Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f12/analiz1-listok2.pdf Дата изменения: Mon Sep 17 15:52:22 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:10:45 2013 Кодировка: Windows-1251

НМУ, Математический анализ (1-й семестр).

Листок 2.

14 сентября 2012 г.

Полнота, компактность, пределы.

1. Найдите следующие пределы: (а) an =

2

2 ...
n



2, (б) an =

1+

1+
n

... +



1.

2. (Теорема о двух милиционерах.) Пусть an bn cn для всех n, и пусть limn an = limn cn = A. Докажите, что существует limn bn , равный A. 3. Докажите, что мощность множества всех подмножеств данного множества больше, чем мощность самого множества. Предельной точкой множества называется точка, в любой, сколь угодно малой, окрестности которой, лежит бесконечное количество точек множества. 1 4. (а) Могут ли точки 1, 1 , 3 , . . . и только они быть предельными точками некоторого множества 2 действительных чисел? (б) Могут ли частичными пределами последовательности быть все точки R? Открытые и замкнутые множества. Открытым называется множество, которое вместе с любой точкой содержит некоторую ее окрестность. Замкнутым множеством называется множество, содержащее все свои предельные точки. 5. (а) Докажите, что множество X замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение R \ X открыто. (б) Докажите, что объединение любого и пересечение конечного числа открытых множеств открытое множество. (в) Сформулируйте и докажите аналог этого утверждения для замкнутых множеств. (г) Всегда ли пересечение счетного числа открытых множеств открыто? 6. Докажите, что множество X R компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Частичным пределом последовательности называется предел любой ее подпоследовательности. Верхним и нижним пределами последовательности называются следующие величины
k

lim an = lim sup ak ,
n k n

lim an = lim inf ak .
k n k n

7. Докажите, что верхний и нижний пределы последовательности это ее максимальный и минимальный частичные пределы. 8. Числами Фибоначчи называется последовательность чисел {fn }, заданная рекуррентно: a1 = a2 = 1, an = an-1 + an-2 при n > 2. Докажите, что существует предел limn an+1 , и an найдите его. 1n 9. Докажите, что число e = limn 1 + n равно пределу послеовательности

an = 1 + 1 +
10. Докажите иррациональность числа e. |e - an | и докажите, что она не может быть Предел функции. Пусть a предельная f : E R имеет предел A в точке a, если любой точки x E такой, что 0 < |x - a| < 11. В каких точках следующие функции

1 1 1 + + ... + . 2! 3! n!

(Указание: Предположите обратное. Оцените величину рациональной.) точка множества E , тогда говорят, что функция для любого > 0 существует > 0 такое, что для , выполнено следующее соотношение |f (x) - A| < . 1 1 имеют пределы: (а) sin x , (б) x sin x ? 1 , x = m , НОД(m, n) = 1 n 12. (а) В каких точках имеет предел функция Римана: f (x) = n ? 0, x R \ Q (б) В каких точках она непрерывна?