Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=45 Дата изменения: Fri May 5 15:24:48 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:02:47 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: arp 220

Секция: Математика
Гимназия ?4, г. Подольск
Теория вероятностей, её суть и роль в науке
Рубанов Дмитрий
Класс: 11
142115, г. Подольск, ул. Космонавтов, д. 20, кв. 63
тел.: (27)65-43-12
Научный рук-ль: Мельникова Лариса Евгеньевна, учитель математики
Введение. Теория вероятностей, математическая наука, позволяющая по
вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных
событий, связанных каким-либо образом с первыми.
Утверждение о том, что какое-либо событие наступает с вероятностью, равной,
например, Ѕ, ещё не представляет само по себе окончательной ценности, так
как мы стремимся к достоверному знанию. Окончательную познавательную
ценность имеют те результаты Теории вероятности, которые позволяют
утверждать, что вероятность наступления какого-либо события А весьма близка
к единице или вероятность не наступления события А весьма мала. В
соответствии с принципом "пренебрежения достаточно малыми вероятностями"
такое событие справедливо считают практически достоверным. Имеющие научный
и практический интерес выводы такого рода обычно основаны на допущении, что
наступление или не наступление события А зависит от большого числа
случайных, мало связанных друг с другом факторов. Поэтому можно также
сказать, что Теория вероятностей есть математическая наука, выясняющая
закономерности, которые возникают при взаимодействии большого числа
случайных факторов.
Предмет теории вероятности. Для описания закономерной связи между
некоторыми условиями S и событием А, наступление или не наступление
которого при данных условиях может быть точно установлено, естествознание
использует обычно одну из следующих двух схем: а) при каждом осуществлении
условий S наступает событие А. Такой вид имеют все законы классической
механики, которые утверждают, что при заданных начальных условиях и силах,
действующих на тело или систему тел, движение будет происходить однозначно
определённым образом. б) При условиях S событие А имеет определённую
вероятность P (A / S), равную р.
Назовем частотой события А в данной серии из n испытаний (то есть из n
повторных осуществлений условий S) отношение h = m/n числа m тех испытаний,
в которых А наступило, к общему их числу n. Наличие у события А при
условиях S определённой вероятности, равной р, проявляется в том, что почти
в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А
приблизительно равна р.
Статистические закономерности, то есть закономерности, описываемые схемой
типа (б), были впервые обнаружены на примере азартных игр, подобных игре в
кости. Очень давно известны также статистические закономерности рождения,
смерти (например, вероятность новорождённому быть мальчиком равна 0,515).
Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа
статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п.
Возможность применения методов Теории вероятностей к изучению
статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга
областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда
удовлетворяют некоторым простым соотношениям. Изучение свойств вероятностей
событий на основе этих простых соотношений и составляет предмет Теории
вероятностей
Основные понятия теории вероятностей. Каждое испытание Т, рассматриваемое в
элементарной Теории вероятностей, таково, что оно заканчивается одним и
только одним из событий E1, E2,..., ES (тем или иным, в зависимости от
случая). Эти события называются исходами испытания. С каждым исходом Ek
связывается положительное число рк - вероятность этого исхода. Числа pk
должны при этом в сумме давать единицу. Рассматриваются затем события А,
заключающиеся в том, что "наступает или Ei, или Ej,..., или Ek". Исходы Ei,
Ej,..., Ek называются благоприятствующими А, и по определению полагают
вероятность Р (А) события А, равной сумме вероятностей благоприятствующих
ему исходов:
P (A) = pi + ps + . + pk (1)
Частный случай p1 = p2 =... ps = 1/S приводит к формуле
Р (А) = r/s. (2)
Формула (2) выражает так называемое классическое определение вероятности, в
соответствии с которым вероятность какого-либо события А равна отношению
числа r исходов, благоприятствующих А, к числу s всех "равновозможных"
исходов. Классическое определение вероятности лишь сводит понятие
"вероятности" к понятию "равновозможности", которое остаётся без ясного
определения
Пример. При бросании двух игральных костей каждый из 36 возможных исходов
может быть обозначен (i, j), где i - число очков, выпадающее на первой
кости, j - на второй. Исходы предполагаются равновероятными. Событию А -
"сумма очков равна 4", благоприятствуют три исхода (1; 3), (2; 2), (3; 1).
Следовательно, Р (A) = 3/36 =1/12.
Исходя из каких-либо данных событий, можно определить два новых события: их
объединение (сумму) и совмещение (произведение). Событие В называется
объединением событий A 1, A 2,..., Ar,-, если оно имеет вид: "наступает или
A1, или А2,..., или Ar".
Событие С называется совмещением событий A1, А.2,..., Ar, если оно имеет
вид: "наступает и A1, и A2,..., и Ar". Объединение событий обозначают
знаком х, а совмещение - знаком г. Таким образом, пишут: B = A1 х A2 х . х
Ar, C = A1 г A2 г . г Ar. События А и В называют несовместными, если их
одновременное осуществление невозможно, то есть если не существует среди
исходов испытания ни одного благоприятствующего и А, и В.
С введёнными операциями объединения и совмещения событий связаны две
основные теоремы Теории вероятностей - теоремы сложения и умножения
вероятностей. К числу основных формул элементарной Теории вероятностей
относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1,
A2,..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие,
то для любого события В его вероятность равна сумме. Наиболее
распространённая в настоящее время логическая схема построения основ теории
вероятности разработана А. Н. Колмогоровым. При изучении какой-либо
реальной задачи - методами Теории вероятностей выделяется множество U
элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне
описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому
рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из
событий А связываются определённые числа Р (A), называемые их вероятностями
и удовлетворяющие условиям
1) 0 ё Р (А) ё 1, 2) P (U) = 1, 3) Если события A1,..., An попарно
несовместны и А - их сумма, то Р (А) = Р (A1) + P
(A2) + . + Р (An).
Для создания полноценной математической теории требуют, чтобы условие 3
выполнялось и для бесконечных последовательностей попарно несовместных
событий. Свойства неотрицательности и аддитивности есть основные свойства
меры множества. Теории вероятностей может с формальной точки зрения
рассматриваться как часть меры теории. Основные понятия Теории вероятностей
получают при таком подходе новое освещение. Случайные величины превращаются
в измеримые функции, их математические ожидания - в абстрактные интегралы
Лебега и т.п. Однако основные проблемы Теории вероятностей и теории меры
различны. Основным, специфическим для Теории вероятностей является понятие
независимости событий, испытаний, случайных величин. Наряду с этим Теория
вероятностей тщательно изучает и такие объекты, как условные распределения,
условные математические ожидания и т.п.
При формальном изложении Теории вероятностей предельные теоремы появляются
в виде своего рода надстройки над ее элементарными разделами, в которых все
задачи имеют конечный, чисто арифметический характер. Однако познавательная
ценность Теории вероятностей раскрывается только предельными теоремами. В
ряде физических и химических исследований возникла потребность
рассматривать случайные процессы, то есть процессы, для которых определена
вероятность того или иного их течения. В Теории вероятностей случайный
процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных
величин Х (t). В подавляющем числе приложений параметр t является временем,
но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно
говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает
целочисленные значения, случайная функция называется случайной
последовательностью.
Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория
стационарных случайных процессов.. Теория случайных процессов тесно связана
с классической проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин.
Литература:
1. Математическая энциклопедия (гл. редактор И. М. Виноградов,
редакционная коллегия: С. И. Адян, П. С. Александров, Н. С. Бахвалов,
В. И. Битюцков и др., M., Издательство «Советская Энциклопедия», 1977
г.)
2. Вероятность в играх и развлечениях ( Морис Глеман и Тамаш Варга, М.,
«Просвещение», 1979 г.)
3. Математика: плоскость и пространство, деревья и графы, комбинаторика
и вероятность ( Т. Варга, М., «Педагогика», 1978 г.)