Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/f01/geoexam.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:46 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:39:30 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: большой круг

МК НМУ. Первый курс. Экзамен по геометрии.
16 декабря 2001 г.
1. На сфере проведены две равные дуги большого круга AB
и CD. Докажите, что найдётся такая точка M , что сферические
треугольники MAB и MCD равны.
2. На проективной плоскости прямые AM и BC пересекаются
в точке A 1 , прямые BM и AC | в точке B 1 , прямые CM и AB |
в точке C 1 , а прямые A 1 B 1 и AB | в точке X. Докажите, что
[A; B; C 1 ; X] = 1.
3. Пусть f и g | проективные преобразования, оставляющие
неподвижными точку A и каждую точку прямой `, не проходящей
через A. Докажите, что fg = gf .
4. Назовём оритреугольником фигуру на плоскости Лобачев-
ского, ограниченную тремя дугами попарно касающихся орици-
клов.
а) Докажите, что все оритреугольники равны.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в оритреугольник.
5. Все углы шестиугольника на плоскости Лобачевского равны,
длины противоположных сторон также равны. Докажите, что диа-
гонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в
одной точке.
6. Движение плоскости Лобачевского является композицией
трёх симметрий относительно последовательных сторон треуголь-
ника с вершинами на абсолюте. Сколько неподвижных точек имеют
это движение и его ограничение на абсолют?
7. Докажите, что к двум скрещивающимся прямым в простран-
стве Лобачевского существует ровно один общий перпендикуляр.