Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/dfc/2010/reports/2012-Nicolskaya.pdf Дата изменения: Tue Dec 18 19:16:13 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 16:37:37 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: составное изображение

Отчет Никольской Ольги Владимировны по гранту Фонда "Династия" за 2012 год

1. Результаты, полученные в 2012 году:

Гладкая комплексная проективная поверхность

S

называется

K3

поверхностью, если

2 O S

S

и

H 1 (S, OS ) = 0

.

В дальнейшем

k : X k C X

(k = 1, 2)

сюръективный морфизм гладкого проективно-

го 3-мерного многообразия слой которого является

k на гладкую проективную кривую

C

, общий геометрический

K3

поверхностью. Мы называем семейство

k : X k C

неизотри-

виальным, если существуют хотя бы два неизоморфных гладких геометрических слоя морфизма Пусть



k.
такой морфизм гладкого проективного трехмерного многообразия

k : X k C

на кривую, что все слои морфизма кратности



k являются объединениями гладких поверхностей

1

с нормальными пересечениями, общий геометрический слой

X

ks является

K3

поверхностью (k

= 1, 2).

Если любая локальная монодромия



, ассоциированная с особым

слоем и действующая на то мы говорим, что вырождениями

H 2 (Xks , Q),
k

удовлетворяет условию

N

2

= 0,

где

N = log( )

,



k

:X

C

семейство

K3

поверхностей с полустабильными

рационального

типа. Согласно результатам Вик.С. Куликова, в этом случае

можно считать, что все вырожденные слои морфизма



k являются объединениями гладких

рациональных

поверхностей

Vi

кратности 1 с нормальными пересечениями, двойные кривые

C

i,j на каждой поверхности

V

i являются гладкими

рациональными

кривыми, образующими

цикл, локализация семейства

k : X k C

над любым открытым диском в

C

имеет

тривиальный канонический класс.
Теорема.

Для проективных неизотривиальных семейств k : Xk C

K 3 поверх-

ностей (возможно с вырождениями) над гладкой проективной кривой C предположим, что общие геометрические слои X1s , X
(i) (ii)

2s

удовлетворяют следующим условиям:
;

rank NS(X1s ) является нечетным числом rank NS(X1s ) = rank NS(X2s )
. 1


Тогда для любой гладкой проективной модели X расслоенного произведения X1 ЧC X верна гипотеза Ходжа об алгебраических циклах.

2

Кроме того, гипотеза Ходжа верна для гладкой модели X расслоенного квадрата

X1 ЧC X1 при выполнении условия, что вырожденные слои неизотривиального семейства K 3 поверхностей 1 : X1 C имеют рациональный тип и p1 = 22 - rank NS(X1s )
нечетное простое число для общего геометрического слоя X1s .
Здесь общность точки

sC

означает, что она принадлежит множеству

C \countable

, где

countable

- счетное подмножество, зависящее от семейств



k ; мы можем также предполагать,

что функции

s rank NS(Xks )

постоянны на множестве

C \ countable

.

2. Опубликованные и поданные в печать работы:

1) О.В. Никольская, Об алгебраических циклах на гладкой модели расслоенного произведения семейств

K3

поверхностей, Международная конференция по математической

теории управления и механике (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года), тезисы доклада, 128-129. 2) О.В. Никольская, Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств

K3

поверхностей, Известия РАН. Серия математическая 77:1 (2013), 145-164.
3. Участие в конференциях и школах:

1) Участвовала в конференции "Рождественские математические встречи, посвященной двадцатилетию Независимого Московского университета и организуемой НМУ, Математическим институтом им. В.А. Стеклова РАН и фонлом Дмитрия Зимина "Династия"(Москва). 2) Участвовала в работе Международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 29 июня - 4 июля 2012 года).
4. Работа в научных центрах и международных группах:

Работаю по гранту РФФИ 12-01-00097 (научный руководитель Танкеев С.Г.).
5. Педагогическая деятельность:

Работаю ассистентом кафедры алгебры и геометрии Владимирского государственного университета имени А.Г. и Н.Г.Столетовых. Подготовлены кандидатская диссертация и автореферат. Осталось сдать экзамен по специальности и защитить диссертацию.

2