Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/distance/abitu_fizteh/abitu_math/13_math-arpg5tnkn63.pdf Дата изменения: Thu Feb 18 17:34:10 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 23:27:36 2012 Кодировка: Поисковые слова: внешние планеты

Abitu.ru 13. .
. y x y x a x , a 0 a 1 . x , -- y




.

a :

y ax , a 1
:
x

y ax , 0 a 1
x

1. a 1 y x a ­ . 0 a 1 y x a ­ . 2. y x a x 0;1 . 3. a b , x y :

a

x



1 ax
xy

ax a y a
ax a ay

x y

a x b x ab



x

a

xy

a

x y

ax a bx b

x

log a b b a



a 0, a 1, b 0 ,
log a b

a , b . : a ln b b , e 2, 718 ), .. ln b log e b . :

b.



b 0 b e ( e ­

a 0, a 1 b 0, b 1 . n ­ . x 0 y 0 :

log a 1 0
log a x l og b x log b a

log

a



x y log a x log a y

loga xn n loga x
1 log an x log a x , n 0 n

x log a log a x log a y y

.


­ a b

x



a 0, a 1 .
d

, b 0 , x log a b , b 0 . , a x a



a 0, a 1 x d .

fx ­ a b a 0, a 1 .

:
f x a g x f x g x . 1. a 0 , a 1 : a f x b g x f x g x loga b . 2. a 0 , b 0 , a 1 : a

( ). ­ y g x



f x



g x


0 .
f x

g x . , g x





h( x)


g x

0 .



f x

e

f x ln g x

, g x



f x



h ( x) e

f x ln g x



h( x )

f x ln g x ln h( x ) . :

g x



f x



g x



h x







f x h x , g x 0; g x 1, x .

. . 1. 3 : , 81 34 , : 3
x 5 x 5

812

x 1

.

812

x 1

3

x 5

3

4 2 x 1



x 5 4 2 x 1

x 5 8x 4

x 5 8 x 4, x 5 0, x 5 8 x 4, x 5 0. 1 : x . 9

9 x , 7 x 5, 1 x . 9 1 x , 9 x 5.

, . 2. 27 x 13 18x 12 x 13 8x 0 .


: 33x 13 9 x 2 x 22 x 3x 13 23 x 0 1 . 3x t 2 x p . , t 0 , p 0 .
2


2 2

1
2



: t 3 13t 2 p 13 p 3 p 2t 0 .
2 2







1

:

t t p 13 p t p



x 32 x 2 2 x , t 2 p 2 , 0 t p t 13 p 0 x x t 13 p , 3 13 2 ,
2

0,
x . 3 13. 2

x 0 x log 3 13 . :

x 0 , x log 3 13 .
2

, . 3. 2 5 : , 100 2 5 . : 2 5
2 2 x x2 x x x2 x

100 .

100 2 5

x

x2 x

2 5 2

2

2

x 2

5

x2 2 x

1 2

x 2

5

x 2 x

1

.

1

. ,

1





x2 x 2 ln 2 ln 5 x



x 2, x 2, ln 5 0 x . x log 2 5. ln 2 x 2 x log 2 5 .

ln 5 x 2 ln 2 x

:

x 2 , x log 2 5 .

, . 4. 2 3 : , 2 3 : 2 3





x 2 2 x 1

2 3





x 2 2 x 1

84 3 .

1 ( 2 3 2 3 ). 2 3





x 2 2 x 1

2 3





x 2 2 x 1

84 3



2 3 2 3





x2 2 x

2 3 2 3







x2 2 x

4 2 3





2 3





x2 2 x

1 2 3

x2 2 x

4 1 .

t 2 3





x2 2 x



t 2 3 , t 0 , 1 t 2 4t 1 0 . t 2 3.

t , .


1) t 2 3 , 2 3 2) t 2 3 , 2 :



3

x2 2 x

2 3 x2 2x 1 x2 2 x 1 0
1 x 2 2 x 1 2 3

x 1 2 .

x2 2 x



x 1 0

2

x 1.

x 1 2 , x 1.

. , . . 5. [ 1985] 16s :
in 2 x

12 2

4 cos 2 x

.

16

sin 2 x

12 2

4 cos 2 x

16sin x 12 23 21
in 2 x

2

co s 2 x

16

sin 2 x

12 8 2

2 sin 2 x

4

2 sin 2 x

12 8 4sin x .

2

t 4s

. , t 0 . t :

t 2, t , . t 2 8t 12 0 t 6. 2 n 1 1 co s 2 x 1 1) t 2 , 4sin x 2 si n 2 x ,nZ . co s 2 x 0 x 2 2 2 42
2) t 6 , 4 :
s in 2 x

6 . , 4

s in 2 x

4 , sin 2 x 1 .

x

n ,nZ . 42

. f x; y k 0 , t

f tx; ty t k f x; y . f x; y x y , ,
y k , 6. 3 1 6 x 3 6 x 2 81x . : k 2 4 x 9 x . 9
x x x
2x

x . y

0 . , :

16 4 4 3 2 . t . , t 0 . 81 9 9
3t 2 t 2 0

t 1, . t 2 . 3
x

2 1 2 4 t 0 , t 1 ­ . , t , , x . 3 3 2 9 1 : x . 2


, . 7. 3 x 4 x 5 x . : 5 x 0 . , :



3 4 1 . , x 2 ­ . , . 5 5
x x

x

x

3 4 , 5 5 ( , f ( 2) 1 ) . : x 2. f x
, . 8. x 1 :
x 1

x 2 2 x 1 .

2x



x 1

x 1

x 2 x 1
2

2x





x 1

x 1

x 1

4x



x 1 4 x, 1 x 3 , x 1 0; x 0. x 0.

:

1 x , x0. 3

. 9. [ 1974] :

2 15 x 15 y 5 x 3 y , x y y x x 2 3 5 3 9 .

2 3x 5 y x 3 9 x , , y 3 5 2 15 x 1 5 y , . : 3 9 x . , 3 y 5x
, :

2 15 x 15 y 5 x 3 y , , , x y x y 2x 2 15 15 5 3 3 3 .

4 15 x 5x 3 y 3 y 3 32

x



.

3y , 5 x 0 5x
x y

x . : 4 3 x 3 y 1 32 y 3 32 x 4 3

1 33

2 x y



.


t 3
2

x y

. , t 0 . t :

t 1, 3t 4t 1 0 1 t , . t . 3
1) t 1 , 3 x . 2) t
x y

1 , , x y 0 . , y x . :

2 15x 15 x 5x 3x , 15x 15 x 0 . , 15 x 0 15 x 0
1 , 3 3
x 1

: 2 15 x 15

1 , , x y 1 . , y x 1 . 3 1 1 5x 3x 1 2 15 x 15 x 1 3 15x 15 x 1 15x x 1 x x , y . 2 2
x y



; . :

1 2

1 2

1 1 ; . 2 2
.

1. 2 2. 2
x 1

6 x 2 7 x 2

23

x2 5 x

9.

3x 0, 5 6

2 x

.

3. 4 x 2 x 56 . 4. 4 15





x

4 15



x

62 .
2 ctg 2 x 2

1

5. [ 1985] 10 4 6.

sin 2 x

16 4

.

1 3 2x

x

5.
x

7. 2 x 3



9 12 x 4 x

2



x

3



x 3 2 x 2 x y x y



.

8. [ 1974]

2 3 2 3

2 2

3 y y

6 33 y 2 6 3y 2

x y

9 x 8 y ,

y x

3 2 y.

4 2010 . - "-" : .., .., .. E-mail: abitu@phystech.edu, fmicky@gmail.com : www.abitu.ru