Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f07/geo_pr.ps Дата изменения: Wed Nov 14 20:49:46 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:27:49 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: группу растяжений

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ НМУ ГЕОМЕТРИЯ, ОСЕНЬ 2007 Г.
ПРОГРАММА КУРСА
Программа содержит список основных утверждений, которые нужно уметь доказывать. Требуется, ра-
зумеется, знать и весь относящийся к делу вспомогательный материал | определения, основные свойства,
вспомогательные утверждения и проч. Если вы чувствуете себя в силах, доказывайте варианты утвержде-
ний, выделенные мелким наклонным шрифтом.
Литература
 В.В. Прасолов, В.М.Тихомиров, \Геометрия" | линейная, аффинная и проективная геометрия, гео-
метрия Лобачевского. Наилучшее приближение к \учебнику по курсу".
 А.И.Кострикин, Ю.И. Манин, \Линейная алгебра и геометрия" | линейная, аффинная и проективная
геометрия (сложнее и красивее, чем в предыдущей книжке), выпуклая геометрия.
 А.Т.Фоменко, Д.Б.Фукс, \Курс гомотопической топологии" | фундаментальная группа. Теорема
о факторе по дискретному действию является частным случаем изложенной в этой книге теории
накрытий.
Список утверждений
1) Выпуклая геометрия.
1.1. Выпуклость шара в R n (по отношению к любому положительно определенному скалярному произведению.
Что происходит для произвольного скалярного произведения?).
1.2. Пример выпуклого четырехмерного многогранника с произвольным числом вершин, попарно со-
единенных ребрами. (Обобщение: пример выпуклого многогранника с произвольным числом вершин,
любые k + 1 из которых лежат в одной k-мерной грани.)
2) Аффинная геометрия.
2.1. Группа обратимых линейных преобразований R n есть гомоморфный образ группы обратимых
аффинных преобразований; ядро гомоморфизма | множество параллельных переносов. (Непре-
рывность аффинного преобразования не предполагать. Группа аффинных преобразований не изоморфна
прямому произведению группы линейных преобразований и группы параллельных переносов.)
2.2. Преобразование аффинно тогда и только тогда, когда переводит всякую прямую в прямую.
2.3. Группа обратимых аффинных преобразований действует транзитивно и с тривиальным стабили-
затором на наборах из n + 1 точки общего положения.
2.4. Группа линейных преобразований, сохраняющих заданную гиперплоскость, не проходящую через
начало координат, изоморфна группе аффинных преобразований этой гиперплоскости. (Не пред-
полагайте заранее, что гиперплоскость это x0 = 1.)
3) Проективная геометрия.
3.1. Гомеоморфизмы RP 1  S 1 и CP 1  S 2 .
3.2. Проективное пространство гомеоморфно сфере с отождествленными противоположными точка-
ми и шару с отождествленными противоположными точками границы. Окрестность RP 1  RP 2
гомеоморфна листу Мебиуса.
3.3. Группа проективных преобразований RP n есть гомоморфный образ группы обратимых линейных
преобразований R n+1 ; ядро гомоморфизма | множество растяжений.
3.4. Множество проективных преобразований, сохраняющих заданную гиперплоскость, изоморфно мно-
жеству аффинных преобразований дополнения к этой гиперплоскости. (Не предполагайте заранее,
что гиперплоскость это x0 = 0. Как определить структуру аффинного пространства на дополнении к
произвольной гиперплоскости?)
3.5. Обратимое преобразование RP 1 и CP 1 проективно тогда и только тогда, когда оно сохраняет
двойное отношение. Действие перестановок точек на двойное отношение.
3.6. Обратимое преобразование CP 1 проективно тогда и только тогда, когда оно переводит окружно-
сти и прямые в окружности и прямые и сохраняет ориентацию.
3.7. Группа проективных преобразований действует транзитивно и с тривиальным стабилизатором на
наборах из n + 2 точек общего положения.
3.8. Теоремы Дезарга, Паппа, Паскаля и Брианшона.
3.9. Прямая, проходящая через две точки, двойственна точке пересечения прямых, двойственных этим
точкам. Теоремы, двойственные теоремам Дезарга, Паппа, Паскаля и Брианшона.
4) Геометрия Лобачевского.
4.1. Эквивалентность моделей Пуанкаре в полуплоскости, Пуанкаре в круге, Клейна в круге и Клейна
на гиперболоиде.
1

4.2. Аффинное преобразование плоскости Лобачевского продолжается на абсолют и определяется сво-
им ограничением на абсолют. Аффинное преобразование, оставляющее три точки абсолюта на
месте, является тождественным. (Сформулировать понятие абсолюта \внутренними" средствами гео-
метрии Лобачевского (без обращения к конкретным моделям). )
4.3. Явное описание аффинных преобразований в моделях Пуанкаре в полуплоскости, Пуанкаре в кру-
ге, Клейна в круге и Клейна на гиперболоиде.
4.4. Минимум \взвешенной длины кривой" задает метрику на открытом подмножестве плоскости (не-
зависимо от веса '). (Обобщить эту теорему так, чтобы она покрывала случай гиперболоида.)
4.5. Существует ровно одна, с точностью до пропорциональности, метрика на плоскости Лобачевского,
сохраняемая любым аффинным преобразованием. Явные формулы для этой метрики (инфините-
зимальная и конечная) в моделях в полуплоскости и на гиперболоиде.
4.6. Гладкие преобразования комплексной прямой сохраняют углы между кривыми.
5) Фундаментальная группа.
5.1. Фундаментальная группа является группой.
5.2. Фундаментальные группы гомотопически эквивалентных пространств изоморфны.
5.3. Фундаментальная группа фактора односвязного пространства по точно дискретному действию
группы G изоморфна G.
5.4. S n при n > 1 односвязна.
5.5. Фундаментальная группа букета окружностей.