Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/02.doc Дата изменения: Sat Oct 14 16:50:16 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:51:34 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: закон вина

Математический кружок МЦНМО

8 класс

2 занятие. Инвариантные зоны.
14.10.06

1. На доске записано 10 двоек и одна единица. Разрешается стереть два
произвольных числа и записать вместо них их сумму. Разрешено так же
умножать любые из написанных чисел на -1. После нескольких таких
операций на доске осталось одно число. Может ли оно быть равно 2?

2. В алфавите языка племени OXO всего две буквы: O и X, причем этот язык
обладает такими свойствами: смысл слова не изменяется при

1) вычеркивании или добавлении двух рядом стоящих букв O

2) при замене стоящих рядом букв OX на буквы XOO

3) при замене XOX на OXXO.

Можно ли утверждать, что слова OXXX и XOOO имеют одинаковый смысл?

3. В квадрате 7 в 7 одна из угловых клеток закрашена черным цветом, все
остальные - белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и столбцов
добиться того, чтобы все черные клетки лежали внутри центрального
квадрата 5 в 5? Под перекрашиванием строки или столбца понимается
изменение цвета всех клеток в строке или столбце.

4. В квадрате 8 в 8 все четыре угловые клетки закрашены черным цветом,
все остальные - белым. Можно ли с помощью перекрашивания строк и
столбцов добиться того, чтобы

а) все клетки в одной из четвертей доски (т.е. угловом квадрате 4 в 4)
стали белыми?

б) все клетки в одной из половин доски стали белыми?

в) все клетки стали белыми?

5. На шахматной доске в правом нижнем углу написано -1, а во всех
остальных клетках написано 1. Разрешается выбрать любые 4 подряд
идущие клетки (т.е. такие, которые можно накрыть прямоугольником 1в4)
и изменить знак записанных в них чисел. Можно ли после нескольких
таких операций получить доску, в которой во всех клетках, кроме левого
нижнего угла написано 1?

6. На шахматной доске в некоторых клетках стоят -1, а в остальных 1.
Разрешается выбрать любые 4 подряд идущие клетки и изменить знак
записанных в них чисел. Можно ли после нескольких таких операций из
левой картинки получить правую?

[pic]

7. В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ., 49, 50. Можно менять местами два
числа, между которыми стоит ровно одно число. А так же два числа,
сумма которых меньше 25. Можно ли получить ряд 50, 49, 48, ., 2, 1?