Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.library.biophys.msu.ru/FominBerk/main.htm
Дата изменения: Tue Oct 30 20:53:28 2001
Дата индексирования: Sat Mar 1 20:17:57 2014
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: освещенность
С. В. Фомин, М. Б. Беркинблит: Математические проблемы в биологии.

С. В. Фомин, М. Б. Беркинблит: Математические проблемы в биологии.

О г л а в л е н и е.

0. Предисловие.

Глава 1. Математика и изучение реального мира

1.1 Биологам понадобилась математика, а математики стали интересоваться биологией. Почему?

1.2 Сущность математического подхода к изучению реального мира. Модели

1.3 Что мы умеем моделировать

1.4 Появление новых возможностей в математике

1.5 Немного истории

Глава 2. Общие принципы управления, действующие в биосистемах

2.1 Особенности управления биологическими системами

2.2 Синергии

2.3 Многоуровневая организация систем управления

2.4 Локальное управление сложными системами

2.5 Преднастройка

2.6 Обучаемость

Глава 3. Применение ЭВМ в биологических исследованиях

3.1 Чем может помочь биологу вычислительная машина

3.2 Несколько слов о вычислительной технике

3.3 Примеры использования машин для обработки больших массивов информации:

Определение первичной структуры белка | Анализ биоэлектрических потенциалов головного мозга | Построение гистограмм межимпульсных интервалов нервных клеток | Выделение слабого сигнала из шума | Хранение и использование медицинской информации

3.4 Обработка данных в ходе эксперимента:

Изучение активности нервных клеток | Изучение нормального и патологического тремора

3.5 Вычислительная машина-участник эксперимента

3.6 Математический анализ электрокардиограмм (обучающиеся программы)

3.7 Моделирование биологических систем и вычислительные машины

Глава 4. Математические модели в биологии

4.1 Роль математических моделей в биологических исследованиях

4.2 Аксиоматические модели активных сред:

Аксиоматика модели | Динамическая память | Явление синхронизации | Патологические режимы. Фибрилляция | Относительная рефрактерность и ее влияние на распространение серии импульсов по волокну | Периодика Венкебаха-Самойлова | Математическое описание движения точечных импульсов по волокну

4.3 Ионно-мембранные механизмы возбуждения. Модель Ходжкина - Хаксли и ее модификации:

Механизм распространения возбуждения | Пассивные электрические свойства волокон и тканей | Модели распространения возбуждения | Миэлинизированные волокна | Распространение возбуждения в сердце. Уравнения Нобла

4.4 Модели нейрона. Нейронные сети:

Некоторые сведения из нейрофизиологии | Формальные нейроны. Дискретная модель | Аналоговые модели нейрона. Непрерывная логика | Нейронные сети с латеральным торможением | Нейронные сети со случайными связями. Статистика нейронных ансамблей | Нейронные генераторы ритмов | Обучающиеся сети. Перцептрон

4.5 Зрительная система и ее функции:

Регуляция размеров зрачка | Движение глаз | Роль движений глаз в восприятии зрительных образов. Модель сетчатки М. М. Бонгарда и К. В. Голубцова | Восприятие цвета | Восприятие формы и движения | Константность восприятия зрительных образов | Измерение длин и углов и возникающие при этом иллюзии

4.6 Модели эмбрионального развития. Формообразование

4.7 О регуляции внутриклеточных процессов:

Генетический код | Управление синтезом белка в бактериальных клетках | Математическое описание процесса синтеза белка

Глава 5. Некоторые математические проблемы, возникшие в связи с биологическими исследованиями

5.1 Проблемы надежности и скорости

5.2 'Метод оврагов'

5.3 Автоматы в случайных средах

5.4 Формальные модели самовоспроизведения

5.5 Проблемы искусственного интеллекта и распознавание образов

0. Предисловие

<< | >>

Для современной науки характерно применение точных математических методов в самых различных областях. Эти методы проникают в экономику, лингвистику, психологию и многие другие области знания, в том числе и в биологию. В науку о живой природе математика входит различными путями: с одной стороны - это использование современной вычислительной техники для быстрой обработки результатов биологического эксперимента, с другой - создание математических моделей, описывающих различные живые системы и происходящие в них процессы. Не менее важна и 'обратная связь', возникающая между математикой и биологией: биология не только служит ареной для применения математических методов, но и становится все более существенным источником новых математических задач.

Некоторые связи между биологией и математикой стали уже вполне привычными. Это относится прежде всего к генетике и исследованию динамики популяций. Если пока еще трудно говорить о математической биологии в целом как о сложившейся науке, то математическая генетика уже несомненно стала достаточно сформировавшейся дисциплиной. Точно так же и в исследование взаимоотношений между популяциями животных, образующими сообщество, в изучение динамики численности популяций математические методы прочно вошли еще несколько десятилетий тому назад. Наконец для всей биологии в целом стало уже традиционным широкое применение математической статистики, различных методов математической обработки результатов эксперимента.

Все эти направления, безусловно интересные и важные, остались за рамками нашей книги. Наша цель - показать важность и плодотворность математического подхода к таким биологическим, в частности физиологическим проблемам, для которых такой подход еще только складывается. Необходимо при этом подчеркнуть, что 'математический подход' к исследованию тех или иных явлений реального мира - физических, биологических, экономических и т. д. - отнюдь не сводится к применению каких-либо стандартных математических приемов, расчетных формул и т. п. Математический подход к исследованию какой-то новой области - это прежде всего выработка достаточно четких общих понятий', создание моделей, пригодных для изучения их точными количественными методами, выяснение фундаментальных принципов организации изучаемых систем. В нашей книге довольно мало формул. Тем не менее, как нам кажется, в ней не так уж мало математики.

В 1969 г. вышла небольшая брошюра одного из авторов данной книги (С. В. Фомин, Математика в биологии, изд. 'Знание', 1969); в ней были кратко изложены некоторые проблемы и результаты, связанные с применением математических методов в биологии. Наша теперешняя книга представляет собой существенно переработанный и расширенный вариант этого первоначального издания. Сохраняя общую направленность и структуру своего прототипа, эта новая книга превосходит его по объему примерно втрое и содержит ряд новых тем.

Конечно, и в таком расширенном виде эту книгу нельзя рассматривать как систематическое изложение важнейших направлений математической биологии. Основная цель авторов - показать на некоторых примерах идеи и тенденции этой формирующейся сейчас науки.

В конце книги приведен список литературы. Его назначение - дать начинающему читателю сведения об основных монографиях и тематических сборниках на русском языке, относящихся к математическим проблемам биологии. Кроме того, там указаны некоторые, довольно немногочисленные статьи, результаты которых непосредственно используются в книге. Этот список никак нельзя рассматривать как библиографию по математическим проблемам биологии вообще.

1972 г. С. В. Фомин, М. Б. Беркинблит.

1. Математика и изучение реального мира

<< | >>

1.1 Биологам понадобилась математика, а математики стали интересоваться биологией. Почему? << | >>

Каждая наука начинала свое существование как описательная. Даже такая абстрактная как математика. В древнем Египте или Вавилоне ученые знали довольно много математических фактов, которые мы сейчас назвали бы теоремами. Однако для них это были просто наблюдения. Уже 4000 лет тому назад в египетских школах преподавали математику. Но эта наука не содержала доказательств и не представляла собой логической системы. Отдельные факты излагались как практические рецепты. Материал систематизировался на основе вполне конкретных задач ('вычисление вместимости житниц', 'вычисление площади полей' и т. д.). Ученые древней Индии, высказав то или иное геометрическое утверждение, делали чертеж и говорили: 'Смотри'. И лишь сравнительно поздно в математике возникла идея логической систематизации отдельных фактов.

Физика была чисто описательной наукой не так давно - всего несколько столетий тому назад. Однако постепенно и в ней произошел переход от накопления и описания фактов к исследованию связей между ними. По мере систематизации знаний и возникновения общих концепций увеличивалась и роль математических методов в физике. Этот процесс математизации начался прежде всего в механике. Логически стройная система механики была создана Ньютоном и изложена им в книге 'Математические начала натуральной философии' (1687 г.). Эта книга сыграла в развитии механики такую же роль как знаменитые 'Начала' Евклида в геометрии. Ньютон подверг математическому анализу систему мира, рассматривая движение тел земных и тел небесных. Его книга построена по примеру математических исследований: она начинается с определений и постулатов, из которых выводятся теоремы и следствия. Работа Ньютона долго оставалась образцом построения физической дисциплины. Таким образом, математические основы механики были сформулированы еще в XVII веке. Значительно позже общие математические методы проникли в изучение электромагнитных явлений. Лишь около 100 лет тому назад Дж. К. Максвелл разработал математическую теорию электромагнетизма.

Теоретическая физика стала самостоятельной научной дисциплиной менее 100 лет тому назад. М. Планк пишет в своей автобиографии, что еще в восьмидесятых годах прошлого века теоретической физики как таковой не существовало. Когда в 1889 г. он стал профессором теоретической физики в Берлинском университете, эта должность рассматривалась его коллегами как нечто необычное. 'Я был тогда, по-видимому, единственным теоретиком...' - вспоминает Планк. Однако прошло совсем немного времени и Л. Больцман, говоря о развитии физики, мог с полным основанием сказать, что 'теория покорила мир'. Математические методы проникли не только в механику и электродинамику, но и в кинетическую теорию газов, термодинамику, а затем и в атомную физику. Математика позволила предсказать радиоволны, существование новых планет, существование новых элементарных частиц и их основные свойства.

Математика не только влияла на развитие астрономии и физики, но и сама испытывала их влияние. Задачи механики стимулировали создание дифференциального и интегрального исчисления, эти же задачи стимулировали и развитие вариационного исчисления. Задачи о распространении тепла, о колебании струн и мембран, проблемы механики жидкостей и газов способствовали развитию теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории тригонометрических рядов и некоторых других областей математики.

Долгое время физика и астрономия были основными источниками математических проблем и основными областями, в которых испытывалась сила новых математических методов. Однако в последнее время положение существенно изменилось. Буквально на наших глазах математические методы быстро входят в экономику, социологию, лингвистику, биологию и т. д. Возникли и вошли в обиход такие термины, как математическая лингвистика, математическая экономика, математическая биология.

Чем же обусловлено такое энергичное вторжение математики в области, еще недавно столь от нее далекие, в частности, в биологию? И почему это происходит именно сейчас, а не, скажем, 100 лет тому назад?

Биология долго была описательной наукой, собранием более или менее систематизированных результатов наблюдений и экспериментов. По мере накопления этого фактического материала стали обнаруживаться глубокие связи между явлениями, которые прежде представлялись обособленными. Так, например, работа генетического аппарата клетки оказалась связанной с процессами синтеза белка, а вместе с тем и с процессами формирования организма. С другой стороны, генетические закономерности наряду с теорией естественного отбора легли в основу современных представлений об эволюции. Таким образом, обмен веществ, наследственность, морфогенез и эволюция оказались тесно связанными, причем биология приблизилась к пониманию механизмов, лежащих в основе этих связей. Иными словами, сейчас достигнуты большие успехи в понимании основных биологических закономерностей. Эти успехи повысили интерес к общим проблемам биологии, усилили стремление выявить общие принципы функционирования биологических систем, понять сущность жизни. Все это и послужило предпосылками к созданию теоретической биологии, а вместе с тем и к проникновению в биологию математических методов, сыгравших такую большую роль в развитии теоретической физики, механики и астрономии.

Кроме этой главной причины возникновения теоретической биологии проникновение математики в биологию связано и с другими обстоятельствами. Одно из них - развитие новых дисциплин, лежащих на стыках разных наук. В биологии появляются новые разделы, граничащие с такими науками, где математика применяется давно и причем весьма успешно. Мы имеем в виду, прежде всего, биофизику, биохимию и молекулярную биологию - дисциплины, связывающие биологию с физикой и химией. Биологические задачи, изучаемые этими дисциплинами, часто удается сформулировать как (пусть весьма специфические) физико-химические задачи.

Другое развивающееся направление современной биологии - изучение процессов управления в живых организмах. Это направление еще не выделилось в специальную дисциплину, но усиленно разрабатывается на разных уровнях: цитологи рассматривают процессы регуляции в отдельных клетках, физиологи изучают структуру и функции нервной системы - основной управляющей системы организма, экологи исследуют регуляцию в биологических сообществах и т. д.

Проблемы регуляции, передачи и переработки информации, обучения, памяти и т. д. привлекают сейчас внимание не только биологов, но и специалистов в области техники. Одна из жизненно важных задач современной техники - создание быстродействующих автоматических средств управления. Теоретические проблемы, связанные с управлением, привлекли внимание многих математиков. Можно думать, что некоторые стороны процессов управления в живых организмах и в технических устройствах сходны, и поэтому математические методы, развитые применительно к технике, удастся использовать и в биологии.

Если биологи надеются найти в теории информации, теории автоматического регулирования и других технических дисциплинах идеи и методы, пригодные для изучения биологических процессов управления, то инженеры, исследуя биологические процессы и системы, в свою очередь, стремятся найти новые принципы, которые можно было бы использовать в технике. Резонно считая, что миллионы лет эволюции должны были привести к отбору оптимальных вариантов, инженеры ищут способы использовать эти 'находки природы' в вычислительной технике, системах управления и т. д. Это направление, получившее название 'бионики', привлекло к биологии людей с физико-математическим образованием. Кроме того, большое число таких специалистов пришло в биологию в связи с появлением новой аппаратуры, новых методов исследования. В современной биологической лаборатории стали обычными усилители и осциллографы, электронные микроскопы, ультрацентрифуги и т.п. Для обслуживания этих приборов необходимы высококвалифицированные инженеры. В результате в биологии начали работать люди, для которых математика - привычный метод исследования.

Таким образом, в результате развития 'пограничных' наук (биофизики, биохимии, бионики), возникновения сходных направлений в биологии и в технике (проблемы управления), а также развития инженерно-технических методов исследования биологических объектов биологам приходится работать бок о бок с физиками и химиками, инженерами и математиками.

Итак, само развитие биологии в последнее время делает естественным и необходимым все более широкое проникновение в нее математических методов. С другой стороны в развитии современной математики появились новые направления, связанные с исследованием сложных систем и существенно увеличивающие возможности применения математических методов в биологии. Мы скажем об этих направлениях ниже, а сперва посмотрим, в чем, собственно, состоит сущность математического подхода к изучению объектов и явлений окружающего нас мира.

1.2 Сущность математического подхода к изучению реального мира. Модели << | >>

Характерная черта математики состоит в том, что она оперирует весьма отвлеченными идеализированными понятиями. Такие понятия, как, например, 'прямая', 'плоскость', 'число', означают не какие-либо реальные предметы, а лишь некоторые мысленные модели существующих в природе вещей. К такого рода моделированию (моделирование в логическом, а не в инженерном смысле) приходится прибегать, по существу, всякий раз, когда речь идет о применении математики к изучению окружающего мира.

На самом деле не только математика, но и другие науки имеют дело с отвлеченными понятиями, 'логическими моделями реальных вещей'. Даже в самых конкретных экспериментальных биологических исследованиях основной интерес представляют сведения, относящиеся не к индивидуальному животному, а к целой группе, скажем, не к данной отдельной кошке, а к кошкам вообще, А что такое 'кошка вообще'? Это уже абстрактное понятие, некоторая модель. Что же касается таких биологических понятий, как 'обмен веществ', 'ген', 'гормон', то они обладают уже очень большой общностью и абстрактностью. Наличие такого рода понятий позволяет строить теоретические модели в биологии, а тем самым и использовать в ней математику.

В любой теоретической дисциплине - будь это физика, биология или экономика - возникают свои системы понятий и свои модели. Чем же отличаются эти модели от моделей математических?

Для всякой науки, достигшей определенной степени развития, характерно использование высказываний достаточно высокой степени общности. Однако в математических моделях общность и универсальность особенно велики. Это важнейшая черта математических моделей. Они всегда более абстрактны и общи, чем модели, возникающие в конкретных естественных науках. Одно и то же уравнение описывает и распад радиоактивных веществ и размножение бактерий. Одна и та же математическая конструкция позволяет описывать и логические суждения и поведение контактных схем. При создании математической модели мы максимально отвлекаемся от конкретных деталей моделируемого явления.

Из основной особенности математических моделей - их общности - вытекает и вторая их особенность: возможность точного и строгого исследования таких моделей. Наиболее общие модели оказываются и наиболее простыми (чем больше отброшено конкретных деталей, тем меньше сложность модели) и в силу этого допускают строго логическое (математическое) исследование. После того как основные положения сформулированы, т. е. модель задана, ход дальнейшего исследования диктуют логика и математический аппарат. Строгость математических моделей особенно важна при рассмотрении достаточно сложных систем, когда чисто словесные рассуждения становятся очень запутанными и не могут гаранти-ровать правильность выводов.

Критерий истинности познания - практика. Применительно к рассматриваемому нами вопросу это означает, что ценность всякой абстрактной модели определяется тем, насколько она полезна для изучения реального мира. Иными словами, модель хороша лишь в том случае, если ее изучение открывает какие-то новые важные свойства моделируемых объектов, которых мы не знали при построении модели. Хорошая модель, возникнув, начи-нает 'жить собственной жизнью', обогащая нас новыми, подчас неожиданными фактами (например, существование позитрона было предсказано Дираком на основе чисто теоретических, 'модельных' рассмотрений).

Мы привыкли к делению наук на естественные и гуманитарные. При этом в первую очередь к естественным наукам относят математику. Но это не вполне справедливо. Математика скорее занимает некое промежуточное положение, будучи связана с изучением как окружающей природы, так и различных форм человеческой деятельности. Математика - это язык, пригодный для описания самых различных явлений. Но это язык, подчиненный весьма жестким и строгим логическим правилам. И научиться говорить на математическом языке о том или ином круге вопросов подчас весьма сложно. Мы лучше всего умеем говорить на нем о механических и физических явлениях, но в принципе этот язык универсален. В последнее время мы все чаще говорам на математическом языке и о биологии.

1.3 Что мы умеем моделировать << | >>

Любая модель должна прежде всего отражать существенные черты моделируемого объекта, иначе ее изучение мало что даст для познания этого объекта. С другой стороны, модель не должна быть слишком сложна, иначе она будет недоступна для точного математического исследования*). Если речь идет о моделировании сложной системы, то весьма трудно совместить эти требования - достаточную простоту и достаточную 'похожесть'. Поэтому в первую очередь математические методы развивались применительно к изучению простых систем.

*) Говорят, что когда однажды Микеланджело спросили, как создать скульптуру из глыбы камня, он ответил: 'Скульптура уже заключена в камне. Нужно только срезать все лишнее, и она предстанет перед вами'. Эти слова можно применить и к тому, как создается абстрактная модель реального явления. Но как отделить 'лишнее' от 'необходимого'? Это трудно и в искусстве, и в науке.

Примером области естествознания, в которой математические методы применяются давно и с большим успехом, может служить классическая механика, в частности небесная механика. Развитые здесь математические методы позволяют весьма точно описывать движение системы материальных тел, например предсказывать на много лет вперед солнечные и лунные затмения, вычислять орбиты комет и т. д. Однако и здесь возникает много трудных и сложных математических проблем*), в том числе и таких, которые остаются нерешенными до сих пор, несмотря на то, что рассматривается такая простая система, как система материальных точек.

*) Примером может служить известная задача трех тел, состоящая в определении всех возможных движений трех масс, связанных силами взаимного притяжения.

Что же касается биологических систем, то для них построение удовлетворительных математических моделей оказывается, как правило, чрезвычайно сложным делом.

Несколько полезных математических моделей для описания биологических явлений удалось создать, сформулировав соответствующие биологические задачи как задачи физики или химии. Примером может служить использование так называемых кабельных уравнений в задаче о распространении нервного импульса. Эти уравнения были впервые предложены Кельвином для описания процессов в кабеле в связи с прокладкой трансатлантической телефонной линии. Оказалось, что свойства нервного волокна как устройства, передающего импульсы, достаточно просты и близки к свойствам кабеля, т. е. покрытого изоляцией проводника. При описании процесса распространения импульсов можно отвлечься от работы мембранного механизма, обеспечивающего поддержание постоянной концентрации ионов в волокне, от процессов синтеза белка в нервной клетке и т. д. В данном случае оказалось возможным выделить одну из сторон работы нервного волокна. Но так бывает далеко не всегда. Часто выделение какой-то одной стороны в работе сложной биологической системы, позволяющее применить к ней какие-либо разработанные математические методы, является чрезмерным упрощением, а поэтому и не приводит к успеху. Модель оказывается простой, но не похожей на исходный объект.

Важно подчеркнуть, что пригодность той или иной модели зависит не только от свойств объекта, но и от характера решаемой задачи. Знаменитый русский математик П. Л. Чебышев, занимаясь геометрическим исследованием вопроса о том, как семейства линий, переплетающихся между собой подобно нитям ткани, могут укладываться на кривой поверхности, изложил результаты этих исследований в работе под названием 'О кройке платья'. Будучи в Париже, он читал лекцию на эту тему. На лекцию, помимо математиков, пришли многие парижские портные. Однако первая же фраза Чебышева их совершенно обескуражила. Он начал так: 'Для простоты мы будем рассматривать человеческое тело как шар'. Для задачи, которую решал Чебышев, ему было важно только одно свойство человеческого тела - кривизна его поверхности. Однако для портных такая степень упрощения была явно чрезмерной. Вместе с тем деревянный манекен служит для портного достаточно удовлетворительной моделью человеческого тела, поскольку он имеет ту же форму. Когда проводят первые испытания нового парашюта, такую сложную биологическую систему, как человек, с успехом заменяет мешок, наполненный песком. Таким образом, существуют задачи, когда важна только форма человеческого тела (для портных) или его вес (для конструктора парашюта). В этих случаях можно обойтись простыми физическими моделями - манекеном или мешком с песком.

При этом вследствие крайней простоты этих моделей никому не приходит в голову считать их моделями человека вообще. Однако при использовании более сложных моделей такое стремление иногда возникает и может привести к ложным выводам. Так, например, в некоторых работах результаты и методы теории автоматического регулирования с излишней категоричностью и общностью применяются к нервной системе. Конечно, наличие известной аналогии между работой автоматического следящего устройства и нервной системы позволяет искать и для человека, когда он следит взглядом за движущейся точкой, такие стандартные способы описания как переходная функция или фазово-частотная характеристика. Если речь идет о сравнении действий человека и автоматического устройства или о получении количественных характеристик работы оператора, такой подход не вызывает возражений. Однако и для глубокого понимания работы нервной системы и для дальнейшего развития общей теории управления важно совсем не это. Ведь мы заранее знаем, что человеческий глаз и рука могут решить не только задачу слежения, что в управлении движениями руки принимает участие много разных нервных центров, работа которых должна быть согласована и т. д. Рассматривая нервную систему как стандартную систему автоматического регулирования, мы получим модель, описывающую некоторую определенную функцию нервной .системы, но не пригодную для описания других ее свойств. Создание же более гибкой и универсальной модели нервной системы или отдельных ее подсистем оказывается, как правило, чрезвычайно сложным делом.

По своей сложности многие биологические проблемы не имеют аналогов в физике или технике и ближе, например, к задачам экономики. Однако эта сложность, сильно затрудняющая создание модели, в то же время и привлекает: она позволяет надеяться, что размышления над такими моделями будут стимулировать появление в математике новых идей и направлений. Сложность мозга, состоящего из большого числа взаимодействующих центров, сложность взаимосвязей в биологических сообществах, высокая способность организмов к адаптации, к самовоспроизведению - все это заставляет думать, что для описания свойств живого потребуются новые математические конструкции. Своеобразие и сложность возникающих здесь задач - одна из основных причин интереса, проявляемого математиками к биологии.

1.4 Появление новых возможностей в математике << |