Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.astronet.ru/db/msg/1190817/node24.html
Дата изменения: Sat Jan 22 23:02:31 2005
Дата индексирования: Wed Dec 26 19:43:07 2007
Кодировка: Windows-1251

Поисковые слова: столовая гора
Астронет > Сферическая астрономия
Rambler's Top100Astronet    
  по текстам   по ключевым словам   в глоссарии   по сайтам   перевод
 

На первую страницу << 4.1. Основные параметры Земли | Оглавление | 4.3. Геоцентрическая и геодезическая >>

4.2. Уравнение геоида

Для вычисления уравнения геоида используем формулу (4.1) и вычислим потенциал притяжения тела произвольной формы. Полученные выражения будут использоваться при вычислении прецессионного и нутационного движения осей Земли.

Потенциал точки с массой на расстоянии равен:

(4.4)

Сила притяжения этой точки другой точки с массой равна:

(4.5)

Подставляя в (4.5) выражение (4.4) и используя (4.3), получим хорошо известную формулу Ньютона:

- единичный вектор, направленный от точки с массой к точке с массой .

Используем выражение для потенциала точки (4.4) и найдем потенциал притяжения элемента массы тела произвольной формы в точке ( - плотность, зависящая от координат элемента объема ). Для этого определим систему координат с началом в центре масс тела (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Вычисление потенциала в точке

Будем считать, что точка расположена вне тела. Расстояние от точки до элемента массы , находящегося в точке с координатами , равно , а до точки равно . Тогда потенциал в точке равен

(4.6)

где - расстояние от точки до точки , - угол между отрезками и . Найдем разложение знаменателя по степеням до членов третьего порядка, предполагая, что :
 
   
  (4.7)

Традиционное представление потенциала имеет вид:

где - полиномы Лежандра (см. приложение A.6). Индекс называется степенью полинома Лежандра, причем

Чтобы найти потенциал в точке от всех точек тела, проинтегрируем (4.6) во всему объему тела, используя разложение (4.7):

(4.8)

Первый член соответствует потенциалу точки с массой , расположенной в начале координат . Второй член равен нулю, так как начало координат совпадает с центром масс тела. Это легко доказать. В самом деле, центр масс тела - это точка , радиус-вектор которой относительно некоторой системы координат равен:

где -радиус-вектор элемента массы . Если центр масс тела совпадает с началом системы координат, то , следовательно . Это доказывает утверждение, что второй член в (4.8) равен нулю.

Определим осевые моменты инерции Земли относительно осей , соответственно, следующим образом:

   
   
   

Тогда третий член в (4.8) можно представить в виде:

   
   

Так как произведение равно перпендикуляру , опущенному из точки на прямую , то четвертый интеграл в (4.8) равен моменту инерции тела относительно оси . Следовательно, гравитационный потенциал потенциал тела произвольной формы в точке , расположенной вне тела, равен:

(4.9)

Выразим теперь момент инерции тела относительно оси через направляющие косинусы этой прямой относительно осей . Пусть . Тогда

Так как вектор имеет компоненты , то имеем согласно (2.17):

Отсюда

Раскрывая скобки и подставляя в четвертый интеграл в (4.8), получим:

   
   

Интегралы

называются центробежными моментами инерции твердого тела. Осевые и центробежные моменты инерции тела определяют его тензор инерции:

В системе главных осей недиагональные компоненты тензора равны нулю, а осевые (или главные) моменты относительно осей обозначим как , соответственно, т.е. тензор инерции имеет вид

Таким образом, если координатные оси системы совпадают с главными осями тензора инерции, то

Обозначим угол между и осью через . Тогда

Предположим, что . В этом случае момент инерции равен

Подставляя в (4.9) найдем окончательное выражение для гравитационного потенциала в точке :

(4.10)

Для Земли главные моменты инерции равны    кг$·$ м$^2$,    кг$·$ м$^2$,    кг$·$ м$^2$,    кг$·$ м$^2$. Относительная разность экваториальных моментов и равна . Поэтому часто считают, что