Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2012/6klass/19.doc Дата изменения: Sat Feb 25 16:01:13 2012 Дата индексирования: Mon Feb 4 21:15:24 2013 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: столовая гора

Математический кружок 6 класс
Занятие ?19 Принцип Дирихле. 18.02.12

Принцип Дирихле: Если голуби рассажены в клетки, причём число голубей
больше числа клеток, то хотя бы в одной из клеток находится более одного
голубя.

В сегодняшнем занятии при использовании принципа Дирихле необходимо
указать, что в Вашей задаче играет роль клеток, а что - голубей.
10 голубей в 9 клетках.
1. В лесу растёт миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более
600 000 иголок. Докажите, что найдутся две ёлки с одинаковым числом
иголок.

2. В школе учатся 1000 человек. Существует ли в году такой день, в
который празднуют свой день рождения хотя бы

а) 2 человека из этой школы;

б) 3 человека из этой школы;

3. На чаепитии присутствовали 10 человек, которые вместе съели 35 плюшек.
Докажите, что кто-нибудь обязательно съел по крайней мере 5 плюшек,
если известно, что есть граждане, съевшие ровно одну, ровно две и
ровно три плюшки.

4. Найдутся ли 7 монет одинакового достоинства среди 25 монет
достоинством 1, 2, 5, 10 рублей?

5. В ковре размером 4 х 4 метра моль проела 15 дырок. Всегда ли можно
вырезать коврик размером 1х1, не содержащий внутри дырок? (Дырки
считаются точечными).

6. Занятия Вечерней Математической Школы проходят в девяти аудиториях.
Среди прочих, на эти занятия приходят 19 учеников из одной и той же
школы.

а) Докажите, что как их не пересаживай, хотя бы в одной аудитории
окажется не меньше трех таких школьников.

б) Верно ли, что в какой-нибудь аудитории обязательно окажется ровно
три таких школьника?

7. Найдутся ли в классе два человека, имеющие одинаковое число друзей
среди одноклассников, если в классе учатся

а) 5 человек;

б) 25 человек;
8. Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то
в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее
двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом
из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся
пустыми. Сколько рядов в зале?

9. Несколько хоккейных команд проводят турнир, в котором каждая команда с
каждой играет ровно один раз. Докажите, что в любой момент турнира
найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей.

10. Дано 8 различных натуральных чисел, не больших 15. Докажите, что среди
их положительных попарных разностей есть

а) две одинаковых; б) три одинаковых.