Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/reports/2013-Oblezin_Report.pdf Дата изменения: Sun Dec 15 21:57:16 2013 Дата индексирования: Sat Mar 1 21:34:01 2014 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: обвмадеойс нефептощи рпфплпч

Научный отч?т по гранту фонда "Династия"
С.В. Облезин

14 декабря 2013 г.

1
Q

Провед?нные исследования
-операторы появились в работах Р.Бакстера в начале 1970-х, как важный инструмент для точного ре-

шения (диагонализации) некоторых квантовых интегрируемых моделей. С момента своего возникновения, и на протяжении многих лет

Q-операторы

Бакстера рассматривались для различных квантовых

интергрируемых систем, связанных с (бесконечномерными) аффинными алгебрами деформациями и с их эллиптическими обобщениями. Новый класс (периодических)

gl

N , а также с их

q

-

Q-операторов

Бакстера для квантовых

gl

боте Паскье-Годена была установлена явная взаимосвязь между построенными и (классическими) преобразованиями Бэклунда для периодических видную важность и эффективность формализма

N -цепочек Тоды был построен в 1992 году В.Паскье и М.Годеном; помимо прочего, в раQ-операторами Бакстера

gl

N -цепочек Тоды. Несмотря на оче-

Q-операторов,

вопрос о его теоретико-представленческой

интепретации оставался открытым вплоть до недавнего времени, что, в частности, препятствовало широкому применению операторов Бакстера в классических разделах математики. В серии недавних (2006-2010) работ, совместных с А.Герасимовым и Д.Лебедевым, нам удалось обобщить конструкцию Паскье-Годена на случаи аффинных алгебр Ли остальных классических серий, и

B,C

D

, а также построить формализм операторов Бакстера для квантовых открытых цепочек Тоды, связан-

ных с конечномерными алгебрами Ли классического типа. Кроме этого, в 2007 году нами было показано, что

Q

-оператор Бакстера для

gl

рическим семейством

S ON

-биинвариантных функций на группе Ли

N -цепочки Тоды естественным образом отождествляется с однопараметGLN (R), т.е. с производящей функ-

цией элементов сферической алгебры Гекке мемедовы

H(GLN (R); S ON ).

Замечательным свойством построенных

семейств элементов алгебры Гекке является тот факт, что их спектр воспроизводит автоморфные архи-

L-функции,

задаваемые произведением гамма-функций, что устанавливает непосредственную

связь полученной конструкции с теорией автоморфных форм и арифметической геометрией. В прошедшем году исследования велись в нескольких направлениях, одним из которых было распространение формализма

Q-операторов

Бакстера на более широкий класс представлений вещественных

конечномерных редуктивных групп Ли, а также их квантовых деформаций. Ключевым доводом для такого рода исследований служит следующее соображение; поскольку цепочки Тоды являются вырождениями более общих частицеподобных интегрируемых моделей, релятивиских цепочек Тоды, а также систем типа Калоджеро-Мозера и их релятивистских обобщений, предложенных Рудженаарсом, то естественно предположить, что построенный формализм построены основные структуры формализма

Q-операторов

Бакстера допускет обобщения на случаи

перечисленных систем. Это соображение было успешно реализовано в работе [1]; в частности, в [1] были

Q-операторов

Бакстера для широкого класса частицеподоб-

ных квантовых интегрируемых систем, связанных с системами корней типа ют в себя симметрические полиномы Макдональда и Джека, а также Основой формализма служат биспектральные пары

A

, решения которых включа-

q

-деформации функций Уиттекера.

Q-операторов

Бакстера, рекурсионные операторы, а

также разностные уравнения, представляющие условия коммутации построенных операторов с производящими функциями гамильтонианов, задаваемых разностными/дифференциальными операторами, для соответствующих систем. В качестве непосредственного приложения стоит отметить, что построенный в [1] формализм

Q-операторов

Бакстера для упомянутых симметрических полиномов над многомерны-

ми полями как воспроизводит ряд новых универсальных тождеств и соотношений, так и прида?т новый смысл ранее известным громоздким комбинаторным тождествам. Результаты [1] являются существенным фундаментом для дальнейших исследований в различных направлениях. Особенно многообещающим представляется развитие формализа

Q

-операторов Бакстера в

1


рамках программы Ленглендса (см. [2]). В частности, интерпретация спектра пар дуальных операторов из [1] в рамках теории представлений групп петель и арифметической геометрии окрывает новые рубежи для развития не только формализма

Q-операторов

Бакстера, но и математической физики в целом.

2

Опубликованные работы
[1] Baxter operator formalism for Macdonald polynomials (joint with A.Gerasimov and D.Leb edev), Lett. Math. Phys. 2013; [2]

DOI 10.1007/s11005-013-0659-9

. available at

q -deformed Whittaker functions and the local Langlands correspondence, http://icerm.brown.edu/materials/Slides/sp-s13-w2.

3

Семинары и конференции
1. Доклад q -deformed Whittaker functions and the local Langlands correspondence на конференции Whittaker functions, Schub ert calculus and Crystals в Международном Центре Экспериментальных Математических Исследований (ICERM), Университет Провиденс, март 2013; 2. Доклад Whittaker functions, topological eld theories and the local Langlands correspondence на InniteDimensional Algebra Seminar в Массачусеттском Технологическом Институте, март 2013; 3. Доклад Baxter operators, topological eld theories and the local Langlands correspondence на семинаре Arithmetic Algebraic Geometry в Йельском Университете, март 2013; 4. Доклад Baxter operators, Topological Field Theories, and the Langlands Programme на семинаре Numb er Theory and Geometry в Ноттингемском Университете, октябрь 2013; 5. Доклад Baxter operators and Macdonald polynomials на семинаре Integrable Systems and Mathematical Physics в Университете Лавборо, декабрь 2013.

4

Работа в научных центрах и международных группах

В прошедшем году наряду с работой в лаборатории теоретической физики ИТЭФе я участвовал в двух зарубежных поездках, целью которых являлось представление и обсуждение моего научного проекта с ведущими зарубежными специалистами, работающими в США и Великобритании. Первая поездка состоялась в марте, и включала в себя участие в конференции Whittaker functions, Schub ert calculus and Crystals, проходившей в Международном Центре Экспериментальных Математических Исследований (ICERM) в г. Провиденс (Род Айленд), а также выступления на семинарах в Массачусеттском Технологическом Инситуте в Кембридже (Бостон, Массачусеттс) и на математическом департаменте Йельского Университета в Нью-Хейвене (Коннектикут). Выбор мест проведения семинаров позволил охватить широкий круг признанных экспертов в областях, тесно связанных с проводимыми мною исследованиями. Помимо многочисленных плодотворных обсуждений научных результатов, представленных мной на конференции и семинарах, в течение поездки у меня состоялись ряд весьма интересных и полезных бесед с Р.Безрукавниковым (Кембридж), Б.Гроссом (Гарвард), А. Гончаровым (Йель), а также с Т.Ламом (Мичиган), С.Сахи (Ратгерс) и А.Шиллинг (Дейвис). Вторая поездка проходила с середины октября по середину декабря, и включала в себя подробные обсуждения моего научного проекта с И.Фесенко (Ноттингем), К.Красновым (Ноттингем), а также с А.Веселовым (Лавборо) и М.Мазокко (Лавборо). В ходе поездки мною были сделаны два доклада (см. Раздел 3), а также прочитана серия лекций Baxter operators in Representation theory and in Number Theory в Ноттингемском университете.

5

Педагогическая деятельность

В прошедшем году я принимал участие в научной работе студента 6-го курса МФТИ А.Зыкова, а также аспиранта ИТЭФ П.Султанича. В течение моего пребывания в Ноттингемском университете, я участвовал в работе тематических семинаров для аспирантов, и прочитал серию лекций о своей исследоваиельской работе (см. предыдущий раздел).

2