|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/rozenblyum.html
Дата изменения: Sat Aug 8 16:30:44 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 13:27:16 2016 Кодировка: UTF-8 Поисковые слова: m 2 |
М. Ю. Розенблюм планирует провести 4 занятия.
Явно построить конечное расширение поля — означает, в сущности, свести задачу нахождения решении? уравнения высокои? степени к более простои? задаче.
Исторически первым примером была проблема решения уравнении? в радикалах. Окончательныи? ответ был дан Галуа в первои? половине XIX века. Обнаружилось, что уравнение решается в радикалах, если его группа Галуа разрешима. Однако чтобы добраться до решении?, приходится последовательно извлекать корни, а распараллелить процедуру в общем случае невозможно.
Простеи?шии? подкласс разрешимых групп — коммутативные (или абелевы) группы. Случаи? абелевых расширении? исследовал Куммер. Его конструкция работает, если поле коэффициентов содержит достаточно много корнеи? из единицы (тем больше, чем выше степень уравнения), и поэтому применима не ко всем абелевым расширениям.
Для того, чтобы избавиться от этого условия и универсально сконструировать все абелевы расширения поля $\mathbb{Q}$, понадобились десятилетия. Ответ дала теорема Кронекера–Вебера, утверждающая, что такие расширения порождаются корнями из единицы или, что тоже самое, значениями $\exp(2\pi iz)$ в рациональных $z$.
В свое?м знаменитом докладе на математическом конгрессе в 1900 году Гильберт сформулировал общую задачу: построить абелевы расширения любого конечного расширения поля $\mathbb{Q}$ по аналогии с предыдущеи? теоремои?.
Очередным шагом стала теория комплексного умножения эллиптических кривых, позволившая обосновать исследованную еще? Кронекером конструкцию и решить проблему для мнимоквадратичных расширении? $\mathbb{Q}$.
В курсе лекции? вышеизложенное будет объяснено с разумнои? мерои? детализации, после чего будет дан обзор современного состояния проблемы.
Теория Галуа. Расширения Куммера. Идеалы в кольцах алгебраических чисел. Разложение расширении?. Ветвление. Поля классов. Закон взаимности. Эллиптические функции. Комплексное умножение. СМ?поля. Гипотезы Старка.
Предполагается, что слушатели знают простеи?шие свои?ства групп, колец и полеи?, и слыхали про $p$-адические числа и функции комплекснои? переменнои?.