<< 4.1. Основные параметры Земли | Оглавление | 4.3. Геоцентрическая и геодезическая >>
4.2. Уравнение геоида
Для вычисления уравнения геоида используем формулу (4.1) и вычислим потенциал притяжения тела произвольной формы. Полученные выражения будут использоваться при вычислении прецессионного и нутационного движения осей Земли.
Потенциал точки с массой на расстоянии равен:
Сила притяжения этой точки другой точки с массой равна:
Подставляя в (4.5) выражение (4.4) и используя (4.3), получим хорошо известную формулу Ньютона:
Используем выражение для потенциала точки (4.4) и найдем потенциал притяжения элемента массы тела произвольной формы в точке ( - плотность, зависящая от координат элемента объема ). Для этого определим систему координат с началом в центре масс тела (рис. 4.1).
Будем считать, что точка расположена вне тела. Расстояние от точки до элемента массы , находящегося в точке с координатами , равно , а до точки равно . Тогда потенциал в точке равен
где - расстояние от точки до точки , - угол между отрезками и . Найдем разложение знаменателя по степеням до членов третьего порядка, предполагая, что :
Традиционное представление потенциала имеет вид:
Чтобы найти потенциал в точке от всех точек тела, проинтегрируем (4.6) во всему объему тела, используя разложение (4.7):
Первый член соответствует потенциалу точки с массой , расположенной в начале координат . Второй член равен нулю, так как начало координат совпадает с центром масс тела. Это легко доказать. В самом деле, центр масс тела - это точка , радиус-вектор которой относительно некоторой системы координат равен:
Определим осевые моменты инерции Земли относительно осей , соответственно, следующим образом:
Тогда третий член в (4.8) можно представить в виде:
Так как произведение равно перпендикуляру , опущенному из точки на прямую , то четвертый интеграл в (4.8) равен моменту инерции тела относительно оси . Следовательно, гравитационный потенциал потенциал тела произвольной формы в точке , расположенной вне тела, равен:
Выразим теперь момент инерции тела относительно оси через направляющие косинусы этой прямой относительно осей . Пусть . Тогда
Так как вектор имеет компоненты , то имеем согласно (2.17):
Отсюда
Интегралы
Таким образом, если координатные оси системы совпадают с главными осями тензора инерции, то
Обозначим угол между и осью через . Тогда
Для Земли главные моменты инерции равны кг$·$ м$^2$, кг$·$ м$^2$, кг$·$ м$^2$, кг$·$ м$^2$. Относительная разность экваториальных моментов и равна . Поэтому часто считают, что