Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=165 Дата изменения: Fri May 5 15:26:04 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:33:12 2012 Кодировка: koi8-r

ТРЕУГОЛИРОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА


Занимательная математика принадлежит к числу наиболее любимых
читателями жанров популярной литературы. Решая ее нестандартные
своеобразные задачи, люди испытывают радость приобщения к творческому
мышлению, интуитивно ощущают красоту и величие математики. Недаром видный
английский математик Дж.Литлвуд заметил, что хорошая математическая шутка
лучше дюжины посредственных работ. Поэтому свою работу, которую мы
отнесли бы к разряду математических головоломок, нам хочется разместить
именно на этой подсекции.

Можно ли разрезать квадрат на меньшие квадраты так, что среди
последних никакие два не будут одинаковыми?

Долгое время считали, что эта чрезвычайно трудная математическая
задача неразрешима. Преодолеть все трудности удалось лишь после того, как
задача была переведена на язык теории электрических цепей, а затем снова на
язык геометрии плоских фигур.
Эта задача была решена в 1936-1938 годах четырьмя студентами Тринити-
колледжа Кембриджского университета: Т.Таттом, К.А.Б.Смиттом, А.Г.Стоуном
и Р.Л.Бруксом.

Ознакомившись с решением данной проблемы, нам захотелось попробовать
свои силы в решении подобных задач для плоских фигур. Мы начали с
треугольника. В данной работе не будет рассматриваться равносторонний
треугольник, т.к. он требует другого подхода. Итак,

Можно ли разрезать треугольник на меньшие треугольники, подобные
данному так, что среди последних никакие два не будут одинаковыми (можно ли
растреуголировать треугольник)?

Мы допускаем , что существуют более известные и простые решения
данной проблемы, но, к сожалению, мы с ними не знакомы.


















ТРЕУГОЛИРОВАНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО НЕРАВНОБЕДРЕННОГОТРЕУГОЛЬНИКА

Безусловно, все мы знаем простейший вид треуголирования
прямоугольного неравнобедренного треугольника - этот случай
рассматривается в школьной программе. Достаточно лишь провести высоту к
гипотенузе (см. рис. 1).

A
D






C
B

Рис. 1

Очевидно, что (ABC ( (ACD ( (CBD
Если против равных углов (ADС и (BDC лежат равные стороны, то (ACD = (CBD
( если (ABC - равнобедренный, то данное разбиение - не треуголирование .

( Любой прямоугольный неравнобедренный треугольник - треугольник
второго порядка первой степени, т.е. треуголируется на два единственным
способом (порядком треуголирования треугольника назовем количество
треугольников, на которые треуголируется исходный, а степенью
треуголирования - количество таких разбиений)

ТРЕУГОЛИРОВАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Попытаемся вывести общую формулу треуголирования произвольного
треугольника (рис.2)


[pic] A1
(
Рис.2

( ( B1
A2 ( ( ( (


( ( (
A3 ( ( ( B2

(
( ( (
(
A4 B3
C


Очевидно, что (A1B1A2 ( (B1A2B2 ( (A2B2A3 ( (B2A3B3 ( (A3B3A4 (
(B3CB1 ( (A1CA4 , т.к. все они имеют одинаковые углы ((, (, ().
( Данное разбиение будет являться треуголированием, если среди
треугольников (A1B1A2, (B1A2B2, (A2B2A3, (B2A3B3, (A3B3A4, (B3CB1 нет
равных между собой.
Найдем условие, при котором (A1B1A2, (B1A2B2, (A2B2A3, (B2A3B3,
(A3B3A4 не равны между собой.
Соответствующие стороны треугольников (A1B1A2, (B1A2B2, (A2B2A3,
(B2A3B3, (A3B3A4 образуют геометрическую прогрессию со знаменателем равным
(sin (/ sin () , что следует из теоремы синусов
Например: A1A2= A2B1 * sin (/ sin (, B1B2 = A2B1 * sin ( / sin (
( B1B2 /A1A2 = sin (/ sin ( и т.д.

(Чтобы треугольники (A1B1A2, (B1A2B2, (A2B2A3, (B2A3B3, (A3B3A4 не были
равны между собой, необходимо, чтобы (sin (/ sin () ( 1
sin ( = sin ( в том случае, если ( = ( или ( = (180( - ()
Но ( + ( + ( = 180( ( ( ( (180( - () (т.к. ( ( 0()
( Для того, чтобы (sin (/ sin () ( 1 , необходимо , чтобы ( ( (

Теперь найдем условие, при котором ни один из (A1B1A2, (B1A2B2,
(A2B2A3, (B2A3B3, (A3B3A4 не равен (B3CB1

Очевидно, что (B1A2B2 ( (B3CB1, (B2A3B3 ((B3CB1 (т.к. B1B2, B2B3 и
B1B3 - стороны, лежащие в этих треугольниках против углов равных (, а B1B3
= B1B2 + B2B3 ( B1B3 ( B1B2; B1B3 ( B2B3)
Докажем, что (A2B2A3 ( (B3CB1
Т.к. B1B2 < B1B3; и B2B3 = B1B2 * (sin ( / sin ()ќ
( B1B2 * (sin ( / sin ()ќ < B1B3,
Но A2A3 = B1B2* sin ( / sin (;
(sin ( / sin () > 0 , т.к. 0( < ( < 180( , 0( < ( < 180(
( Рассмотрим два случая
1. Если (sin ( / sin () > 1 ,
то B1B2* sin ( / sin ( < B1B2 * (sin ( / sin ()ќ < B1B3,
2. Если же (sin ( / sin () < 1 ,
то B1B2* sin ( / sin ( < B1B2 < B1B3,
( A2A3 = B1B2* sin ( / sin ( < B1B3
((A2B2A3 ( (B3CB1, что и требовалось доказать.

Осталось доказать, что (A3B3A4 ( (B3CB1 и (A1B1A2 ( (B3CB1
Легко понять, что (A3B3A4 = (B3CB1, если A3A4 = B1B3
Аналогично (A1B1A2 = (B3CB1, если A1A2 = B1B3
Однако, если (sin ( / sin () > 1, то A1A2 < B1B2 < B1B3
( (A1B1A2 ( (B3CB1
Если же (sin ( / sin () < 1, то A3A4 < B2B3 < B1B3
( (A3B3A4 ( (B3CB1
Пусть (sin ( / sin () = t, причем 0 < t < 1 (случай t > 1 рассматривается,
если поменять значениями ( и ();
Т.к. 0 < t < 1 ,то
( Нужно доказать, что (A1B1A2 ( (B3CB1
Но B1B3 = B1B2 + B2B3 = A1A2*t+ A1A2*tЁ =A1A2*t*(1+tќ)
(A1A2 ( A1A2*t*(1+tќ)
(1 ( t*(1+tќ)
Решим уравнение
xЁ + x -1 = 0

Применяя формулу Кардано получаем, что


x0=[pic] + [pic], где a = [pic]

( t ( x0 , т.к. 0 < x0 < 1
( (A3B3A4 ( (B3CB1 и (A1B1A2 ( (B3CB1 , если


(sin ( / sin () ( [pic] + [pic], где a = [pic] и

(sin (/ sin () ( [pic] + [pic], где a = [pic]





( (ABC - треугольник шестого порядка третьей степени, если
( ( ( ( (
(sin ( / sin () ( [pic] + [pic], где a = [pic]
(sin ( / sin () ( [pic] + [pic], где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]


( (ABC - треугольник шестого порядка второй степени, если
( ( ( ( (

(sin ( / sin () = [pic] + [pic],где a = [pic]

(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]
(sin (/ sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]



( (ABC - треугольник шестого порядка первой степени, если

1. ( = ( ( (

(sin ( / sin () ( [pic] + [pic],где a = [pic]


(sin (/ sin ( ) ( [pic] + [pic],где a =
[pic]


3. (sin (/ sin ( ) = [pic] + [pic],где a = [pic]

(sin (/ sin ( ) = [pic] + [pic],где a = [pic]


ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ



Рассмотрим (A1A5C такой, что A1C = A1A5, (A5A1C = (,


(A1CA5 = (A1A5C = ( и


1. (sin ( / sin ( ) = [pic] + [pic], где a = [pic] или


2. (sin ( / sin ( ) = [pic] + [pic], где a = [pic]


A1

(

B1 ( A2
(
A3
B2 ( (




B3 (
( A4







(

C B4
A5
Рис.3


Способ треуголирования этих треугольников аналогичен общему
виду, только мы откладываем на отрезке B1B4 не два, а три отрезка.
Аналогично доказываем, что (A1B1A2 ( (B1A2B2 ( (A2B2A3 ( (B2A3B3 ( (A3B3A4
( (B3A4B4 ( (A4B4A5 ( (B4B1C ( (A1A5C (общие углы (,(,(). Легко доказать,
что соответствующие стороны треугольников (A1B1A2, (B1A2B2, (A2B2A3,
(B2A3B3, (A3B3A4, (B3A4B4 и (A4B4A5 образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем равным (sin (/ sin () (из теоремы синусов)
Легко доказать, что (B1A2B2 ( (B4B1C; (A2B2A3 ( (B4B1C; (B2A3B3 ( (B4B1C;
(A3B3A4 ( (B4B1C; (B3A4B4 ( (B4B1C.
Осталось доказать, что (A1B1A2 ( (B4B1C; (A4B4A5 ( (B4B1C
( A1B1 ( B1B4 и
A4B4 ( B1B4
Пусть (sin (/ sin () = t
Но A4B4 = A1B1*t6
A B1B4 = B1B2 + B2B3 + B3B4 = A1B1 * t*(1 + tќ + t4)
( A1B1 ( A1B1 * t*(1 + tќ + t4) и
A1B1 ( A1B1*t6
( t6 ( 1 и
t5 + tЁ + t ( 1
Но и x0 = [pic] + [pic], где a = [pic]
и x1 = 1/x0 удовлетворяют данным выражениям
( Данное разбиение является треуголированием для треугольников с данными
углами
( Эти треугольники - треугольники восьмого порядка первой степени


БИБЛИОГРАФИЯ
Мартин Гарднер "Математические головоломки и развлечения" - Москва,1994