Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/prasolov/planim/gl9app.htm
Дата изменения: Wed Aug 4 15:18:55 2004
Дата индексирования: Sat Dec 22 17:55:41 2007
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: m 2
Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. (4-е изд. — Осторожно! В этом издании немало опечаток!)МЦНМО, 2002
Глава 9. Задачи для самостоятельного решения | Оглавление | Глава 9. Решения
П р и л о ж е н и е. Некоторые неравенства

1.
Наиболее часто используется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел:

Ц
ab
 ? (a + b)/2

, где a и b- положительные числа. Это неравенство следует из того, что
a - 2
Ц
ab
 + b = (Цa - Цb)2 ? 0

; равенство достигается, только если a = b.
Из этого неравенства следует несколько полезных неравенств, например
x(a - x) ? ((x + a - x)/2)2 = a2/4;

a + 1
a
 ? 2
Ц
a(1/a)
 = 2 при a > 0.

2.
При решении некоторых задач используется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для п положительных чисел: (a1a2:an)1/n ? (a1 + : + an)/n, причем равенство достигается, только если a1 = : = an.
Докажем сначала это неравенство для чисел вида n = 2m индукцией по m. Для m = 1 неравенство было доказано выше. Предположим, что оно доказано для m, и докажем его для m + 1. Ясно, что akak + 2m ? ((ak + ak + 2m)/2)2. Поэтому
(a1a2: a2m + 1)1/2m + 1 ? (b1b2: b2m)1/2m,
где bk = (ak + ak + 2m)/2, а по предположению индукции
(b1: b2m)1/2m ? 1
2m
 (b1 + : + b2m) = 1
2m + 1
 (a1 + : + a2m + 1).
Пусть теперь n любое. Тогда n < 2m для некоторого m. Положим an + 1 = : = a2m = (a1 + : + an)/n = A. Ясно, что (a1 + : + an) + (an + 1 + : + a2m) = nA + (2m - n)A = 2mA и a1: a2m = a1: an ћ A2m - n. Поэтому a1: an ћ A2m - n ? (2mA/2m)2m = A2m, т. е. a1: an ? An; равенство достигается, только если a1 = : = an.

3.
Для произвольных чисел a1,:,an справедливо неравенство (a1 + : + an)2 ? n(a12 + : + an2). В самом деле,
(a1 + : + an)2 = е
ai2 + 2
е
i < j
aiaj ? е
ai2 +
е
i < j
(ai2 + aj2) = n е
ai2.
4.
Так как т0acos t dt = sin a и т0asin t dt = 1 - cos a, то, исходя из неравенства cos t ? 1, получим sin a ? a, затем 1 - cos a ? a2/2
ж
и		 т. е. cos a ? 1 - a2
2
 ц
ш

,
sin a ? a - a3
6

,
cos a ? 1 - a2
2
 + a4
24

и т. д. (неравенства справедливы при всех a ? 0).
5.
Докажем, что tg a ? a при 0 ? a < p/2. Пусть AB- касательная к окружности радиуса 1 с центром O, причем B- точка касания; C- точка пересечения луча OA с окружностью, S- площадь сектора BOC. Тогда a = 2S < 2SAOB = tg a.
6.
На участке от 0 до p/2 функция f(x) = x/sin x монотонно возрастает, так как f?(x) = (tg x - x)/(cos xsin 2x) > 0. В частности, f(a) ? f(p/2), т. е. a/sin a ? p/2 при 0 < a < p/2.
7.
Если f(x) = acos x + bsin x, то
f(x) ?
Ц
a2 + b2

. В самом деле, существует такой угол j, что
cos j = a/
Ц
a2 + b2

и
sin j = b/
Ц
a2 + b2

, поэтому
f(x) =
Ц
a2 + b2
 cos (j - x) ?
Ц
a2 + b2

. Равенство достигается, только если j = x + 2kp, т. е.
cos x = a/
Ц
a2 + b2

и
sin x = b/
Ц
a2 + b2

.
Глава 9APP. Задачи для самостоятельного решения | Оглавление | Глава 9. Решения
Copyright © 2002 МЦНМО Внимание! Данное издание содержит опечатки!
Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100