Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f07/RS2.ps Дата изменения: Tue Oct 9 13:37:00 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 11:27:25 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

НМУ, римановы поверхности. Листок 2.
Накрытия. 25.09.2007
Задача 1. Будем называть непрерывное отображение f : X ! Y локально
компактных топологических пространств (то есть таких, что каждая точка
содержится в некотором компактном подмножестве) собственным, если прообраз
любого компактного множества компактен. Доказать, что собственное отображение
замкнуто, то есть образ всякого замкнутого подмножества замкнут.
Задача 2. Пусть X и Y локально компактные пространства и p : Y ! X
собственное неразвлетвл?нное накрывающее отображение. Доказать, что тогда
p безграничное накрытие.
Задача 3. Пусть X связное многообразие. Доказать, что тогда существует
связное и односвязное многообразие ~
X и неразвлетвл?нное безграничное накрывающее
отображение p : ~
X ! X:
Задача 4. Пусть X риманова поверхность, E  = fz 2 C : 0 < jzj < 1g
проколотый единичный круг и f : X ! E  голоморфное неразвлетвл?нное и
безграничное накрытие. Доказать, что тогда
a) если накрытие f является бесконечнолистным, то существует биголоморфное
отображение ' : X ! H римановой поверхности X на левую полуплоскость
H = fz 2 C : Re z < 0g; такое, что коммутативна диаграмма
X
'
##
f
##
#
#
#
#
#
#
#
# H
exp
### # # # # # # #
E 
b) если накрытие f является k-листным, k < 1; то существует биголоморфное
отображение ' : X ! E  ; такое, что коммутативна диаграмма
X
'
##
f
##
#
#
#
#
#
#
#
# E 
pk
### # # # # # # #
E 
где p k (z) = z k :
Задача 5. Пусть X риманова поверхность, E = fz 2 C : jzj < 1g единичный
круг и f : X ! E собственное голоморфное отображение, неразвлетвл?нное
над E  = E n f0g: Доказать, что тогда существует натуральное число k и
биголоморфное отображение ' : X ! E; такое, что коммутативна диаграмма
X '
##
f
##
#
#
#
#
#
#
# E
pk
### # # # # # #
E
где p k (z) = z k :