Астронет > 8.3 Физика искривленного пространства-времени

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 8.2 Параллельный перенос векторов | Оглавление | 8.4 Гравитационное красное смещение... >>

8.3 Физика искривленного пространства-времени

В отсутствие гравитационного поля физика разворачивается в псевдоевклидовом пространстве Минковского с метрикой

$\displaystyle ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2.$

При наличии гравитации, т. е. в ОТО, будем считать, что пространство искривлено:

$\displaystyle ds^2=g_{ik}(x)\,dx^idx^k,\;\;g_{ik}=g_{ki}$

(8.1)

(по повторяющимся индексам предполагается суммирование).

Если задан метрический тензор $g_{ik}$ (для краткости будем говорить ``метрика'' $g_{ik}$ ),то можно найти геодезические в пространстве-времени, т. е. определить движение частиц в гравитационном поле.

В данной точке квадратичную форму (1) можно диагонализовать и привести ее к метрике Минковского^8.2.

В общем случае можно разложить $g_{ik}$ в ряд Тейлора в окрестности точки

$\displaystyle g_{ik}(x)=g_{ik}(x_0)+{\partial g_{ik}\over{\partial x}}\Delta x+{1\over 2} {\partial^2 g_{ik}\over{\partial x^2}}(\Delta x)^2+...$

Преобразованием системы координат в данной точке всегда можно обратить в нуль первые производные $g_{ik}$ . Для этого достаточно перейти в свободно падающую систему отсчета. Но произвольную совокупность всех вторых производных $g_{ik}$ никакими преобразованиями системы координат уничтожить нельзя.

Если рассматривать квадратичные эффекты, например, относительные ускорения удаленных частиц, то можно заметить приливные силы. Невесомость существует лишь если ограничиться первым порядком по $\Delta x$ . Таким образом, одна частица ``не чувствует'' гравитационного поля, но система с разнесенными массами ``чувствует''. Глобально гравитационное поле всегда можно обнаружить.

Таким образом, в членах первого порядка по $\Delta x$ эффект гравитации компенсируется ускорением свободного падения -- в этом и состоит точная формулировка принципа эквивалентности. (Более грубая формулировка: ``Силы инерции эквивалентны некоторому полю тяготения''.)

Итак, кривизна пространства характеризуется двадцатью независимыми числами $R^i_{klm}$ . Естественно связать $R^i_{klm}$ с веществом.

В ньютоновской теории потенциал гравитационного поля определяется плотностью вещества $\rho\,$ [г/см]. Можно перевести плотность вещества $\rho$ в плотность энергии $\varepsilon=\rho c^2$ . В специальной теории относительности $\varepsilon$ является 00-компонентой тензора энергии-импульса

$\displaystyle T_{ik}= \left( \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} \varepsilon & ... ...2 & . \\ j_3 & . \\ \end{array} & T_{\alpha\beta} \\ \end{array}\right).$

Тензор $T_{ik}$ состоит из величин, которые по отношению к трехмерным, чисто пространственным поворотам ведут себя как скаляр $\varepsilon$ , вектор $\vec{j}$ (поток энергии-импульса на единицу объема) и трехмерный тензор натяжений $T_{\alpha\beta}$ , диагональные члены которого характеризуют давление, а недиагональные -- вязкость.

Мы видим, что вещество характеризуется тензором второго ранга.

Эйнштейн получил уравнения поля в виде

$\displaystyle R_{ik}-{1\over 2}g_{ik}R={1\over{c^2}}\kappa T_{ik},\quad \kappa={8\pi\;G\over{c^2}}\;,$

где $R_{ik}=g^{lm}R_{limk},\;R=g^{ik}R_{ik}$ . Из этих уравнений следует (в случае слабых полей) закон тяготения Ньютона и, кроме того, автоматически выполняются законы сохранения^8.3.

В электромагнитной теории заряд сохраняется, но движение заряда произвольно. В ОТО $T_{ik}$ не может быть любым -- движение должно соответствовать законам механики, т.е. законам сохранения энергии и импульса. Нет метрики, где вещество сначала покоилось, а потом все в целом самопроизвольно начало бы двигаться. Кроме того, оказалось, что из уравнений ОТО получаются не только законы движения материальных точек (т. е. законы механики), но и (с небольшим произволом) законы свободного электромагнитного поля(уравнения Максвелла). Это породило в свое время массу надежд. Казалось, что всю физику можно вывести из ОТО. Однако попытки создать единую теорию поля к успеху не привели.

Число уравнений Эйнштейна равно числу компонент тензора второго ранга, а полное описание пространства задается тензором четвертого ранга $R_{klm}^i$ . В двумерном и трехмерном пространстве-времени задание $R_{ik}$ однозначно определяет $R_{klm}^i$ , в четырехмерном мире это не так: условие $R_{ik}=0$ совместимо с $R_{klm}^i\ne 0$ . Это означает, что гравитационное поле может существовать и без источников -- это, например, гравитационные волны.

Еще английский математик Клиффорд высказал идею, что у пространства должна быть собственная упругость. В некотором смысле ОТО является развитием этой идеи. В лагранжиан входит кривизна $R=g^{ik}R_{ik}$ :

$\displaystyle L={c^3\over{16\pi \;G}}\int\;RdV\;,$

где

-- четырехмерный объем. (Если задаться таким лагранжианом и лагранжианом других полей и частиц, то при варьировании метрики можно получить уравнения ОТО, что и сделал Гильберт.) Можно наглядно представить себе, что

описывает упругость пространства, ``стремление'' пространства оставаться плоским. Константа $c^3/16\pi G$ , характеризующая упругость вакуума, велика, и пространство искривлено слабо, из-за того, что велика его упругость.

Может смутить то обстоятельство, что константа $c^3/16\pi G$ размерна, поэтому непонятно, относительно чего она является большой. В безразмерном виде силу гравитационного взаимодействия характеризует константа $Gm^2/\hbar c$ , аналогичная константе электромагнитного взаимодействия $e^2/\hbar c=1/137$ . Из вида константы сразу получаем массу, характерную для гравитационного взаимодействия (так называемая планковская масса, сравните аналогичные рассуждения о слабом взаимодействии и о массе -бозона в разделе 7.4):

$\displaystyle m_{pl}=\sqrt{{\hbar c\over G}}=10^{-5}\;\mbox{г}.$

Характерная квантовая длина этой массы:

$\displaystyle l_{pl}={\hbar\over{m_{pl}c}}=\sqrt{{G\hbar\over{c^3}}}=10^{-33}\;$ см $\displaystyle .$

Легко убедится, что $l_{pl}$ совпадает как раз с гравитационным радиусом $r_{g}$ для планковской массы. Таким образом, искривление пространства велико на расстоянии $l_{pl}$ от массы $m_{pl}$ . Для известных элементарных частиц $m\sim 10^{-24}\,{\mbox г}\ll m_{pl}$ , $l\sim 10^{-13}\,{\mbox см} \ll l_{pl}$ , т. е. эффекты гравитации и искривления пространства в объеме известных элементарных частиц чрезвычайно малы. Это и доказывает большую упругость вакуума.

Нельзя ли получить упругость пространства из каких-то более общих соображений? Из квантовой теории мы знаем, что вакуум обладает нулевыми колебаниями, которые, в частности, дают поправки в уровнях атома водорода (Лэмбовский сдвиг). Может быть такие эффекты приводят и к упругости вакуума? Такой подход удалось сформулировать, но при этом оказалось, что в теорию необходимо вводить частицы с массой $m_{pl}$ .

Таким образом, есть два принципиально различных направления:

1) из теории тяготения вывести существование частиц с $m_{pl}$ .

2) из теории частиц получить константу . (Подробнее см. книги Я.Б.Зельдовича и И.Д. Новикова ``Релятивистская астрофизика'' и ``Теория тяготения и эволюция звезд'').

<< 8.2 Параллельный перенос векторов | Оглавление | 8.4 Гравитационное красное смещение... >>

Публикации с ключевыми словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы
Публикации со словами: Эволюция звезд - внутреннее строение звезд - термоядерные реакции - физические процессы

См. также:

Туманность Кошачий глаз: переобработка данных космического телескопа

Кошачий глаз в ширину и глубину

Двойная звезда φ Персея

Эта Киля в рентгеновских лучах

Туманность Кошачий глаз

Планетарная туманность Стухшее Яйцо

Туманность Эскимос в обновленный телескоп Хаббла

Все публикации на ту же тему >>

Обсудить эту публикацию

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце