Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/free-books/izdano/2002/VIA-kvatern.ps Дата изменения: Tue Jan 11 23:08:50 2005 Дата индексирования: Sat Dec 22 17:38:33 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: вторая космическая скорость


УДК 514/515
ББК 22.1
А84
Аннотация
Комплексные числа описывают движения евклидовой плоскости, од-
ному вращению трёхмерного пространства соответствует два кватер-
ниона, различие которых (физики назвали это явление спином) связано
со свойствами группы преобразований. ЂВращенияЃ электронов отлича-
ются от вращений твёрдых тел именно различием спинов, играющих ре-
шающую роль при описании электронных оболочек атомов.
В брошюре, наряду с основными фактами классической теории ком-
плексных чисел и кватернионов, рассказаны некоторые новые резуль-
таты и гипотезы. Например, комплексной версией тетраэдра оказыва-
ется октаэдр, а гипотеза, что кватернионная его версия | икосаэдр,
не доказана.
Текст брошюры представляет собой дополненную обработку записи
лекции, прочитанной В. И. Арнольдом для школьников 9|11 классов
17 ноября 2002 года на Малом мехмате МГУ.
Брошюра рассчитана на широкий круг читателей, интересующихся
математикой: школьников старших классов, студентов, учителей : : :
ISBN 5-94057-025-9
Арнольд Владимир Игоревич
Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов
Редактор В. В. Трушков. Техн. редактор В. М. Гуровиц.
Запись и расшифровка лекции: Р. И. Богданов; М. Р. Богданов.
Лицензия ИД ‚01335 от 24/III 2000 г. Подписано к печати 5/III 2002 г.
Формат 60 в 88 1 = 16 . Физ. печ. л. 2,50. Усл. печ. л. 2,50. Тираж 1500 экз.
Издательство Московского центра непрерывного математического образования.
121002, Москва, Г-2, Бол. Власьевский пер., 11.
Отпечатано в типографии РА ЂФантазияЃ.
111024, Москва, Е-24, Авиамоторная ул., 20/17.

Теории комплексных чисел, кватернионов и спинов относятся к не-
большому числу наиболее фундаментальных частей геометрии, имею-
щих наиболее важные приложения в физике. Описываемое ниже геоме-
трическое построение теории комплексных чисел французы приписали
Аргану, хотя за семь лет до Аргана его опубликовал датский матема-
тик Вессель (который, впрочем, исходил скорее из будущих инженерных
приложений, например, к ещё не построенной тогда теории уравнений
Максвелла и переменного тока).
Комплексные числа
Рассмотрим на евклидовой плоскости систему ортонормированных
координат.
1
i
Рис. 1. Вещественные базисные векторы на плоскости комплексных чисел.
Базисные векторы обозначим через 1 по одной оси, i по другой оси
(от слова ЂimaginaryЃ, т. е. мнимый). Точка плоскости представляется
в виде a + b · i (единицу при a не пишем):
1
i
a
b
Рис. 2. Вещественная и мнимая часть комплексного числа.
Векторы на плоскости можно складывать:
z 1 = a 1 + b 1 · i
z 2 = a 2 + b 2 · i
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) · i
1 # 3

Кроме сложения комплексных чисел, определим их умножение.
Таблица умножения:
1 · 1 = 1; 1 · i = i = i · 1:
Самое главное начинается при умножении i на i:
i · i = -1:
Число i называют мнимым, так как не существует вещественного чи-
сла a, для которого выполнялось бы равенство
a 2 = -1:
Произведение двух любых комплексных чисел определяется по закону
дистрибутивности:
z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i:
Иными словами, умножая a 1 на a 2 и b 1 на b 2 , получаем вещественную
часть произведения (их разность), а умножая a 1 на b 2 и b 1 на a 2 |
мнимую часть (сумму этих двух произведений). Определение умножения
закончено.
Замечание. Все свойства умножения (коммутативность: z 1 z 2 =
= z 2 z 1 ; ассоциативность: (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ); дистрибутивность по от-
ношению к сложению: z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 ) выполняются очевидным
образом.
C алгебраической точки зрения теория комплексных чисел этим ис-
черпывается.
Движения плоскости
Комплексные числа | математический аппарат для описания дви-
жений плоскости. Чтобы в этом убедиться, мы введём еще допони-
тельное
Определение. Комплексное число
z = a - b · i
называется комплексно сопряжённым к числу z = a + b · i.
4

1
i K
K
Рис. 3. Комплексное сопряжение кошки K.
Геометрически переход от z к z | это отражение относительно
оси O1.
Теорема. Сопряжённое число к сумме двух комплексных чисел рав-
но сумме чисел; сопряжённых к слагаемым:
z 1 + z 2 = z 1 + z 2 :
Теорема. Сопряжённое число к произведению двух комплексных
чисел равно произведению чисел; сопряжённых к множителям:
z 1 z 2 = z 1 z 2 :
Определение. Произведение комплексного числа на сопряжённое
ему число называется квадратом модуля комплексного числа:
|z| 2 = zz:
Лемма. Модуль комплексного числа | действительное неотрица-
тельное число.
Доказательство. Квадрат модуля не меняется при сопряжении:
zz = zz = zz;
поэтому он является действительным числом. Кроме того, |z| 2 = zz =
= a 2 + b 2 # 0, поэтому модуль | тоже действительное неотрицательное
число. #
Определение. Аргумент  не равного нулю комплексного числа
равен углу поворота от положительной полуоси O1 в сторону положи-
тельной мнимой полуоси Oi до направления комплексного числа.
5

Замечание. Если |z| = 1, то
a = cos ; b = sin :
Те, кто не знаком с функциями синус и косинус, могут считать это
замечание их определением.
Применим теперь комплексные числа для изучения движений евкли-
довой плоскости. Рассмотрим комплексное число w # C. Рассмотрим
преобразование Ђумножение на комплексное число zЃ, переводящее ка-
ждую точку w в точку zw, где |z| = 1, arg z = .
Теорема. Преобразование умножения на комплексное число c мо-
дулем единица является поворотом плоскости {w}.
Доказательство. Рассмотрим комплексное число w. Сосчитаем
модуль комплексного числа, в которое переходит w при нашем преобра-
зовании:
|zw| 2 = zwzw = (zz) · (ww) = ww = |w| 2 :
Следовательно, любой вектор переходит в вектор такой же длины. Кро-
ме того, расстояние между концами векторов также сохраняется:
|zw 1 - zw 2 | = |z(w 1 - w 2 )| = |w 1 - w 2 |:
1
i w 1
w 2
zw 1
zw 2
Рис. 4. Операция умножения на комплексное число с модулем единица.
Таким образом, преобразование умножения на комплексное число
с модулем единица сохраняет длины.
Важная деталь: это преобразование сохраняет ориентацию. #
Задача. Вращение плоскости {w} по часовой стрелке переходит при
нашем преобразовании во вращение по часовой стрелке (т. е. в ту же
сторону, что и исходное).
Отступление про ориентацию. Для определения ориентации
нужна формула, которую от студентов зачастую скрывают, | формула
6

площади параллелограмма. Пусть на евклидовой плоскости с ортонор-
мированными координатами {(X; Y )} имеется параллелограмм. Первый
вектор, задающий параллелограмм, обозначим через A = (x 1 ; y 1 ), вто-
рой | через B = (x 2 ; y 2 ).
y 1
y 2
x 1
x 2 X
Y
Рис. 5. Ориентация плоскости парой векторов.
Теорема. Площадь S(A; B) параллелограмма, порожденного век-
торами A и B; является линейной функцией от вектора A :
S(A 1 +A 2 ; B) = S(A 1 ; B) + S(A 2 ; B):
(x 1 ; y 1 ) = A
(x 2 ; y 2 ) = B
Рис. 6. Параллелограмм, порождённый парой векторов A и B.
Площадь надо считать со знаком ЂплюсЃ, если поворот от A к B |
в направлении вращения от первой координатной полуоси ко второй
(на нашем рисунке | Ђпротив часовой стрелкиЃ). Соответственно,
со знаком ЂминусЃ, если поворот от A к B | в противоположную сто-
рону. Линейность зависимости площади от первого вектора означает
также, что
S(kA; B) = kS(A; B):
Эти два простых факта содержат в скрытом виде всю Ђтеорию опреде-
лителейЃ.
7

Возьмем базис e = (1; 0), f = (0; 1). Тогда наши векторы A = A 1
и B = A 2 можно представить в виде
A 1 = x 1 e + y 1 f; A 2 = x 2 e + y 2 f:
Вычисляем площадь S(A 1 ; A 2 ). Вследствие линейности получаем сумму
четырёх слагаемых
S(A 1 ; A 2 ) = x 1 x 2 S(e; e) + x 1 y 2 S(e; f) + y 1 x 2 S(f; e) + y 1 y 2 S(f; f):
Здесь S(e; e) = 0, потому что параллелограмм, натянутый на пару (e; e),
является вырожденным. По этой же самой причине S(f; f) = 0. Далее
заметим, что S(e; f) = 1; но S(f; e) = -1, так как направление вращения
от f к e | в обратную сторону. Следовательно, вся площадь равна
S(A 1 ; A 2 ) = x 1 y 2 - x 2 y 1 :
Это число называется определителем приведённой ниже квадратной
таблицы из четырёх компонент наших векторов, называемой матрицей
параллелограмма:
S(A 1 ; A 2 ) = # # # #
x 1 y 1
x 2 y 2
# # # # :
Мы обсуждаем вопрос: сохраняется ли при умножении на z ориентация?
Надо взять на плоскости {w} основной параллелограмм и посмотреть,
куда он переходит. Если площадь образа положительна, то ориентация
сохраняется, а если площадь образа отрицательна, то ориентация основ-
ного (а значит, и любого) параллелограмма меняется. Образы векторов
e и f суть
ze = z = a + bi; zf = zi = -b + ai:
Следовательно, матрица параллелограмма-образа имеет вид
# x 1 y 1
x 2 y 2
# = # a b
-b a # :
Определитель этой матрицы положителен (при z #= 0), так как
# # # #
a b
-b a
# # # # = a 2
- (-b) · b = a 2 + b 2 # 0:
8

Следовательно, умножение на ненулевое комплексное число z сохра-
няет ориентацию плоскости умножаемых чисел.
Исследуем, на какой угол поворачивается вектор w при его умноже-
нии на z? Возьмём простейший вектор и посчитаем, на какой угол он
повернется при нашем преобразовании.
Замечание. Алгебраисты считают простейшим числом число 0, но
нам оно не подходит, мы возьмём в качестве простейшего число w = 1.
Тогда умножение на z переведёт его в zw = z = a + bi.
w = 1 | было
z = z · w = 1 | стало

Рис. 7. Поворот вектора w при умножении на число z.
Из этого следует, что наше преобразование поворачивает вектор
w = 1 на угол  = arg z.
Следствие. Умножение на комплексное число z, такое что |z| = 1,
является поворотом плоскости на угол, равный arg z.
Теорема. При умножении комплексных чисел их аргументы скла-
дываются:
arg(zw) = arg z + arg w:
Доказательство. Мы уже доказали, что вектор w = 1 при умноже-
нии на z поворачивается на угол . Но поскольку умножение на z есть
поворот, то на такой же угол поворачивается и любой вектор w. Введём
обозначение arg w = . Тогда число zw имеет аргументом  + , т. е.
arg(zw) = arg w + . #
Это приводит к тригонометрическим тождествам, которые иначе
невозможно понять. Пусть z = a + bi, w = c + di, |z| = 1, |w| = 1. Тогда
zw = (ac - bd) + (ad + bc)i:
Поскольку arg z = , то a = cos , b = sin . Точно так же, поскольку
arg w = , то c = cos , d = sin . Поэтому получаем для вещественных
и мнимых частей произведения zw выражения
cos( + ) = ac - bd = cos  cos  - sin  sin ;
sin( + ) = ad + bc = cos  sin  + sin  cos :
2{комп.ч. 9

Формула умножения комплексных чисел легко запоминается и не пу-
тается ни с чем другим. А тригонометрических формул в ней содер-
жится очень много, что делает из них излюбленный экзаменаторами во-
прос на приемных экзаменах.
Теория вращений и движений евклидовой плоскости исчерпывается
приведёнными формулами.
Задача. Докажите, что при любом натуральном n
cos(n') + i sin(n') = (cos ' + i sin ') n
(эта формула называется формулой Муавра, так как её открыл гораздо
раньше совсем другой человек).
Пример. Из этой формулы следует (путём раскрытия скобок в би-
номе правой части), что и cos(n'), и sin(n') | вещественные много-
члены с целыми коэффициентами от переменных x = cos ', y = sin '.
Или, иными словами, тригонометрические многочлены (линейные ком-
бинации синусов и косинусов кратных углов) можно рассматривать как
ограничения обычных многочленов от двух переменных (x и y) на ок-
ружность (x 2 + y 2 = 1).
В частности, очень часто полезны формулы
cos(2') = cos 2 ' - sin 2 '; sin(2') = 2 sin ' cos ';
cos(3') = 4 cos 3 ' - 3 cos '; sin(3') = 3 sin ' - 4 sin 3 ':
Поскольку косинус | чётная функция, а синус | нечётная функция
от ', то cos(n') можно представить в виде многочлена от одного лишь
аргумента x = cos ' (заменив везде sin 2 ' на 1-cos 2 '). Эти замечатель-
ные многочлены от одной переменной называются многочленами Чебы-
шева, они обладают многими полезными свойствами (Ђнаименее уклоня-
ются от нуляЃ, доставляют Ђфигуры ЛиссажуЃ на экране осциллографа*
и т. д.). Простейшие из этих многочленов переписываются в других обо-
значениях следующим образом:
F 1 (x) = x; F 2 (x) = 2x 2
- 1; F 3 (x) = 4x 3
- 3x; : : :
Однако, с самого начала возник вопрос: кроме вращений и движений
плоскости R 2 существуют вращения и движения пространства R 3 . Как
* См., например, В. И. Арнольд, Математические методы классической механики
(М.: Эдиториал УРСС, 2000).
10

их описывать? Кое-что здесь сделал уже Вессель примерно в 1820 году.
Но окончательную теорию построил позднее ирландский математик
Гамильтон.
Одним туманным вечером по пути из Тринити-колледжа в Дублине
Гамильтон прибег к помощи алкогольных паров. Это и привело его к за-
мечательной теореме, которую мы изложим ниже (и которую он пытался
перед этим найти много лет). Говорят, что он был так поражён откры-
той им формулой, что сейчас же вырезал её перочинным ножиком на пе-
рилах деревянного мостика через канал, по которому он в это время
шёл. Но я, хоть и искал эту надпись, вырезанную тогда Гамильтоном,
не нашёл её на этом мостике*.
Обобщение комплексных чисел до понятия кватернионов
Оказывается, для описания вращений в R 3 нужны 4 числа, поэтому
нам требуются вектора 4-мерного вещественного пространства | ква-
тернионы. Вырезанная Гамильтоном на перилах формула ijk = -1 даёт
таблицу умножения кватернионов.
Итак, кватернион | это вектор 4-мерного вещественного простран-
ства с базисом 1, i, j, k (которые называются базисными кватернио-
нами): a + bi + cj + dk. Число a называется вещественной частью
(скаляром), а трёхмерный вектор v = bi + cj + dk | мнимой частью
кватерниона. Слово ЂвекторЃ впервые появилось именно в этой теории.
Во времена Гамильтона векторов не было, так что ему пришлось выду-
мывать всю терминологию.
ЂЧислаЃ 1, i, j, k называются базисными кватернионами.
Сложение двух кватернионов | покомпонентное. Оно коммута-
тивно и ассоциативно.
Самое трудное | придумать, как умножать кватернионы. Умноже-
ние дистрибутивно относительно сложения, так что достаточно уметь
умножать базисные кватернионы.
* Описанный эпизод произошёл 16 октября 1843 года на Брукгамском мосту че-
рез Королевский канал, где Гамильтон и вырезал формулу ijk = -1. В письме
своему сыну Арчибальду от 5 августа 1865 года Гамильтон пишет о судьбе
этой формулы: Ђ: : : Но, конечно, как надпись, она уже стёрласьЃ. (Л. С. По-
лак, Вариационные принципы механики, их развитие и применение в физике,
М.: Физматлит, 1960, 103{104.) | Прим. ред.
2 # 11

Таблица Гамильтона умножения базисных кватернионов:
1 · 1 = 1, 1 · i = i, 1 · j = j, 1 · k = k;
i · 1 = i, i · i = -1, i · j = k, i · k = -j;
j · 1 = j, j · i = -k, j · j = -1, j · k = i;
k · 1 = k, k · i = j, k · j = -i, k · k = -1:
Заметим, что разные мнимые кватернионные ЂединицыЃ при умноже-
нии не коммутируют, а антикоммутируют: ij = k, но ji = -k. Если
знать, что ij = k, то остальное легко вывести из условия ассоциативно-
сти умножения. Например, ik = iij = -j, поскольку i 2 = -1.
Правило умножения базисных кватернионов получается из формулы
ij = k циклическими перестановкам:
ij = k; jk = i; ki = j:
Умножение не коммутативно, но ассоциативно. Некоммутативным
оно и должно быть, чтобы описывать вращения трёхмерного простран-
ства, которые не все коммутируют.
Для любых кватернионов p, q, r имеют место cледующие равенства:
p + q = q + p (коммутативность по сложению);
(p + q) + r = p + (q + r) (ассоциативность по сложению);
(p · q) · r = p · (q · r) (ассоциативность по умножению);
p · (q + r) = p · q + p · r (дистрибутивность):
Такая операция умножения не требует умственных способностей,
а подобна умножению многозначных чисел*.
Пусть даны два кватерниона,
p = a 1 + v 1 ; q = a 2 + v 2 :
Посчитаем их произведение. Начнём с вычисления вещественной части
ответа:
Re(pq) = a 1 a 2 - b 1 b 2 - c 1 c 2 - d 1 d 2 :
* Декарт предложил метод полного исключения геометрии и воображения из ма-
тематики, как самый ЂдемократическийЃ: ведь любой тупица продвигается при
подобном методе столь же успешно, как и самый гениальный ум.
12

Ясно, что произведение вещественных частей a 1 a 2 в ответ войдёт, но при
перемножении членов с другими базисными кватернионами возникают
i 2 = -1, j 2 = -1, k 2 = -1, а других вещественных слагаемых в про-
изведении нет. По определению, скалярным произведением двух векто-
ров трёхмерного евклидова пространства с ортонормированным базисом
(i; j; k) называется билинейная функция от этих векторов
b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 = (v 1 ; v 2 ):
Задача. Доказать, что скалярное произведение двух векторов рав-
но произведению их длин на косинус угла между ними:
(v 1 ; v 2 ) = #v 1 # · #v 2 # · cos(v 1 ; v 2 ):
Вычислим мнимую часть произведения кватернионов pq.
Im(pq) = a 1 v 2 + a 2 v 1 + [v 1 ; v 2 ];
где [v 1 ; v 2 ] | векторное произведение векторов v 1 и v 2 . Компоненты
векторного произведения легко вычислить | это определители:
[v 1 ; v 2 ] = # # # #
b 1 b 2
c 1 c 2
# # # # i + # # # #
c 1 c 2
a 1 a 2
# # # # j + # # # #
a 1 a 2
b 1 b 2
# # # # k:
Задача. Доказать, что [v 1 ; v 2 ] перпендикулярно v 1 и v 2 .
Выбор направления перпендикуляра подчинён требованиям ориен-
тации (Ђправило правой рукиЃ).
Тройка векторов (v 1 ; v 2 ; [v 1 ; v 2 ]) ориентирует пространство так же,
как базисная тройка (i; j; k). Это значит, что одну из троек можно непре-
рывно перетянуть в другую, оставляя векторы линейно независимыми
во всё время перетягивания. Например, тройки (i; j; k) и (j; k; i) ориен-
тируют пространство одинаково, а (i; k; j) | иначе.
Векторное произведение двух векторов меняет знак при их переста-
новке.
Пример. [i; j] = k = -[j; i]; [i; i] = 0.
Произведение линейно по v 1 и по v 2 .
Это описание умножения завершает описание алгебры кватернионов
по Гамильтону. Основное значение этой операции состоит в доставляе-
мом ею описании вращений трёхмерного евклидова пространства. Напо-
мню, что вращение евклидовой ориентированной плоскости R 2 на угол 
13

задаётся отождествлением плоскости R 2 с C и преобразованием умно-
жения на z, w ## zw, где z = cos  + i sin .
i
k
j


v = (cos )i + (cos )j + (cos )k
Риc. 9. Орт оси вращения и его направляющие косинусы.
Для кватернионов можно предугадать кватернионный аналог чи-
сла z. Но заканчивающее выбор кватерниона замечание приводит к те-
ории спина (вероятно, первооткрывателем формулы для него является
Родригес).
Мы начинаем с евклидова ориентированного пространства R 3 c ор-
тонормированным ориентированным базисом i, j, k. Вращение про-
странства R 3 определяется своей осью вращения и углом поворота во-
круг этой оси. Ось можно задать ортом v, который задаётся своими
углами , , c осями (i; j; k): v = i cos  + j cos  + k cos . Вращение
на положительный угол вокруг этой оси совпадает с вращением на про-
тивоположный угол вокруг противоположного направления оси.
Рассмотрим орт оси вращения. Этот вектор имеет компонентами
косинусы направляющих углов (образованных вектором и направляю-
щими векторами осей). По теореме Пифагора, длина вектора v равна
единице.
Переходим к решающей формуле | для кватерниона, описывающего
вращение. Эту формулу скрывают от мехматян или физиков (в теории
твёрдого тела рассказывают в виде матриц Паули).
Какова размерность группы всех вращений евклидова пространства
R 3 ? Мы употребляем три направляющих косинуса и угол поворота. По-
лучается четыре вещественных числа. Кажется, что размерность мно-
гообразия всех вращений равна четырём, но это не верно. Есть соотно-
шение на эти 4 числа: #v# = 1. Размерность группы SO(3) вращений
евклидова пространства R 3 вокруг точки O равна трём.
Задача. Посчитать размерность групп SO(n) всех вращений про-
странств R 4 , R 5 и т. д. вокруг начала координат.
14

В обозначении SO(n) буква O обозначает ортогональность, т. е. со-
хранение преобразованиями группы длин векторов из R n , а буква S
(ЂспециальноеЃ) | сохранение ориентации.
Теперь мы сопоставим каждому вращению трёхмерного ориентиро-
ванного евклидова пространства кватернион нормы единица.
Определение. Сопряжённым к кватерниону q = a + v называется
кватернион q = a - v.
Определение. Квадратом нормы кватерниона q называется число
q · q = a 2
- (v; (-v)) = a 2 + #v# 2 # 0.
Это | всегда вещественное число, оно положительно при q #= 0. Дей-
ствительно, написанное выражение есть сумма квадратов вещественных
чисел
qq = (a + bi + cj + dk)(a - bi - cj - dk) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 # 0:
Поэтому и норма | вещественное неотрицательное число.
Пусть дан какой-либо кватернион с нормой единица,
q = a + v: #q# = 1:
По определению нормы
a 2 + #v# 2 = 1:
Естественно принять a и #v# за косинус и синус некоторого угла:
a = cos '; #v# = sin ':
Мы представили наш кватернион в виде q = cos '+sin' · v # , где v # | орт
оси. Вектор трёхмерного пространства v # имеет норму единица. Если
мы хотим описывать при помощи нашего кватерниона вращение трёх-
мерного пространства, то в качестве орта v # естественно взять орт оси
вращения. Для получения кватерниона осталось выбрать в последней
формуле угол '. Пусть  | сама величина угла поворота. Современное
понимание физики отличается от понимания физики два столетия назад,
поэтому нужна Ђдвойка РодригесаЃ: оказывается, в качестве ' для по-
строения кватерниона, описывающего поворот на угол  вокруг оси v # ,
нужно выбрать половину угла поворота, ' = =2,
q = cos # 
2 # + sin # 
2 # · v # :
Двойка Родригеса и есть причина спина в физике.
15

Замечание. Из-за двойки вращение определяет кватернион неод-
нозначно. Угол поворота  определён по модулю 2n, n # Z. Входящий
в определение кватерниона угол =2 определён по модулю n. Если n не-
чётно, то при прибавлении 2n к углу  кватернион изменит знак. Надо
было бы писать ±q = cos(=2) + sin(=2) · v # .
Иными словами, одному и тому же повороту отвечают два кватер-
ниона (различающиеся знаком).
Все кватернионы нормы единица (#q# = 1) образуют сферу S 3 в R 4 .
Соответствие, сопоставляющее каждому кватерниону нормы единица
вращение, задаёт отображение сферы S 3 на всю группу вращений |
двулистное накрытие: S 3
# SO(3) = S 3 =±1.
Теорема. Отображение накрытия является гомоморфизмом, т. е.
произведение переходит в произведение: если g(q) | вращение; соот-
ветствующее кватерниону q, то
g(q 1 q 2 ) = g(q 1 )g(q 2 ): (#)
Умножение кватернионов является алгебраической записью умно-
жения вращений (эта группа некоммутативна). Это аналог теоремы
сложения аргументов при перемножении комплексных чисел. Легко до-
казывается следующая
Лемма. |q 1 q 2 | = |q 1 | · |q 2 |.
Поэтому, если |q 1 | = 1, то умножение на такой кватернион сохраняет
длины. Отсюда легко вывести формулу (#) (я пропущу в этом выводе
некоторые детали).
Пусть z | кватернион и |z| = 1. Будем действовать кватернионом
z на кватернион w странным образом:
w ## zwz -1 : (##)
Определение. Обратным кватернионом к кватерниону z называ-
ется такой кватернион z -1 , что z -1 z = 1.
Такой обратный кватернион единственен и его легко найти для лю-
бого ненулевого кватерниона z таким же образом, как это делается
и для комплексных чисел (ЂинверсияЃ). В нашем случае просто z -1 = z,
так как zz = 1. Странное преобразование (##) | это вращения про-
странства R 4 (доказательство аналогично случаю C).
Если w = 1, то при этом вращении 1 ## z · 1 · z, то есть вектор 1
остаётся при преобразовании (##) на месте. Вращение евклидова про-
странства R 4 оставляет на месте единицу. Ортогональное дополнение
16

к вектору 1 переходит в себя и вращение пространства R 4 задаёт враще-
ние евклидова пространства R 3 . Можно непосредственно проверить, что
так получается то самое вращение трёхмерного пространства, которое
мы раньше описывали при помощи оси и угла поворота.
Рассмотрим действие (##) для произведения z 1 z 2 : z 1 z 2 w(z 1 z 2 ) -1 .
Как вычислить (z 1 z 2 ) -1 ?
Подсказка из зала: (ab) -1 = a -1 b -1 .
| Неверно!
Пример. Пусть a означает снять пиджак, а b | снять рубашку.
Тогда ba | снять пиджак, затем снять рубашку | эквивалентно раз-
деться. Обратное | одеться. Надо сначала надеть рубашку, и лишь
потом надеть пиджак. Поэтому (ba) -1 = a -1 b -1 .
Следовательно, произведение z 1 z 2 переводит точку w в точку
(z 1 z 2 )w(z 1 z 2 ) -1 = z 1 z 2 wz -1
2 z -1 1 = z 1 (z 2 wz -1
2 )z -1
1 :
Операция (##) действия кватерниона z 1 z 2 эквивалентна тому, что на ре-
зультат операции (##) действия кватерниона z 2 на w действует опера-
цией (##) кватернион z 1 :
(z 1 z 2 )w(z 1 z 2 ) -1 = z 1 [z 2 wz -1
2 ]z -1 1 :
Иными словами, для любого чисто мнимого (ортогонального к 1) век-
тора w имеет место тождество
(g(z 1 z 2 ))(w) = (g(z 1 ))[(g(z 2 ))(w)]:
В более коротких обозначениях, вращения g, соответствующие ква-
тернионам z нормы единица, удовлетворяют условию гомоморфности,
g(z 1 z 2 ) = g(z 1 )g(z 2 );
так что трудно описываемое умножение вращений g(z) сведено к легко
выполнимому перемножению соответствующих им кватернионов.
Этот кватернионный метод описания движений используется даже
в космических исследованиях, при организации ориентации спутников.
Докажем обещанное выше совпадение операции (##) действия ква-
терниона
z = cos (=2) + v # sin (=2) ; |v # | = 1;
3{комп.ч. 17

с поворотом на угол  вокруг оси его мнимой части (с ортом v # ) в про-
странстве R 3 чисто мнимых кватернионов.
1) Ось орта v # переходит при этой операции в себя. Действительно,
имеют место следующие три очевидные факта.
а) Умножение на вещественное число cos(=2) переводит в себя лю-
бую проходящую через ноль прямую.
б) Умножение на чисто мнимый кватернион v # переводит кватерни-
оны оси с ортом v # в кватернионы с нулевой мнимой частью (поскольку
векторное произведение любого вектора на себя равно нулю).
в) Обратный к z кватернион z -1 = z имеет такой же, как z, вид
(c противоположным ), поэтому умножение на z -1 справа обладает,
как и умножение на z слева, свойствами a) и б).
Утверждение 1) непосредственно вытекает из фактов а), б) и в).
2) Чтобы доказать, что угол поворота вращения (##) вокруг оси
орта v # равен , достаточно применить эту операцию к какому-либо чи-
сто мнимому кватерниону w из ортогонального дополнения к орту v #
в трёхмерном евклидовом пространстве R 3 чисто мнимых кватернио-
нов.
Умножение w на z слева поворачивает этот вектор внутри указан-
ного ортогонального дополнения на угол =2 (согласно теореме о сло-
жении аргументов при перемножении комплексных чисел). Умножение
на z -1 справа | тоже поворот на =2 (например, это можно вывести из
того, что
wz -1 = wz = zw;
а чисто мнимые кватернионы при сопряжении меняют знак). Утвержде-
ние 2) доказано.
Замечание. В квантовой физике (например, при описании враще-
ния электронов) оказывается, что физически важным является не эле-
мент группы вращений SO(3), а именно один из двух соответствую-
щих ему кватернионов нормы единица, который и называется спином
электрона, имеющим два значения (обычно обозначаемые в физике че-
рез ±1=2). При отождествлении в одну точку каждой пары противоположных
точек сферы S n в евклидовом пространстве R n+1 из сферы получа-
ется n-мерное гладкое многообразие, которое называется веществен-
ным n-мерным проективным пространством и обозначается через RP n
(рис. 9).
18

Аффинная плоскость R 2
A
B C
-A
-B
-C
A # B # C #
O
N
M
A
A ##
полусфера S 2
+
экватор
склеиваемые
точки ±A
A #
A ##
A
-A
B
C
B #
C #
прямая RP 1
Ђбесконечно-удалённаяЃ
образ окрестности
экватора
(после склеивания)
лента Мебиуса
Рис. 9. Построение проективной плоскости приклеиванием ленты Мёби-
уса к кругу A # B # C # (или проективной прямой RP 1 Ђбесконечно-удалённыхЃ
точек к аффинной плоскости R 2 ).
Это многообразие можно также описать как многообразие всех про-
ходящих через O прямых OM в объемлющем пространстве R n+1 : ведь
такая прямая как раз и определяется парой ±N своих (противополож-
ных) точек пересечения с единичной сферой.
Пример. Проективная прямая RP 1 есть окружность S 1 , поскольку
при отождествлении точек ' и '+ окружности {' mod 2} получается
окружность {' mod } = S 1 =±1 # S 1 .
Проективная плоскость RP 2 получается из аффинной плоскости R 2
добавлением Ђбесконечно-удалённой прямойЃ RP 1 , содержащей по одной
бесконечно-удалённой точке на каждой прямой аффинной плоскости
(двигаясь вдоль прямой в обе стороны, мы придём в одну и ту же
бесконечно-удалённую точку).
Чтобы всё это ясно увидеть, можно начать, отождествляя противо-
положные точки не со всей сферы S 2 , а лишь с замкнутой полусферы S 2
(скажем, южнее экватора). Тогда склеивать придётся только каждую
точку A экватора с противоположной, -A, а открытая строго южная
полусфера при склеивании не пострадает (рис. 9).
Между прочим, из этой же конструкции видно, что окрестность
бесконечно-удалённой (а значит, и любой) прямой на проективной плос-
кости RP 2 диффеоморфна ленте Мёбиуса (которую Мёбиус так и от-
крыл), вследствие чего проективная плоскость RP 2 неориентируема
(как и все чётномерные проективные пространства RP 2n и в отличие
3 # 19

от нечётномерных RP 2n+1 , которые все ориентируемы).
Итак, SO(3) = S 3 =±1 = RP 3 | ориентируемое трёхмерное проек-
тивное пространство. Его можно представить себе как совокупность
поворотов на всевозможные углы, 0 #  # , вокруг всевозможных осей,
заданных всеми векторами ! единичной сферы.
Совокупность всех таких вращений можно описать как шар {!} ра-
диуса  в трёхмерном евклидовом пространстве. Но на границе этого
шара нужно ещё отождествить противоположные точки, так как враще-
ние на угол  вокруг вектора ! совпадает с вращением на угол  вокруг
вектора -! (а других совпадающих вращений в нашем шаре нет).
Задача. Существуют ли автоморфизмы A: R 4
# R 4 алгебры ква-
тернионов, т. е. преобразования (скажем, вещественно-линейные), для
которых при всех кватернионах x и y выполняются соотношения
A(x + y) = A(x) +A(y); A(xy) = A(x)A(y) ?
Замечание. Для поля комплексных чисел группа автоморфизмов
состоит из двух элементов: A(z) = z и A(z) = z.
Кватернионное сопряжение не является автоморфизмом, так как
для любых кватернионов z и w имеет место легко проверяемое тождество
zw = w·z, а не z·w (кватернионное сопряжение | ЂантиавтоморфизмЃ).
Примером автоморфизма алгебры кватернионов является, однако,
изменение знаков двух из трёх мнимых компонент:
A(a + bi + cj + dk) = a + bi - cj - dk:
Задача. Найти все автоморфизмы алгебры кватернионов (они по-
хожи на этот).
Некоторые примеры
Определение. Преобразование (вещественно гладкое) комплексной
проективной плоскости на себя называется псевдопроективным, если
оно переводит каждую комплексную проективную прямую в комплекс-
ную проективную прямую.
Задача. Докажите, что всякое псевдопроективное преобразование
комплексной проективной плоскости на себя является либо комплекс-
ным проективным преобразованием, либо его произведением на ком-
плексное сопряжение (я не знаю, верно ли это без предположения глад-
кости, например | для гомеоморфизмов).
20

Рассмотрим тетраэдр в евклидовом трёхмерном пространстве. На-
правления из его центра на вершины определяют четыре точки на ве-
щественной проективной плоскости RP 2 . Группа проективных преобра-
зований, сохраняющих эти точки, совпадает с группой A 3 симметрий
тетраэдра, состоящей из 24 ортогональных преобразований евклидова
пространства R 3 , сохраняющих тетраэдр.
Вложив RP 3 в комплексную проективную плоскость CP 2 , мы полу-
чим и там 4 точки. Чтобы ЂкомплексифицироватьЃ группу A 3 , рассмо-
трим группу всех сохраняющих эту четвёрку псевдопроективных пре-
образований комплексной плоскости.
Задача. Доказать, что так определённая Ђкомплексификация груп-
пы A 3 симметрий тетраэдраЃ есть группа B 3 всех 48 симметрий окта-
эдра или двойственного октаэдру куба в трёхмерном евклидовом про-
странстве. Этот куб можно получить, добавив к вершинам тетраэдра
с центром в нуле четыре противоположных точки.
Замечание. Можно надеяться, что кватернионной версией группы
A 3 симметрий тетраэдра (а равно и комплексной версией группы B 3
симметрий куба или октаэдра) окажется группа H 3 из 120 симметрий
икосаэдра. Однако это подтверждается только странными формулами
для чисел рёбер: эти числа равны (рис. 10) 6 = 2 · 3 для тетраэдра,
12 = 3 · 4 для октаэдра (или куба), 30 = 5 · 6 для икосаэдра (или доде-
каэдра).
Р = 6
|A 3 | = 24
Р = 12
|B 3 | = 48 |H 3 | = 120
Р = 30
Рис. 10. Тетраэдр, октаэдр и икосаэдр, их группы симметрий и числа ре-
бер Р. Слова тетраэдр, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр означают Ђчетырёх-
гранникЃ, ЂвосьмигранникЃ, ЂдвадцатигранникЃ и ЂдвенадцатигранникЃ.
Все эти три числа имеют вид (n + 1)(n + 2), где n = 1, 2, 4 |
размерность (многообразия вещественных чисел, комплексных чисел и
кватернионов, соответственно).
Главная трудность исследования кватернизации состоит в отсут-
ствии готового определения (роль которого при комплексификации иг-
рал переход от проективных преобразований к псевдопроективным).
21

Можно предполагать, что роль пары тетраэдров, вписанных в куб
(и связанных с дробью |B 3 |=|A 3 | = 48=24 = 2) играет в кватернион-
ном случае пятёрка кубов, вписанных в додекаэдр (ребрами каждого
из этих пяти кубов являются некоторые из диагоналей пятиугольных
граней додекаэдра, рис. 11). При симметриях додекаэдра эти 5 кубов
переставляются, подобно тому, как это происходит с парой тетраэдров,
вписанных в куб, при действии группы 48 симметрий куба (совпадаю-
щих с симметриями двойственного кубу октаэдра, вершинами которого
являются центры граней куба).
Рис. 11. Тетраэдр, вписанный в куб, и куб, вписанный в додекаэдр.
Теория стереографической проекции сферы на плоскость превраща-
ется при переходе от комплексных чисел к кватернионам (с неизбежным
учётом двойки Родригеса) в замечательную параметризацию кватер-
нионной проективной прямой HP 1
# S 4 кватернионами, аналогичную
формулам Ђтангенса половинного углаЃ,
cos ' = 1 - t 2
1 + t 2
; sin ' = 2t
1 + t 2
; t = tg '
2 ;
параметризующим окружность RP 1 и сферу Римана CP 1 .
Об этой кватернионной стереографической проекции и об её при-
ложениях к исследованию спинорных двулистных накрывающих Spin(4)
и Spin(5) групп SO(4) и SO(5) вращений сфер размерностей 3 и 4 можно
прочесть в статье: В. И. Арнольд, Лагранжев грассманиан кватернион-
ного гиперсимплектического пространства (Функц. анализ и его прил.,
т. 85, ‚1 (2001), 74{77).
Указанные формулы, как это ни странно, во-первых, были открыты
при решении знаменитой задачи теории чисел: как найти все Ђпифаго-
ровы тройкиЃ целых чисел (X; Y; Z), являющихся длинами сторон пря-
моугольного треугольника, так что X 2 + Y 2 = Z 2 ?
22

Простейшие примеры (3 2 + 4 2 = 5 2 , 12 2 + 5 2 = 13 2 ) много использо-
вались в Древнем Египте, чтобы строить прямые углы, используя узлы
на верёвке (например, при строительстве пирамид). Но общая формула
была за тысячи лет до Пифагора опубликована, вместе с теоремой Пи-
фагора и с доказательствами, на вавилонских клинописных табличках
халдеев: каждая несократимая пифагорова тройка имеет вид
X = u 2
- v 2 ; Y = 2uv; Z = u 2 + v 2 ;
где (u; v) | взаимно простые целые числа (разной чётности, чтобы
тройка получилась несократимая).
С другой стороны, те же формулы имеют топологическое содержа-
ние, описывая структуру множества всех комплексных точек окружно-
сти (т. е. комплексных решений уравнения окружности x 2 + y 2 = 1 |
так называемой римановой поверхности для окружности). Они же до-
ставляют, как мы увидим, также условия интегрируемости в элемен-
тарных функциях так называемых Ђабелевых дифференциаловЃ, вроде
# 1 - x 2 dx (общие абелевы интегралы | это все интегралы вида
# R(x; y) dx вдоль кривой H(x; y) = 0, где H | многочлен, R | ра-
циональная функция).
Дифференциальное уравнение Ньютона
Дифференциальное уравнение Ньютона
d 2 x
dt 2
= F (x);
описывающее движение точки x единичной массы по прямой под дей-
ствием силового поля F , имеет первый интеграл энергии
H(x; y) = const; где H = y 2
2 + U(x);
y = dx=dt | скорость; U | потенциальная энергия, определяемая усло-
вием F (x) = -dU=dx.
Если F | многочлен степени n, то уравнение закона сохранения
энергии, H(x; y) = E, определён на Ђфазовой плоскостиЃ c координатами
x и y алгебраическую кривую (гиперэллиптическую), зависящую от Ђпо-
стоянной энергии EЃ, а время t движения вдоль неё определяется абе-
левым интегралом от дифференциальной формы dt = dx=y (поскольку
y = dx=dt).
23

Соответствующее этому движению фазовой точки векторное поле
на фазовой кривой H = E естественно продолжается на всю комплекс-
ную риманову поверхность (так, что dt = 1 на векторах поля). Удиви-
тельным фактом оказывается то, что это векторное поле описывает дви-
жение по римановой поверхности заполняющей её Ђнесжимаемой жидко-
стиЃ (имеет Ђдивергенцию нольЃ, что в других терминах означает Ђза-
мкнутостьЃ формы dt, т. е. то, что она оказывается локально полным
дифференциалом).
Задача. Пусть потенциальная энергия U | многочлен четвёртой
степени с двумя минимумами (Ђдвумя потенциальными ямамиЃ). Рас-
смотрим периодические движения в той и в другой яме, с одинаковыми
значениями постоянной полной энергии, E. Спрашивается, период ко-
торого из них больше: движения в более глубокой яме или в менее глу-
бокой?
Ответ. Эта задача | топологическая. Оба периода одинаковы, по-
скольку риманова поверхность фазовой кривой H = E | тор, периоди-
ческие движения | два его меридиана, а потоки несжимаемой жидкости
на торе через любые два меридиана одинаковы.
Замечание. Интегралы дифференциальной формы dt = dx=y по
всевозможным замкнутым путям на торе, выходящим из одной и той
же точки, образуют ЂрешёткуЃ: абелеву группу Z! 1 + Z! 2 = , где ! 1
и ! 2 | интегралы вдоль параллели и вдоль меридиана тора. Значение t
интеграла по выходящим из выбранной точки незамкнутым путям явля-
ется многозначной функцией от конечной точки на торе, причём все
значения этой многозначной функции в точке получаются из одного из
них прибавлением всех чисел из решётки .
Таким образом, сама наша торическая риманова поверхность пред-
ставляет собой (с точностью до комплексного диффеоморфизма) фак-
тор-пространство C= = C=(Z! 1 + Z! 2 ), где комплексное число  = !1
!2
не вещественно.
Выбирая различные многочлены четвёртой степени, можно полу-
чить, что все невещественные значения  2 и все торические римановы
поверхности доставляются этой конструкцией (что доказать уже не так
легко).
Все сферические римановы поверхности комплексно диффеоморфны
стандартной сфере Римана S 2 = CP 1 .
Ввиду столь большой важности этих вопросов, я скажу о них не-
сколько слов.
24

От теоремы Пифагора к римановым поверхностям
Рассмотрим окружность x 2 + y 2 = 1 и будем сначала искать на ней
точки с рациональными координатами (x; y). Одна такая точка из-
вестна: (x = 1; y = 0). Проведём через эту точку прямую с тангенсом
угла наклона t к оси Ox (т. е. с уравнением y = t(x - 1), рис. 12).
y
x
'
'=2
-t
x
y
x 2 + y 2 = 1
y = t(x - 1)
Рис. 12. Построение рациональной параметризации окружности танген-
сом t половинного угла.
Одна точка пересечения этой прямой с окружностью нам уже из-
вестна. Поэтому второй корень x получающегося при фиксированном t
квадратного уравнения для координаты x точки пересечения прямой
с окружностью выражается через значение параметра прямой t рацио-
нально. Следовательно, окружность | Ђрациональная криваяЃ, допуска-
ющая параметризацию
x = P (t); y = Q(t); (1)
где P и Q | рациональные функции.
Проводя те же вычисления явно, мы легко находим, что
P = t 2
- 1
t 2 + 1 ; Q = -
2t
1 + t 2
:
При рациональных значениях x и y число t = y
x-1 рационально, а при ра-
циональном значении t мы находим рациональных x и y по формулам (1).
При -t = u=v с целыми u и v мы находим указанные выше формулы всех
ЂпифагоровыхЃ троек (где x = X=Z, y = Y=Z). Исследование несокра-
тимости (взаимной простоты) несложно (не надо, чтобы u и v оба были
нечётными!).
4{комп.ч. 25

С другой стороны, поверхность, образованная комплексными реше-
ниями уравнения x 2 +y 2 = 1, включая Ђбесконечно-удалённыеЃ, оказыва-
ется, как это показывает параметризация комплексным параметром t,
сферой Римана, S 2 = CP 1 .
x
y H(x; y) = 0
#
Рис. 13. Эллиптическая кривая степени 3: её вещественные точки и её
риманова поверхность.
Для других многочленов H(x; y) получились бы другие поверхности
H = 0, которые могут и не быть сферами. Например, уравнение Ђэлли-
птической кривойЃ
y 2 = x 3
- x +E
задаёт при почти всех E поверхность тора S 1
в S 1 , называемого также
Ђсферой с одной ручкойЃ (рис. 13).
Рис. 14. Риманова поверхность рода g = 3: сфера с тремя ручками.
В общем случае (например, при замене показателя 3 в x 3 более вы-
соким показателем 2g+1) получается в качестве римановой поверхности
сфера с g ручками (рис. 14, число g называется родом поверхности).
Весь набор связных замкнутых гладких ориентируемых поверхно-
стей (без краев или особенностей) исчерпывается сферами с g ручками
(g = 0, 1, 2, : : : ).
26

Основная теорема теории интегрирования абелевых дифференциа-
лов вдоль алгебраических кривых H(x; y) = 0 состоит в том, что все
такие интегралы (от произвольных рациональных форм R(x; y) dx) бе-
рутся в элементарных функциях если и только если род римановой
поверхности кривой H = 0 равен нулю (т. е. если она диффеоморфна
сфере).
Например, для H = x 2 +y 2
-1 все такие интегралы берутся, так как
они сведены нами выше к интегралам от рациональных функций от пе-
ременной t
# R(x; y) dx = # R(P (t); Q(t))P # (t) dt
(это | Ђтеория подстановок ЭйлераЃ, топологический смысл которой
от студентов всегда скрывают).
Каждая кривая рода 0 рациональна, т. е. допускает рациональную
параметризацию, аналогичную найденной нами для окружности явно
(доказать эту параметризуемость не очень трудно, но все же тут тре-
буется некоторое владение комплексной геометрией).
Если же род римановой поверхности кривой H = 0 больше нуля,
то интеграл от подходящей рациональной дифференциальной формы
вдоль этой кривой оказывается многозначной функцией в комплексной
области со столь сложным ветвлением, какого не может иметь никакая
элементарная функция. Поэтому интегралы в этом случае не всегда сво-
дятся к элементарным функциям.
Простейшей задачей такого рода является задача о вычислении дли-
ны дуги эллипса, сводящаяся как раз к интегрированию вдоль кривой
рода g = 1 (которая поэтому-то и называется эллиптической кривой).
Таким образом, наша теория связывает комплексный анализ и с то-
пологией, и с теорией чисел, и с теорией алгоритмической разрешимости
задачи интегрирования.
Замечание. Такое же топологическое доказательство имеет и те-
орема Абеля о невозможности решения в радикалах общего уравнения
пятой (или более высокой) степени, например, уже уравнения
x 5 + ax + 1 = 0
(к которому, впрочем, сводятся все уравнения пятой степени). Здесь
нужно исследовать ветвление пятизначной комплексной функции x ар-
гумента a, заданной выписанным уравнением, когда комплексная пере-
менная a обходит вокруг точек ветвления этой пятизначной функции.
4 # 27

Ветвление функции описывается перестановками пяти локальных
листов x j (a), и перестановки, соответствующие всевозможным путям,
не проходящим через точку ветвления, образуют группу называемую
Ђгруппой монодромииЃ многозначной функции x от аргумента a, рис. 15.
O
Рис. 15. Группа монодромии функции Ђквадратный кореньЃ состоит из
двух перестановок обоих корней.
Группа монодромии любой комбинации радикалов разрешима (сво-
дится к косому произведению коммутативных групп). А группа моно-
дромии указанной выше пятизначной функции содержит все переста-
новки 5 элементов и потому неразрешима. Значит неразрешимо в ра-
дикалах и наше уравнение (даже если добавить к радикалам все одно-
значные функции). Об этой теореме Абеля можно прочитать подробнее
в книге В. Б. Алексеева ЂТеорема Абеля в задачах и решенияхЃ(М.: На-
ука, 1976), воспроизводящей мои лекции школьникам 1964 года.
Если уравнение кривой H(x; y) = 0 задано, то найти её род g не так
уж легко. Здесь помогает соображение Ђитальянской алгебраической
геометрииЃ: если степень n многочлена H фиксирована, то род будет
одним и тем же для почти всех значений коэффициентов многочлена.
Ибо те специальные многочлены, для которых род иной, редки. Подобно
тому, как те значения параметра c, для которых уравнение x n = c имеет
нетипичное, то есть отличное от n, число корней, специальные много-
члены образуют множество, задаваемое комплексным уравнением (Ђдис-
криминант равен нулюЃ), т. е. двумя вещественными уравнениями (в ука-
занном выше примере | c = a + bi = 0 означает систему (a = 0; b = 0)).
Поэтому неспециальные многочлены H образуют в пространстве
всех многочленов данной степени n связное множество, при движении
вдоль которого топологические инварианты (например, род) соответ-
ствующей движущейся точке римановой поверхности остаются неизмен-
ными.
Остаётся найти род g для одного неспециального примера. Это
не так уж трудно сделать: годится, например, почти вырожденная кри-
28

вая H = 0, где H = L 1 · : : : · Ln + ", и где L j | линейные неоднород-
ные функции общего положения. Эта риманова поверхность получается
из n сфер добавлением N трубочек, где N | число точек пересечения
n прямых (рис. 16).
" = 0
" > 0
L 1
L 2
L 3
невозмущенная
прямая
возмущенная
кривая
L 1
L 2
L 3
трубочка,
" #= 0
место
перестройки
Рис. 16. Топология вещественной алгебраической кривой и римановой по-
верхности почти вырожденной кривой степени 3 (до возмущения число
сфер n = 3, число соединяющих трубочек N = 3, род g = 1).
Ответ называется формулой Римана{Гурвица:
g = (n - 1)(n - 2)
2 :
Чтобы её запомнить, заметим, что роды кривых степени n = 1 (прямых)
и степени n = 2 (эллипсов, гипербол, парабол) равны нулю, т. е. эти кри-
вые допускают рациональные параметризации, а их римановы поверх-
ности диффеоморфны сферам.
Рациональные кривые называются ещё уникурсальными, т. е. одно-
пробегаемыми, так как каждую из них можно начертить (в веществен-
ном случае) одним росчерком пера, не отрывая его от бумаги (здесь
нужно или иметь в виду кривую на проективной плоскости, или же
предполагать вещественную часть кривой в аффинной плоскости ком-
пактной: эллипс уникурсален, а аффинная часть гиперболы | нет).
Доказательство уникурсальности рациональной кривой получается
просто при рассмотрении вещественных значений рационально параме-
тризующей кривую переменной t.
Если исходная кривая H = 0 не гладкая, то каждая её особенность
уменьшает род соответствующей римановой поверхности (на которой,
например, точке простого самопересечения исходной кривой соответ-
ствуют две точки Ђна разных листахЃ). Оказывается, кривая степени n
29

с (n-1)(n-2)
2 особыми точками (а больше их и не бывает) имеет уже род 0,
т. е. она рациональна и уникурсальна, а интегралы от рациональных
форм вдоль неё вычислимы в элементарных функциях. Такова, к при-
меру, Ђвырожденная эллиптическая криваяЃ (рис. 17) y 2 = x 3
- 3x + 2
(с особой точкой простого самопересечения x = 1; y = 0).
двойная
точка C:
R:
g = 0 g = 1
степень: n = 3
род: g = 0
Рис. 17. Уникурсальная особая кривая, вдоль которой берутся все абе-
левы интегралы, и её малая перестройка в неособую эллиптическую кри-
вую (в вещественной и в комплексной области).
Замечание. В качестве параметра t, через который координаты
x и y точек нашей уникурсальной кривой выражаются рационально,
можно взять тангенс угла наклона к оси Ox прямой, соединяющей изу-
чаемую точку кривой с точкой самопересечения (проведите вычисления
x(t) и y(t) | они позволят вычислять все абелевы интегралы вдоль на-
шей кривой).
Между прочим, эта конструкция поясняет, как на римановой по-
верхности кривой вместо точки самопересечения исходной кривой по-
являются две обыкновенные точки. Два значения t 1 и t 2 параметра t,
соответствующие точке самопересечения исходной кривой, | это тан-
генсы наклона углов наклона к оси x обеих гладких ветвей исходной
кривой, проходящих через её точку самопересечения.
Переход от кривой с самопересечениями к её гладкой римановой
поверхности, на которой точка самопересечения представлена несколько
раз, называется нормализацией исходной кривой.
Оказывается, всякая алгебраическая кривая может быть алгебраи-
чески нормализована, т. е. может быть получена из некоторой гладкой
30

алгебраической кривой (из своей римановой поверхности) алгебраиче-
ским отображением (отображением, которое, правда, может посылать
в некоторые | особые | точки кривой-образа несколько разных точек
римановой поверхности).
Задача. Нормализовать лемнискату y 2 = x 2
- x 4 . Уникурсальна ли
эта кривая?
Математические троицы
Три варианта | вещественный, комплексный и кватернионный |
имеют многие математические теории, причём единство как соответ-
ствующих теорем, так и их приложений (то в топологии, то в физике,
то в теории чисел или в алгебре) распознать не всегда легко.
Приведу лишь несколько примеров*.
Пример 1. Совпадение проективной прямой с окружностью:
RP 1 = S 1 :
Комплексификацией этого факта оказывается удивительная теоре-
ма Понтрягина (открытая им в тридцатые годы, но не опубликованная,
и потому известная на западе под именами тех математиков, которые
в шестидесятые годы опубликовали свои доказательства в ответ на мой
вопрос, известно ли им доказательство этой теоремы Понтрягина).
Теорема. Факторпространство комплексной проективной плос-
кости по её вещественному диффеоморфизму Ђкомплексное сопряже-
ниеЃ диффеоморфен четырёхмерной сфере:
CP 2 = Conj # S 4 :
Таким образом, при комплексификации размерность единица проек-
тивного пространства заменилась двойкой, и вдобавок пришлось факто-
ризовать по группе автоморфизмов поля комплексных чисел (что можно
было бы делать и в вещественном случае, где, однако, единственный ав-
томорфизм | тождественное преобразование).
* Более подробное обсуждение большего набора фактов можно найти в статье:
В. И. Арнольд, ЂПолиматематика: является ли математика единой наукой или
набором ремёселЃ в сборнике ЂMathematics: Frontier and PerspectivesЃ, изданном
международным математическим союзом и Американским математическим об-
ществом в 2000 году в ознаменование конца тысячелетия (под ред. В. И. Ар-
нольда, М. Атья, П. Лакса и Б. Мазура). Планируемый русский перевод объ-
явлен издательством ЂФазисЃ, Москва.
31

Угадать кватернионный аналог предыдущей теоремы нелегко,
но анализ разумного её доказательства показывает следующее*:
HP 4 = Aut = Conj # S 13 :
Здесь начинать приходится с кватернионно четырёхмерного (т. е. ве-
щественно шестнадцатимерного) проективного пространства, а факто-
ризовать | по трёхмерной (изоморфной SO(3)) группе автоморфизмов
и ещё по антиавтоморфизму кватернионного сопряжения.
Поучительно, однако, что доказательство всех трёх перечисленных
выше фактов совершенно параллельны | нужно только заменять ве-
щественные числа на комплексные (и кватернионы), а квадратичные
формы (которые в вещественном случае записываются в подходящей
системе координат в виде # n
m=1 amx 2
m ) | на вещественные эрмитовы
(и гиперэрмитовы) формы, которые записываются в таком же виде с за-
меной только квадратов x 2
m на квадраты модулей |x 2
m |.
Определение эрмитовых и гиперэрмитовых форм (в комплексном
векторном пространстве C n и кватернионном H n ) | это обычные ве-
щественные квадратичные формы (в соответствующем R 2n или R 4n ),
инвариантные относительно умножения векторов-аргументов на ком-
плексные числа (кватернионы) нормы единица.
Геометрический объект, соответствующий положительно-опреде-
лённой квадратичной форме f , | это эллипсоид f = 1. Так что эр-
митовым (а в кватернионном случае | гиперэрмитовым) формам со-
ответствуют эллипсоиды вращения со специальными симметриями: они
переходят в себя при умножении всех векторов пространства эллипсоида
на i в комплексном случае (на i, j, k | в кватернионном).
Теперь я могу описать второй пример удивительной кватерниони-
зации.
Пример 2. Отталкивание электронных уровней, квантовый эф-
фект Холла и характеристические числа.
В вещественном случае результат уже совершенно нетривиален
и был обнаружен, несмотря на свою математическую фундаменталь-
ность, лишь вследствие развития квантовой механики (где он называ-
ется теорией фон Неймана{Вигнера). Рассмотрим многообразие всех
эллипсов (с центром в начале координат) на евклидовой плоскости (или,
если угодно, многообразие квадратичных форм, которые их задают).
* В. И. Арнольд, Родственники фактора комплексной проективной плоскости по
комплексному сопряжению. Труды Матем. Института им. В. А. Стеклова РАН,
том 224 (1999).
32

Некоторые из эллипсов являются окружностями. На первый взгляд
кажется, что условие обращения эллипса в окружность | это одно соот-
ношение равенства полуосей a = b, так что подмногообразие окружно-
стей должно иметь коразмерность один в многообразии всех эллипсов.
Это, однако, не так: многообразие квадратичных форм
Ax 2 + 2Bxy + Cy 2
имеет размерность 3 (и координаты A, B, C), а многообразие окружно-
стей | размерность 1 (так как окружность с центром в нуле определя-
ется своим радиусом).
Выделяющее окружности условие Ђдискриминант равен нулюЃ для
соответствующего квадратного уравнения, определяющего длины полу-
осей эллипса, имеет вид (A + C) 2 = 4(AC - B 2 ), т. е. сводится к сумме
двух квадратов, (A - C) 2 + 4B 2 = 0, и определяет одномерное подмно-
гообразие в трёхмерном пространстве форм (а именно, прямую A = C,
B = 0).
Теорема Вигнера{фон Неймана утверждает, что и для эллипсои-
дов в n-мерном пространстве при любом n подмногообразие эллипсоидов
вращения имеет коразмерность два, так что ни для эллипсоида общего
положения, ни для членов однопараметрического семейства общего по-
ложения эллипсоиды вращения не встречаются.
Если нарисовать график зависимости длин n полуосей am (p) для
эллипсоида такого семейства, зависящего от параметра p, то на плос-
кости (p; a) получаются n кривых (m = 1; : : : ; n), каждая из которых
однозначно проектируется на ось значений параметра p, и которые по-
парно не пересекаются, хотя и могут иногда подходить довольно близко
друг к другу (рис. 18).
В физике значения an называются ЂуровнямиЃ, а эффект их несовпа-
дения истолковывается как ЂотталкиваниеЃ уровней друг другом при их
сближении вследствие изменения параметра.
Впрочем, поскольку эта теорема | математическая, она имеет мно-
жество разных физических (и иных) приложений. Например, на враще-
ние спутника вокруг его центра масс сильно влияет его Ђэллипсоид инер-
цииЃ, и, если этот эллипсоид окажется эллипсоидом вращения, то упра-
влять ориентацией и кувырканием такого спутника легче. Теорема Виг-
нера{фон Неймана показывает, что для того, чтобы сделать эллипсоид
инерции спутника эллипсоидом вращения, недостаточно передвигать
вдоль штанги одну Ђюстировочную массуЃ: подобных штанг должно
быть не меньше двух.
5{комп.ч. 33

a
p
Рис. 18. Расталкивание собственных чисел.
Обратимся теперь к комплексификации теоремы об отталкивании
уровней. Коразмерность два многообразия эллипсоидов вращения среди
всех эллипсоидов заменяется при переходе от квадратичных форм в R n
к эрмитовым в C n на вещественную коразмерность, равную трём.
Эллипсоиды вращения не встречаются здесь не только в однопара-
метрических семействах общего положения, но и в двупараметрических
(а при трёх вещественных параметрах эрмитовы эллипсоиды с допол-
нительной симметрией встречаются для отдельных точек в трёхмерном
пространстве параметров).
Я подробно исследовал возникающие здесь топологические вопросы
(строение расслоения Ђсобственных векторовЃ, которые в математике
соответствуют главным осям эллипсоида, а в физике называются Ђмо-
дамиЃ) в статье: В. И. Арнольд, Моды и квазимоды, Функц. анализ и его
прил., т. 6 ‚2 (1972), 12{20.
Сегодня эти результаты называются теорией Ђцелочисленного кван-
тового эффекта ХоллаЃ (так как возможно экспериментальное наблю-
дение прохождения поверхности в трёхмерном пространстве-времени,
точка которой определяется двумя параметрами, через специальные
точки, где соответствующие эллипсоиды имеют дополнительную сим-
метрию.
В топологических терминах это явление называется Ђприращением
характеристического числа Черна комплексного расслоения собствен-
ных векторов над указанной поверхностьюЃ при прохождении этой по-
верхности через специальные точки. Таким образом, топологическая те-
ория целочисленного квантового эффекта Холла была построена и опу-
бликована в 1972 г. до физической | просто путём комплексификации
классической теоремы Вигнера{фон Неймана, недоставало только физи-
ческой терминологии, появившейся позже.
Сегодня в таком же положении, как была в 1972 г. комплексная вер-
сия, находится кватернионная версия теоремы Вигнера{фон Неймана.
В этом случае вещественная коразмерность появления дополнитель-
34

ной симметрии (т. е. столкновения собственных уровней гиперэрмито-
вых форм) равна пяти. Эти числа | 2, 3 и 5 | уже встречались нам при
анализе чисел рёбер тетраэдра, октаэдра и икосаэдра: каждое из них
равно d + 1, где d | вещественная размерность (вещественной, ком-
плексной и соответственно кватернионной прямой).
Роль расслоения Хопфа S 3
# S 2 (со слоем S 1 ), фундаментального
для комплексной теории квантового эффекта Холла, играет в кватерни-
онном случае Ђвторое расслоение ХопфаЃ, S 7
# S 4 (со слоем S 3 ).
Оба эти расслоения описывают просто стандартное построение про-
ективного пространства (CP 1
# S 2 , HP 1
# S 4 ) из сферы соответствую-
щего проективному векторного пространства (S 3
# C 3
\ 0, S 7
# H 2
\ 0):
точке сферы расслоением сопоставляется прямая, соединяющая её с ну-
лём. И, наконец, Ђхарактеристическим классам и числам ЧернаЃ ком-
плексного случая (которые являются комплексификацией Ђхарактеристи-
ческих классов Штифеля{УитниЃ и Ђэйлеровой характеристикиЃ веще-
ственного случая) соответствуют в кватернионном случае Ђхарактери-
стические классы и числа ПонтрягинаЃ (перестраивающиеся при про-
хождении подвижного четырёхмерного пространства параметров через
специальные точки пятимерного пространства).
Беда лишь в том, что физических названий эти готовые математи-
ческие результаты пока ещё не получили (хотя я и надеюсь, что оби-
лие различных полей и частиц в современной физике позволят указать и
те экспериментально наблюдаемые ситуации, которые управляются опи-
санной выше кватернионной теорией гиперэрмитовых матриц). Тройки
ЂR | C | HЃ и Ђклассы Штифеля{Уитни | классы Черна | классы Пон-
трягинаЃ указывают, что комплексификацией двухэлементной группы
Z 2 коэффициентов классов Штифеля{Уитни является группа целых чи-
сел Z коэффициентов классов Черна, но что окажется кватернионной
версией группы Z 2 (или комплексной версией группы целых чисел Z)
пока ещё не решено (в качестве кандидатов выступают, в частности,
Z и группа Z + iZ целых комплексных чисел).
Спины и косы
Для обозначения двулистного накрытия группы вращений SO(3)
группой спинов Spin(3) = S 3 = SU(2) физики придумали красивый ме-
тод, основанный на математической теории кос. Пусть на поверхности
M заданы n попарно различных точек. Косой из n нитей на поверхно-
сти M называется путь в пространстве таких наборов, начинающийся
и кончающийся в заданном неупорядоченном наборе n точек из M .
5 # 35

При этом коса рассматривается как путь с точностью до гомотопии,
т. е. непрерывная деформация, сохраняющая его начальный и конечный
наборы и, конечно, деформирующая промежуточные наборы так, чтобы
они всё время состояли из n различных точек, считается не меняющей
косу.
Из кос из n нитей можно построить группу, продолжая один путь
другим (обратная коса | это путь, пройденный в обратном направле-
нии).
Например, косой a из двух нитей на ориентируемой плоскости явля-
ется движение этих точек на полоборота в положительную сторону во-
круг середины соединяющего их отрезка. Все косы a k (k = ±1, ±2, : : : )
различны, нетривиальны (отличны от неподвижного пути a 0 = e) и вме-
сте с e образуют (изоморфную группе целых чисел Z) группу B(2) всех
кос из 2 нитей на плоскости.
Группа B(3) всех кос на плоскости из трёх нитей порождена двумя
образующими a и b, вращающими пару точек I, II и пару точек II, III
набора лежащих (в этом порядке) на прямой точек (I; II; III), рис. 19. Эти
две образующие удовлетворяют соотношению aba = bab (доказанному
на рис. 19), а других соотношений нет (это доказать труднее).
I
I
II
II
III
III
a
I
I
II
II
III
III
b
Рис. 19. Косы из трёх нитей на плоскости.
Косы на плоскости удобно изображать кривыми в трёхмерном прос-
транстве-времени: для косы из n нитей график движения точек набора
состоит из n кривых (которые и называются нитями), причём, по тра-
диции, ось абсцисс располагается вертикально и ориентирована сверху
вниз (эта традиция объясняется обычным расположением заплетаемой
сверху вниз косы).
Идея объяснения двулистного накрытия вращений спинами состоит
в том, чтобы рассмотреть косы из n нитей на сфере S 2 (например,
при n = 4).
36

В группе кос на плоскости нет элементов конечного порядка: если
m-я степень какой-либо косы тривиальна, то она и сама тривиальна. Для
кос из двух нитей это очевидно, но уже при трёх нитях доказательство
не столь просто.
Удивительным математическим фактом теории сферических кос
является то, что в группе кос на сфере S 2 бывают элементы конечного
порядка (например, второго | для кос из четырёх нитей).
Этот топологический результат очень близок к тому, что фундамен-
тальная группа многообразия SO(3) # RP 3 состоит из двух элементов,
так что спиновое накрытие S 3
# SO(3), сопоставляющее кватерниону
единичной нормы заданное им вращение, двулистно.
П. Дирак, который изобрёл этот метод объяснения спинов, проде-
монстрировал физикам экспериментальное доказательство сформулиро-
ванной теоремы о сферических косах. Для этого он реализовал нужную
сферическую косу из четырёх нитей, нетривиально связав две концен-
трические сферы четырьмя верёвками в ограниченном ими слое (этот
слой заменяет в сферическом случае трёхмерное пространство-время,
в котором лежали нити косы, соответствующей движению набора n то-
чек на плоскости).
Затем внутри шара, ограниченного меньшей сферой, помещается
ещё меньшая сфера, соединённая с исходно меньшей (теперь средней)
сферой так же, как та была соединена с самой большой сферой.
И, наконец, средняя сфера уничтожается. После этого большая и са-
мая меньшая сфера оказываются связанными 4 верёвками тривиальным
образом (после деформации верёвки становятся радиальными), хотя ис-
ходное соединение было совершенно нетривиальным и не могло быть
распутано (сделано радиальным посредством деформации в слое между
ограничивающими его концентрическими сферами).
В отличие от физиков, математики этой теоремы теории сфериче-
ских кос обычно не знают, так как они спинами не интересуются.
Добавление
Определение. Функция, переводящая всякое ненулевое комплекс-
ное число z в
F (z) = 1
2 # z + 1
z
# ;
называется функцией Жуковского.
Теорема 1. Функция Жуковского переводит окружность |z| = r
на плоскости комплексной переменной z в эллипс с центром в нуле с по-
37

луосями a, b, где 2a = r + r -1 , 2b = r - r -1 , на плоскости комплексной
переменной w = F (z).
Доказательство. Вещественная и мнимая части числа z равны
r cos ' и r sin ', поэтому
1
z
= 1
r
(cos ' - i sin ');
откуда
w = 1
2 [(r + r -1 ) cos ' + i(r - r -1 ) sin '];
что и утверждалось. #
Функция Жуковского играет огромную роль в технике, и Жуков-
ский ввел её ради вычисления подъёмной силы крыла самолета (где осно-
ванная на ней формула Жуковского остаётся фундаментальной).
Но она имеет и много других приложений.
Теорема 2 (Болина). Отображение возведения комплексных чи-
сел в квадрат, C # C, переводящее z в w = z 2 , переводит гуков эллипс
с центром в нуле в ньютонов эллипс с фокусом в нуле.
Доказательство. Пусть комплексное число u пробегает окруж-
ность |u| = r. Тогда комплексное число z = u + u -1 пробегает (по
теореме 1) гуков эллипс с полуосями 2a и 2b (с центром в нуле). Этим
способом можно получить эллипс с любым отношением длин полуосей.
Квадрат числа z есть
z 2 = u 2 + u -2 + 2: (1)
Первые два слагаемых в сумме описывают (опять по теореме 1)
снова гуков эллипс. Его полуоси имеют длины 2A = r 2
- r -2 . Ква-
драт расстояния от центра этого эллипса до его фокуса вычисляется
по теореме Пифагора:
(2A) 2
- (2B) 2 = [(r 2 + r -2 ) 2
- (r 2
- r -2 ) 2 ] = 4;
то есть расстояние от центра эллипса {u 2 + u -2 } до его фокуса есть
2C = 2. #
Следовательно, после указанного в формуле (1) сдвига эллипса на +2
начало координат станет фокусом перенесённого эллипса, что и доказы-
вает теорему.
Замечание. Этот результат можно переформулировать в физиче-
ских терминах: траектории гармонического колебания по закону Гука
38

вокруг начала координат на плоскости комплексного переменного пере-
ходят при возведении комплексных чисел в квадрат в траектории дви-
жения по закону всемирного тяготения (или по закону притяжения Ку-
лона), сила которого обратно пропорциональна квадрату расстояния
до притягивающего центра. Само движение в нужное движение при
этом не переходит: скорости прохождения одной орбиты обоими движе-
ниями разные.
Замечание. Доказанная теорема Болина имеет замечательное об-
общение на случай, когда возведение в квадрат заменено на возведение
в другую степень . В этом случае орбиты движения в поле притяжения
(или отталкивания) степени A переходят в орбиты для поля степени B,
где числа A и B связаны соотношением двойственности,
(A + 3)(B + 3) = 4:
Например, закон Гука, для которого A = 1, является двойственным за-
кону всемирного тяготения, для которого B = -2. В качестве показа-
теля степени  нужно в общем случае выбирать значение  = (A + 3)=2
(двойственному закону соответствует обратное преобразование, обрат-
ной степени  = (B + 3)=2 = 1=).
Задача. Найти автодвойственные законы. (Ньютон их уже иссле-
довал!)
Удивительным образом, вся эта теория двойственности переносится
на случай, когда место степенного преобразования w = z  занимает
любой многочлен (или даже любая гладкая в комплексной области ком-
плексная функция) w(z) (например, w = e z или w = ln z).
Двойственные потенциалы на плоскостях {z} и {w} даются форму-
лами двух определяемых преобразованием вещественных функций ком-
плексных переменных,
U(z) = |dw=dz| 2 ; V (w) = -|dz=dw| 2 :
Преобразование переводит орбиты движения точки z с постоянной
полной энергией E в поле с потенциальной энергией U в орбиты движе-
ния точки w с постоянной полной энергией -1=E в поле с потенциальной
энергией V .
Эта удивительная двойственность движений в столь разных двумер-
ных полях сохраняется для квантово-механического уравнения Шрёдин-
гера (R. Faure). Но ни какие-либо обобщения на движения в простран-
ствах другого числа измерений, ни кватернионные обобщения указанной
двойственности не известны.
39

Литература к добавлению
1. E. Kasner, Dierential-Geometric Aspects of Dynamics, AMS, 1913
2. T. Needham, Newton and Transmutation of Force, Amer. Math. Monthly,
100, ‚2 (1993), 119{137.
3. В. И. Арнольд, Псевдокватернионная геометрия, Функц. анализ и его
прил., ‚1 (2002).
40