Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dubna/2007/notes/shabat/problems2.pdf Дата изменения: Thu Jul 26 12:42:32 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 22:53:39 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: вселенная

Г. Б. Шабат

Задачи к лекции 2
Ратмино, 07.7.25

Как может быть устроена тр?хмерная Вселенная?

Задачи к лекции 2 курса Г.Б.Шабата

2.1. Можно ли сложить сферу S3 из кубов? А из тетраэдров?
аэдров и вложение этой половины в тр?хмерное пространство R3 . Если не получится (что наиболее вероятно), то опишите хотя бы принципиальный подход к решению этой задачи.

2.2. (трудная!!). Опишите разбиение половины сферы S3 на 60 додек-

2.3. Рассмотрим на компакте X множество M et

X всех метрик, определяющих на н?м правильную топологию. Для двух метрик d1 ; d2 M etX определим величину их отклонения друг от друга

(d1 ; d2 ) := max
Проверьте, что

P1 ;P2 X |d1

(P1 ; P2 ) - d2 (P1 ; P2 )|:

зада?т метрику на M etX .

умерный тор S1 Ч S1 . Всегда ли найд?тся гомеоморфизм тора, переводящий C1 в C2 ? Ответьте на тот же вопрос, заменив тор на поверхность рода 2. в тр?хмерном пространстве назов?м дискретной кривизной в вершине разность 2 и суммы примыкающих к вершине плоских углов. а) Нарисуйте вершину многогранника с положительной, нулевой и отрицательной дискретной кривизной. б) Нарисуйте вершину многогранника с чуть-чуть положительной и с близкой к 2 дискретной кривизной. в) Вычислите сумму дискретных кривизн по вершинам всех правильных многогранников. г) Сконструируйте оконную раму в виде многогранника. Осознайте неизбежность наличия вершин и с положительной, и с отрицательной дискретной кривизной. Вычислите сумму дискретных кривизн по вершинам рамы. Желательно рассмотреть несколько вариантов. 1

2.4. Пусть C1 и C2 - две топологические окружности, вложенные в дв-

2.5. (дискретный Гаусс-Бонне). Для произвольного многогранника


Г. Б. Шабат

Задачи к лекции 2

д) Пользуясь прямоугольниками, из которых разрешается вырезать квадраты, составьте поверхность рода 2 например, так:




















. Вычислите сумму дискретных кривизн по вершинам поверхности.

2.6. Нарисуйте на поверхности рода 2 образующие a; b; c; d е? фунда-

ментальной группы, связанные соотношением aba-1 b-1 cdc-1 d-1 = 1. Затем нарисуйте на поверхности произвольную петлю и выразите е? через образующие.

2.7. Вычислите фундаментальные группы всех освоенных 3-многообразий. 2.8. Приведите пример 3-многообразия с некоммутативной фундаментальной группой.

2