Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/ium/ancient/alg1_93_94.html
Дата изменения: Fri Dec 9 17:00:32 2005
Дата индексирования: Tue Oct 2 12:19:38 2012
Кодировка: koi8-r
Вполне приводимые линейные представления, их характеризация
как сумм неприводимых представлений.
Изотипные линейные представления, их инвариантные
подпространства.
Теорема Бернсайда.
Полупростые (конечномерные) ассоциативные алгебры, их
характеризация в терминах канонического скалярного умножения.
Разложение полупростой ассоциативной алгебры в прямую сумму
простых алгебр.
Строение простых ассоциативных алгебр над алгебраически
замкнутым полем.
Неприводимые линейные представления полупростой ассоциативной
алгебры над алгебраически замкнутым полем.
Групповая алгебра конечной группы и ее применение к теории
линейных представлений конечных групп.
Алгебра функций на конечной группе. Соотношения
ортогональности для матричных элементов и характеров неприводимых
представлений.
Сохранение полупростоты ассоциативной алгебры при расширении
основного поля. Теорема о примитивном элементе конечного
расширения поля.
Сохранение простоты центральной ассоциативной алгебры с
делением при расширении основного поля.
Расщепление центральной ассоциативной алгебры с делением над
конечным расширением основного поля.
Максимальные подполя центральной ассоциативной алгебры с
делением.
Теорема Фробениуса.
Конечные тела.
Восстановление связной группы Ли по ее касательной алгебре.
Совпадение инвариантных подпространств для линейного
представления связной группы Ли и соответствующего линейного
представления ее касательной алгебры.
Присоединенное представление группы Ли и его дифференциал.
Критерий нормальности подгруппы Ли.
Редуктивные комплексные группы Ли, полная приводимость их
линейных представлений.
II. Примеры и задачи
Группа автоморфизмов группы S_3.
Группа автоморфизмов группы Z_n.
Полупрямые произведения конечных циклических групп.
Разложение группы движений евклидового пространства в полупрямое
произведение группы параллельных переносов и ортогональной группы.
Коммутанты групп S_n и A_n.
Коммутант группы GL_n(K).
Разрешимость группы треугольных матриц.
Изоморфизм между группой симметрий тетраэдра и группой S_4.
Изоморфизм между группой вращений куба и группой S_4.
Классы сопряженных элементов в группе S_n.
Классы сопряженных элементов в группе SO_3.
Классы сопряженных элементов в группе вращений куба.
Доказать, что если p --- наименьший простой делитель порядка
конечной группы G, то всякая подгруппа индекса p нормальна.
Доказать, что всякая группа порядка p^2 абелева.
Группы порядка pq.
Доказать, что всякая группа порядка 12 разрешима.
Простота группы A_n при n>4.
Поле разложения кубического многочлена.
Группа Галуа кругового поля K_n при n=p^m.
Квадратичное поле, содержащееся в K_7.
Трисекция угла.
Циклотомия.
Ортогональные инварианты симметрической матрицы.
Линейные представления конечных абелевых групп.
Линейные представления группы D_n.
Линейные представления группы A_4.
Линейные представления группы S_4.
Таблица характеров группы S_4 и ее применение к разложению
представления группы S_4 в пространстве функций на множестве граней
куба.
Формула Бернсайда для числа орбит конечной группы подстановок
и ее смысл с точки зрения теории представлений.
Разложение мономиального представления дважды транзитивной
конечной группы подстановок.
Обобщенная алгебра кватернионов.
Унимодулярная группа и ее касательная алгебра.
Ортогональная группа и ее касательная алгебра.
Унитарная группа и ее касательная алгебра.
Связность унимодулярной группы.
Связность группы SO_n
Связность групп U_n и SU_n.
Гомоморфизм из SU_2 в SO_3.
Изоморфизм касательной алгебры группы SO_3 и алгебры
геометрических векторов с векторным умножением.
Простота группы Ли SO_3.
Простота группы Ли SL_2(C).
Доказать, что группа U_n является вещественной формой группы
SL_n(C).
Вычисление дифференциала линейного представления группы
SL_2(C) в пространстве бинарных форм.
Неприводимые линейные представления алгебры Ли
sl_2(C).