Рассматриваются колебательные системы, которые описываются уравнениями Гамильтона. Для упрощения гамильтониана используются канонические преобразования. В гамильтоновой механике известны два вида канонических преобразований: первый строится с помощью производящих функций Гамильтона-Якоби, второй - с помощью генератора Ли, как отображение на фазовом потоке гамильтоновой системы. Предлагается новый третий способ построения канонических преобразований в параметрической форме. Метод оказывается удобным для асимптотического вычисления отображений Пуанкаре гамильтоновой системы с периодическим во времени гамильтонианом и исследования этой системы: построение фазовой картины, определения периодических решений. Задача устойчивости периодического решения сводится к задаче минимума и максимума параметризованной функции Пуанкаре. С помощью параметризованной функции можно решить задачу построения асимптотического разложения для инвариантной нормальной формы неавтономного гамильтониана. Соответствующий метод инвариантной нормализации автономных гамильтоновых систем был недавно разработан В.Ф. Журавлевым с помощью генератора Ли. Метод инвариантной нормализации позволяет найти асимптотику нормальной формы и замену переменных с помощью одной квадратуры и не зависит от того есть резонанс в системе или нет. Этим он существенно отличается от метода нормальной формы Биркгофа и по эффективности существенно превосходит его.

Методы иллюстрируются на решении следующих задач: исследования устойчивости сферического маятника с произвольной трехмерной вибрации точки подвеса и построение периодических решений, нелинейные колебания качающейся пружины при резонансе собственных частот, определение инвариантных кривых последовательности точек отображения Пуанкаре, описание образования структур в дисперсных смесях твердых частиц в жидкости, описание перехода к хаосу в гидродинамических задачах и другие задачи.

Основные публикации по теме доклада

1. Петров А.Г. Об усреднении гамильтоновых систем// МТТ, 2001, N 3. С. 19-32.
2. Петров А.Г. Параметрический метод отображений Пуанкаре в гидродинамических системах//ПММ, 2002. Т.~66. Вып.~6. С. 948-967.
3. Петров А.Г. Асимптотический метод построения отображения Пуанкаре при описании перехода к динамическому хаосу в гамильтоновых системах//ДАН, 2002. Т. 382, N 1. С.~15-19.
4. Петров А.Г. Модификация метода инвариантной нормализации гамильтонианов с помощью параметризации канонических преобразований// ДАН, 2002. Т. 386, N 4. Механика. С.~343-347.
5. Петров А.Г. Метод отображений Пуанкаре в гидродинамических системах. Динамический хаос в жидком слое между эксцентрично вращающимися цилиндрами// ПМТФ. 2002, N 6. С.~3-21.
6. Петров А.Г. Асимптотические методы решения уравнений уравнений Гамильтона с помощью параметризации канонических преобразований// Дифф. уравнения. 2004, Т. 40, N 5. С. 1-13.
7. Зарипов М.Н., Петров А.Г. Нелинейные колебания качающейся пружины// Доклады АН. Т. 399, N 3, 2004г. C. 347-352.
8. Петров А.Г. Об инвариантной нормализации неавтономных гамильтоновых систем// ПММ, 2004. Т.~68. Вып. 3. C. 402-413.

Фотографии