Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f09/representation_exam1.ps Дата изменения: Sat Feb 20 11:05:05 2010 Дата индексирования: Fri Apr 9 17:16:53 2010 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: vallis

Задачи для экзамена по курсу Асимптотическая теория
представлений. Осенний семестр 2009
Пожалуйста, решите любые 3 задачи по Вашему выбору. Решение можно передать мне в
любом читабельном виде 18 декабря в НМУ в обычное время 17:30 или отправить на мой адрес
olsh2007@gmail.com (pdf или ps). Срок с моей стороны не лимитируется  но если Вы хотите
отложить надолго, то согласуйте, пожалуйста, с Учебной частью.
1. Докажите предложение 2.14: для N = 1, 2, . . . , 0 # L # N :
s (1 L 0 N-L ) (u 1 , . . . , uN ) = e L (u 1 , . . . , uN );
s (L,0,...,0) (u 1 , . . . , uN ) = hL (u 1 , . . . , uN ). (0.1)
2. Вычислите коэффициенты в разложении
s ч h k = #
##Part
(?)s # ,
s ч e k = #
##Part
(?)s # ,
где ч # Part, s ч # #  симметрическая функция Шура, k = 1, 2, . . . , и h k , e k # #  полные
однородные и элементарные симметрические функции.
3. (Упражнение 4.3) Докажите непосредственно, без использования предложения 4.11, что
функции h # k и e # k (определение 4.7) являются сдвинуто-симметрическими по переменным y 1 , y 2 , . . . .
4. Выведите из тождества Коши (5.31) формулу Якоби-Труди (5.35).
5. (Упражнение 5.6) Покажите, что если семейство вероятностных мер {MN } на полупрямой
имеет равномерно ограниченные первые моменты, то это семейство является плотным (т.е. для
любого # > 0 найдется такое x > 0, что MN ([0, x]) # 1 - # для всех N ).
6. (Упражнение 6.2) Докажите, что матрица 3 из примера 6.4 является тотально положи-
тельной.
7. (Упражнение 6.8) Докажите непосредственно, что мера на Z
M(n) = # # n /n!, n = 0, 1, 2, . . .
0, n = -1, -2, . . .
с параметром # > 0 является тотально положительной.
8. Докажите, что если A  конечномерная эрмитова матрица, у которой все главные миноры
неотрицательны, то A # 0.
В задачах 911 предполагается, что H  счетномерное комплексное гильбертово про-
странство, L(H)  алгебра ограниченных операторов в H, B 1 # L(H)  подмножество опера-
торов с нормой # 1 (единичный операторный шар), U(H)  группа всех унитарных операторов
в H.
1

9. Докажите, что на B 1 слабая операторная топология метризуема, а на всем пространстве
L(H)  нет.
10. Докажите, что U(H) плотно в B 1 в слабой операторной топологии.
11. Докажите, что слабая и ультраслабая топология на L(H) различны (определение ульт-
раслабой операторной топологии дано в лекции 9).
12. Топология в группе U(#) := lim
-# U(N) задается как топология индуктивного предела.
По определению, это слабейшая (грубейшая) топология с тем свойством, что если X  про-
извольное топологическое пространство, то отображение U(#) # X непрерывно в точности,
если его сужение на каждую группу U(N) непрерывно. Докажите, что приведенное определе-
ние корректно, т.е. топология существует; объясните, как задать семейство фундаментальных
окрестностей данной точки; докажите, что U(#) не является локально компактным простран-
ством.
2