Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2013/Program2/Bibikov_Summary.pdf Дата изменения: Fri Oct 11 13:17:18 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 20:53:08 2014 Кодировка: Windows-1251

Применение дифференциальных инвариантов в классификационных задачах алгебры и геометрии

П. В. Бибиков

Краткое изложение заявки
Проблема классификации различных объектов относительно действия групп преобразований является одной из важнейших проблем математики. Зачастую даже попытки решения тех или иных классификационных задач приводят к созданию новых теорий, а иногда и целых разделов математики. Практически все классификационные задачи (особенно из геометрии и дифференциальных уравнений) можно переформулировать в терминах пространств джетов и дифференциальных инвариантов. А именно, рассмотрим множество M классифицируемых объектов (например, гладких функций или векторных полей) и рассмотрим пространства k -джетов J k этих объектов. Действие группы G на множестве M канонически поднимается до действия G : J k для всех k . Инварианты действия группы G в пространствах джетов называются дифференциальными инвариантами. Можно доказать, что знание всей алгебры дифференциальных инвариантов позволяет описать орбиты исходного действия группы G на множестве M . Поэтому основная проблема при таком подходе к описанию G-орбит заключается, как правило, в нахождении соответствующих алгебр дифференциальных инвариантов. Отметим, что известные методы нахождения конкретных дифференциальных инвариантов, вопервых, крайне громоздки в вычислительном плане, а во-вторых, неприменимы в общих задачах (например, они неприменимы к проблемам, формулируемым ниже). Более того, в настоящее время не существует общих методов построения алгебр дифференциальных инвариантов (т.е. описания всех дифференциальных инвариантов действия групп). Целью настоящего проекта является развитие подхода, связанного с использованием дифференциальных инвариантов, для классификации различных объектов, и построение алгебр дифференциальных инвариантов действия различных групп на пространствах джетов. В частности, в рамках проекта предполагается исследовать различные классификационные проблемы (как достаточно общего характера, так и конкретные), относящиеся к алгебре, геометрии и дифференциальным уравнениям. Основное внимание будет уделено изучению следующих проблем.

Проблема 1. Рассмотрим представление полупростой алгебраической группы G. Согласно теореме

БореляВейляБотта, это представление изоморфно действию группы G на модуле голоморфных сечений некоторого векторного расслоения над многообразием флагов. Явно описать поле дифференциальных инвариантов действия группы G на модуле сечений, разделить G-орбиты общего положения и проинтерпретировать эти результаты на языке алгебры и теории представлений (в частности, зная дифференциальные инварианты, построить инварианты алгебраические).

Проблема 2. Рассмотрим однородное пространство B := G/H (на котором группа G действует левыми сдвигами) и векторное расслоение : P B с действием структурной группы G. Согласно подходу, предложенному Ф. Клейном в рамках ?Эрлангенской программы?, действие G : определяет нам геометрию, сечения расслоения являются геометрическими величинами, а изучение геометрии заключается в нахождении инвариантов действия группы G на модуле сечений ( ). Найти и исследовать поле дифференциальных инвариантов действия структурной группы G на модуле сечений ( ). Важным частным случаем данной проблемы является случай естественного действия структурной группы G в пространстве тензоров на однородном пространстве G/H . Также представляет интерес дифференциально-геометрический аналог этой задачи: классифицировать (косо)симметрические тензорные поля на многообразиях. Эта задача тесно связана со многими другими интересными проблемами, в частности, с классификацией символов линейных дифференциальных операторов на многообразиях и дифференциальных уравнений типа МонжаАмпера.
1