Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/ium/postscript/entrance/02s.ps Дата изменения: Thu Jan 23 16:43:45 2003 Дата индексирования: Sat Dec 22 15:11:51 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: высота светила

Независимый Московский Университет
Высший Колледж Математики
Вступительный экзамен по программе ЂМатшкольникЃ
30 июня 2002 года
1. В момент времени t = 0 точки A и B плоскости находятся на расстоянии
20 и начинают двигаться равномерно и прямолинейно со скоростями 4 и 6.
Будем называть пару (t; d) достижимой, если существуют такие направления
движения точек, что в момент t они окажутся на расстоянии d. Нарисовать
множество всех достижимых пар (на плоскости с координатами (t; d)).
2. Докажите, что уравнение P (x) = 2 x , где P | многочлен степени n, имеет
не более n + 1 решений.
3. Имеется угол в 120 градусов, внутри которого находятся концы отрезка
длиной 2. Рассмотрим множество всех точек M внутри угла, которые не
могут быть серединой такого отрезка. Найти площадь этого множества.
4. Пусть имеется несколько неотрицательных чисел, каждое из которых не
меньше 1 и не больше C. Сумма этих чисел равна S. Докажите, что для
некоторых k, l можно так выбрать из имеющихся чисел k штук, каждое не
меньше l, чтобы kl  S=(1 + ln C).
5. На кирпиче 3  4  5 в центре грани 3  4 имеется чернильное пятно
(точечное). Кирпич начали катать по плоскости, при этом пятно пачкает
плоскость, а плоскость | кирпич, и так далее. Каково максимальное коли-
чество испачканных точек на поверхности кирпича?