Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/refbol.pdf Дата изменения: Wed May 2 12:47:51 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 07:23:24 2013 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: дисперсия скоростей

ОТЗЫВ о статье В. Болбачана Rational approximations for the Euler-Gomp ertz constant

Постоянной Эйлера-Гомперца называется число

=
0



e-x ln(x + 1)dx = 0, 59634736 . . . .

Предполагается, что оно иррационально, однако этот факт до сих пор не установлен. Интерес к исследованию арифметических свойств этой постоянной усилился в последнее время в связи с попытками доказательства иррациональности значений дзета-функции Римана, постоянной Каталана, Эйлеровой константы и др. Можно сказать, что работа В.Болбачана относится к области, привлекающей внимание профессиональных математиков. Укажем появивившиеся в последние несколько лет работы А.И. Аптекарева и его коллег [1], А.И. Аптекарева [2], Т. Ривоаля [3]-[5], Х. и Т. Хессами Пилеруд [6]-[8]. Практически все методы доказательства иррациональности чисел основаны на следующей идее: если для заданного действительного числа

существует последовательность 0 < |qn - pn | = o(1) при n ,
таких рациональных приближений

пар целых чисел то pn /qn

pn , q

n с условиями

иррационально. Конструкция
есть весьма трудное дело, за-

висящее от индивидуальных особенностей числа, и придумать ее ни для одного из указанных выше чисел, да и для многих других, не удалось. В рецензируемой работе В.Болбачана предлагается способ построения приближений к постоянной Гомперца



таких, что

0 < | - pn /qn | =

o(1)

. Он заметил, что для любого многочлена

P (x)

с целыми коэффици-

ентами выполняется равенство

I=
0



P (x)e-x ln xdx = q - p,

p, q Z.

(1)

Теперь для доказательства иррациональности последовательность многочленов

достаточно подобрать

Pn (x),
1

для которой все интегралы (1)


стремятся к нулю, оставаясь все время отличными от нуля. Такую последовательность подобрать не удалось, этого никто в мире делать не умеет. Но удалось построить последовательность, для которой интеграл (1), деленный на

q

, стремится к нулю, т.е.

-

pn 0 qn

. Иными словами

В. Болбачану удалось эффективно построить последовательность рациональных приближений

an bn

к числу



, см. следствие 1.3. Это и есть с моей

точки зрения основной результат работы В. Болбачана. Нужно сказать, что нерегулярная цепная дробь для



впервые была

найдена еще Стилтьесом. Подходящие дроби этой цепной дроби сходятся к



. Более того, известны асимптотики для величины знаменателей

q

абсолютной величины разности для скорости сходимости

pn - qn , что позволяет выписать оценку pn дробей к , см. [2]. Метод Болбачана, по qn

nи

крайней мере его реализация в работе, не позволяют оценить скорость сходимости. Несколько технических замечаний. 1. В работе присутствует некоторый параметр назначение. 2. На странице 3, в строке 6- нужно указать, что вычисляется верхний предел. При

r

. Не очень ясно его

< -1

функция

f (u)

не определена.

3. На странице 4, в строке 5+, дважды пропущен символ

dx

.

4. На странице 5, строка 3+, нужно указать, чему равно число

S

-1 .

На той же странице в формуле (2) нужно указать, что обозначает символ

f (u)

(i)

.

5. Страница 13, строка 3+. Формула не может сходиться равномерно. Вероятно, имеется в виду равномерная сходимость ряда в теореме 1.1. 6. Страница 14, строки 4 и 6 снизу. Вместо

kj !

должно быть написано

k !j !.
Я не стал бы публиковать работу в настоящем ее виде. Мне не кажутся особенно интересными тождества из теоремы 1.1 и следствия 1.4. Как я уже указывал, основными результатами с моей точки зрения являются следствия 1.2 и 1.3. Они, повидимому, могут быть доказаны проще и с оценками скорости сходимости. Кроме того, нужно сравнить эти результаты со скоростью сходимости подходящих дробей цепной дроби Стилтьеса. В целом работа произвела на меня хорошее впечатление. Она посвящена трудным теоретико-числовым вопросам и находится в русле раз-

2


вития современной теории диофантовых приближений. Автор придумал новый подход, пусть и дающий менее сильные результаты, чем известные. Работа технически очень сложна и потребовала от В. Болбачана больших усилий. Я полагаю, что он заслуживает какую-нибудь награду.

Список литературы
[1] Аптекарев А.И. и др., Рациональные приближения Эйлеровой постоянной и рекуррентные уравнения, Сборник статей, Современные проблемы математики, т.9, Математический институт РАН им. В.А. Стеклова, 2007. [2] Aptekarev A.I., On linear forms containing the Euler constant,

arXiv:0902.1768v2 [mathNT], 28Feb2009. [3] Rivoal T., Polynomes de typ e Legendre available of at approximations de la

costante

d'Euler.

(2005,

notes);

http://www-fourier.ujf-

grenoble.fr/ rivoal/. [4] Rivoal T., Rational approximations for values of derivatives of the

Gamma function, Trans. Amer. Math. So c. 361 (2009), 6115-6149. [5] Rivoal T., Some results on the arithmetic nature of values of the

gamma function, preprint (2010); available at http://www-fourier.uifgrcnoble.fr/ rivoal/. [6] Kh. Hessami Pilehro o d, T. Hessami Pilehro o d. Approximations to Euler's constant, to app ear in Math. Ineq. and Appl. (Forthcoming articles: mia1889); available at http://mia.ele-math.com/forthcoming [7] Kh. Hessami Pilehro o d, T. Hessami Pilehro o d. Rational approximations for values of the digamma function and a denominators conjecture,

arXiv:1004.0578vl[math.NT] [8] Kh. Hessami Pilehro o d. T. Hessami Pilehro o d, Rational approximations for the quotient of gamma values, arXiv:1010.0429vl[math.NT]

3