Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.gao.spb.ru/russian/conf_young/2010/tukmachev.doc Дата изменения: Tue Sep 28 20:16:18 2010 Дата индексирования: Tue Oct 2 01:33:51 2012 Кодировка: koi8-r

«Дифференциальное уравнение для потенциала на оси симметрии кругового
тора»






,
УдГУ, г. Ижевск, Тукмачев Д. В.

Круговой тор образуется вращением вспомогательной окружности радиуса
[pic] вокруг оси [pic]. Эта фигура с красивой пространственной симметрией
обладает интересными, но до сих пор малоизученными гравитационными
свойствами, ввиду математической сложности этой задачи. Ранее прямым
методом был найден потенциал однородного тора на оси симметрии. В
интегральном виде он записывается так:
[pic]
В данной работе будет рассмотрена задача вывода дифференциального
уравненияля потенциала тора на оси симметрии.
Вывод дифференциального уравнения для потенциала тора на оси симметрии.


[pic]
Вводим вспомогательное обозначение


[pic]

[pic]

[pic].
Получается связь


[pic]
Дифференцируем [pic]


[pic]

[pic]

Избавимся от Sґ

[pic]
[pic]
[pic]
Применяем линейный оператор
[pic] :

[pic]
[pic]
После сокращения на [pic] и умножения на [pic] получаем:
[pic]
Проверяем по представлению [pic] степенным рядом


[pic]







Произведем замену переменных

[pic] [pic]
[pic]
[pic]


[pic]

[pic]

Введем вспомогательную функцию N(l)

[pic]
[pic]

После подстановки в уравнение имеем

[pic]

Сократим на [pic]
[pic]
или

[pic].

Перейдем от [pic] к переменной [pic]

[pic] [pic]
[pic]

[pic]
После всех преобразований, получаем


[pic].