Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://shg.phys.msu.ru/educat/nlo/nlo_2/13-14.pdf Дата изменения: Wed Mar 12 16:11:45 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:12:21 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: векторное поле

Лекции 13-14

Генерация магнитоиндуцированной второй гармоники
В средах с макроскопической намагниченностью - ферромагнетиках и парамагнетиках, находящихся в насыщающем внешнем магнитном поле, возможна генерация магнитоиндуцированной ВГ (МВГ), или магнитного нелинейно-оптического эффекта Керра. Особенности явления МВГ обусловлены аксиальной природой вектора намагниченности.
Элементы антисимметрии

В природе существует ряд векторных физических величин - угловая скорость, момент силы, напряженность и индукция магнитного поля, намагниченность - меняющих знак при инверсии времени. Они являются аксиальными векторами или псевдотензорами, а их пространственные преобразования отражают временную неинвариантность. Аксиальные вектора характеризуются направлением вращения. Группа симметрии аксиального вектора - /m - отличается от группы симметрии полярного вектора m и является центросимметричной - аксиалный вектор инвариантен относительно инверсии. Зададим произвольный ортонормированый полярный векторный базис e1 e2 e3 . Построим на нем аксиальный базис e0 e0 e0 , задавая направления вращения вокруг e1 , 123 e2 и e3 по правому винту. Определим дополнительную операцию симметрии - инверсию времени 1 , меняющую направление обхода аксиальных векторов. Тогда группа ортогональных преобразований, составленная из поворотов n и инверсионных поворотов n (напомним, что плоскость симметрии m = ?) добавляется антиповоротами 1 n ? 2 и инверсионными антиповоротами 1 n, образуя группу расширенных ортогональных ? преобразований. Антиповороты 1 n и инверсионные антиповороты 1 n являются эле? ментами антисимметрии. Если g - операция симметрии или анитисимметрии группы расширенных ортогональных преобразований, то ей соответствуют два тензора ортогональных преобразований T и T полярных и аксиальных векторов, соответственно:

e = T e =T


e e ,

(1)

причем det T = 1, а det T0 = -1. Если n - тензор поворота n, то тензора T и T для любой операции g расширенной ортогональной группы определяются таблицей:

T T



n n n

n ? -n n

1n n -n

1n ? -n -n

Итак, в средах с полярными и аксиальными векторами вводится комбинированный ортонормированный базис (e1 e2 e3 )(e e e ). Преобразования этого базиса являются 123

1


пространственно-временными и определяются совокупностью тензоров T, действующего на полярную часть базиса, и T - действующего на аксиальную. Пространственная инверсия 1 переворачивает полярные базисные векторы, не изменяя аксиальных; инверсия времени 1 изменяет направления обхода аксиальных базисных векторов, не изменяя e1 , e2 и e3 , а пространственно-временная инверсия 11 меняет на обратные как направления полярных векторов, так и направления обхода аксиальных.
Квадратичная поляризация магнитных сред

Намагниченность, будучи аксиальным вектором, не нарушает инверсной симметрии, поэтому магнитоиндуцированная нелинейно-оптическая поляризация возникает только в нецентросимметричных средах или в областях ее нарушения - на поверхностях и границах раздела центосимметричных сред. Существуют два феноменологических метода описания магнитоиндуцированных добавок в нелинейную поляризацию. В первом из них квадратичная поляризация P(2 ) раскладывается в ряд по степеням намагниченности M:

Pi (2 ) = ij k Ej ( )Ek ( ) + ij

(2)

(2,1) kl

Ej ( )Ek ( )Ml + ...,

(2)

при этом псевдотензоры (2,n) описывают нечетные по намагниченности вклады в квадратичную поляризацию, а тензоры (2,2n) , n 1 - четные. Малым параметром ряда (2) является отношение M/H0 , где H0 - характерное внутриатомное магнитное поле. Ненулевые компоненты (2,n) и (2,2n) находятся из условия инвариантности их компонент относительно операций симметрии данного твердого тела. Для псевдотензоров (2,n) используются тензоры T преобразования аксиального базиса, а для тензоров (2,2n) - тензор T преобразования полярного базиса. Достоинством этого подхода является корректный учет четных и нечетных по намагниченности добавок в квадратичную поляризацию, основанный на симметрийный свойствах соответствующих псевдотензоров и тензоров квадратичной восприимчивости. Недостатком его является неопределенная степень малости параметра M/H0 , ставящей под вопрос сходимость ряда (2). При втором подходе квадратичная восприимчивость (2) делится на два эффек(2),ev en (2),ev en тивных слагаемых - четный по намагниченности, ij k (-M) = ij k (M), и нечетный, ij
(2),odd k

(-M) = -ij

(2),odd k

(M). Квадратичная поляризация записывается в виде:
(2),ev en k

Pi (2 ) = (ij

(M) + ij

(2),odd k

(M))Ej ( )Ek ( ).

(3)

Четное по намагниченности слагаемое в свою очередь состоит из не зависящего от намагниченности, кристаллографического члена (2),cr и истинно четного (2),even :

ij

(2),ev en k

(M) = ij

(2),cr k

+ ij

(2),ev en k

(M).

(4)

Достоинством такого подхода является снятие проблемы сходимости ряда магнитоиндуцированных добавок в квадратичную поляризацию. Недостатком его является симметрийная "нестрогость"при нахождении ненулевых компонент (2),cr (2),even и 2


(2),odd , а именно, для тензоров (2),cr и (2),even используются тензоры преобразований T полярного базиса, а для тензора (2),odd - как тензоры преобразований T полярного базиса, так и тензоры преобразований T0 аксиального базиса в зависимости от направления намагниченности M. Для примера найдем ненулевые компоненты (2),cr и (2),odd для поверхности изотропной среды (в рамках такой модели хорошо описывается отклик поверхности по(2),cr ликристалла с размером микрокристаллита d << ). Ненулевые компоненты ij k найдем из условия их инвариантности относительно операций симметрии mx и my , характеризуемых тензорами преобразований Tx x = -1, Ty y = Tz z = 1 и Ty y = -1 и (2),cr (2),cr (2),cr Tx x = Tz z = 1. Получим, что ненулевыми являются компоненты z z z , z xx = z yy (2),cr (2),cr (2),odd и xz x = yz y . Ненулевые компоненты ij k найдем для случая ортогональности вектора намагниченности и плоскости падения излучения, т.е. M = (0, My , 0). Тогда для операции симметрии my , не изменяющей направление вращения аксиального вектора M берется тот же самый, "полярный"тензор Ty y = -1 и Tx x = Tz z = 1, а для преобразования, соответствующего элементу симметрии mx , меняющего направление 0 0 0 вращения M, используется тензор Tx x = 1, Ty y = Tz z = -1 для преобразования аксиального базиса. При такой конфигурации намагниченности ненулевыми являются (2),odd (2),odd (2),odd (2),odd компоненты xxx = xyy , yxy и xz z . При другом направлении M тензор (2),odd имеет другой набор ненулевых компонент. Неинвариантность аксиальных векторов (и псевдотензоров) относительно инверсии времени приводит к определенным (по крайней мере для случая прозрачных сред) фазовым соотношениям между квадратичными восприимчивостями, определяющими немагнитный (или четный по намагниченности) и нечетный по намагниченности вклады в квадратичную поляризацию. Рассмотрим поле накачки в виде суммы двух Фурье-компонент на частотах и - : E(t) = 1 E e- 2
i t

+ E- ei

t

.

(5)

Тогда квадратичная поляризация P(t) = (2) : E(t)E(t) определяется квадратичной восприимчивостью (2) в виде:

1 (2) -i2t (2) e + -2 ei2t . (6) 2 2 Условие инвариантности квадратичной поляризации P относительно инверсии времени P(t) = P(-t), описывающей немагнитный и четный по намагниченности отклик, приводит к тому, что для прозрачной среды Фурье-компоненты восприимчи(2) вости в выражении (6) связаны между собой следующим соотношением: -2 (2) (t) = 2 = 2 , т.е. 2 действительна. Неинвариантность относительно инверсии времени P(t) = -P(-t) нечетной по намагниченности компоненты квадратичной по(2) (2) ляризации означает, что Фурье-компоненты 2 и -2 полностью мнимы. Итак, в прозрачной среде выражения (2) и (3) примут вид: Pi (2 ) = ij k Ej ( )Ek ( ) + iij Pi (2 ) = (
(2),ev en ij k (2) (2,1) kl Ej ( )Ek ( )Ml + ..., (2),odd iij k (M))Ej ( )Ek ( ). (2) (2) (2)

(7) (8)

(M) +

3


Генерация магнитоиндуцированной ВГ: гигантский эффект Керра и интерференционный механизм усиления

Для генерации МВГ, аналогично линейной магнитооптике, различают три взаимной конфигурации вектора намагниченности и плоскости падения излучения накачки: экваториальный эффект Керра (transversal) - намагниченность перпендикулярна плоскости падения, меридианальный (longitudinal) - намагниченность лежит в плоскости падения и полярный эффект Керра - намагниченность перпендикулярна поверхности. В ряде случаев, как например для рассмотренной выше поверхности изотропно(2),cr го кристалла, симметрия среды приводит к "s-запрету занулению компонент ij k , ответственных за генерацию s-поляризованного сигнала ВГ, и излучение ВГ оказывается строго p-поляризованным. В присутствии намагниченности возможно (2),odd появляются компоненты ij k , отвечающие за генерацию s-поляризованной компоненты ВГ. Например, для поверхности изотропной среды, рассмотренной в предыдущем пункте, при p-поляризованном излучении накачки E = (Ex , 0, Ez ) в отсутствие намагниченности волна ВГ p-поляризована:

E

2 x

,cr 2(2)x Ex Ez , E xz

2 y

= 0, E

2 z

2 ,cr 2 (2),cr Ez + (2)x Ex . zzz zx

(9)

При наложении намагниченности в геометрии экваториального эффекта Керра (M = (0, My , 0)) магнитоиндуцированные добавки в поле волны ВГ имеют вид:
E E E
2 ,M x 2 ,M y 2 ,M z



2 2(2),odd Ex + (2)z,odd E xxx xz

2 z

2 - 2(2),odd Ex + (2)z,odd xxx xz

1 2 cos + (2),odd Ex (sin + sin 3 ), 2 yxy 1 2 2 Ez sin + (2),odd Ex (cos - cos 3 ), 2 yxy
(10)

2(2)z,odd Ex Ez cos , zx

где - азимутальный угол поворота поверхности вокруг нормали к ней. Компонен2 та Ey ,M указывает на наличие s-поляризованного сигнала ВГ. Плоскость поляризации излучения ВГ оказывается повернутой от p-поляризации исходного немагнитного излучения ВГ на угол Es 2 rr = Arctg , (11) Ke Ep
2 где Es = Ey ,M жения ВГ. При 2 и Ez ,M = 0, и нием линейных вид: 2 2 2 2 и Ep = (Ex + Ex,M ) cos + (Ez + Ez ,M ) sin при - угол отра2 определенных значениях угла (например, при = /2) Ex,M = 0 керровское вращение плоскости поляризации определяется отношекомбинаций (2),odd и (2),cr . При = /4 выражение (11) примет 2 Kerr



= -Arctg

2xxx 2 xz
(2),cr x

(2),odd

+

(2),odd z 1 (2),cr 1 (2),cr 2 z z z + 2 z xx

+ xz

.

(12)

При отражении от поверхностей некоторых ферромагнетиков (Ni, Co) 2 rr достиKe гает десятков градусов, в предельном случае достигая /2, по крайней мере в 102 раз превышая значения углов поворота плоскости поляризации при линейно-оптическом
4


эффекте Керра. Такое усиление вращения плоскости поляризации излучения ВГ, обусловленное нарушением s-запрета в присутствии намагниченности, называется гигантским нелинейно-оптическим эффектом Керра. В большинстве экспериментальных ситуаций амплитуда поля МВГ E2,M (M) существенно меньше амплитуды независящей от магнитного поля компоненты поля ВГ E2 . Интенсивность детектируемого сигнала ВГ является когерентной суммой этих полей: c 2 |E + E2,M (M)|2 . (13) I 2 = 8 Поля E2,M (M) и E2 являются в общем случае комплексными величинами (см. раздел 3) и выражение (13) содержит как компоненты интенсивности ВГ, четные по намагниченности - |E2,M (M)|2 , так и перекрестный интерференционный член 2|E2 ||E2,M (M)| cos( - M ), нечетный по намагниченности. Величина последнего определяется разностью фаз - M полей E2,M (M) и E2 . При - M = /2 и |E2 | |E2,M (M)| перекрестный член становится много больше собственно магнитного вклада |E2,M (M)|2 . Таким образом, немагнитная компонента ВГ через интерференцию "визуализирует"магнитоиндуцированный сигнал ВГ, являясь внутренним гомодином на оптической частоте.

5