Ув. J. F.,  Я рискнул объединить две темы одинакового содержания.

Уважаемые участники форума, поскольку в нашей среде появились эрудированные релятивисты, рискну еще раз поставить на обсуждение, на мой взгляд, интересную тему.

 Предлагается вновь обсудить решение ОТО для центрально-симметричного вакуумного поля тяготения, известное как решение Шварцшильда. Анализ данного решение представляет большой интерес, поскольку оно обычно рассматривается в качестве математической модели экзотических квазизвездных объектов, "стянутых в точку" собственным полем тяготения, - "черных дыр".

  Данное  решение может быть записано в сферических координатах в виде набора отличных от нуля компонент метрического тензора gik
 g00 = 1- rg/r, g11 = - (1- rg/r)^(-1), g22 = - r ^ 2, g33 = -r^2 sin^2(tet), (1)
 где rg =2km/c^2 - гравитационный радиус поля, и k - гравитационная постоянная. (Надеюсь, отказ от опускания индексов метрического тензора не приведет к недоразумениям).
   
  Нас будут интересовать особенности центрально симметричного поля тяготения (ЦСПТ), отвечающего малым  значениям радиальной координаты r (0<r<2rg) и большой плотности массивного тяготеющего тела, когда rg достаточно велико. Считается, что метрика (1) описывает стационарный объект, причем переменная r может принимать значения от нуля до бесконечности. Поскольку характер решения резко изменяется при смене знака разности r - rg, принято вести речь о внешнем r > rg , и внутреннем r < rg  решениях Шварцшильда, описывающих единый объект. При этом в отличие от внешнего внутреннее решениe Шварцшильда считается не до конца понятым [1]. Внутренняя область зачастую представляется, как некое экстраординарное вместилище навсегда исчезнувших внутри"черной дыры" материальных объектов.

  Осмелимся утверждать, что вопреки принятому мнению, внешнее и внутреннее решения Шварцшильда описывают два резко различающихся объекта, причем в отличие от внешнего внутреннее решение описывает нестационарный объект. Действительно, при r<rg метрический коэффициент g11, отвечающий координате r, становится положительным, а коэффициент g00 при координате t - отрицательным, и таким образом вопреки первоначальному соглашению переменная r здесь играет роль временной координаты, а переменная t' - роль радиальной координаты. Метрические коэффициенты g00 и g11, являясь функцией r, теперь фактически зависят от времени, что и свидетельствует о нестационарном характере рассматриваемого решения.

  Проблемы с пониманием метрической структуры внешнего решения связаны с использованием шварцшильдовой системы координат, скрывающей монотонный характер изменения радиуса сферического сечения объекта при изменении радиальной координаты. В рассматриваемой системе отсчета внешнее решение как бы обрывается при r<rg, хотя фактически оно может иметь симметричное продолжение. Это становится понятным при сохраняющей метрику (1) замене dr на -dr в выражении для ds^2. Сказанное выше иллюстрируется на рис.1б, где показана  поверхность вращения метрически изоморфная центральному сечению внешнего решения Шварцшильда. На рис.1а показана образующая линия названной поверхности, причем толстыми линиями показана основная часть шварцшильдова поля, а тонкие линии отвечают его продолжению.
 
   По-видимому, полное ЦСПТ,показанное на рис 1б в теоретическом плане может быть использовано для описания объекта, соединяющего две вселенные, однако оно непригодно для описания квазизвездных объектов, в частности так называемых "черных дыр". При описании звездных объектов может использоваться лишь частичное вакуумное ЦСПТ, отвечающее области изменения радиуса сферического сечения r>rg, которое "сшивается" с внутренним материальным решением Шварцшильда [1], где радиус поперечного сечения изменяется в диапазоне от 0 до r1>=rg, см. рис.1в.


 В теоретическом плане большой интерес представляет предельное внешнее решение Шваршильда, отвечающее квазиточечному источнику поля тяготения, когда радиус тела достигает своего минимального значения. Такое поле можно получить следующим путем. Представим себе тяготеющее тело в виде полой сферы радиуса  r>rg и массы m. Легко понять, что внутри сферического тела пространство является плоским, а снаружи его описывается частичным вакуумным РШ. Образующая линия поверхности вращения, метрически изоморфной плоскому центральному сечению рассматриваемого поля, показана на рис 2а.
 При этом внутренняя область характеризуется замедлением времени протекания процессов в соответствии с коэффициентом к = v(1 - rg / R). Поле тяготения, отвечающее сингулярному источнику получается путем уменьшения радиуса сферического тела при сохранении его массы до достижения равенства R= rg = 2Gm/c2. При этом во внутренней области объекта ход времени замедляется до нуля, и эта область объективно никак не проявляется, что отмечено пунктирной линией на рис 2б, где изображена образующая линия изоморфной поверхности y = 2 v(rg(r-rg)). Очевидно, вместо ожидаемой точечной, реально мы имеем дело со сферической сингулярностью. Центральная область  r<rg здесь, как и в случае чисто вакуумного РШ, не имеет физического смысла.


 Как было отмечено ранее, при r<rg вакуумное ЦСПТ описывает нестационарный объект, причем переменная r играет роль временной координаты, а переменная t - радиальной координаты. Для избежания дальнейших недоразумений целесообразно взаимно заменить обозначения рассматриваемых координат, после чего компоненты метрического тензора будут иметь следующий вид:
g00 = (1 - rg/t)^(-1),  g11 = -(1- rg/t), g22 = -t^2,  g33= -(t sin(tet))^2.  (2)
 Легко понять, что  радиус сферического сечения объекта здесь не зависит от радиальной координаты и совпадает с временной координатой. Таким образом изучаемый объект представляет собой своеобразный туннель со сферическим сечением, постоянным вдоль его длины и изменяющимся во времени.
  Таким образом, рассмотренное выше нестационарное вакуумное решение Шварцшильда описывает самостоятельный изолированный от вселенной континуальный объект и представляет собой формальное математическое образование, которое не имеет никакого отношения к реальной действительности.
 
 В работе [2] рассматривается несколько новых, отличных от шварцшильдовской, координатных систем с монотонно изменяющейся метрикой при переходе через границу r = rg, главной из которых является система Крускала-Шекереса (КШ). Казалось бы приведенные выше рассуждения о независимости решений для внешнего и внутреннего ЦСПТ не верны. Но это не так. Никакая, корректно введенная (с невырожденным якобианом преобразования), система координат не может изменить физическую сущность объекта или явления. Новая система может лишь облегчить или усложнить понимание физической сущности явления. Классический пример - облегчение понимания законов небесной механики при переходе от геоцентрической системы Птолемея к гелиоцентрической системе Коперника.
  Однако упомянутые преобразования КШ как раз характеризуются вырожденностью якобиана при r = rg (бесконечность его членов). Говоря конкретнее, разрывность исходных метрических коэффициентов здесь скомпенсирована разрывным преобразованием координат по КШ. Естествено, при этом искажена физическая картина поля. Кроме того, понимание физической картины поля затруднено переходом к времязависимым координатам, что создает кажущуюся зависимость внешнего решения от времени. Образно выражаясь, вводя систему координат КШ, мы делаем шаг назад - от системы Коперника к системе Птолемея, совершая к тому же ошибку в математических преобразованиях.

Более подробно см. http://olvov1.narod.ru/
   Литература
1) Л.Ландау, Е.Лифшиц. Теория поля, т.2, "Наука", 1967
2) Ч.Мизнер, К.Торн, Д.Уиллер. Гравитация, т. I-III, "Мир", 1977г.

 P.S. Чтобы появились картинки надо сохранить файл и повторно его открыть.

 С уважением. О.Львов   

Уважаемый О.Л. Отмеченное Вами свойство решения Ш. было описано много лет тому назад (1961г.)
известным астрофизиком И.Новиковым. Это свойство было ошибочно интерпретировано  И.Новиковым, как
переход времени в пространство, что физически абсолютно недопустимо. С математической точки зрения,
это говорит о том, что при переходе через горизонт, происходит смена сигнатуры, метрического тензора.
В наше время это принято рассматривать как указание на запрет перехода через горизонт, либо как указание
на неприменимость ОТО для описания явлений под горизонтом.   

С уважением.

     Цитата Макс Диполь: "Сумеете вы запустить один фотон в непроницаемой камере, вы вероятней всего и получите искомую траекторию. Ну и последнее, целью эксперимента была лишь демонстрация наличия траектории. Такая траектория имеется"

     Уважаемый Макс, согласуйте, пожалуйста, этот Ваш эксперимент с единичным фотоном и его "траекторией" с соотношением неопределенностей.

Спасибо, Олег, за столь интересный комментарий.

Поэтому, Сергей, отсюда можно сделать единственный вывод - само понятие фотона(частицы) - ошибочно. Что это за частица, которая не имеет ни траектории, ни локализации? Единственно - пустышка, ложно обозначенное явление, которое частицей не является. А если подобное обозначение является некорректным для реального явления, то что уже говорить о "фотонах виртуальных", которые пытаются увязать со статическим векторным полем. Да, пора уже физикам доставать бритву Оккама.

   По поводу возможности наблюдения траектории фотона состоялся обстоятельный диспут в прошлом году (топик 6125). Пришли к выводу, что такое невозможно. КЭД же вообще отвергает наличие пространственной волновой функции фотона, и считает бессмысленным вести речь о какой-либо его локализации в пространстве.

Не соглашусь. См.
http://www.astronomy.ru/forum/index.php/topic,11383.20.html
Ответ 35.

Цитировать

Макс Диполь: можно сделать единственный вывод - само понятие фотона(частицы) - ошибочно. Что это за частица, которая не имеет ни траектории, ни локализации? Единственно - пустышка, ложно обозначенное явление, которое частицей не является

 Не так здесь все просто, Макс. Траектория единичного фотона ненаблюдаема. Но зато наблюдается акт его взаимодействия с микробъектом малого размера. Например, даже в том случае, когда длина волны излученного фотона и возможная область его наблюдения, многократно больше шага атомной решетки, вследствие воздействия фотона происходит возбуждение только одного атома.
 По моему разумению, в качестве волновой функции системы фотонов можно использовать вектор-потенциал волнового ЭМП. А вот волновая функция отдельного фотона - большой вопрос.

Вот про вектор-потенциал очень показательно. А вообще к чему затевался весь этот разговор. Ставился вопрос о том, каким образом распространяются "виртуальные фотоны" статического векторного поля [диполя]? Ответ был - никаким. С фотонами реальными более менее понятно, во всяком случае это наблюдается на опыте - это прямолинейный луч света. Однако мы имеем дело с векторным полем, которое пытаются описывать "виртуальными фотонами". Отсюда возникает вопрос, если в.ф. отвественны за его распространение, то каким образом они распространяются? И главное, каким образом они формируют векторное поле? Ответ был примерно следующий - они никак не распространяются, однако как-то формируют. Надо полагать, нужно просто уверовать в их существование

Цитировать

  J.F. (сообщение взято из темы "Осмысливание квантовой теории"): Уважаемый "lvov" Проблема с т.н. решениями Шварцшильда и Леметра состоит не в том, что они удовлетворяют или не удовлетворяют уравнениям ОТО. Да удовлетворяют. Проблема в том, что это так называемые обобщенные решения а такие решения часто лишены физического смысла. Это так называемые инстантоны-обобщенные решения в сингулярной калибровке. Для того чтобы придать таким решениям физический смысл необходимо ввести дополнительные аксиомы выходящие за рамки ОТО.
 Однако в классической теории ЧД сделаны неверные предположения. При правильном построении теории  горизонт правильной физической  ЧД закрыт за счет бесконечной кривизны. На самом деле инстантонам можно придать строгий смысл, только если выполнить квантование. При квантовании, поправки делают все компоненты метрического тензора бесконечными.... Однако ждите полной версии моей работы.

  Уважаемый  J.F., извините, но мне кажется проблема внутреннего и сшитых с разрывным якобианом решений Шварцшильда (РШ) в том, что, будучи получены без должного обоснования, они остаются не понятыми. Не осознано, что представляет собой сшивка внешнего и внутренего РШ при наличии разрыва производных функции преобразования координат. По моим понятиям разрыву координатной производной отвечает появление на поверхности разрыва некоторой распределенной массы - действительной или фиктивной  (положительной, отрицательной или комплексной).
  Не понято, что представляет собой центральная точечная сингулярность внутреннего РШ. Ведь сингулярностей с точечной действительной массой ОТО не допускает. В сообщении 73 я обращал внимание на то обстоятельство, что при увеличении плотности массы соответствующая область пространства ввиду увеличения его гауссовой кривизны замыкается и самоизолируется от основного пространственного континуума. Реальная распределенная масса не может полностью располагаться внутри сферы Шварцшильда. Надо попытаться осмыслить внутреннее и сшитое РШ в рамках ОТО. Насколько я понимаю, здесь не требуется какой-либо модернизации ОТО, и уж совсем ни к чему квантоваие поля тяготения.
 
  С уважением  О.Львов

Ivov:
 "Ведь сингулярностей с точечной действительной массой ОТО не допускает"...
  Совершенно верно. Классическая ОТО вообще не допускает никаких сингулярностей.
Все решения содержащие сингулярности это т.н. обобщенные решения, а значит  уже  не совсем ОТО.
Все енти Шварцшильды, Леметры, Крускалы и т.п. это уже не ОТО.
Но никто не запрещает такие решения рассматривать и пытаться дать им физическую интерпритацию.
Оказывается кроме известных решений этого типа, существует еще класс решений у которых кривизна
на горизонте бесконечна. Я в своей бумаге их явно не приводил. В полном варианте все это будет
приведено. Как только закончу писанину вышлю. Просто у меня сейчас нету времени этим специально
заниматься, поэтому дело затянулось.
С уважением J.F.

1).  Хартиков Сергей:  Но ведь дело не в том, чтобы все решения получать только преобразованиями из координат Шварцшильда. Главное - это удовлетворить уравнениям Эйнштейна, что у рассматриваемых координат и решений в порядке
   ...куча народу за 20-й век перепахали ОТО вдоль и поперек.

 lvov: "В настоящее время мне представляется актуальной задача показать некорректность хотя бы части (а со временем всех) из множества предложенных новых ЦСР ОТО"
   2) ...при переосмысливании переменных t и r, оно (внутреннее РШ) приобретает физический смысл, и  уже, не будучи центрально-симметричным и статическим, может рассматриваться в качестве пульсирующего гравитационного тоннеля

1) Уважаемый Сергей (Хартиков) и др. господа, видимо Вы согласитесь со мной, что весьма эффектным является вакуумное ЦСР Леметра, приводимое в Ландау (п.100). Решение получено разрывным преобразованием координат из известного решения Шварцшильда. Оно гладкое во всем диапазоне изменения временной и пространственных переменных, причем значение исходной переменной r охватывает диапазон от нуля до бесконечности. И сингулярность имеется только в центре. Хорошая модель "черной дыры"!
Правда решение, будучи нестационарным, не вполне понятно. На первый взгляд можно даже подумать,что в центре образуется "дыра", расширяющаяся со скоростью света. Но Ланд-Лифшицы мастерски показывают логичность данного решения.

Естественно, раздумывая над проблемой сшитых ЦСР, я прежде всего пытался поглубже осмыслить именно данное решение Леметра. Попытался найти метрическую карту центрального сечения (синхронная система отсчета времени этому благоприятствует), и, к своему изумлению, обнаружил, что сечение плоское!? Тогда я решил поискать неразрывное преобразование координат, приводящее к каноническому описанию плоского пространства, и без труда его обнаружил. Его вид:
 t=τ и  r = ( 3/2 (R - ct))^2/3 rg^1/3. В новых сферческих координатах метрика каоническая g_tt=1, g_rr=-1, g_θθ=-r². Более глубокий анализ показывает, что здесь имеет место не одно плоское пространство, а пара совмещенных плоских пространств: для R>ct и R<ct.
   
Возникает вопрос: Неужели разрывное преобразование координат в корне меняет исходныю метрику - ведь вместо искривленного центральным массивным телом пространства Шварцшильда возникло плоское Галилеево пространство без централной особенности. Вот тебе и "черная дыра"!!!

Уважаемые господа, объясните, пожалуйста, прав ли я, или где-то ошибка:  у меня или Леметра? (P.S. В формуле 100.3 есть описка: показатель степени у вторых квадратных скобок  4/3, а не 4/2).

2) В части описания внутреннего РШ в очередной раз признаю свою ошибку. После взаимозамены временной и радиальной координаты это решение по-прежнему остается центрально-симметричным.

С уважением О.Львов

Цитата lvov: " В формуле 100.3 есть описка: показатель степени у вторых квадратных скобок  4/3, а не 4/2)"

     В седьмом издании эта исправлено.

     Цитата lvov: " Его вид: t=τ и  r = ( 3/2 (R - ct))2/3 rg1/3. В новых сферческих координатах метрика каоническая gtt=1, grr=-1, gθθ=-r2. Более глубокий анализ показывает, что здесь имеет место не одно плоское пространство, а пара совмещенных плоских пространств: для R>ct и R<ct."

     Уважаемый Олег, чего можно ожидать от частичного обратного преобразования? Предыдущая формула из Ландау-Лифшица - это и есть r = ( 3/2 (R - ct) )^2/3 r_g^1/3. Вы, видимо, ошиблись при вычислении dR - на самом деле:

dR = sqrt(r/r_g)*dr + c*dτ

Тогда dR² = (r/r_g)*dr² + c²*dτ² + 2c*sqrt(r/r_g)*dr*dτ, а метрика

ds² = c²(1 - r_g/r)*dτ² - dr² - r²*dO² - 2c*sqrt(r_g/r)*dr*dτ

     Как видно, метрика весьма далека от галилеевой.

     Цитата lvov: "И сингулярность имеется только в центре. Хорошая модель "черной дыры"! "

     Ни Шварцшильд, ни Леметр, ни многие другие решения не являются моделью черной дыры: это решения только для пустого пространства (вне материи). И если их прослеживать до центра, то они становятся решениями с точечной массой в центре. Настоящая модель черной дыры значительно сложнее: в уравнениях Эйнштейна (при приближении к центру) надо учитывать тензор энергии-импульса материи (в том числе плотность и давление), поэтому такое решение отсутствует в Ландау-Лифшице из-за его сложности. А там с центральной сингулярностью имеются разные варианты: она далеко не всегда появляется. Еще сложнее, если нет точной симметрии.

Цитата lvov: "Однако я бы не торопился с выводом, что каноническая метрика решения Леметра (РЛ) далека от галилеевой. Иначе, как объяснить, что в РЛ при едином отсчете времени для каждого его значения мы имеем дело с плоским центральным сечением. Да и полученная Вами метрическая форма (1) не отвергает возможность галилеевой метрики: снова имеем плоское центральное сечение при фиксированном значении временной переменной. Возможно, все дело в том, что мы с Вами просто пока не знаем формулы преобразования координат для перехода к канонической галилеевой метрике."

     Уважаемый Олег, здесь все достаточно просто: как Вам известно, любое риманово пространство (с любой метрикой сигнатуры +---) позволяет в каждой отдельной точке ввести локально-инерциальную (а значит, и галилееву) систему отсчета выполнением некоторого преобразования координат. Более того, это всегда можно сделать и вдоль заданной мировой линии. Вы это и делаете, рассматривая Ваши сечения.
     Однако, в условиях, когда тензор Римана не равен нулю (что имеет место в решении Шварцшильда) невозможно ввести единую галилееву систему координат сразу во всем пространстве-времени - это точный математический факт (нулевой тензор везде остается таковым).
     Чтобы понять, что полученная мною форма (1) не имеет никакого отношения к плоскому пространству, надо вычислить 3-мерную пространственную метрику. Имеем:

     g₀₀ = 1 - r_g/r, g₁₁ = - 1, g₂₂ = - r², g₃₃ = - r²sin²ф, g₀₁ = - sqrt(r_g/r)

     пространственный 3-мерный метрический тензор   y_ab = - g_ab + g_0a*g_0b/g₀₀

     Отсюда видно, что все компоненты y_ab совпадают с галилеевой метрикой в сферических координатах, кроме:

     y₁₁ = - g₁₁ + g₀₁*g₀₁/g₀₀ = 1 + (r_g/r)/(1 - r_g/r) = 1/(1 - r_g/r),

     то есть мы получаем в точности ту пространственную метрику, которая приведена в Ландау-Лифшице для решения Шварцшильда. Это легко объяснимо: та метрика, которую мы обсуждаем, получена возвратом к старой координате r и отличается от координат Шварцшильда лишь преобразованным временем, что на пространственный тензор, естественно, не влияет.

     Цитата lvov: "Сергей, насколько я понимаю, ОТО не допускает действительной точечной центральной массы. Центральная действительная масса может существовать одно мгновенье, после которого она разлетается из центра. Что же касается стационарной центральной сингулярности (внутреннее РШ), то здесь, вроде бы имеет место фиктивнная мнимая масса.  В сообщении ?73 (в конце его) я пытался обсудить проблему точечной массы в ОТО, но никто не отреагировал на мое замечание по этой проблеме.
  Подводя итог, я бы констатировал: решение Леметра остается не понятым."

Цитата lvov: "!!! Можно показать, что точечная снгулярность принципиально недопустима в рамках ОТО, если вспомнить из космологических выкладок, что гауссова кривизна R пространства пропорциональна плотности массы. При уменьшении объема тела плотность массы и гауссова кривизна растут как 1/r^3, а радиус кривизны пространства - как 1/(r^3/2). При достаточной плотности массы, ввиду более быстрого уменьшения радиуса его гауссовой кривизны, по сравнению с радиусом массивного тела, пространство, включающее тело становится самозамкнутым и меньшим по объему исходной обласит размещения тела. Налицо противоречие: ОТО ограничивает плотность массы внутри заданного объема."

     Конечно, сама по себе точечная масса является идеализацией. Однако, указанных Вами проблем в ОТО нет. Дело в том, что нельзя применять выводы космологических теорий к решению Шварцшильда по следующей причине: космологические решения получены в предположении однородности ВСЕГО пространства (без исключения), тогда как решение Шварцшильда получено для явно неоднородного пространства.