Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f08/analiz1_1.ps Дата изменения: Thu Sep 18 20:05:12 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 17:08:10 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: внешние планеты

Математический анализ, 1 курс 11.09.2008
Действительные числа. Пределы последовательностей
Задача 1. Пусть r, r # , r ## | последовательности действительных чисел. Докажите, что если r # r # и
r # # r ## , то r # r ## .
Задача 2. Докажите, что различным действительным числам отвечают неэквивалентные десятичные
последовательности, а одинаковым | эквивалентные.
Задача 3. Докажите, что десятичная последовательность действительного числа является последова-
тельностью Коши.
Задача 4. Докажите, что a+b = b+a и a(b+c) = ab+ac для всех a; b; c # R. Дома проверьте выполнение
остальных аксиом поля для R.
Задача 5. Докажите, что для любых различных a; b # R выполнено либо a < b, либо b < a.
Задача 6. Дайте определение # 2, докажите его существование и иррациональность.
Задача 7. Дайте определение a b , где a; b # R, a > 0.
Задача 8. Есть ли такие a; b # R \ Q, что a) a + b # Q, б) ab # Q, в) # a b
# Q?
Задача 9. Рационально ли число sin 20 # ?
Задача 10. На плоскости в точках с натуральными координатами сидят зайцы диаметром 0; 001 каждый.
В начале координат стоит охотник с ружьем, стреляющим бесконечно далеко. Докажите, что под каким
бы углом  # (0 # ; 90 # ) к оси абсцисс он ни выстрелил, он попадет в зайца (т.е. пуля пройдет мимо центра
одного из зайцев на расстоянии, меньшем радиуса зайца).
Определение. Число  # R называется алгебраическим, если оно является корнем многочлена с целыми
коэффициентами. Наименьшая из степеней таких многочленов называется степенью . Действительные
числа, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными.
Задача 11. # (Теорема Лиувилля). Пусть  # R | иррациональное алгебраическое число степени не
выше r. Покажите, что существует такое c > 0, что | - p=q| > c=q r для всех p # Z и q # N.
Задача 12. Докажите, что любая последовательность имеет не более одного предела, и, если он суще-
ствует, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.
Задача 13. Пусть lim
n##
an = a, lim
n##
b n = b. Докажите, что lim
n##
(-an ) = -a, lim
n##
(a n b n ) = ab и (при
b #= 0) lim
n##
an
bn
= a
b
.
Задача 14. Докажите, что эквивалентные последовательности либо обе не имеют предела, либо имеют
один и тот же предел.
Задача 15. Найдите такое n # N, n > 1, что 2 n > n 1000 .
Задача 16. Докажите, что lim
n##
1
n
= 0 и lim
n##
1
a n = 0 при a > 1.
Задача 17. Докажите, что lim
n##
n k
a n = 0 для любых k # N и a > 1.
Задача 18. Найдите такое n # N, что 1000 n < n!.
Задача 19. Докажите, что lim
n##
a n
n!
= 0 для любого a > 1.
Задача 20. Докажите, что lim
n##
n
# n = 1.
Задача 21. Докажите, что lim
n##
n
# n! = #.
Задача 22. a) Пусть lim
n##
an = a. Докажите, что lim
n##
a1+···+an
n
= a.
б) Покажите, что обратное неверно.