Я лично не знаю, что произойдет с этими кольцами, потому что представляю, как можно хотя бы гипотетически говорить о сравнении метрических свойств двух 3-мерных пространств, но как сравнивать динамическое поведение объектов не представляю.

Я, примерно, в том же положении. Но некоторые моменты не вызывают у меня, пока, сомнений.
Например, в 1)  все точки кольца (кроме R=R2=3Rg), чтобы двигаться с обусловленной скоростью, должны испытывать действие радиальной составляющей напряжения деформации. Должны испытывать действие в направлении от центра тяготения, постепено уменьшающееся до 0 в этом направлении. А для этого кольцо должно быть неравномерно растянуто в направлении к центру. И, по моим представлениям, число R1 должно характеризовать положение точек внутренней границы кольца, деформированного указанным образом. Но после "уничтожения" источника тяжести, подразумевалась остановка кольца и исчезновение деформаций и мой "качественный" ответ к 1)  относился, конечно, именно к таким условиям.

     Уважаемый ivanij, благодарю Вас за подробно выполненные расчеты. Это именно тот подход, который желательно применять всем тем, кто строит новые теории, а именно: все аккуратно подсчитать и опубликовать.

  Попробовал решить эту задачу классическими методами...
  Приложение см. ниже. 

Мне приятно, что Вы проявили интерес к моей теме и поучаствовали в ней конкретными расчетами. И я приглашаю Вас еще немного посотрудничать, если у Вас не пропал прежний интерес к теме. А у меня, благодаря вашему конструктивному участию, он только возрос.
Не знаю, подпитают ли ваш интерес к теме мои дальнейшие слова, или наоборот (хотелось бы первого),
но дело в том, что из строгих уравнений движения элемента кольца в поле тяготения следуют совсем другие условия движения этого элемента по окружности (или, как Вы их на языке статики называете - условия равновесия).
Попробую немного разъяснить свое замечание. Если будет что-то непонятно - спрашивайте. Нижняя кромка вашего кольца, это, условно говоря, орбита Земли. Угловая скорость кольца у Вас, это угловая скорость движения Земли по орбите. Но Земля, согласно современным воззрениям (ОТО) движется по своей орбите совершенно свободно (или, по-старинке, только под действием силы тяжести). И любой элемент кольца, на его нижней кромке, должен двигаться (при ваших условиях) так же свободно, как Земля. Т.е. на этот крайний элемент кольца не должен действовать соседний элемент кольца, расположенный, чуть дальше по радиусу. Другими словами, чтобы вращение вашего кольца соответствовало выбранным Вами условиям,  радиальное напряжение в кольце должно изменяться от максимума на верхней кромке кольца и до нуля на нижней кромке. И такое распределение радиального напряжения должно быть обеспечено деформацией  растяжения кольца в радиальном направлении.
Признаться, я решил эту задачу в общем-то виде. Только я получил не радиальное распределение напряжения, а радиальное распределение коэффициента, связывающего напряжение с радиальным изменением силы тяжести. А было бы очень интересно перевести это в напряжения так, как Вы попытались это сделать. Но для этого следует записать условие "равновесия" иначе. Вот, я и предлагаю нам посотрудничать.   

     Уважаемый ivanij, благодарю Вас за подробно выполненные расчеты. Это именно тот подход, который желательно применять всем тем, кто строит новые теории, а именно: все аккуратно подсчитать и опубликовать.

Подход к строительству новых теорий, безусловно, верный. Но подход к задаче, к большому сожалению, не верный. И упругие уравнения выводятся из неправильных уравнений движения, и граничные условия задаются неправильно.

     Неправильные уравнения движения и граничные условия? А какие, по-Вашему, правильные?

Сергей, я уже немного говорил об этом. Постараюсь выразить яснее, что я имею в виду. Если иметь "Солнечно-Земную" модель задачи, то следует учесть в ур-ях движения, по-меньшей мере, метрику Шварцшильда.
И закон Гука использовать с учетом именно таких ур-ий "равновесия".
С граничными условиями на нижней кромке, вроде бы все неплохо, но на верхней не так. Частицы кольца на верхней кромке должны быть подвержены действию радиальных напряжений. Действию, направленному радиально к центру тяготения. Иначе, двигаться с той скоростью (примерно 40км/с), которая заявлена, они не будут, т.к. верхняя кромка соответствует орбите, где-то между Землей и Марсом (ближе к Марсу), что соответствует свободной скорости (ПКС) чуть больше 24км/с. И, чтобы частицы верхней кромки кольца могли двигаться по своей окружности со скоростью 40км/с, их должно тянуть к центру что-то еще, кроме силы тяжести (это для  ivanij). Таким фактором могут быть, только радиальные напряжения деформации растяжения.
Мне кажется, Сергей, вместо того, чтобы  ivanij  "гладить по головке", Вам и мне следует посодействовать ему в правильной постановке его задачи, которая интересна и ему, и мне, и, думаю, интересна и Вам.

  Спасибо, конечно, за внимание, но замечу, что я здесь ни на что такое особое не претендую. Есть расчет, а правильно или нет пусть выскажутся другие.

 Ага, тонкий шнур! Надо проконсультироваться. Краем уха слышал, что и в классических рамках есть какие-то новые идеи. Но об этом позже.

тема о кольцах вообще?
надеюсь не будет оффтопом предложить обсудить выводы в конце вот этой темки