Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.cmc-online.ru/doc/students/fifth-year/questions2001_add1.doc Дата изменения: Thu Apr 26 16:35:19 2007 Дата индексирования: Fri Feb 28 20:31:11 2014 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: теория струн

2001 г. 1 поток Вопросы госэкзамена (дополнительная часть)
Кафедры: математической физики, вычислительных методов, автоматизации
научных исследований, нелинейных динамических систем, общей математики.

1. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных.
Достаточные условия.
2. Формулы Стокса, Остроградского.
3. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение
элементарных функций.
5. Ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек.
6. Билинейные и квадратичные формы. Приведение их к каноническому виду.
Закон инерции.
7. Принцип сжимающих отображений в полных метрических пространствах.
Примеры применения.
8. Гильбертовы пространства. Теорема Леви об ортогональной проекции.
9. Теорема Рисса о представлении линейного функционала.
10. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Вполне непрерывные
операторы.
11. Теорема Фредгольма.
12. Теорема Гильберта-Шмидта.
13. Функция Грина первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка. Условия существования решения краевой задачи.
14. Задача Штурма-Лиувилля и свойства ее решений. Теорема Стеклова.
15. Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и
начальных данных.
16. Постановка вариационных задач. Необходимые условия экстремума.
17. Вариационные задачи на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
18. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
Приведение к каноническому виду.
19. Первая краевая задача для уравнения колебаний струны. Интеграл энергии
и единственность решения первой краевой задачи.
20. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность
решения первой краевой задачи и задачи Коши.
21. Постановка внешних и внутренних краевых задач для уравнения Лапласа.
Условие разрешимости внутренней задачи Неймана.
22. Формулы Грина. Функция Грина для внутренней задачи Дирихле.
23. Примеры и канонический вид одношаговых итерационных методов решения
систем линейных алгебраических уравнений.
24. Теорема о сходимости итерационного метода для систем с симметрической
положительно определенной матрицей.
25. Интерполяционная формула Лагранжа и оценка ее погрешности.
26. Метод прогонки решения разностных уравнений.
27. Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость,
сходимость.
28. Разностная аппроксимация задачи Дирихле для уравнения Пуассона:
постановка разностной задачи, оценка погрешности.
29. Двуслойные разностные схемы для уравнения теплопроводности: построение,
исследование погрешности аппроксимации.
30. Исследование устойчивости по начальным данным схемы с весами для
уравнения теплопроводности.

Литература к дополнительной части вопросов для кафедр МФ, ВМ, АНИ, НДС,
ОМ

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ, т.1,
т.2.
2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального
анализа.
3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М.: Наука, 1974, 1998.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. - М.: Наука, 1974,
1998.
5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.:
Наука, 1966.
6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Курс обыкновенных
дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1980.
7. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.
8. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Основы теории аналитических функций
комплексного переменного. - М.: Наука, 1979.