Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.iki.rssi.ru/books/2007astafieva.pdf Дата изменения: Tue Apr 6 16:20:57 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:54:23 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: внешние планеты

Введение Одной из основных задач физики атмосферы и ок еана является описание циркуляции атмосферы, определяющей погоду и климат обширных регионов. Эта проблема привлекала и продолжает привлекать внимание большого числа исследователей в течение длительного времени, о чем свидетельствуют многочисленные обзоры и монографии. Приведем лишь некоторые из них -- это монографии Педлоски , 1984; Бэтчелор , 1973; Голицын , 1973 и обзоры Петвиашвили, Похотелов, 1989; Незлин, 1986; Незлин, Снежкин, 1990; Монин, Жихарев, 1990; Монин, Кошляков, 1979; Terry, 2000, а также Kamenkovich, Koshlyakov, Monin, 1986. Несмотря на особое внимание исследователей, проблема остается актуальной. Обзор посвящен обсу ждению результатов исследования зональных течений и синоптических вихрей, планетарных волн или волн Россби. Циркуляция земной атмосферы и океана, усредненная по большим пространственным и временным масштабам, характеризуется синоптическими вихрями в виде волн Россби (циклонов и антициклонов), а также тесно связанными с ними зональными ветрами (т еч ен иями). Ф изическ а я природа в олн Россби обусловлена большими горизонтальными масштабами волн в поле с преобладающ ей сил ой Кориолиса при малых числах Россби (иногда это число называется числом Россби) Ro, Ro v f L 1 , и очень малых числах Экмана Ek, Ek fL2 1, где v и L -- характерная ск орость и пространственный масштаб волн в плоск ости перпендикулярной оси вращения; f -- параметр Кориолиса; -- кинематическая вязкость. Турбулентное движение, существующее


2

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

3

в атмосфере при больших числах Ре йнольдса Re = Ro E k 1 , служит причиной генерации вихрей и зональных течений. Согласно теореме Тейл ора-Праудмена движение в таких условиях должно представлять собой совокупность двумерного движения в плоскости, перпендик улярной оси вращения, и однородного движения вдоль оси вращения. Характерные масштабы синоптического движения, на которых существенно изменение параметра Кориолиса в меридиональном направлении, существенно превышают высот у атмосферы или глубину океана. Это дает возможность описывать синоптическое движение к ак волны в так называемом приближении -плоскости. Такие волны названы в честь американского метеоролога шведского происхождения Карла Густава Россби (Rossby, 1939, 1940), получившего в 30-40 гг. прошлого столетия ряд значительных результатов в теории синоптических волн. Волнам Россби с оответствует ветвь волн (синоптические или мезомасштабные волны) синоптическ ого масштаба, сравнимого с радиус ом Россби в атмосфере или в океане (радиус Россби в атмосфере порядка 2000 км, а в открытом океане порядка 50 км), что существенно превышает высоту атмосферы или глубину океана. В долгоживущих синоптических вихрях (циклонах и антициклонах) происходит захват вещества, которое переносится с вихрями на большие расстояния. Это свойство определяет их важную роль в динамике среднесуточного давления, температуры, скорости ветра и др. В земной атмосфере цик л оны и антицик л оны имеют характерные пространственные масштабы от сотен до тысяч километров, а время их существования -- от нескольких дней до нескольких недель. В приэкваториальной области такие вихревые возмущения двигаются преимущественно в западном направлении, преобразуя энергию, связанную с градиентом температуры в направлении полюс - экватор, в энергию (потенциальную энергию бароклинной атмосферы) тайфунов (см., например, монографию Педлоски, 1984). Как показано в обзорах Монин, Кошляков, 1979; Kamenkovich, Koshlyakov, Monin, 1986, в открытом океане поперечный масштаб вихрей порядк а 100 км, а характерная скорость 5-6 см/с. Синоптические вихри в земной атмосфере дрейфуют со скоростью порядка 5-10 м/с, сравнимой с о ск оростью вращения вещества в вихре. Вращение вещества в синоптических вихрях более медленное, чем вращение планеты. Пл оским харак тером движения, а также

медленным вращением вихри волн Россби существенно отличаются от мелк омасштабных (по сравнению с выс от ой атмосферы) смерчей или ядер та йфунов, к оторым свойственно трехмерное движение и более быстрое вращение, чем вращение планеты. Обс у ж дение таких вихрей выходит за рамки данного обзора, посвященного крупномасштабным синоптическим структурам, в которых движение можно рассматривать как плоское или почти плоское, квазидвумерное. Не менее важными элементами циркуляции атмосфер планет, влияющими на погоду наряду с синоптическими вихрями, являются зональные ветры (или зональные течения в океане) -- квазистационарные потоки в азимутальном направлении. С существованием сдвиговых зональных ветров в атмосфере или течений в ок еане связан механизм генерации фронтальных синоптических вихрей. Как показывают метеорологические наблюдения, неустойчивый зональный ветер в атмосфере генерирует так называемые меандры (геометрический орнамент в виде кривой линии с завитк ами, называемый так по имени очень извилистой реки М еандр в малой Азии) с масштабами от неск ольких с отен до тысяч кил ометров. Отсек аемые от зональных ветров меандры трансформируются в циклонические и антициклонические вихри. Генерация меандров, трансформирующихся в циклоны и антициклоны, в поле струйных зональных ветров имеет полную анал огию с генерацией крупномасштабных вихрей в океане, что свидетельствует о единстве механизма образования вихрей. Так, например, отсек аемые от Гольфстрима меандры с характерными масштабами порядка 300-400 км трансформируются в холодные циклонические вихри справа и теплые антициклонические вихри слева от основной струи (см. обзор Монин, Кошляков, 1979). Генерация меандров и последующее отделение вихрей объясняется как результат развития неустойчивостей типа неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в баротропной атмосфере, либо в потоке со сдвигом скорости по высоте в бароклинной атмосфере. Волны Россби наблюдаются не только в атмосфере и океанах Земли, но и в атмосферах других планет. Радиус Россби в земной атмосфере сравним с радиусом Земли в отличие от планет гигантов, где радиус Россби значительно меньше радиуса планеты. Так, в атмосфере Юпитера и Сатурна радиус Россби порядка 6000 км, что существенно мень ше радиус ов этих планет. В атмосферах


4

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

5

планет гигантов наблюдается большое числ о долгоживущих вихрей волн Россби. С амым знаменитым из них является Большое Красное Пятно с характерным масштабом 70 000 км, обнаруженное Р. Гуком и наблюдаемое уже более 300 лет. Другой отличительной чертой больших планет является четко выраженная периодическ ая в меридиональном направлении структура зональных ветров (см. Rossby, 1940, а также статью Vasavada, Showman, 2005). Амплит удная величина ск орости зонального ветра на Юпитере имеет величину порядка 100 м/с, а на Сатурне достигает 200 м/с. Движение вещества в волнах Россби имеет аналогию с движением ионов в элек тростатических дрейфовых волнах, что показано, например, в работе (Horton, Hasegawa, 1994). С дрейфовыми волнами связывают повышенные (аномальные) переносы тепла и частиц поперек магнитного поля в термоядерной плазме, поэтому исследованию этих волн уделяется ос обое внимание. Анал огия между волнами Россби и дрейфовыми волнами, основанная на аналогии силы Кориолиса во вращающейся среде с силой Лоренца в замагниченной плазме, служит предпосылк ой взаимообмена идейными и методическими достижениями. Синоптические вихри и зональные ветры, наблюдаемые в атмосфере, можно рассматривать к ак модели волновых процесс ов в замагниченной плазме и наоборот. Исследованию генерации в атмосферах планет крупномасштабных структур (типа зональных ветров или конвективных ячеек) и их последующей эволюции уделяется все возрастающее внимание к ак в геофизической гидродинамике, так и в теории замагниченной плазмы. Существуют два подхода к проблеме генерации зональных ветров (течений). Первый подход, развитый F.H. Busse (Busse , 1994), а также Yano J., Talagrand O. и Drossart P. (Yano et al., 2003), основан на трехмерной термоконвекции. Второй подход, основанный на так называемом двумерном обратном т урбулентном к аск аде, в к отором волновая энергия (энстрофия) нелок ально переносится из энергонесущей области мелкомасштабных волн Россби в крупномасштабную область зонального ветра, предложен в работах (Rhines, 1975; Balk, Nazarenko, Zakharov, 1990), а также (Михайловский, Новаковский, Онищенко, 1988). В работах (Balk, Nazarenko, Zakharov, 1990), а также (Михайловский, Новаковский, Онищенко, 1988) показано, что взаимодействие мелкомасштабных волн Россби из инерционного интервала с крупномасштаб-

ным зональным течением служит причиной нелокальности слабот урбулентных к олмогоровских спек тров волн Россби. При так ом механизме образования зональных ветров предполагается, что возник ающие в результате т урбулентных пульсаций мелкомасштабные вихри оказываются неустойчивыми и сливаются при взаимных столкновениях в более крупномасштабные структуры. Дисперсия и т урбулентность волн Россби существенно анизотропны, и большие масштабы структур растут в широтном направлении быстрее, чем в меридиональном, к ак показывают результаты лабораторного и численного моделирования, представленные в работах (Aubert et al., 2001; Aubert et al., 2002; Schaeffer, Cardin, 2005; Read et al., 2004; Flierl et al., 1987; Galperin et al., 2006; Sukoriansky et al., 1999; Manfroi, Young, 1999). В работе (Balk et al., 1990) показано, что нелокальность колмогоровских спектров турбулентности служит причиной эволюции спек тра, в результате которой формируются две разделенные в пространстве волновых чисел области -- мощное зональное течение и струйный спектр мелкомасштабной турбулентности. В последнее время широко исследуется механизм генерации когерентных крупномасштабных структур зонального потока в результате развития параметрической неустойчивости в турбулентной баротропной атмосфере, приведем, например, статьи ( Smolyakovet al., 2000; Onishchenko et al., 2004). Такой механизм обеспечивает эффективный к анал переноса энергии из области мелкомасштабной турбулентности волн Россби в область крупномасштабных конвективных движений, с оот ветствующих зональному ветру, и играет важную роль в регуляризации турбулентности атмосферы. Перенос волновой энергии (энстрофии) из области малых масштабов в крупномасштабные струк т уры (зональный ветер, к онвективные ячейки) соответствует обратному каск аду в теории турбулентности. Спонтанное возбуждение крупномасштабных структур мелкомасштабными вихрями Россби можно рассматривать как результат взаимодействия волн в условиях отрицательной вязкости. Основным источником сведений о циркуляции атмосферы являются наблюдения. Вначале это были наземные наблюдения, затем к ним прис оединились зондовые измерения ск орости ветра, давления и температуры. Использование авиационной метеорологии, а затем и метеорологических спутников существенно улучшил о набл юдение процесс ов, происходящих в земной атмосфере.


6

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

7

Телевизионная, инфракрасная и радиометрическая аппаратура на спутниках позволяет наблюдать синоптические вихри и ветры (течения), измерять в них распределение температуры и влажности воздуха, оценивать величину и направление скорости ветра, см., например, пу блик ации ( Huang et al., 2006; Li et al., 2003; Li, Fu , 2006). Эффективность спутниковой метеорологии растет благодаря увеличению числа спутников, к оличества и к ачества установленных на них приборов. Расширяется доступ к данным геостационарных и низк оорбитальных спутник ов. Система архивации метеонабл юдений обеспечивает быстрый и эффек тивный дост уп пользователей к спутниковым данным. Это создает благоприятные условия для изучения динамики движений атмосферы, равномерно наблюдаемой по всему земному шару. Существенный вклад в современную теорию вихревых структур и турбулентности волн Россби и изучение аналогии их с дрейфовыми волнами в плазме внесли лабораторные эк сперименты, описанные в работах (Незлин, 1986; Незлин, Снежкин, 1990; Aubert et al., 2001; Aubert et al., 2002; Schaeffer, Cardin, 2005; Read et al., 2004). Циркуляция атмосферы моделируется во вращающихся цилиндрических, параболических или кольцевых сосудах. Эти эксперименты спос обствов али изучению фундаментальных свойств волн Россби и утверждению общефизическ ого взгляда на волны Россби и дрейфовые волны. В условиях, когда вследствие сложности проблем прямые аналитические методы наталкиваются на непреодолимые трудности, резко возрастает ценность численного моделирования. Вообще говоря, вся динамика атмосферы может быть исследована в рамках полной системы гидродинамических уравнений. Однако из-за громоздкости и сложности так ую полную систему уравнений с адекватными граничными и начальными условиями вряд ли удастся решить в обозримом будущем. В этой связи представляет интерес исследование аналитическими и численными методами упрощенных (модельных) уравнений, в которых явно выделены главные эффек ты. Так, например, из метеорологических наблюдений известно (и это отмечал еще Чарни в своей классической работе -- Charney, 1947), что движение в синоптических вихрях должно обладать следующими свойствами: быть квазигидростатическим по выс оте атмосферы, квазидвумерным, ква зиадиаба т ическим и кв а зигеострофическим.

В данном обзоре мы ограничиваемся обсуждением гидростатических по верт ик али и чисто двумерных движений синоптическ ого масштаба на плоск ости, пренебрегая вертик альной ск оростью и изменением параметров атмосферы по вертик али. Используемое приближение позволяет существенно упростить исходную систему уравнений. На этом пути были получены упрощенные уравнения, описывающие наиболее важные процессы в динамике атмосферы. В.Д. Ларичев и Г.М. Резник (Ларичев, Резник, 1976), исследуя волны Россби в своей работе 1976 года в рамках нелинейного уравнения Чарни-Обухова, показали, что векторная нелинейность (нелинейность типа [a Ч b ]z , a и b -- некоторые скалярные функции, индек с z с оот ветствует z- компоненте векторного произведения), с одержащаяся в эт ом уравнении, может играть л о к ализующ ую роль, компенсирующую дисперсионное расплывание пакета волн, подобно ск алярной нелинейности в широк о известном уравнении Кортевега - де Вриза. В резул ьтате так ой к омпенсации в среде формируются нелинейные стационарные вихревые структуры. В реальной атмосфере, к ак это видно из синоптических карт, изобары не совпадают с изотермами, такая атмосфера называется бароклинной, в отличие от более простой для исследования баротропной атмосферы, где давление зависит только от плотности, а изобары совпадают с изотермами. В обзоре обсу ждаются волны Россби в горизонтально бароклинной атмосфере. Многосл ойная модель (Cushman-Roisin et al., 1992), часто используемая для описания вертик ально барок линной атмосферы, не может быть использована для описания горизонтально бароклинной атмосферы. Длинноволновые возмущения в горизонтально бароклинной атмосфере исследовались в работах (Алишаев, 1980; Петвиашвили, Похотелов, 1998; Каменец и др., 1993; Каменец и др., 1996), где было показано, что горизонтально бароклинная, так же к ак и вертикально бароклинная, атмосфера может быть неустойчива. Теория слабот урбулентных к олмогоровских спектров мелк омасштабных волн Россби (с масштабами значительно меньше радиуса Россби) получила развитие в работах (Сазонтов, 1980; Монин, Питербарг, 1987). В работе (Михайловский и др., 1988) исследовались спек тры крупномасштабных волн Россби, кроме того, в работах (Balk et al., 1990; Михайловский и др., 1988) исследовалась локальность полученных спектров.


8

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

9

Настоящий обзор посвящен изложению основных результатов теоретических исследований нелинейных волн Россби. Часть I обзора, касающаяся обсуждения результатов лабораторных исследований, численного моделирования и результатов наблюдения волн Россби в атмосферах планет, носит подчиненный характер и касается, в основном, результатов этих исследований, подтверждающих или опровергающих модели теоретических исследований. Раздел II следует рассматривать как введение в теорию нелинейных волн Россби и зональных течений. В результате резонансного взаимодействия возмущений с зональным ветром генерируется широкий спектр волн Россби со случайными фазами. Нелинейным вихревым структурам посвящен раздел III. Формированию слабот урбулентных спек тров в результате взаимодействия волн Россби посвящен раздел IV. В разделе V обсу ждается генерация зональных ветров волнами Россби. I. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТОНКОЙ АТМОСФЕРЫ I.1. Приближение мелкой воды Для описания основных ос обенностей движения крупномасштабных структур, включающих синоптические вихри и зональные ветры во вращающейся атмосфере (или ок еане), используется так называемое приближение мелкой воды. В этом приближении атмосфера (или океан) обычно рассматривается как тонкий слой однородной несжимаемой жидкости, вращающийся относительно нормальной к слою оси с угловой скоростью sin , -- угловая скорость вращения Земли, -- локальная широта. Из усл овия гидростатики вдоль оси вращения (вдоль оси z) следует выражение для давления на нижней границе атмосферы

d H = 0, dt d v = -g H + f [ v Ч e dt
z

(2)

]

,

(3)

где v -- скорость, d dt = t + v -- конвективная производная по времени, f = 2 sin -- параметр Кориолиса (удвоенная проекция локальной угловой скорости на местную вертикаль), ez -- единичный вектор, перпендикулярный к плоскости (x, y). Подействовав оператором rotz на обе части уравнения (3), с учетом уравнения (2) получаем условие обобщенной завихренности в баротропной атмосфере (теорема Эртеля)

d rot z v + f = 0. dt H

(4)

Если относительная завихренность rotzv имеет тот же знак, что и параметр Кориолиса, т.е. относительная завихренность положительна (с циркуляцией против движения часовой стрелки в северном полушарии) или отрицательна (с цирк уляцией по движению часовой стрелки в южном полушарии), то сила Кориолиса направлена от центра рассматриваемой области. Такие движения, представляющие собой циклоны, характеризуются низким давлением в центре. Течения с повышенным давлением в центре, у которых относительная завихренность и параметр Кориолиса имеют разные знаки, -- это антициклоны. В приближении малых чисел Россби, пренебрегая инерционным слагаемым в левой части уравнения движения (3), получаем условие геострофического равновесия, в котором сила Кориолиса уравновешивается силой барического градиента. Скорость движения возмущений в атмосфере в таком приближении, v v g , где

p( x, y ) = gH .

(1)

Здесь g -- ускорение силы тяжести, -- постоянная пл отность,

H = H0 + H -- глубина жидкости, H -- отклонение глубины жидкости от равновесной H0. В этом приближении уравнения непрерывности и движения идеальной нес жимаемой жидкости, известные как уравнения мелкой воды, имеют вид

vg =

1 [ez Ч p ] , f

(5)

называется геострофической скоростью -- скоростью градиентного ветра. Из геострофического приближения следует удивительное


10

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

11

свойство движения быстровращающейся жидкости, следующее из уравнения (5): движение происходит не вдоль градиента давления, а перпендикулярно ему, вдоль изобар. При исследовании динамики движений синоптического масштаба К.Г. Россби (Rossby, 1939, 1940) обратил внимание на тот факт что при исследовании волн синоптического масштаба в квазигеострофическом приближении необходимо наряду с учетом малой инерционной поправки к геострофической скорости учитывать также слабое изменение параметра Кориолиса в меридиональном направлении (так называемый -эффект), f f0 + y + Ay
2

явлению, известном у к ак 'твистинг', см. обзоры (Незлин, 1986; Незлин, Снежкин, 1990). В результате различные части вихря распространяются с различными скоростями, что приводит к разрушению вихря за время порядк а f0 v циальную) завихренность
2 ^^ q = rRs 2 p - p + y f - y 2
Rs

. Введя обобщенную (потен-

2R 2 ,

(7)

2 , A = -f0 R 2 ,

можно уравнение (6) представить в следующем виде

f0

y , где f y 2 cos R , и R -- радиус планеты. РасH0 и p

dq = 0, dt
где d dt = t + v g = t + ( 0 f0

(8)

сматривая слабые возмущения, полагаем H

p0 , где

p = p0 + p , p0 -- равновесное значение, а p -- возмущение. Подставив в к ачестве скорости вещества геострофическую скорость (5), преобразуем условие обобщенной завихренности (4) к следующему виду

)-1 {p}

. Уравнение (8) представ-

y 4 ^ 2 ^ ^ ^ ^ ^ p - rRs 2 p - v R 1 + p + A p - rRs f0 p, 2 p = 0 . x t

(

)

{

}

(6)

ляет собой уравнение с охранения обобщенной (потенциальной) завихренности баротропной атмосферы в промежуточно-геострофическ ом приближении. При исследовании вихрей Россби в земной атмосфере можно приближенно пренебрегать скалярной нелинейностью и меридиональной зависимостью скорости Россби. В этом приближении из уравнения (6) получаем

^ Здесь использованы следующие обозначения: p p p0 -- безразмерное возм ущенн ое давление; rRs = cs f0 -- радиус Россби по изотермической скорости звука cs = ( p0 0

2 ^ ^ p - rRs 2 p - v t

(

)

Rs

4 ^ ^ ^ p - rRs f0 p, 2 p = 0 . x

{

}

(9)

)12

;v

Rs

2 = rRs -- ско-

рость Россби; { A, B} [A Ч B ]z = A / x B / y - A / y B / x -- скобк а Пуасс она. В уравнении (6) слагаемое, пропорциональное

p p x , называется ск алярной нелинейностью, а слагаемое с о ск обк ой Пу ассона -- век торной (или вихревой) нелинейностью. Скалярная нелинейность преобладает над векторной в крупномасштабных вихрях с масштабом, сравнимым с промежуточно-геострофическим радиусом rIG =

Уравнение (9), соответствующее сохранению обобщенной завихренности q без последнего слагаемого в правой части уравнения (7), называется уравнением Чарни-Обухова. М одифик ация этого уравнения с учетом неоднородности атмосферы по вертикали использовалась J.G. Charney и А.М. Обуховым при составлении принципиальной схемы прогноза погоды. Решение уравнения (9) обладает симметрией p ( x, y , t ) = - p ( - x, y , t ) . В отличие от уравнения Кортевега - де Вриза, имеющего решение в виде одномерных с олитонов, уравнение Чарни-Обухова не имеет решений в виде нелинейных одномерных или осесимметричных структур. В фурье-представлении, p = pk exp ( -ik t + i k r ) , из уравнения Чарни-Обухова в линейном приближении следует дисперсионное уравнение

(

2 rRs f0



)

13

. Слагаемое, пропорциональ-

ное Ay p x , связано с изменением скорости Россби в меридиональном направлении на больших масштабах вихрей, сравнимым с rIG . Вклад эффекта, описываемого этим слагаемым, приводит к


12

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

13

k = -

k xv 1+ k

Уравнение (14) является обобщением уравнения Чарни-Обу. (10)
2 хова (9) для мелк омасштабных волн Россби ( rRs 2

Rs 22 rRs

1 ) в атмо-

В принятой системе ось x направлена с запада на восток, а ось y -- к ближайшем у полюсу. В ус л овиях земной атмосферы, учитывая, что радиус Россби сравним с радиусом Земли, можно приближенно использовать дисперсионное уравнение в следующем виде:

сфере с зональным ветром ( V 0 ) и с учетом эффектов вязкости, -- кинематическая вязкость. Сдвиговые течения в гидродинамике часто не устойчивы. Присутствие слагаемого в левой части уравнения (14), пропорционального d 2V dy 2 , является необходимым условием развития неустой-

k = -k x v

Rs

2 k 2 rRs .

(11)

Из (10) и (11) следует, что фа з о в ая ск орость в олн Россби,

^ ^ чивости. Для возмущений вида p (r, t ) = p ( y ) exp ( -it + ik x x ) , линеариз уя у равнение (14) по малым во зм ущениям, получаем уравнение Орра-Зоммерфельда
2 2 2 2 ^ ^ ^ -i 2 - k x p + ( - k xV ) 2 - k x p + k x (V - ) p = 0. (15) y y
Пренебрегая эффектами вязкости в уравнении (15) получаем
2 ^ ^ p - k x p +

k k x < 0 , направлена с востока на запад. Уравнение Чарни-Обухова имеет два сохраняющихся интеграла (интеграла движения): интеграл энергии с точностью до размерного коэффициента
2 2 ^ ^ W = p 2 + rRs ( p ) d 2 x

2

(12)

k x (V - - k xV

)

^ p =0.

(16)

и интеграл энстрофии

^ H = ( p

)

2

2 2 ^ + rRs 2 p d 2 x .

(

)

^ ^ Здесь p d 2 p dy
(13)

2

и V d 2V dy 2 . Уравнение (16) является

Интегрирование в уравнениях (12) и (13) производится по произвольной 'жидкой' области, точки к оторой движутся со скоростью v. I.2. Волны Россби в баротропной атмосфере с зональным ветром. Устойчивость зональных течений Волны Россби в баротропной атмосфере с зональным ветром -- стационарным течением вдоль оси x со скоростью V(y) -- и с учетом эффектов вязкости описываются уравнением

модификацией (при 0 ) известного уравнения Рэлея (см. Рэлей (Стретт Дж.В.), 1955; Линь Цзя-Цзяо, 1958; Chandrasekhar, 1961; Тимофеев, 1989). Если в нек оторой точке y = yc выполняется равенство

V ( y

c

)

- = 0 ,

(17)

то поток может быть неустойчивым. Это равенство -- необходимое условие неустойчивости, как пок азано Рэлеем, а также Линь ЦзяЦзяо. При этом условии дифференциальное уравнение (16) может быть регулярным, даже если в некоторой точке потока выполняется резонансное условие = k xV ( y нение Рэлея (16) принимает вид
2 ^ ^ ^ p - k x p + U ( y ) p = 0 ,

c

)

. Для таких колебаний урав-

+ V (y ) x t

2V 2^ 2 ^ ^ ^ ^ ^ p + p - 2 p + rRs f0 p, 2 p = 4 p. x y x

{

}

(14)

(18)


14 где U ( y ) = (V -

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

15

)

V ( y

c

)

- V ( y ) . Уравнение (18) имеет дискрет
(n )

^ ный набор собственных функций p

и собственных значений k
( = k xn )V ( y c

(n ) x

и, следовательно, набор частот (

n)

)

, если U( y ) > 0.

Это неравенство является достаточным условием неустойчивости потока. Так к ак при этом должно выполняться необходимое условие неустойчивости, то достаточное условие неустойчивости сводится к выполнению неравенства для первого члена разложения U(y) вблизи y = yc.

Численному моделированию эволюции возмущений в рамк ах уравнения Орра-Зоммерфельда, а также уравнения (14) посвящено большое число работ. В частности, в работах (Flierl et al., 1987; Galperin et al., 2006; Sukoriansky et al., 1999; Manfroi, Young, 1999) исследовалась динамик а потока со сдвигом скорости в баротропной атмосфере на нелинейной стадии до квазистационарного состояния в области насыщения неустойчивости. Эти исследования позволили изучить морфологию возникающих в результате развития неустойчивости вихревых структур в виде дипольных вихрей, меандров и разнообразных вихревых дорожек. I.3. Волны Россби в горизонтально бароклинной атмосфере В горизонтально бароклинной атмосфере, представляя температуру T, потенциальную температуру (связанную с температурой и давлением с оотношением = T ( p0 p

U (y

c

)

= -V ( y

c

)

V ( y

c

)

> 0.

(19)

Решения уравнения Рэлея находятся к ак предельный случай решений уравнений Орра-Зоммерфельда при беск онечно малой вязкости, 0 . Выбор ветви многозначного решения уравнения Рэлея вблизи точки ветвления y = yc основан на использовании правила обхода Линя (Линь Цзя-Цзяо, 1958). Существование резонансных точек с с оответствующим правил ом обхода определяет механизм обмена энергией волн (возм ущений) с о средним поток ом, который не связан непосредственно с вязкой диссипацией и существует в идеальной жидкости. Нелинейные эффекты при взаимодействии волн с плоскопараллельным течением возник ают, прежде всего, в окрестности резонансного слоя. Обычно в земной атмосфере значительно больше величины

)(

-1)

) и давление в виде

суммы равновесных значений и слабых во з м ущений T ( t , x, y ) ,

( t , x, y ) и p ( t, x, y

)

T = T0 + T ( t , x, y ) , = 0 + ( t , x, y ) и p = p0 + p ( t, x, y ) , (20)
можно вместо уравнения обобщенной завихренности (6), следуя (Каменец и др., 1993), получить

V в крупномасштабных нальный ветер большую мера приведем зимние ветра из статьи (Stone, V 1, 8 10
-12

зональных потоках, и, таким образом, зочасть времени устойчив. В качестве прии летние значения ск орости зонального Nemet, 1996): на широте 46њ N в январе
-12

м-1с

-1

и V 0, 6 10

м-1с

-1

в июле. Эти значения

y 2 ^ ^ ^ ^ p - rR 2 p - v R 1 + T + A p - x t 4 2 ^ ^ ^^ -rR f0 p, 2 p + rR f0 p, = 0,

(

{

) }

{}

(21)

существенно меньше величины 1, 6 10-11 м-1с -1 . Однако эпизодически возник ают возм ущения зонального ветра (wave-breaking event) такие, что в некотором сл ое y = yc выполняется ус л овие V . Это является причиной неустойчивости в течение некоторого времени, после чего зональный ветер перестраивается и снова становится устойчивым.

где rR = c

s

f0 -- радиус Россби по адиабатической скорости звука;

csa = ( p0 0

)12

^ ^ ; параметры T = T / T0 и = /

0

-- безразмер-

ные возмущения температуры и потенциальной температуры. Потенциальная температ у ра, являющаяся од н оз н ачной функцией энтропии, св язан а с температ урой и давлением с оотношением


16
(
-1)

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

17

. Вв едя обобщ енную завихренность в форме = T ( p0 p ) уравнения (7), можно уравнение (21) представить в следующем виде

и

dq 2 ^ p, ^^ ^ = rR f0 p, - v RT dt x

{}

(22)

2 2 p 2 2 2 p - rR 2 p - (v R - f0 rR ) p + f0 rR p rR - p- 0 t x 0 x x

(

)

-

где, как и в предыдущем разделе, d dt = t + v g . В такой атмосфере не сохраняется обобщенная завихренность, в отличие от баротропной атмосферы. Это приводит к тому, что в горизонтально барок линной атмосфере возможно самопроизвольное рождение вихрей из незамкнутых линий тока. В реальной атмосфере, как правило, присутствуют крупномасштабные градиенты потенциальной температуры и давления. В основном эти градиенты имеют меридиональное направление. Представим, что равновесная потенциальная температ ура с одержит к р упномасштабные равновесные неоднородности в меридиональном напра влении y , p y , а масштаб слабых возм ущений

4 f0 rR f r2 p, 2 p + 0 R p, = 0. p0 0

{

}

{}

(26)

Система уравнений (25) и (26) с охраняет интеграл энергии, сравнимый с интегралом энергии (15),

E



2 2 p + rR ( p

)

2

-

2 p p0 2 2 d x . 2 0

(27)

( t , x, y ) и p ( t, x, y ) существенно меньше, чем

-1

и -1 : p (23)

Из формулы (27) видно, что энергия не всегда является положительно определенной величиной. Энергия может стать отрицательной, если градиенты потенциальной температуры и давления имеют один и тот же знак. В этом случае атмосфера может быть неустойчивой. В линейном приближении из системы уравнений (25) и (26) следует дисперсионное уравнение

^ ^ 0 = 1 + y и p0 = 1 + p y .

Подставив эти выражения для потенциальной температуры и давления в уравнение сохранения обобщенной температуры, являющейся однозначной функцией энтропии

+ = -

2 1+ k

(

k

x 22 rR

)

v - f r 2 - R 0R

(

p

)

4 + f0 rR k

2

(

+ p

p

)

+ D1 2 ,

(28)

d =0, dt

где = p

p

и

(24)

и уравнение (21), получим в пренебрежении скалярной нелинейностью (см. Петвиашвили, Похотелов, 1988) систем у нелинейных уравнений, описывающую горизонтально бароклинную атмосферу с равновесными линейными градиентами давления и потенциальной температуры:

2 2 D = k x v R - f0 rR -

(

p

)

4 - f0 rR k

2

(

- p

p

)

2 - 4f 2 r 6 k 2 . 0R p

(29)

Из равенства (29) видно, что если и

p

имеют один знак, то

p p + - + p, = 0 o f x o f x t

{}

(25)

при некотором значении k подкоренное значение в дисперсионном уравнении может стать отрицательным. Это условие горизонтально барок линной неустойчивости с овпадает с выводом, следующим из усл овия положительной определенности интеграла энергии (27).


18

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

19

II. ВИХРЕВЫЕ СТРУК ТУРЫ Переходим к рассмотрению нелинейных вихревых структур, описываемых уравнением Чарни-Обухова. При исследовании стационарных волн, бегущих вдоль оси x со скоростью u в мелкой баротропной атмосфере, введя переменную = x - ut , можно уравнение Чарни-Обухова (9) привести к следующему виду:

1976) при исследовании пространственно л окализованных (уединенных) вихрей, введем представление о внешней и внутренней областях вихря, разделенных некоторой границей r = a, где a -- некоторая константа, называемая радиусом вихря. Во внешней области вихря C = 0, а во внутренней -- C 0. Важным частным решением является так называемый дипольный вихрь

{

2

^ ^^ p - p, p + y b = 0 ,

}

^ p ( r , ) = ( r ) cos ,
где функция (r ) во внешней области вихря, r > a, равна

(35)

(31)

где константы и b определены равенствами

(r ) = (a) K1 ( r a ) K1 ( ) ,
(32) а во внутренней области, r < a,

(36)

=

2 rR f0 1 vR , b= . 1+ 2 u u rR

Скобка Пуассона {A, B} может быть представлена как z-проекции векторного произведения { A, B} = [A, B от (31) к уравнению

]z

2 r 2 J ( r a ) (r ) = (a ) 1 - 2 - 2 1 , a J1( )
где константы и связаны с и C соотношениями

(37)

. Поэтому переход

^ ^ ^ p - p = F ( p + y b ) ,
2

2 = a 2 и 2 = -a
(33)

2

(

+C) ,

(38)

где F -- произвольная функция своих аргументов, иногда (Тимофеев, 1989) называют векторным интегрированием. Рассмотрим некоторые частные решения уравнения (33). II.1. Дипольные вихри Воспользовавшись решением (33), возьмем в к ачестве F линейную функцию

а K1 и J1 -- соответственно модифицированная функция 2-го рода и функция Бесселя. Ясно, что для ограниченности p необходимо, чтобы выполнялось неравенство 2 > 0 , т. е. необходимо, чтобы выполнялось неравенство > 0 . Из этого неравенства и уравнения для (32) следует, что вихри, распространяющиеся на Восток, могут иметь, воо б ще г о в о ря, любую ск орость ( u > 0 ), в т о время к ак вихри, распр остраняющиеся на запад должны двигаться с о скоростью больше ск орости Россби. Из ус л овия непрерывности p , p / r ,

^ ^ ^ 2 p - p = C ( p + y b ) ,

(34)

где C -- произвольная к онстанта. Наряду с дек артовыми координатами x и при анализе вихревых структур, описываемых уравнением (34), будем использ ова ть также полярные к оординат ы

2 p и 2 p r на границе вихря, при r = a, следует условие, называемое условием сшивки параметров вихря

K 2 ( ) K1 ( ) = - J

2

()

J1 ( ) .

(39)

r = x 2 + 2

(

)

12

и = arctg ( x ) . Следуя работе (Ларичев, Резник,

Приближенное решение дисперсионного уравнения (39) имеет вид


20

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

21

3, 9 + 1, 2

2

(

3, 4 +

2

)

.

(40)

v x = v R k rf K

Csh ( ky

В дипольном вихре с таким условием сшивки сохраняется как энергия, см. уравнение (12), так и энстрофия вихря, см. уравнение (13).

C ch ( ky ) + C 2 - 1

(

)

)
12

cos ( kx

)

,

(44)

v y = v R k rf K
II.2. Вихревые дорожки Исследуем структ уры, движущиеся вдоль оси x в западном направлении со скоростью vR . В таких структурах = 0, а операция век торного интегрирования поз воляет свести уравнение Чарни- Обухова, согласно уравнению (33), к уравнению

(

C2 - 1

C ch ( ky ) + C 2 - 1

(

)

12

sin ( kx

) )

)

12

cos ( kx

,

(45)

где C -- некоторая константа. При C = 1 решение (45) описывает течение типа зонального потока

v x = v R k rf K th ( ky ) , v y = 0 .

(46)

^ ^ 2 p = F ( p - y rf ) ,

(41)

где rf f0 -- характерный масштаб изменения параметра Кориолиса. Уравнение (41) совпадает с условием сохранения завихренности невязкой несжимаемой жидкости, следующее из уравнения Навье-Стокса, 2 = F ( ) , где -- функция тока. Воспользовавшись известным частным аналитическим решением уравнения (41) периодическим по x и имеющим вид зонального течения по координате y, см., например, статью (Михайловский и др., 1984), подставим в уравнение (41) в качестве F функцию

Решение, соответствующее вихревым дорожкам (43), является аналитическим, в отличие от разрывного в старших производных решения Ларичева-Резника для дипольного вихря (модона). Решение уравнения Чарни-Обухова представляет собой поток с вихревой дорожкой типа 'кошачий глаз'. III. КОЛМОГОРОВСКИЕ СПЕК ТРЫ СЛАБОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ III.1. Исходные уравнения слабой турбулентности Рассмотрим слабую т урбулентность, обусл овленную трехволновым взаимодействием, которая описывается кинетическим уравнением

^ ^ F ( p - y rf ) = k 2K exp -2 ( p - y rf

)

K .

(42)

Смысл параметров k и K будет ясен ниже. В результате получаем решение уравнения Чарни-Обухова в виде зонального поток а, содержащего вихревую дорожку типа 'кошачий глаз' из работы (Stuart, 1967)

Nk U (k, k1, k 2 t -Nk Nk 2 sign ( k k1

)

Nk1Nk 2 - Nk Nk1sign ( k k k - k1 - k
2

2

)

-
2

) (

)(

k - k1 - k

)

dk1dk 2 , (47)

^ p = y rf + K ln C ch ( kx ) + C 2 - 1

(

)

12

cos ( ky ) ,

(43)

где Nk -- 'число квантов' (или 'плотность волнового действия'),

параметр K характеризует амплитуду вихревой дорожки, 2 k -- размер вихря. Из уравнений (5) и (43) получаем следующие выражения для компонент скорости

U (k, k1, k

2

)

= V (k, k1, k

2

)

2

;

(48)

V(k, k1, k2) -- матричный элемент взаимодействия, обладающий соответствующими свойствами симметрии, см., например, статьи


22

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

23

(Захаров, Львов, 1975 или Захаров, 1984). В правой части равенства (47) пропущен постоянный множитель, зависящий от нормировки Nk и k . Полагаем, что матричный элемент V(k, k1, k2) обладает свойствами масштабной инвариантности

(1 В случае слабодиспергирующих волн Dk ) имеет смысл энст-

V ( x k x , y k y ; x k x1, y k y 1; x k x 2 , y k =
uv xy

y2

)=
(49)

V (k x , k y ; k x1, k y 1; k x 2 , k

y2

)

(2 рофии (или дисперсионной части энергии), а Dk ) -- энергии волн. Тогда уравнение (51) с индексом i = 1 соответствует уравнению сохранения энстрофии, а с индек с ом i = 2 -- с охранения энергии. (1) ( 2) Для таких волн P (k ) -- пот ок энстрофии, а P (k ) -- пот о к
энергии. Из условия постоянства потоков энстрофии или энергии находим искомые показатели однородности числа квантов
1 1 ( ) = - (1 + u ) , ( ) = - (1 + v ) , 2 ( ) = a 2 - ( 3 2 + u ) , (1) = b 2 - (1 + v ) .

с показателями однородности u и v. Кроме того, полагаем, что дисперсионная часть частоты волны для слабо диспергирующих волн,

k = k x v R , или частота волны для сильно диспергирующих волн, также обладают свойствами масштабной инвариантности с показателями однородности a и b . В этих предположениях, а также в предположении, что искомое выражение для числа квантов также является масштабно инвариантной функцией с пок азателями однородности и , кинетическ ое уравнение для волн (47) может быть представлено в следующем виде, см. статью (Михайловский и др., 1988):

(54) (55)

Таким образом, для нахо ждения стационарных степенного вида решений волнового кинетическ ого уравнения необходимо, чтобы дисперсия и матричный элемент взаимодействия были масштабно инвариантными функциями волновых векторов. III.2. Матричный элемент взаимодействия волн

Nk k t
или

2+ 2u +1-a x

k

2+ 2v +1- b y

,

(50)

Представляем p в терминах фурье-гармоник

p=
(i Dk ) i +P( ) (k ) = 0 , t

pk ( t )
k

exp ( i kr - i k t ) + c.c. ,

(56)

(51)

где с.с. -- комплексно сопряженное состояние; pk (t ) -- амплитуда фурье-гармоники, слабо изменяющаяся во времени; k -- частота фурье-гармоники с волновым вектором k, определяемая линейным дисперсионным уравнением (11). Уравнению Чарни-Обухова (9) с оот ветствует динамическ ое уравнение (см. Сазонтов, 1980 или Монин, Питербарг, 1987)

( 2) (1) где i = 1 или 2, Dk k Nk ; Dk k x Nk .
1 P( ) (k ) k 2( +u +1) 2( +v +1) y

x

k

1 1 , , ky kx
1 1 . , ky kx

(52)

pk t
(53)

2 P( ) ( k ) k

2 + 2u + 3-a x

k

2+ 2v + 2- b y

k1 +k 2 =k

[k1, k2 ]z

2 2 k2 - k1 2 1 + k 2 rR

pk1pk 2 exp -i ( k1 + k 2 - k ) t .

(57)

Спектральная пл отность энергии, с огласно уравнению (12), имеет вид


24
2 Wk 1 + k 2rR pk .

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

25

(

)

2

(58)

III.3. Коротковолновая турбулентность
2 В к орот к оволновом приближении, k 2 rR

1 , и приближении

Число квантов Nk, определенное из условия Nk Wk k , равно
2 Nk 1 + k 2rR

(

)

2

pk

2

kx .
2

(59)

ky k x частота волн Россби и матричный элемент взаимодействия равны

Введем понятие нормированной комплексной амплитуды волн, воспользовавшись равенством Nk Ck ,
2 Ck 1 + k 2rR pk k

k k x k
и

-2 y

(63)

(

)

-12 x

. (60) и распадное

(60) усл овие

V (k, k1, k

2

)

k y k y 1k

12 y2

1 1 1 + - . k x1 k x 2 k x

(64)

Используя

с о отношение

k = k1 + k 2 , преобразуем динамическое уравнение (57) к каноническому виду

Следовательно, показатели масштабной инвариантности частоты и матричного элемента равны a = 1, b = -2, u = 3/2 и v = -1. Этим показателям соответствуют энергетические спектры

i

Ck = t

Wk k
и

-3 2 -2 ky x

(65)

k1 +k 2 =k



V (k, k1, k 2 ) Ck1Ck 2 exp -i ( k1 + k 2 - k ) t . (61)

Wk k

-3 2 -3 ky x

.

(66)

В результате такого представления получаем выражение для матричного элемента взаимодействия

Спектр (65) связан с потоком энергии, а спектр (66) -- с потоком энстрофии. Численное моделирование коротковолновой изотропной ( k x = k y ) турбулентности волн, описываемых уравнением Чарни-Обухова, проведенное в работах ( Hasegawa et al., 1979; Williams, 1978), дает форму спектров, близкую к Wk k
-4

V (k, k1, k

2

)

k x k x1k

12 x2

k x1 kx 2 kx + - 1 + k 2 r 2 1 + k 2 r 2 1 + k 2r 2 1R 2R R

.

(62)

В работах (Balk et al., 1990; Сазонтов, 1980; Монин, Питербарг, 1987) матричный элемент получался в рамках гамильтонового формализма. При исследовании турбулентности будем рассмат2 ривать порознь коротковолновую, k 2 rR

. На пре-

делах применимости, т. е. при k x k y k , из (65) и (66) следует

1 , или длинноволновую,

Wk k

k k k

22 rR y

1, с оставляющие; кроме того, будем исследовать волны с k x . Согласно работам (Balk et al., 1990; Михайловский и др., kx .

1988), основная часть энергии волн Россби содержится в волнах с
y

ра лежит между двумя колмогоровскими. Дополнительный анализ локальности спектров, проведенный в работе (Михайловский и др., 1988), показывает, что спектр (65), связанный с потоком энергии, является локальным, а спектр (66), связанный с потоком энстрофии, -- нелокальным. Нелокальность спектра обусловлена длинноволно3 вой частью с k x k y . Эта часть спектра соответствует зональным

(

-7 2

,k

-9 2

)

, так что численное значение пок азателя спект-


26

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

27

течениям. Поток энергии в спектре (65) направлен в сторону больших kx и меньших ky, аналогичная закономерность наблюдается в численных экспериментах (Hasegawa et al., 1979, а также Williams, 1978). Поток энстрофии в спек тре (66) направлен в сторону малых ky. III.4. Длинноволновая турбулентность
22 1 для волн с k В длинноволновом приближении k rR дисперсионная часть частоты волны имеет вид y

IV. ГЕНЕРАЦИЯ ЗОНАЛЬНОГО ВЕТРА Исследуем динамику взаимодействия волн Россби с зональным ветром в турбулентной баротропной атмосфере. Так как зональный ветер изменяется в течение временных масштабов, больших, чем характерное время волн Россби, используем метод многомасштабного разл ожения, предполагая, что имеется большой интервал в области волновых чисел, разделяющий область мелкомасштабной турбулентности волн Россби и область зонального ветра. Следуя стандартной процедуре, представим возм ущение атмосферного давления в виде суммы низкочастотной и высокочастотной частей, p = p + p , где p (R, T ) соответствует крупномасштабным возмущениям давления в зональном ветре, а p (r, t; R, T ) -- возм ущению давления в мелк омасштабных волнах Россби, R и T -- большие масштабы, а r и t -- малые. Усредняя уравнение (9) по малым временным масштабам, получаем уравнение эволюции давления зонального ветра

k

x

2 k k x k y ,

(67)

т. е. частота масштабно инвариантна с показателями однородности a = 1, b = 2. (68) М атричный элемент (62) в рассматриваемом приближении равен

V (k, k1, k

2

)

k x k x1k

12 x2

(

k

3 x1

+k

3 x2

-k

3 x

)

.

(69)



2

2 ^ p = -f rR p, 2 p , T

{

}

(73)

Отсюда получаем u = 3/2, v = 3. Этим пок азателям соответствуют энергетические спектры (70)

Wk k
и

-3 2 -4 ky x

где черта означает процесс усреднения по малым временам. Правая часть в уравнении (73) описывает рейнольдс овские напряжения мелк омасштабных волн Россби. Взаимодействие волнового пакета мелкомасштабных волн Россби с зональным потоком описывается волновым кинетическим уравнением

(71)

Wk k

-3 2 -3 ky x

.

(72)

Nk k Nk k Nk + - + Nk = S , t k x x k

(74)

Спектр (72) связан с потоком энергии, а спектр (71) -- с поток ом энстрофии. Анализ л о к альности спек тров ( Мих айлов ский и др., 1988) пок азывает, что, как и в к оротковолновом приближении, спектр (72), связанный с потоком энергии, является л окальным, а спектр (71), связанный с потоком энстрофии, -- нелок альным. Нелокальность обусловлена длинноволновой частью спектра с k x k y , однако это противоречит исходному предпол ожению, ky kx .

где S -- правая часть в уравнении (47). Слагаемое с характеризует источники и стоки волн, которыми мы в данном разделе пренебрегаем. В отличие от предыдущего раздела, где определялось точное равновесное стационарное решение уравнения (74), соответствующее условию S = 0, ищем решение уравнения (74), когда левая часть уравнения равна нулю. Уравнения (73) и (74) описывают динамик у взаимодействия волнового пакета волн Россби с зональным ветром. Полагаем, что спек тр волн Россби состоит
0 0 из р авновесной и модуляционной частей Nk = Nk + Nk , Nk

Nk ,


28 а ч аст о та
rR2

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

29
2 0

в олн

предст авима

в

виде

0 k = k + k xV , гд е

^ V =f p y -- ге острофическ ая скорость зонального поток а, 0 ^ k xV . Считая, обусловленного конечным градиентом от p , и k ^ что Nk , p exp ( -i T + i qY ) , линеаризуем систем у уравнений (73) и (74). В результате получаем
2 ^ - ip = f rR2 k x k y pk dk

(

- qVg

) - (Vg
2

q

2

2

)

2

24 = 2f 2q 2 k0 rR pk

.

(79)

(

)

Отсюда выражение для инкремента Im , при этом действительная часть частоты равна нулю, Re = 0
24 = (2f 2q 2 k0 rR | pk 0 |2 -

q k

4 4

k )1/ 2 .

(80)

(75)

и
2 Nk = -iq 2 rR 0 k x v R Nk . - qVg k y

(76)

Полученное выражение для инкремента параметрической неустойчивости генерации зонального ветра справедливо, вообще говоря, на начальной квазилинейной стадии неустойчивости. Из (80) следует условие для масштабов структуры зонального ветра, при которых существует неустойчивость

Здесь Vg =k ky -- компонента групповой скорости. Учитывая,
2 что Nk = k pk 2

k и Vg = - 2k k

y

k 2 , получаем из системы урав-

нений (75) и (76)

f q 4 2 0< < 2 (81) (krR ) | pk 0 | . k k max При заданном значении k наиболее быстро растут возм ущения, удовлетворяющие условию f q 4 2 = ( krR ) | pk 0 | . k max k При этом максимальный инкремент равен
= f2 ( krR k
2 2

2

2

N 0 Vg k x f2 2 . = - q 2 rR dk k k y - qVg 2
В приближении
y y y

(77)

(82)

W k y - k y 0 , k W k y - k y 0 , k W k y - k y 0 , k из (77) следует

( ( (

) ) )

0 Nk = N 0 ( k x - k

x0

)

W k y - k y 0 , k
(box
y

(

y

)

,

гд е

--

ст упенчат ая
-1 y

ф ункция
y0

function),

)

6

pk

2 0

.

(83)

= k

при

ky - k

< k

y

2 , и k

k

y0

и

Для типичных значений параметров земной атмосферы на широт е 30њ, f 0, 8 10
-4

= 0 при всех остальных ky. В этом приближении

c

-1

6 , rR 4 10 м , pk 0 10

-2

, k0 rR 2 и

v R 3 10 2 м / c , 2, 4 10
-6 -1

получаем

инкремент

не уст ойчив ости

Vg - Vg k y Vg + Vg k y f2 4k = - q 2 rR x 0 N0 - , 2 2 k y - qVg + Vg k y q 2 - qVg - Vg k y q 2 (78)

c , соответствующий характерном у времени разви-

тия неустойчивости -1 5 дней. В результате развития неустойчивости формируется периодическая структура в меридиональном
-1 направлении с характерным масштабом qmax 3 106 м . Эти грубые оценки с огласуются с результатами наблюдений зонального ветра. Таким образом, рассмотренная неустойчивость может быть ответственна за генерацию зонального ветра.

где Vg Vg k y = - 2k y k k 2 . Из уравнения (78) в приближении
k y = q получаем


30

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

ПЛАНЕТАРНЫЕ ВОЛНЫ В АТМОСФЕРЕ. Обзор

31

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (05-05-64992 и 06-05-65176) и Программы Президиума РАН ? 16. Литература
Алишаев Д.М. О динамике двумерной бароклинной атмосферы // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т. 16. С. 99-107. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. Голицын Г.С. Введение в динамику планетарных атмосфер. Л.: Гидрометеоиздат, 1973. 104 с. Захаров В.Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности // Основы физики плазмы / Под. ред. А.А. Галеева и Р. Судана. Т. 2. М.: Энергоатомиздат, 1984. С. 48-79. Захаров В.Е., Львов В.С. О статистическом описании нелинейных волн // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1975. Т. 13. С. 1470-1487. Каменец Ф.Ф., Коробов И.И., Онищенко О.Г. Эволюция вихрей в атмосфере Юпитера, образовавшихся после столкновения планеты с кометой Шумейкера-Леви 9 // Письма в ЖЭТФ. 1996. ? 95. С. 324-329. Каменец Ф.Ф., Петвиашвили В.И., Пухов А.М. Упрощенная динамика мелкой бароклинной атмосферы // Известия РАН. Физик а атмосферы и океана. 1993. Т. 29. С. 457-463. Ларичев В.Д., Резник Г.М. О двумерных уединенных волнах Россби // ДАН СССР. 1976. Т. 231. С. 1077-1079. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической неустойчивости. М.: ИЛ, 1958. Михайловский А.Б., Лахин В.П., Онищенко О.Г., Смоляков А.И. К теории вихрей в плазме // ЖЭТФ. 1984. ? 86. С. 2061-2074, Михайловский А.Б ., Новаковский С.В ., Онищенко О.Г. Колмогоровские спектры слабой турбулентности неоднородной замагниченной плазмы // ЖЭТФ. 1988. ? 94. С. 159-171. Монин А.С., Жихарев Г.М. Океанские вихри // УФН. 1990. ? 160. С. 1-47. Монин А.С., Кошляков М.Н. Синоптические вихри, или волны Россби, в океане. Эксперимент и основы теории // Нелинейные волны: Сб. / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. С. 258-291. Монин А.С., Питербарг Л.И. О кинетическом уравнении для волн Россби- Блиновой // ДАН СССР. 1987. Т. 295. С. 816-820. Незлин М.В. Солитоны Россби // УФН. 1986. ? 150. С. 3-58. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. Вихри Россби и спиральные структуры. М.: Наук а, 1990. Обухов А.М. К вопросу о геострофическом ветре // Изв. АН СССР. География и геофизика. 1949. Т. 13. С. 281. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984. Т. 1. Гл. 3. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. [1]. Уравнения мел к ой атмосферы // ДАН СССР. 1988. Т. 300. С. 856-858. Петвиашвили В.И., Похотелов О.А. [2]. Уединенные вихри в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. 200 с.

Рэлей (Стретт Дж.В.). Теория звука. Т. 2. М.: Гостехиздат, 1955. С азонтов А.Г. Тонк ая струк т ура и синоптическ ая изменчивость морей. Таллин, 1980. С. 147-152. Тимофеев А.В. [1]. Резонансные явления в колебаниях неоднородных течений сплошных сред, Вопросы теории плазмы. Вып. 17 / Под ред. Б.Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1989. С. 157. Тимофеев А.В. [2]. Резонансные явления в к олебаниях плазмы. М.: Физматлит, 2000. 224 с. Aubert J., Brito D., Cardin P., Nataf H.-C., Masson J.-P. A systematic experimental study of spherical shell rotating convection in water and liquid gallium // Physics Earth Planet. Int. 2001. V. 128. P. 51. Aubert J., Jung S., Swinney H.L. Observations of zonal flow created by potential vorticity mixing in a rotating fluid // Geophysical Research Letters. 2002. V. 29. dpi: 10.1029/2002GL015422. Balk A.M., Nazarenko S.V., Zakharov V.E. On the nonlocal turbulence of drift waves // Physics Letters. A. 1990. V. 146. P. 217-221. Busse F.H. Convection-driven zonal flows and vortices in the major planets // Chaos. 1994. V. 4. P. 123. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. L.: Oxford Univ. Press, 1961. Charney J.G. On the scale of atmospheric motions // Geophys. Public Kasjones Norske Videnshap. Acad. Oslo, 1947. V. 17. P. 1-17. Cushman-Roisin B., Sutyrin G.G., Tang B. Two-layer geostrophic dynamics. Part 1: Governing Equations // J. Physics Oceanography. 1992. V. 22. P. 117-127. Flierl G.R., Malanotte-Rizzoli P., Zabusky N.J. Nonlinear waves and coherent vortex structures in barotropic в -plane jets // J. Phys. Oceanog. 1987. V. 17. P. 1408-1438. Galperin B., Sukoriansky S., Diakovskaya N. et al. Anisotropic turbulence and zonal jets in rotating flows with a в -effect // Nonlinear Geophysics: Proc. 2006. V. 13. P. 83-98. Hasegawa A., Maclennan C., Kodama Y. Nonlinear behavior and turbulence spectra of drift waves and Rossby waves // Physics Fluids. 1979. V. 22. P. 2122-2129. Horton W., Hasegawa A. Quasi-two-dimensional dynamics of plasmas and fluids // Chaos. 1994. V. 4. P. 227-251. Huang F.T., Mayr H., Reber C.A., Russel J., Mlynczak M., Mengel J. Zonalmean temperature variations inferred from SABER measurements on TIMED compared with UARS observations // J. Geophysical Research. 2006. V. 111, A10S07, doi.: 10.1029/2005JA011427. Kamenkovich V.M., Koshlyakov M.N., Monin A.S. Synoptic eddies in the ocean. Reidel Publication Computers. Netherlands, 1986. Li T., Fu B. Tropical cyclogenesis associated with Rossby wave energy dispersion of a preexisting typhoon. Part I: Satellite data analyses // J. Atmospherical Science 2006. V. 63 P. 1377-1409.


32

О.Г. Онищенко, О.А. Похотелов, Н.М. Астафьева

Li T., Ge X., Peng M. Satellite data analysis and numerical simulation of tropical cyclone formation // Geophysical Research Letters. 2003. V. 30. 2122, doi:10.1029/2003GL01556, Manfroi A.J., Young W.R. Slow evolution of zonal jets on the beta plane // J. Atmospherical Science. 1999. V. 56. P. 784-800. Onishchenko O.G., Pokhotelov O.A., Sagdeev R.Z., Shukla P.K., Stenflo L. Generation of zonal flows by Rossby waves in the atmosphere // Nonlinear Geophysics: Proc. 2004. V. 11. P. 211-244.

Read P ., Yamazaki Y., Williams S. et al. Jupiter 's and Saturn's convectively driven banded jets in the laboratory // Geophysica l Research Letters. 2004. V. 31. L22701, doi:10.1029/2004GL020106,
Rhines P.B. Waves and turbulence on a beta-plane // J. Fluid Mechanics. 1975. V. 69. P. 417-443. Rossby C.-G. Relation between variations in the intensity of the zonal circulation of the atmosphere and the displacement of the semi-permanent centers of action // J. Marine Research. 1939. V. 2. P. 38-55. Rossby C.-G. Planetary flow patterns in the atmosphere, Quart. // J. Royal Meteorological Society. 1940. V. 66. P. 68-87. Schaeffer N., Cardin P. Rossby-wave turbulence in a rapidly rotating sphere // Nonlinear Geophysics: Proc. 2005. V. 12. P. 947-953. Smolyakov A.I., Diamond P.H., Shevchenko V.I. Zonal flow generation by parametric instability in magnetized plasmas and geostrophic fluids // Physics Plasmas. 2000. V. 7. P. 1349. Stone P.H., Nemet B. Baroclinic adjustment: A comparison between theory, observations, and models // J. Atmospherical Science. 1996. Nњ 53. P. 1663- 1674. Stuart J.T. On finite amplitude oscillations in laminar mixing layers // J. Fluid Mechanics. 1967. V. 29. P. 417. Sukoriansky S., Galperin B., Chekhlov A. Large scale drag representation in simulations of two-dimensional turbulence // Physics Fluids. 1999. V. 11. P. 3043-3053. Swann A., Sobel A., Yuter S., Kiladis G. Observed radar reflectivity in convectively coupled Kelvin and mixed Rossby-gravity waves // Geophysical Research Letters. 2006. V. 33. L10804, doi:10.1029/2006GL025979. Terry P.W. Suppression of turbulence and transport by sheared flow // Reviews of Modern Physics. 2000. V. 72. P. 109-165. Vasavada A., Showman A. Jovian atmospheric dynamics: an update after Galileo and Cassini // Report Programm Physics. 2005. V. 68. P. 1935-1996. doi: 10.1088/0034-4885/68/8R06. Williams G.P. Planetary circulations. 1. Barotropic representation of Jovian and terrestrial turbulence // J. Atmospherical Science. 1978. V. 35. 1399-1426. Yano J., Talagrand O., Drossart P. Origins of atmospheric zonal winds // Nature. 2003. V. 421. P. 36.