Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f06/calcman_exam.ps Дата изменения: Tue Dec 12 18:38:03 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 17:06:17 2007 Кодировка: koi8-r

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МНОГООБРАЗИЯ И РАССЛОЕНИЯ
ЭКЗАМЕН 10 ДЕКАБРЯ 2006 Г.
Пожалуйста, соблюдайте следующие правила оформления работы:
1) Работа должна иметь титульный лист, на котором написана фамилия, имя и отчество сдающего
экзамен, И БОЛЕЕ НИЧЕГО НЕ НАПИСАНО.
2) Решение каждой задачи или пункта, в котором требуется ответ, должно начинаться со слова
\Ответ", за которым следует ответ. Это правило нужно соблюдать, даже если в тексте решения
ответ и так встречается.
Задача 1 (по классической дифференциальной геометрии). Пусть : S 1 ! R 3 | гладкая замкнутая кривая
без самопересечений (узел), и пусть M r = fx 2 R 3 j 9t 2 S 1 ; jx (t)j  rg. Докажите, что при достаточно
малых r множество M r представляет собой вложенное подмногообразие с краем и его объем равен r 2 `, где
константа ` называется длиной кривой .
Задача 2 (по когомологиям групп Ли). Пусть G | группа сохраняющих ориентацию движений плоскости,
действующая на себе посредством левых сдвигов: LA (B) def
= AB, где A; B 2 G. а) Введите в G структуру глад-
кого многообразия; опишите какую-нибудь систему координат на нем. б)
Пусть
G) | пространство диф-
ференциальных форм на G, инвариантных относительно левых сдвигов. Докажите, что оператор d внешнего
дифференцирования
переводит
G) в себя. в) ПустьH 1
G (G) def
= Ker d
:
1 (G)
!
2 (G)= Imd
:
0 (G)
!
1 (G)
(\первые левоинвариантные когомологии де Рама" G). Найдите в H 1
G (G) базис и запишите какие-нибудь
представляющие его дифференциальные 1-формы в координатах, введенных в пункте 2а.
Задача 3 (по комплексному анализу). а) Пусть f(z) = z n Q(z), где z 2 C , n 2 Z, а Q | рациональная
функция, для которой Q(0) 6= 0; 1. Докажите, что
R
! df=f = 2in, где ! | достаточно малая окружность
с центром в начале координат. б) Пусть Q | рациональная функция комплексного переменного, а !  C
| окружность, не проходящая через ее нули и полюса. Докажите, что
R
! dQ=Q = 2iN , где N | сумма
порядков всех нулей и всех полюсов функции Q, лежащих внутри окружности !; порядок полюса берется со
знаком минус.
Задача 4 (по фробениусовым многообразиям). Пусть  : C n ! C n | отображение, заданное в координатах
равенством e i =  i (x), где  i | элементарный симметрический многочлен степени i = 1; : : : ; n. Обозначим
D(x) = Q
i6=j (x i x j ). а) Докажите, что в C n существуют гладкие векторные поля Y 1 ; : : : ; Yn такие, что
 0 (a)Y i (a) = D(a) @
@e i
для всех a 2 C n . б) Вычислите [Y 1 ; Y 2 ] при n = 2. в) Вычислите [Y 1 ; Yn ] при произвольном
n.
Задача 5 (по топологии). Пусть S 1 = [0; 1]=(0  1), f : S 1  [0; 1] ! R 2 | гладкое отображение, причем
f(t; 0) = (cos 4t; sin 4t), и все кривые f(
; s) : S 1 ! R 2 (0  s  1) гладкие. Докажите, что у каждой такой
кривой имеется точка самопересечения.
Указание . Докажите, что если кривая f(
; s) | общего положения, то число ее точек самопересечения
нечетно.
1