллельный перенос.

б) Докажите, что несо бственное движение плоскости | это скользящая симметрия, т.е. композиция симметрии и параллельного переноса вдоль оси симметрии.

Задача 3. Докажите, что любое движение пространства можно представить в виде композиции не более четырёх симметрий относительно плоскостей.

Задача 4. а) Докажите, что со бственное движение пространства | это композиция поворота вокруг оси и

параллельного переноса вдоль этой оси. б) Докажите, что несо бственное движение пространства | это композиция симметрии относительно плоскости и либо параллельного переноса на вектор, параллельный , либо поворота вокруг оси, перпендикулярной .

Алгебра кватернионов H состоит из элементов вида q = a + bi + cj + dk (a, b, c, d R); умножение в этой алге бре задаётся соотношениями i2 = j 2 = k2 = -1, ij = -j i = k, j k = -kj = i, ki = -ik = j . Кватернионы, для которых a = 0, о бразуют подпространство чисто мнимых кватернионов. Рассмотрим два ото бражения алге бры кватернионов, заданные формулами fs (q) = -sqs-1 и hs (q) = sqs-1 , q; s H, s = 0.

Задача 5. Докажите, что если кватернион s чисто мнимый, то ото бражения fs и hs переводят пространство
чисто мнимых кватернионов в се бя и являются движениями этого пространства.

Задача 6. Докажите, что если кватернион s чисто мнимый, то отображение fs | симметрия пространства
чисто мнимых кватернионов относительно плоскости, перпендикулярной s, а ото бражение hs | симметрия пространства чисто мнимых кватернионов относительно оси, содержащей s. пространства чисто мнимых кватернионов вокруг оси, содержащей r.

Задача 7. Докажите, что если s = a + r, где кватернион r = 0 чисто мнимый, то отображение hs | поворот
Выпуклый многогранник в трёхмерном пространстве называется правильным, если все его грани | равные правильные многоугольники, а концы рё бер, выходящих из любой вершины, | вершины равных правильных многоугольников. Символ Шлефли правильного многогранника с r1 -угольными гранями и r2 -гранными углами при вершинах | это упорядоченная пара {r1 ; r2 }.

Задача 8. Докажите, что символ Шлефли правильного многогранника не может быть отличен от {3; 3}, {3; 4},
{

4; 3}, {3; 5} и {5; 3}.

Задача 9. Докажите, что для каждого из символов Шлефли, перечисленных в задаче 8, существует правильный
многогранник, и этот многогранник единствен с точностью до подо бия. ного многогранника, тоже правильный. Он называется двойственным исходному правильному многограннику. Докажите, что многогранник, двойственный двойственному, совпадает с исходным (с точностью до подо бия).

Задача 10. Докажите, что выпуклый многогранник, вершины которого являются центрами граней правиль-

Задача 11. Найдите порядки группы всех самосовмещений и группы со бственных самосовмещений для каждого из правильных многогранников. заполнить пространство.

Задача 12. Докажите, что правильными тетраэдрами с ре бром 1 и октаэдрами с таким же ребром можно Задача 13. Докажите, что если равны радиусы вписанных сфер двух двойственных друг другу правильных
многогранников, то равны и радиусы их описанных сфер.