Глава 12 |	Оглавление |	Глава 12. § 2

§ 1. Теорема синусов

12.1.

Докажите, что площадь S треугольника равна abc/4R.

12.2.

Точка D лежит на основании AC равнобедренного треугольника ABC. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников ABD и CBD равны.

12.3.

Выразите площадь треугольника ABC через длину стороны BC и величины углов B и C.

12.4.

Докажите, что

a + b c = cos a - b 2 / sin g 2 , и a - b c = sin a - b 2 / cos g 2 .

12.5.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

Рис. 12.1

12.6. Через точку S проведены прямые a,b,c и d; прямая l пересекает их в точках A,B,C и D. Докажите, что величина AC ћ BD/(BC ћ AD) не зависит от выбора прямой l.

12.7. Даны прямые a и b, пересекающиеся в точке O, и произвольная точка P. Прямая l, проходящая через точку P, пересекает прямые a и b в точках A и B. Докажите, что величина (AO/OB)/(PA/PB) не зависит от выбора прямой l.

12.8. Обозначим вершины и точки звеньев (неправильной) пятиконечной звезды так, как показано на рис. 12.1. Докажите, что

A1C ћ B1D ћ C1E ћ D1A ћ E1B = A1D ћ B1E ћ C1A ћ D1B ћ E1C.

12.9.

Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.

12.10^*.

На окружности с диаметром AB взяты точки C и D. Прямая CD и касательная к окружности в точке B пересекаются в точке X. Выразите BX через радиус окружности R и углы j = РBAC и y = РBAD.

Глава 12 |	Оглавление |	Глава 12. § 2

Copyright © 2002 МЦНМО

Внимание! Данное издание содержит опечатки! Исправленные исходные файлы книги и файлы нового издания доступны со страницы автора. Заказ книги: biblio@mccme.ru.