|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn-models1
Дата изменения: Unknown Дата индексирования: Sun Apr 10 23:41:12 2016 Кодировка: koi8-r |
Математическое образование: вчера, сегодня, завтра… |
||
1. Модель войны или сражения
Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели -- принцип "чем дальше в лес, тем больше дров". Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно. В докладе на простейших примерах будет показано, как эта теория может применяться в экономических, экологических и социологических моделях.
1. Модель войны или сражения
В простейшей модели
борьбы двух противников (скажем,
двух армий) --
модели Ланкастера--
состояние системы описывается
точкой (x,y) положительного
квадранта плоскости. Координаты
этой точки, x и y -- это
численности противостоящих армий.
Модель имеет вид
Это -- жесткая модель,
которая допускает точное решение
, љ
axdx=bydy, љ ax2-by2=const.
Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.
 |
| Рис. 1. Жесткая модель войны |
Эти гиперболы разделены прямой 
. Если
начальная точка лежит выше этой
прямой (случай 1 на рис. 1), то
гипербола выходит на ось y. Это
значит, что в ходе войны
численность армии x уменьшается
до нуля (за конечное время). Армия y
выигрывает, противник уничтожен.
Если начальная точка лежит ниже (случай 2), то выигрывает армия x. В разделяющем эти случаи состоянии (на прямой) война заканчивается ко всеобщему удовлетворению истреблением обеих армий. Но на это требуется бесконечно большое время: конфликт продолжает тлеть, когда оба противника уже обессилены.
Вывод модели таков: для борьбы с вдвое более многочисленным противником нужно в четыре раза более мощное оружие, с втрое более многочисленным -- в девять раз и т. д. (на это указывают квадратные корни в уравнении прямой).
Ясно, однако, что наша людоедская модель сильно идеализирована и было бы опасно прямо применять ее к реальной ситуации. Возникает вопрос -- как изменится вывод, если модель будет несколько иной. Например, коэффициенты a и b могут быть не строго постоянными, а могут, скажем, зависеть от x и от y. И точный вид этой зависимости нам может быть неизвестен.
В этом случае речь идет о
системе
Однако в математике разработаны методы, позволяющие сделать выводы общего характера, и не зная точно явного вида функций a и b. В этой ситуации принято говорить о мягкой модели -- модели, поддающейся изменениям (за счет выбора функций a и b в нашем примере).
Общий вывод в данном случае есть утверждение о структурной устойчивости исходной модели: изменение функций a и b изменит описывающие ход военных действий кривые на плоскости (x, y) (которые уже не будут гиперболами и разделяющей их прямой), но это изменение не затрагивает основного качественного вывода.
Вывод этот состоял в том, что положения "x выигрывает" и "y выигрывает" разделены нейтральной линией "обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время".
Математики говорят, что топологический тип системы на плоскости (x,y) не меняется при изменении функций a и b: оно приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 2).
 |
| Рис. 2. Мягкая модель войны |
Этот математический вывод не самоочевиден. Можно представить себе и другую ситуацию, например, изображенную на рис. 3. Математическая теория структурной устойчивости утверждает, что эта ситуация не реализуется, во всяком случае для не слишком патологических функций a и b (скажем, она не реализуется, если это -- положительные в нуле многочлены).
 |
| Рис. 3. Нереализуемая модель войны |
Мы можем сделать вывод о
качественной применимости
простейшей модели войны для
приближенного описания событий в
целом классе моделей, причем для
этого даже не нужно знать точного
вида жесткой модели: выводы
справедливы для мягкой модели. На
самом деле простейшая модель дает
даже полезное количественное
предсказание: наклон разделяющей
нейтральной прямой в нуле
определяется формулой , где a и b --
значения коэффициентов в нуле.
То есть принцип "если противников вдвое больше, то надо иметь в четыре раза более мощное оружие" справедлив на конечном этапе взаимного истребления, в то время как на начальном этапе войны число 4 нужно, быть может, откорректировать (учитывая вид коэффициентов a и b). Для этой корректировки в математике мягких моделей тоже разработаны эффективные методы (несмотря на то, что явная формула для решения уравнений модели не только неизвестна, но и -- это строго доказано -- не существует вовсе).
Можно думать, что описанная модель отчасти объясняет как неудачи Наполеона и Гитлера, так и успех Батыя и надежды мусульманских фундаменталистов.
|
|