Назад | Содержание курса | Литература

Интегральные преобразования.

Механико-математический факультет МГУ, кафедра математического анализа,

тел.939-18-01.

Авторы - проф. Прилепко Алексей Иванович, доц. Печенцов Александр Сергеевич.

Курс читается в 6 семестре для студентов специальности 011200 - геофизика.

Объем курса - 60 часов лекций.

Форма контроля. Курс завершается экзаменом.

Аннотация. Целью преподавания дисциплины является подготовка студентов к работе в области теории, практики и интерпретации геофизических исследований с использованием интегральных преобразований. Задачей курса является освоение основных понятий и методов интегральных преобразований.

Вверх

Содержание курса.

Ряды Фурье и преобразования Фурье.

1. Общие ряды Фурье. Неравенство и равенство Бесселя. Разложение в ряд Фурье и нахождение его коэффициентов.
2. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье, нахождение его коэффициентов. Амплитудный и фазовый спектры периодических функций и их свойства.
3. Прямое и обратное преобразование Фурье. Кратное преобразование Фурье и его обращение.
4. Регулярные и сингулярные обобщенные функции в D'. d -функция Дифференцирование обобщенных функций.
5. Пространство S - быстроубывающих функций. Пространство S' - медленно растущих обобщенных функций.
6. Кратное преобразование Фурье в S. Преобразование Фурье медленно растущих распределений. Свертка обобщенных функций.
7. Функция Шеннона, ее преобразование Фурье. Сигнал с ограниченным спектром. Теорема Пели-Винера в комплексной плоскости о финитности спектра.
8. Теорема Котельникова (теорема отсчетов) для сигналов с ограниченным спектром.
9. Предварительные понятия о фильтрации сигналов 1-ого, 2-ого, 3-его рода (неслучайные сигналы).
10. Дискретное и быстрое преобразование Фурье.
11. Преобразование Фурье f « F. Обратное преобразование Фурье (основная теорема для непрерывных функций).
12. Спектр сигнала, амплитудный и фазовый спектры непериодических сигналов и их свойства.
13. Свойства преобразования Фурье (линейность от производной, интегрирование сигнала, производная образа, свойство подобия оригинала и отображения).
14. Свертка. Образ Фурье от свертки.
15. Взаимнокорреляционная и автокорреляционная функции для неслучайных сигналов. Спектр мощности сигнала.

Преобразование Лапласа.

1. Оригинал и изображение одностороннего преобразования Лапласа. Аналитичность изображения.
2. Формула обращения преобразования Лапласа в связи с преобразованием Фурье.
3. Свойства преобразования Лапласа (линейность, дифференцируемость оригинала, интегрирование изображения, дифференцируемость изображения).
4. Свертка оригиналов. Образ Лапласа от свертки. Теорема умножения (свертка изображений).
5. Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы.
6. Теоремы разложения Хевисайда (без вывода). Вычисление оригиналов и изображений.
7. Физически реализуемые сигналы. Условия физической реализуемости сигнала по его спектру (без вывода).
8. Теорема Пели-Винера в вещественной области (необходимое и достаточное условие, чтобы амплитуда была данной для Ф.Р.С.).
9. Преобразование Гильберта. Гильбертова пара.
10. Двухстороннее преобразование Лапласа, связь с преобразованием Фурье.
11. Дискретные последовательности, их Z-преобразование и дискретное преобразование Лапласа.
12. Применение преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям n-ого порядка. Интеграл Дюамеля.
13. Импульсная (весовая) функция. Передаточная и переходная функции, их связь.
14. Понятие системы передачи сигналов: вход, выход, свертка. Разомкнутые и замкнутые системы, их передаточные функции.
15. Реакция звена на гармоническое воздействие. Периодический сигнал вход-выход. Связь между амплитудами и фазами периодических сигналов вход-выход.

Случайные процессы.

1. Элементы теории вероятностей. Среднее. Распределение вероятностей (мера). Непрерывное и дискретное распределение. Дисперсия. d (x)-стандартное отклонение.
2. Случайные процессы. Среднее по времени. Вззаимнокорреляционные и автокорреляционные функции по времени. Стационарные сигналы.
3. Спектральные плотности (мощности) взаимнокорреляционных и автокорреляционных функций.
4. Среднее. Взаимнокорреляционные и автокорреляционные функции по вероятности. Их спектральные плотности.
5. Стационарные и эргодические случайные сигналы.
6. Понятие о фильтрации случайных сигналов, вход, выход, помеха. Уравнение Винера-Хопфа и его решение (без вывода).

Различные вопросы интегральных преобразований.

1. Интегральные преобразования Абеля и Радона (простейшие понятия без вывода).
2. Многомерная теорема отсчетов Котельникова (без вывода). Фильтрация низких частот неслучайных сигналов.
3. Ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма -Лиувилля.
4. Полиномы Лежандра и ряды Фурье по ним.
5. Функции Бесселя. Уравнение цилиндрических функций, метод нахождения решений (без вывода).
6. Ассимптотические ряды. Единственность нахождения коэффициентов.
7. Сложение и умножение ассимптотических рядов.
8. Ассимптотика дифференциальных уравнений и специальных функций.
9. Шаровые и сферические функции. Их представление (без вывода).
10. Ряды Фурье по сферическим функциям.

Вверх

Литература.

1. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Курс математического анализа. Т.1,2.М., Наука, 1982.
2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математически анализ. Т.1,2.М., МГУ, 1985.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., Наука, 1972.
4. Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., Наука, 1965.

Назад | Вверх | Содержание курса | Литература