Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f13/calc13-t1-3.pdf Дата изменения: Fri Sep 20 21:56:35 2013 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:07:18 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: чфптбс лпунйюеулбс улптпуфш

Независимый Московский Университет

Математический анализ 1-й курс, листок 3 20 сентября 2013 года 1. Для произвольного множества M положим (x, x) = 0, (x, y ) = 1 при x = y . Докажите, что определенная таким образом функция является метрикой. 2. Докажите, что следующие функции для пространства Rn являются метриками: (а) 2 (x, y ) = (xi - yi )2 (пространство Rn ); 2 (б) 1 (x, y ) = |xi - yi | (пространство Rn ); 1 (в) (x, y ) = max |xi - yi | (пространство Rn ); (г) p (x, y ) = ( |xi - yi |p )1/p , p > 1 (пространство Rn ). p Докажите, что lim p (x, y ) = (x, y ). Является ли метрикой p (x, y ) при p < 1?
p

3. Опишите, как выглядит шар единичного радиуса в R2 , R3 относительно каждой из приведенных метрик. 4. На пространстве N натуральных чисел 10-адическая метрика задается равенством (a, b) = 10-k , если последние k цифр чисел a и b совпадают. Докажите, что метрика. 5. Докажите, что на пространстве отрезков I = [a, b] на прямой следующие функции являются метриками: (а) ([a, b], [c, d]) = |a - c| + |b - d|; (б) (I1 , I2 ) = |I1 | + |I2 | - 2|I1 I2 | (где |I | длина отрезка). Последовательность an в метрическом пространстве M с метрикой называется сходящейся к точке a M , если >0 N n>N (an , a)<. Последовательность называется фундаментальной, если >0 N m, n>N (an , am )<.
Определение.

6. Докажите, что всякая сходящаяся последовательность фундаментальна. Метрическое пространство полно, если всякая фундаментальная последовательность сходится. Пополнением пространства M называется полное пространство M , если M M подпространство, и всякая точка в M является предельной для M . Проверьте, являются ли полными следующие пространства. Если нет, определите их пополнения: 7. Пространство M = R с метрикой (x, y ) = |arctg x - arctg y |. 8. Пространство отрезков на прямой с одной из метрик приведенной выше задачи 5. 9. Сфера x2 + y 2 + z 2 = 1 в R3 с обычным расстоянием.
1 10. График функции y = sin x , рассматриваемый как подмножество плоскости R2 .

11. Докажите, что у каждого пространства существует, и при том, единственное (с точностью до изоморфизма) пополнение. 12. Пространство Z10 10-адических чисел состоит из формальных бесконечных последовательностей ћ ћ ћ a3 a2 a1 a0 , ai {0, 1, . . . , 9} . Докажите, что Z10 является пополнением пространства N по 10-адической метрике. Определите сложение, умножение и вычитание в Zp . (Заметим, что в N вычитание не определено!) 13. Определите пространство Q10 рациональных 10-адических чисел. Всегда ли в нем определено деление на число, отличное от нуля?


точки x M называется произвольный открытый шар U = {y M , (x, y ) < r}. Подмножество A M открыто, если всякая точка этого множества содержится в A вместе с некоторой окрестностью.
Определение. Окрестностью

14. Как выглядит открытое подмножество на прямой R? 15. Открыто ли подмножество в R2 , заданное неравенством (x2 + y 2 )2 < x2 - y 2 ? 16. Покажите, что объединение любого семейства открытых подмножеств открыто. Верно ли то же самое для пересечения открытых множеств? Множество A
замкнуто

, если оно содержит все свои предельные точки.

17. Замкнуто ли пересечение любого семейства замкнутых подмножеств? А объединение? 18. Проверьте, что замкнутый шар в 10-адических числах открыт. 19. Докажите, что A замкнуто тогда и только тогда, когда дополнение к A открыто.