Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2012/Program2/Ignatyev_Summary.pdf Дата изменения: Tue Oct 9 23:18:52 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 18:25:05 2013 Кодировка: Windows-1251

Краткое изложение заявки М.В. Игнатьева

Мои исследования посвящены теории представлений и алгебраической комбинаторике. В рамках этого проекта планируется работа над тремя темами, связанными между собой общим методом исследования изучением геометрии коприсоедин?нных орбит разрешимых групп. Исследование различных орбит борелевской подгруппы B редуктивной группы G относится к классическим проблемам теории Ли. Недавно М. Боос, А. Мельниковой, М. Райнеке и др. получены яркие результаты о замыканиях орбит борелевской подгруппы GLn (C). В частности, А. Мельникова описала порядок на инволюциях в симметрической группе Sn , индуцированный примыканиями присоедин?нных орбит на многообразии верхнетреугольных матриц с нулевым квадратом. Мной получено комбинаторное описание порядка на инволюциях в Sn , индуцированного примыканиями коприсоедин?нных орбит борелевской подгруппы GLn (C) (Transf. Groups, 17 (2012), no. 3, 747780). Оказалось, что этот порядок совпадает с порядком Брюа. Аналогичные результаты получены для симплектической группы (arXiv: math.RT/1112.2624). Планируется перенести эти результаты на случай остальных систем корней. Также планируется описать в комбинаторных терминах порядок, индуцированный примыканиями коприсоедин?нных орбит более общего вида орбит, ассоциированных с расстановками ладей (совм. с А.С. Васюхиным).
1. Порядки на группах Вейля. 2. Геометрия многообразий Шуберта. Под многообразием флагов F мы понимаем фактор G/B . Касательное пространство в единице к F естественно отождествляется с сопряж?нным пространством к алгебре Ли унипотентного радикала группы B . Д.Ю. Елисеев и А.Н. Панов в 2011 г. вычислили касательные конусы Cw к многообразиям Шуберта Xw F для w Sn при n 6. Оказалось, что замыкания орбит, ассоциированных с инволюциями, это в точности касательные конусы, прич?м они различны, если инволюции различны. Последнее доказано нами с Д.Ю. Елисеевым для всех n (Записки ПОМИ, submitted). Используя технику, развитую С. Кумаром, мы собираемся доказать аналогичные факты для остальных систем корней. Мы надеемся подтвердить гипотезу о том, что замыкание орбиты, ассоциированной с инволюцией w Sn , совпадает с касательным конусом Cw , найти явные уравнения для касательных конусов и исследовать ситуацию для других редуктивных групп. 3. Характеры унипотентных групп. Можно вместо орбит группы B изучать орбиты е? унипотентного радикала U . (Они играют ключевую роль в теории представлений U согласно методу орбит А.А. Кириллова). Для случая An орбиты, ассоциированные с инволюциями, были полностью описаны А.Н. Пановым в 2007 г. Для других серий корней такие орбит изучались мной (Мат. заметки, 86 (2009), no. 1, 6580; Алгебра и анализ 22 (2010), no. 5, 104130). Когда какой-то класс орбит U изучен, возникает задача явного описания характеров соответствующих представлений группы U ; такие задачи решались К. Андре, А. Нето, М. Айзексом и др. К орбитам, ассоциированным с инволюциями в Sn , относятся субрегулярные орбиты орбиты предмаксимальной размерности. Мной была найдена явная формула для соответствующих им характеров (arXiv: math.RT/0801.3079). Я планирую получить аналогичные результаты для других орбит, ассоциированных с инволюциями. Кроме этого, я собираюсь исследовать гипотезу А.Н. Панова о том, что носитель характера совпадает с множеством классов сопряж?нности элементов, лежащих в стабилизаторе канонической формы на орбите.

Я планирую продолжить работу, которой занимаюсь сейчас, в частности, ћ чтение спецкурсов для студентов Самарского университета (?Геометрия и группы?, ?Алгебры и модули?, ?Алгебры Ли и теория кодирования? и др.); ћ организация и проведение учебно-исследовательских семинаров для студентов и аспирантов (?Представления алгебр Ли?, ?Группы отражений? и др.); ћ занятия в математических кружках с одар?нными школьниками Самары; ћ написание учебных пособий и научно-популярных статей по алгебре.
Преподавание.