Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://shamolin2.imec.msu.ru/art-108.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Wed Oct 12 14:18:33 2011 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 20:33:40 2012 Êîäèðîâêà: Windows-1251 Ïîèñêîâûå ñëîâà: m 101

16 4


2010




. . , . .
. . . e-mail: shamolin@imec.msu.ru, shamolin@rambler.ru 517+531.01

: , , , , . , , , . . . . (1953--2003), . , . , . . . , ( 1997 ). Abstract V. V. Trofimov, M. V. Shamolin, Geometric and dynamical invariants of integrable Hamiltonian and dissipative systems, Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 16 (2010), no. 4, pp. 3--229. This paper presents results referred to geometric invariant theory of completely integrable Hamiltonian systems and also to the classification of integrable cases of low-dimensional and high-dimensional rigid body dynamics in a nonconservative force field. The latter problems are described by dynamical systems with variable dissipation. The first part of the work is the base the doctorial dissertation of V. V. Trofimov (1953--2003), which was in parts already published. However, in the present entire form, it was not appeared, and we decided to fill in this gap. The second part is a development of the results presented in the doctorial dissertation of M. V. Shamolin, and it was not appeared in the present variant. These two parts well complement one another, which initiated this work (its sketches already appeared in 1997).


( 08-01-00231-).

, 2010, 16, 4, . 3--229. c 2010 , ' '


4

. . , . .


1. 1.1. 1.2. . . . . . . . . . . . . . 1.3. (G) . . . . . . . . 1.4. (G) . . . . . . . . . . . . 1.5. . . . . . . . . . 1.6. . . . . . . . 6 18 . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 29 31 37 41

. . . . 44 45 . . 45 . . 50 . . 54 . . 56 . . 59 . . 60 . . . . . . . . 65 68 72 79

2. 2.1. . . . . . . 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. . . . 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. . . . 2.9. . . . . 2.10. - . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. , 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. . . 3.3. 3.4. . .

82 . . . . 82 . . . . 83 . . . . 91 . . . . 102




5

3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.

168

4.1. . . . . . . . . . . . . . 169 4.2. , . . . . . . . . . . . . 171 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 4.4. S1 { mod 2 }× R1 { }, . . . 176 4.5. S1 { mod 2 }\{ = 0, = }× R2 {z1 ,z2 }, . . . . . . . . . . . . . 178 5.

181

5.1. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.2. , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.3. , . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6. 207 6.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2. . . . . 208 6.3. so(4) . . . . . . . . . . 209 6.4. 6.5. . . . . 6.6. (6.1) 6.7. (6.2) 7. R4 . . .... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... . . . 2 10 . . . 2 10 . . . 2 10 . . . 2 13 216


6

. . , . .


, , : , , .


. . (1953--2003), . , . -- . XX . . . . [72, 110], . . [159, 160], . . [100, 101], . . [128], . . [19, 20], [213], [242]. -- . . [159, 160]. . [206]. , , . . ; , , . , , , , R-. [154--157]. (., , . . , . . , . . ). . . [100, 101] ,
m

a (x)(
||=0

-1

Dx ) f (x) = 0




7

-- . . . . , . . , . . , . . , . , . , . , . , . (., , [17, 20, 76, 95, 162, 200, 205, 211, 215]). . . . . [17, 162]. . . . , . . , . . , . . , . . , . , . , . , . , . , . (., , [41, 45, 88, 90, 91, 103, 209, 212, 214, 234, 240]. (. [73, 216]). [216] . . . . . . , , . , , , [136--142, 144--150, 236]. , . , . , . [139--142, 144--151, 236--239]. . . [135].


8

. . , . .

. . G -- , dim G = = 3, 4, 5, G = so(3), G -- , dim G = 6. Os , s = 1, 2,... , gs , Gs = ... G R[x1 ]/(x2 ) ... R[xs ]/(x2 ), 1 s

, dim Os = 2s+1 , dim Os = 2s+2 , dim G = 4 ind G = 0; dim Os = 2s+1 , ind G = 2; dim Os = 2s+2 , dim G = 5 ind G = 1; dim G = 5 ind G = 3; dim Os = 2s+1 , dim G = dim Os = 2s+2 , dim G = 6 ind G = 2.

dim G = 3; dim G = 4 dim Os = 2s+1 , 6 ind G = 4;

, . , . . , G, G ,
m G R[x1 ,...,xn ]/(x1
1

+1

,...,xm n

n

+1

),

. 1.1 , . a1 ,...,aq R[x1 ,...,xn ] -- . - R[x1 ,...,xn ]/(a1 ,...,aq ) = K, (a1 ,...,aq ) -- R[x1 ,...,xn ], a1 ,...,aq , : R[x1 ,...,xn ] K -- , i = (xi ). G K, . . G K = GK . R K, G K = GK R. a (G), a = (a1 ,...,aq ). , G G K a = (a1 ,...,aq ). , m a = (x1 1 +1 ,...,xmn +1 ). n e1 ,...,er -- G. 1 ...n ej , 1 j n 1 mi , i = 1,...,n, a (G). r = dim G, 0 i G , ei , xi ,




9

a (G) , a (G) zi =
j +j =m
j

1 1

...n ej , x(1 ,...,n )j . n ...n x(1 ,...,n )i . n



1 1

F (x1 ,...,xr ) -- G ( U G ). F (z1 ,...,zr ) zi , , i . F (z1 ,...,zr ) F (z1 ,...,zr ) =
0 j mj , j =1,...,n



1 1

...n F n

1 ...n

(x(1 ,...,n )i ).

{F1 ...n } A(F ). (A) . . F1 (x),...,FN (x), G , , G. A(F1 )...A(FN ) a (g ), a (G). {Fi } G , A(F1 ) ... A(FN ) a (G) . G -- , , F1 ,...,FN -- G , , A(F1 ) ... A(FN ) -- a (G) . 1.2 a (G) . , , 1.1, , . , [46]: M = [,M ] - [H, J ], H = [,H ].

- M, H so(n) = (Rg 1 ) , g -- SO(n) g Tg SO(n), J = Adg h, h -- , M -- . . M = [,M ] - [H, J ], H = [,H ] , so(n) = so(n) R[x]/(x2 ) .


10

. . , . .

1.3 C : (G) (G), 1.2 . : C = C (a, b, D) = -1 ad a 0
b

0 , D

C : (G) (G),

-1 (x) = ad a, x (G), a (G) , a = (0,a1 ) (G) -- x a (G) , b ker a -- (G), D : ker ad ker a -- b , (G) = G R[x]/(x2 ) . , , . 1.4 1.3 . . G -- , , , x = = ad (x) (x) -- (G) C C . , (G). (A), 1.1. 1.5 , x = ad (x) (x) C , . 1.6 , , (A), g , G, (g ), (G) = G R[x]/(x2 ) . , . , -- . 2.1 , -- . --. N n -- R2n , x N n 0 R2n Tx N n f : N n (n) U (n)/O(n). =




11

f f f : H (n) H (N n ), N n : a H (n) , f (a) H (N n ). . X n -- , i , Lm -- jk X n . Lm . x0 X n . [X n ,Lm ] = { : [0, 1] X n }, -- - [0, 1] X n , (0) = x0 (1) Lm . f : [X n ,Lm ] Gm (Tx0 X n ) [X n ,Lm ] Gm (Tx0 X n ), Tx0 X n , m = dim Lm . [X n ,Lm ], T(1) Lm i x0 = (0) jk . T(1) Lm f (). f () f , Lm . f f : H Gm (Tx0 X n ) H ([X n ,Lm ]). a H Gm (Tx0 X n ) -- Gm (Tx0 X n ). f (a) H ([X n ,Lm ]) Lm X n . . . 1. i jk Lm X n . 2. Lm R2n --
n

R2n (p1 ,...,pn ,q1 ,...,qn ), =
i=1

dpi dq

i

,

, R2n , -- ( ). 3. -- Ln R2n R2n .


12

. . , . .

2.2 , , [X n ,Lm ], X n -- i , jk Lm . . , M m -- i . jk (t), 0 t 1, x0 = (0) - x = (1) 1 . V -- m - Tx0 M , 1 V -- m Tx M . , x = x0 = (0) = (1). , H = Hx0 (M m ) x0 Gk (Tx0 M m ), k = dim V . ( ) HGk (Tx0 M m ) = Gk (Tx0 M m )/Hx0 (M m ). , N n M m -- , x0 M m -- . x N n - (t), (0) = x0 , (1) = x, 1 x0 x . f : N n Gn (Tx0 M m ) f (x) = (Tx N n ) Tx0 M m , . (t), 0 t 1, (0) = x0 , (1) = x, (Tx N n ) Tx0 M m . A H = H (M m ) H = H (M m ), A (Tx N n ) = (Tx N n ). f : N m HGn (Tx0 M m ) N n HGn (Tx0 M m ). f f f : H HGn (Tx0 M m ) H (N n ). a(N n ) = f (a) H (N n ), a H HGn (Tx0 M m ) -- . (M m ,N n ). , . 2.3 , , . a[N n ] M m N n .




13

. . . . . n n N1 N2 vf- ( ), n n W n+1 , W n+1 = N1 N2 , n+1 , v W n n N1 N2 . (. [220]). . N n M m vf- . N n . 2.4 . -- . k ij = 0, ij -- M 2n . (Tx0 M 2n ), H (Tx0 M 2n ) f : N n H (Tx0 M 2n ) N n H (Tx0 M 2n ). f (a) N n , f : H H (Tx0 M 2n ) H (N n ). . 2.5 x = sgrad H (M 2n , ). F1 ,...,Fn -- . {x M
2n

: F1 (x) = c1 ,..., Fn (x) = cn }

, . 2.6 , , . M TM , . 2.7 2.1 , . -


14

. . , . .

, . . 2.8 . , . . 2.9 . . . M -- , - i jk ij , . . i -- . M jk M0 × M1 × ... × Mk , M0 -- , |M0 -- M0 , M1 ,...,Mk -- . 2.9 . , , . 2.10 - , . . . , - -- - . . , vf-. . 3.1 . . , -- ' ' . [69, 87] M 2n = R2n . . . , ' ' -- . , .




15

. 1. f : M m N m+1 -- , M m -- , N m+1 -- . f ( ), M m N m+1 . 2. M m -- N n , f -- . f ( ), M m N n . 3.2 . . , , SO(3). 3.3 . . , . 3.4 . . , . 3.5 . . , . , 3.2--3.5 G , G ( ), , .


16

. . , . .

3.6 (g ) , 3.2--3.5. . (G) , (G), , O O . , . . . , , , ( 1997 ). , , , , , , , , . , ' ' . , , , . , , , , , , . , , , . , - ( ) . , , . , . , . , . (, ).




17

. . , , , . , '', '' , . 4.1 . 4.2 . , . , , ( ) . , (, , ) () . 4.3 . , , , , , . . . 4.4 . , . 4.5. , . 5 () () , , . . , . . , . 5.3. , '' () . (. . ) .


18

. . , . .

, , , . , , , , . , . . '' ( , ) . , , , . - , . . .

1.
1.1.
1.1.1. G r k . k [x1 ,...,xn ] k x1 ,...,xn . f1 ,...,fs k [x1 ,...,xn ] -- , fi (0) = 0, i = 1,...,s. K -- -: K = k [x1 ,...,xn ]/(f1 ,...,fs ), (f1 ,...,fs ) -- k [x1 ,...,xn ], f1 ,...,fs , : k [x1 ,...,xn ] K -- . i xi . K k 1 ,...,n K. G K, . . GK = G K K. k K, GK k . k f (G), f = (f1 ,...,fs ) -- f : Rn Rn , f (0) = 0.




19

, f (G) G. g : f (G) G. , y f (G) y=
(1 ,...,n )



1 1

...n x1 n

,...,n

,

x1

,...,

n

G.

g (y ) = x0,...,0 . , . f (G) G. , G f (G), f (G) G M : G Der(M ), Der(M ) -- M . M -- G K, 1 G,...,n G. f (G) G + M . G M G M : (x) = adx . . s = 1, n = 1, f1 (x) = = x2 , k = R, . . K = R[x]/(x2 ). (G), [233] , G. (A). . f : Rn Rn f (0) = 0, f (G), G . f (G),
m f (x1
1

+1

,...,xm n

n

+1

) (k [x1 ,...,xn ])n .
1

f (G) m

...m

n

(G).

e1 ,...,en -- G.
1 1

...n ej , n

1

j

r, 0

i

mi , 1

i

n,

m (G), m = (m1 ,...,mn ). G , G. ei G (i = 1,...,r) -- G, G i ei . ei ,ej = j . f, x -- f G x G. m (G), m = (m1 ,...,mn ), , 1 ...n ej , 1 j r, 0 i mi , 1 i n, n 1 x(1 ,...,n )j , , ei (i = 1,...,r), -- xi (i = 1,...,r).


20

. . , . .

- K = R[x]/(x2 - x - ). G K = , (G) [x1 + y1 ,x2 + y2 ] = [x1 ,x2 ]+ [y1 ,y2 ]+ ([y1 ,x2 ]+[x1 ,y2 ]+ [y1 ,y2 ]), xi ,yi G (i = 1, 2), -- x : R[x] K. , ,0 (G) G. 1.1.1. + 2 /4 = + 2 /4 = 0. , (G) (G) 0,0 (G).
,

. + 2 /4 = 0. - /2 = : , (G) = G + G 0,0 (G) = G + G . , + = [x, y ], . (x + y ) = (x + y /2) + y . , -- 0,0 (G) , (G) 2 /4 = 0, , [x, y ] = . , .

0,0 (G), (G). 1.1.2. G -- . m (G) , m = (m1 ,...,mn ), m (G), m = (m1 ,...,mn ), zi =
j +j =mj , j =1,...,n



1 1

...n x(1 ,...,n )i = x(m1 ,...,mn )i + zi = n
1 1

= x(m1 ,...,mn )i +
j +j =mj , j =1,...,n, +...+
2 1

...n x(1 ,...,n )i . n

2 n

=0

(A). F (x1 ,...,xr ) -- (, ) G . m (G) , m = (m1 ,...,mn ), F (z1 ,...,zr ) K. F (x1 ,...,xr ) zi , , i . , F (z1 ,...,zr ) -- m (G) , m = (m1 ,...,mn ), K. : F (z1 ,...,zr ) =
0 j mj , j =1,...,n



1 1

...n F n

1 ...n

(x(1 ,...,n )i ).




21

F1 ...n : (G) k , m = (m1 ,...,mn ), F (z1 ,...,zr ). (A) F G A(F ) = = {F1 ...n } F (z1 ,...,zr ). , F (x1 ,...,xr ) -- U G , F1 ...n ^ U m (G) . , , . -- (A). 1.1.2. F1 ,...,FN -- g , G. A(F1 ) ... A(FN ) m (g ), m = (m1 ,...,mn ), A(F1 ) ... A(FN ) m (G) , m = (m1 ,...,mn ). 1.1.3. F1 ,...,FN , G , g , G. A(F1 ) ... A(FN ) (A) m (G), m = (m1 ,...,mn ). F1 ,...,FN G , A(F1 ) ... A(FN ) m (G) , m = (m1 ,...,mn ). 1.1.4. F1 ,...,FN -- , G. , , , G, dim G - N . . . , G G . 1.1.2 (ind G G, . [70]). 1.1.5. G . ind m (G) = dimk Kž ind G,

(A) , G, , m (G), m = (m1 ,...,mn ).
1.1.6. , S L , L -- , ,


22

. . , . .

) f, g S L, L; ) S N = codim O + 1 dim O, 2

O -- L; ) {x L : rk{df1,x ,...,dfN,x } < N } S = {f1 ,...,fN }. 1.1.3, 1.1.5 [104, 129, 130, 159] . 1.1.7. G . (A) G m (G) , m = (m1 ,...,mn ). , G -- , G, (A) , m1 m2 ... ms (G), mj = ij (1),... ,ip(j ) (j ) , j = 1,...,s. 1.1.3. - A(F ) K = k [x1 ,...,xn ]/(f1 ,...,fs ). K = R[x]/(x2 ). A(F ) . (G) = G + G (2 = 0) xi ( G) yi ( G). A(F ) = F (1) ,F (2) ,
r

F

(1)

(z ) = F (y1 ,...,yr ),

F

(2)

(z ) =
i=1

xi

F (y1 ,...,yr ) . yi

K = R[x]/(x3 ). 2 (G) x(0)i , x(1)i , x(2)i zi = x(0)i 2 + x(1)i + x(2)i ( 3 = 0). , F (z1 ,...,zr ) = F0 (z )+ F1 (z ) + F2 (z )2 ,




23


r

F0 (z ) = F (x(2)i ), F2 (z ) = 1 2
r p,q =1 2

F1 (z ) =
j =1

F (x(2)i ) x(1)j , x(2)j
r k=1

F (x(2)i ) x(1)p x(1)q + x(2)p x(2)q

F (x(2)i ) x(0)k . x(2)k

K = R[x]/(x5 ). 4 (G) x(j )i , j = 0, 1,... , 4, i = 1,..., dim G = r. F (z1 ,...,zr ) = F0 (z )+ F1 (z ) + F2 (z )2 + F3 (z )3 + F4 (z ) ( 5 = 0),
r 4

F0 (z ) = F (x(4)i ), F2 (z ) = 1 2
r p1 ,p2 =1 r p1 ,p2 ,p3 =1 2

F1 (z ) =
p=1

F (x(4)i ) x(3)p , x(4)p
r p=1

F (x(4)i ) x(3)p1 x(3)p2 + x(4)p1 x(4)p2

F (x(4)i ) x(2)p , x(4)p

F3 (z ) =

1 3!

3 F (x(4)i ) x(3)p1 x(3)p2 x(3)p3 + x(4)p1 x(4)p2 x(4)p3
r

+
p1 ,p2 =1 r

2 F (x(4)i ) x(3)p1 x(3)p2 + x(4)p1 x(4)p2

r p=1

F (x(4)i ) x(1)p , x(4)p

F4 (z ) = + 1 2 1 2

1 4!

p1 ,p2 ,p3 ,p4 =1 r 3

4 F (x(4)i ) x(3)p1 x(3)p2 x(3)p3 x(3)p4 + x(4)p1 x(4)p2 x(4)p3 x(4)p4

p1 ,p2 ,p3 =1 r p1 ,p2 =1 r

F (x(4)i ) x(3)p2 x(3)p3 x(2)p1 + x(4)p1 x(4)p2 x(4)p3

+

2 F (x(4)i ) x(2)p1 x(2)p2 + x(4)p1 x(4)p2
r p=1

+
p1 ,p2 =1

2 F (x(4)i ) x(3)p1 x(1)p2 + x(4)p1 x(4)p2

F (x(4)i ) x(0)p . x(4)p

K = R[x1 ,x2 ]/(x2 ,x2 ) 1 2




f (G) = G + 1 G + 2 G + 1 2 G. f (G) x(0, 0)i , x(1, 0)i , x(0, 1)i , x(1, 1)i f (G)


24

. . , . .

. zi = 1 2 x(0, 0)i + 1 x(0, 1)i + 2 x(1, 0)i + x(1, 1)i , F (z1 ,...,zr ) = F F
r 0, 0 0, 0

+ 1 F

1, 0

+ 2 F

0, 1

+ 1 2 F

1, 1

,

(z ) = F (x(1, 1)i ),
r

F F

1, 0

(z ) =
k=1 r

F (x(1, 1)i ) x(0, 1)k , x(1, 1)k
2

F

0, 1

(z ) =
k=1 r

F (x(1, 1)i ) x(1, 0)k , x(1, 1)k F (x(1, 1)i ) x(0, 0)k . x(1, 1)k

1, 1

(z ) =
p,q =1

F (x(1, 1)i ) x(1, 0)p x(0, 1)q + x(1, 1)p x(1, 1)q

k=1

1.1.4.
k Cij G e1 ,...,er , ^ k -- m (G), m = (m1 ,...,mn ), Cij 1 ...n ei . n 1 1.1.2, 1.1.3, 1.1.5.

1.1.3. G , G, F , H R. g , G, , F G k =0 Cij xk xi xj (., , [129]). m (G) , m = (m1 ,...,mn ), F , H
m K = R[x1 ,...,xn ]/(x1
1

+1

,...,xm n

n

+1

).

{F, H } . {F, H } m (G), m = = (m1 ,...,mn ), R-
m KR K = R[x1 ,...,xn ]/(x1
1

+1

,...,xm n

n

+1

m ) R R[x1 ,...,xn ]/(x1

1

+1

,...,xm n

n

+1

).

1.1.8. F (z ) H (z ) ^k {F, H } (w) = Cij wk K R K, wi wj ^k Cij -- m (G), m = (m1 ,...,mn ), 1 1 ...n ei , zj = zj (wi ) -- wi , . n




25

, F (w) K {1} K K, wi H (w) {1}K K K. wj

i 1 i K K, 1 i i K K. , {F, H } , . K K =
p+q =m
1

pq 1 1 p+q =m
2

pq 2 2 ... p+q =m
n

pq n n .

1.1.9. K K ž
i +i =mi , i=1,...,n 1 1 ...n n x(1 ,...,n )k

=
1 1 ...n n x(1 ,...,n )k ,

=ž
i +i =mi , i=1,...,n

. .
(1 zp ) = (zp 1)

p.
. =
m x(1 +1 ,...,n +n )k 1
1

-1

m ...n

n

-n m1 -1 1

m ...n

n

-n

.

0 p +p mp , 1 p n

j + j j , mj - j j . j = j + j - mj , =
j ,j 2 x(1 ,...,n )k 1 1 ...nn 1 m x(1 ,...,n )k 1 j ,j
1

m1 -1 -1

2 ...nm

n

-n -n

=
m ...n
n

= =


-

1

m ...n

n

-

n

m 1 1 ...nn 1

1

-1

-n

=

m x(1 ,...,n )k 1
i

1

-1

m ...n

n

-n

ž .

j + j j , mj - j j . =
i ,j m x(1 ,...,n )k 1
1

-

1

m ...n

n

-

n

m 11 ...nn 1

1

-1
1

m ...n -
1

n

-n
n

=
-
n

=

i

m x(1 ,...,n )k 1

m ...n

ž .

1.1.9.


26

. . , . .

1.1.10. F -- x1 ,...,xr . vi = (xi 1+1 xi )/2 K.


ž F (v1 ,...,vr ) = ž F (x1 1,...,xr 1) = ž F (1 x1 ,..., 1 xr ). . 1.1.9 , ž (xi 1+1 xi )/2
p

= ž (xi 1)p = ž (1 xi )p .

F , . 1.1.11. F , H -- G , G. F (z1 ,...,zr ), H (z1 ,...,zr ) m (G) , m = K. {F, H }G -- . {F, H } = ž{F, H }G (v1 ,...,vn ),

, (m1 ,...,mn ), G ,

K K -- vi = (zi 1+1 zi )/2.
. m (G), m = (m1 ,...,mn ), F H ^k = {F, H } = Cij wk wi wj =
F wi F wi H wj k Cij x(1 +1 ,...,n +n )k 0 p +p mp , 1 p n

F H , x(1 ,...,n )i x(1 ,...,n )j

.

1 1

H wj

K K

zi =
0 p +p mp , 1 p n



1 1

...n x(1 ,...,n )i n

= x(1 ,...,n )j F H zi zj
m1 -1 1

...m n

n

-n

, zj

{F, H } ,
k {F, H } = Cij x(1 + 1 ,...,n + n )k 1 1 ...nn 1 1 ...nn , 0 p +p m
p

i = mi - i , j = mj - j , i, j = 1,...,n.




27

1.1.9 :
m x(1 + 1 ,...,n + n )k 1 0 p +p m
p 1

-1

m ...n

n

-n m1 -1 1

m ...n

n

-n

=

=ž
0 p +p mp , i=1,...,n

1 1 ...n n x(1 ,...,n )k = 1 1 ...n n x(1 ,...,n )k . 0 p +p mp , i=1,...,n

=ž

{F, H } k F (z 1) H (1 z ) {F, H } = Cij (zk 1+1 zk ) . 2 zi zj F (z ) F (z 1) 1= , zi (z 1)i 1 H (z ) H (1 z ) . = zi (1 zi ) zk 1+1 zk , 2

1.1.10,
k {F, H } = ž Cij v k

F (v ) H (v ) , vi vj

vk =

1.1.11. 1.1.11 , . 1.1.3. S = A(F1 ) ... A(Fn ). F, H S . F (zi ) =
1 ,...,n

F

1 ,...,

n

1 1

n n

,

H (zi ) =
1 ,...,
n

F

1 ,...,

n

1 1

n n

{F, H } {F, H } =
1 ,...,n ,1 ,...,




1 ,...,
n

{F
n

,H1

,...,

n

}1 1 ...n n 1 1 ...nn .

1.1.11 {F, H } = {F, H }G (zi 1+1 zi )/2 = 0, {F, H }G = 0. {F1 ,...,n ,H1 ,...,n } , . S = = A(F1 ) ... A(Fn ). F -- G .


28

. . , . .

, zi F (zi + x(m1 ,...,mn )i ), , , F (z1 ,...,zr ) = F (x1 (m1 ,...,mn ),...,xr (m1 ,...,mn )) +
N

+
p=1 (i1 ,...,ip )

p F (xi (m1 ,...,mn )) 1 × p! xi1 (m1 ,...,mn ) ... xip (m1 ,...,mn )
1 1

×



1 1

...n x(1 ,...,n )i1 × ... × n

...n x(1 ,...,n )ip n

,

2 2 i ,i 0, i + i = mi , i = 1,...,n, 1 + ... + n = 0. x(1 ,...,n )i , 1 + ... + + n = const, 1 + ... + n , . , , p- (p 2), ? 1 + ... + n , , . , J x(1 ,...,n )j , , , Aij 0 ... 0 Aij ... 0 J = ... ... ... ... , ... Aij Aij = Fi (x(m1 ,...,mn )p ) . x(m1 ,...,mn )j

, , . 1.1.3 . 1.1.2. F , {xi ,F } = 0 xi . (A) G m (G) , m = (m1 ,...,mn ), 1.1.3. 1.1.5. F1 ,...,Fn -- g , G. dim OG = n - s, OG -- Ad g . g (A) s ž dimK K s

m (G), m = (m1 ,...,mn ), dim Om (G)

s ž dimK K.

i=1

A(Fi ), . .

dim G ž dim K- s ž dimK K = dimK K(dim G - s) = dimK Kž dim OG ,




29

G . O(G) = = Om1 ...mn (G) -- m (G), m = (m1 ,...,mn ). , m (G), m = (m1 ,...,mn ), dim Om (G) x(1 ,...,n )i = rk Bij
1 1

...n ei = n dimK Kž dim OG (x(m1 ,...,mn )i ei ),

Bij 0

k OG (x) -- , x G , Bij = Cij x(m1 ,...,mn )k . y = x(m1 ,...,mn )i ei , OG (y ) .

dim Om

1

,...,m

n

(G)

dim Om

1

,...,m

n

(G)(z ) = dimK Kž dim OG .

y . z=
0 p mp , p=1,...,n

a(1 ,...,n )i =

1 1

...n ei = n a(1 ,...,n )i
1 1

...n ei + y. n

2 1

+...+

2 n

=0

, , dim Om
1

...m

n

(G) = dimK Kž dim OG .

.

1.2.
1.2.1. (G) (G) = G R[x]/(x2 ) (G) = G + G, 2 = 0. f (G) f1 = f |G , f2 = f |G . f (f1 ,f2 ) (G) G +(G) . f = (f1 ,f2 ) (G) f = f1 + f2 (G) , f1 ,f2 G . 1.2.1. x + y (G) {x + y , x + y } = {x, x } + {y, y } + {x, y },

{x, f } = ad f , x G, f G . x
. .


30

. . , . .

1.2.2. C : (G) (G). (G) a = = {c(a),a}, a (G) . a = (X, Y ) G + G C (a) = (x, y ) G + G, 1.2.1 , (G) X = {x, X } + {y, Y }, Y = {x, Y }.

. C = C (a, b, D), (G) (g ), (G). (. [84]): v +(rot v ) × v = -1 (rotH ) × H - grad f, t H = rot(v × H ), t

f (x, t) -- D , , v / t -- D, D. [46], M = [,M ]+[J, H ], H = [,H ]

so(n) ( -- SO(n) g Tg SO(n), J = Ad-1 j , j -- g , H = Adg h, h -- , M -- ). [46] , so(n) = so(n) D, D -- D = R[x]/(x2 ). , . 1.2.2. (G) , G -- G = so(n), . . , so(n) so(n), (x, y ) = tr adx ady , = , X = {x, X } + {y, Y }, Y = {x, Y } . M = [,M ]+[J, H ], H = [,H ] [46] . C (M, N ) = (,J ),




31

. a = {c(a),a} (G) G. . D = R[x]/(x2 ) . gl(2, R) D gl(3, R) D. [71]. 1.2.3. , G A Rn , . . g = G× A. - g/G = , g . g s : g g : x = ga G × A, s(x) = ga-1 . , s -- g , G . , g/G , g -- , G -- , . G× A/G m (., , [143, 164]). , , Rki,j p Cql g 1l m m Rki,j = Cki Clj 4 ( . [143, 164]). g , g/G . (. [222]). M = (g )/g . (G) , , , M [154]. , 2 (g )/(g ) = M, g R[x1 ,x2 ]/(x2 ,x2 ). 1 2

1.3. (G)
1.3.1. = ad : (G) End((G) ) (G), G -- .


32

. . , . .

a (G) . a : (G) (G) a (x) = ad (a) = {x, a}, x (G), a (G) . x G G . . 1.3.1. G -- , a (G) -- (. . Ad , a, ). a G, a G. ker a = H + H , H -- G. . x = x1 + x2 ker a . {x1 + x2 ,a1 + a2 } = 0 , {x1 ,a2 } = 0, {x1 ,a1 } + {x2 ,a2 } = 0, ai G = G (i = 1, 2). G : = [x1 ,a2 ] = 0, [x1 ,a1 ]+[x2 ,a2 ] = 0.

. dim O(G) (x, y ) = rk
k Cij xk k Cij xk k Cij xk . 0

G y , , x = 0, dim O(G) (0,y ) = 2 dim OG (y ) = 2 dim OG . 1.1.4, (0,y ) -- 1.1.5, . ker a . [x1 ,a2 ] = 0 , x1 H , a2 (. [143]). a1 = a1,h + a1, e , x2 = x2,h + x2, e ,
=0 =0

G = H +
=0

Ce -- G ,h

H a1,h ,x2 H .

H , e -- , (a1, (x1 )e - x2, (a2 )e ) = 0,

[x1 ,a1 ]+[x2 ,a2 ] =

=0

= 0 a1, (x1 ) - x2, (a2 ) = 0, x1 ,a2 H . a2 , (a2 ) = 0 = 0. a1 , a1, = 0 = 0. x2, = 0 = 0, . . x2 H . ker a H + H , .




33

1.3.2. b = b1 + b2 ker a = H + H (G), H -- G, b1 . ker (b) = H + H (G) G + G = ( ). . x1 + x2 (G) , {b1 + b2 ,x1 + x2 } = 0. ad (G), {b1 ,x2 } = 0,


{b1 ,x1 } + {b2 ,x2 } = 0.

G G = [b1 ,x1 ]+[b2 ,x2 ] = 0, [b1 ,x2 ] = 0.

b1 , x2 H . , [b2 ,x2 ] = 0, b2 ,x2 H , [b1 ,x1 ] = 0, , x1 H , . . x1 + x2 H + H , . 1.3.3. a , 1.3.1. ) a ker ker (b) , . . a a : ker ker (b) ; a ) b ker a , b , 1.3.2, (b)(ker (b) ) ker (b) .

V V (G) G: ker = W + W ker (b) = W + W , a Ce -- H G W =
=0

, e -- (adh e = (h)e h H ).
. 1. a = a1 + a2 ker (b) = H + H (G) . x e +
=0 =0

y e ,a1 + a2 +
=0

= +
=0

=
=0

x e ,a1

y e ,a2

x e ,a2

=

=
=0

x (a1 )e +
=0

y (a2 )e +
=0

x (a2 )e ker (b)


34

. . , . .

x e +
=0 =0

y e ker . a

2. b = b1 + b2 ker a = H + H, b1 + b2 ,
=0 =0

x e +
=0

y e ker (b) .

x e +
=0

y e

= y (b2 )e +
=0 =0

=
=0

x (b1 )e +

y (b1 )e ker (b) .

1.2.1. . . [154]. C : (G) (G) -- . 1.3.4. a, b , , . . a (G) -- (a G ), b = b1 + b2 ker a = H + H , b1 -- G. D : ker (b) = H + H ker a = H + H (G) -- . C C = C (a, b, D) = D 0 0 -1 ad b a


(G) = ker a (ker a ) , D : ker (b) ker a , -1 : ker (b) ker , a a ad : ker (b) ker (b) . b (G) = ker (b) ker (b) .

(G) = G R[x]/(x2 ) . 1.3.2. , G abD , abD . .




35

1.3.5. G -- , L -- , C : G G -- ( G). , L -- C , E : L L, C = iE p, i : L G -- , p : G L -- L. E : L L L. H -- G, H -- , h H (h) = (h, h ) h H , (x, y ) -- G. HQ -- H , h . Gu G. Gu ih , e + e- , i(e - e- ) ( i -- ). (Gu ). (Gu ). 1.3.6. a = i(a1 + a2 ) ker a (Gu ). ad a (Gu ) : e + e- (a1 )i(e - e- ), i(e - e- ) -(a1 )(e + e- ), (e + e- ) (a2 )i(e - e- )+ (a1 )i(e - e- ), i(e - e- ) -(a2 )(e + e- ) - (a1 )i(e + e- ). . 1.2.1. 1.3.7. a = i(a1 + a2 ) ker (b) (Gu ) . a (Gu ) : e + e- (a1 )i(e - e- )+ (a2 )i(e - e- ), i(e - e- ) -(a1 )(e + e- ) - (a2 )(e + e- ), (e + e- ) (a2 )i(e - e- ), i(e - e- ) -(a2 )(e + e- ), ker (b) (Gu ) ker (b) (Gu ). = . 1.2.1.


36

. . , . .

1.3.8. a = i(a1 + a2 ) ker (b) (Gu ) , (a2 ) = 0 = 0, b = i(b1 + b2 ) ker a (Gu ). -1 ad (Gu ) : b a e + e- i(e - e- (e + e- i(e - e-






(b1 ) (e + e- ), (a2 ) (b1 ) i(e - e- ), ) (a2 ) (b2 ) (b1 )(a1 ) - ) (a2 ) (a2 )2 (b2 ) (b1 )(a1 ) - ) (a2 ) (a2 )2

(e + e- )+ i(e - e-


(b1 ) (e + e- ), (a2 ) (b1 ) i(e - e- ). )+ (a2 )

. 1.3.6, 1.3.7. 1.3.9. (Gu ) . (Gu ). (Gu ) (Gu ) = Gu + Gu . , Vu =


R(e + e- )+


Ri(e - e- ) G.

: (Gu ) = (H0 + H0 )+(Vu + Vu ), (Gu ) (Gu ) = (H0 + H0 )+(Vu + Vu ), = H0 =
=0

Rih .

1.3.10. (Gu ) = (H0 + H0 )+(Vu + Vu ), C = C (a, b, D) = D 0 0 . -1 ad b a (Gu ) = (H0 + H0 )+(Vu + Vu )

D : H0 + H0 H0 + H0 -- , a (Gu ) , b (Gu ). . , (., , [32, 68]). G C : G Gu u e + e- , i(e - e- ) . , , .




37

1.3.3. Gn G. Gn Gn =
=0

R(e + e- ).

1.3.11. a = ia1 + ia2 H0 + iH0 (Gu ) , (a2 ) = 0 = 0, H0 -- , R h , b iH0 + iH0 (Gu ). C (a, b, D) (Gn ). , C (a, b, D) (Gn ) Gn + Gn (Gn ) Gn + Gn ( (Gn ) Gn + Gn = = = Gn ). . C (a, b, D).

1.3.12. C = C (a, b): (Gn ) (Gn ) . , , a, b (Gn ) (Gn ) .

1.4. (G)
1.4.1. G -- , Sa (G) -- G , F g , G, . . Sa (G) F (x + a), C, a G -- ^ . (A), A(h) = {h(y ), h(x, y )} (G) Sa (G) , (G) . 1.4.1. h Sa (G) . G x = {dhx ,x}, x (G) ,

Ad (g ), (G).
. 1.1.3. F1 (x),...,FN (x) -- G (. [159]). 1.1.3 ^ ^ F1 (y ),...,FN (y ), F1 (x, y ),..., FN (x, y ) --


38

. . , . .

(G) . x = {dhx ,x}, x (G) , s , s= 1 1 1 dim (G)+ind (G) = (2 dim G+2 ind G) = 2 (dim G +ind G) = 2N. 2 2 2

. . 1.4.2. G -- , x = = {C (a, b, D)(x),x} -- (G) C (a, b, D) . (g ), (G). , F (x) -- Ad (g ) (G) . F (x + a) C. F (x + a), K (x + ÷a) . , . . -- . , . dF (x + a), {Cx, x} = dF (x + a), {Cx, x + a} - dF (x + a), {Cx, a} = = {dF (x + a),x + a},C x - dF (x + a), {Cx, a} = = - dF (x + a), {-1 ad x + Dh, a} , b a F , dF (x + a),x + a = 0 (x = x + h, h -- , x -- ). Dh ker a , dF (x + a), {-1 ad x + Dh, a} = dF (x + a), {-1 ad x ,a} . b b a a , h, a ker (b): dF (x + a), {-1 ad x ,a} = dF (x + a), ad x = b b a = dF (x + a), ad (x + h + a) = {dF (x + a),x + a},b . b F , {dF (x + a),x + a} = 0. x = {C (x),x}, x (G) . F1 (x + a),..., FN (x + a) -- G . (A)




39

(G) : F1 (y + a),...,FN (y + a), F1 (y + a) FN (y + a) xi ,..., xi yi yi

(. 1.1.3). (G): F1 (y ) FN (y ) F1 (y ),...,FN (y ), xi ,..., xi . yi yi a, a G. a, , , , , . . 1.4.2. , , . 1.4.3. h Sa (Gu ) . x = {dhx ,x}, x Ad , (Gu ).

(Gu ) ,

1.4.4. Gu -- , x = {C (a, b, D)(x),x} -- (Gu ) C (a, b, D): (Gu ) (Gu ). (gu ), (Gu ). , F (x) -- (gu ) (Gu ) . F (x + a) R. F (x + a), K (x + ÷a), , ÷ R, . , . 1.4.3. , C (a, b) C (a, b, D) Gn G : (Gn ) (Gn ).


40

. . , . .

. I (Gu ) -- gu , ? Gu . f I (Gu ), f (x) = f (x + a) f = = f (x + a)|Gn , Gn -- G. ? f (x) 2 (Gn ) = Gn [R[x]/(x )]. ?(1) ? f (x, y ) = f (y ), ? f (y ) ?(2) f (x, y ) = xi C ((Gn ) ) yi

(. 1.1.3). (Gn ) Sa (Gn ) . 1.4.5. Sa (Gn ) a, a, x = {C (^ b)(x),x}, x (Gn ) , C (^ b) -- ( a = ia iH0 , b iH0 + iH0 , ^ = 0, (a) = 0).
(1) (2) ?(1) ?(2) . df ,df (Gu ), df , df (1) (2) df , df . , (i) (i) (i) (i) (i) (i) ?(i) df = v1 + v2 , vj Gu (i, j = 1, 2), df = v1 + v2 , -- Gn .

?(i) ?(i) df , {Cx, x} = df , {Cx, x} = v

(i) 1

+ v

(i) 2

, {Cx, x} .

(x, y ) -- G + G, , x, y -- G × G R. (i) (i) {Cx, x} (Gn ), v1 + v2 , (Gn ): v
(i) 1

+ v

(i) 2

, {Cx, x} = v

(i) 1

+ v
(i)

(2) 2

, {Cx, x} =
(i)

= df

, {Cx, x} = df

(x + a), {Cx, x} ,

df (i) (x + a), {Cx, x} = 0, 1.4.2. 1.4.6. (gn ) . , 1.4.5, (gn ), (Gn ). . . [159],




41

? f (x), f I (Gu ), Gn = Gn . , (Gn ) 1.1.3. . 1.4.7. 1. Gn -- G, x = {C (a, b)(x),x}, x (Gn ) , -- (Gn ) C (a, b): (Gn ) (Gn ). a (gn ), (Gn ). 2. h Sa (Gn ) . x = {dhx ,x}, x (Gn ) , (gn ), (Gn ).

1.5.
1.5.1. G -- , H -- . ad : H End(G) ad : H End(G ) ad : G End(G ) G H . (., , [143]) G = G0 + G , G = G + G 0
=0 =0

G = G G = f G adh -(h) ad -(h) h
N

=0

h H N
N

f =0

h H N . a G a (x) = ad a, x a : G G . a G , b G÷ , a (b) = ad a G +÷ . G0 b G, H G0 .


42

. . , . .

1.5.1. H G , ) H ; ) H = G0 ; ) a G , a : G÷ G ÷ 0 ÷ = 0. . G -- , H -- , H -- . . H -- G, G = G0 +
=0

G ,

G = G + 0
=0

G --

. dim G = dim G0 . 0 1.5.2. , H b G0 , a G 0 C D : G 0 -- = C (a, b, D): G G0 -- G. . G D 0 0 . -1 ad b a
=0

C = C (a, b, D) = -1 ad b a

=0

x

-1 ad x x G . b a

, ad (G ) G +÷ b G÷ . b [154, 155]. G. 1.5.2. . , . . [35]. 1.5.3. H -- , b G0 , a G 0 C (a, b, D) -- , G G. F (x + a), R, x G , , F (x) -- g , G, . . F (x) = F (Ad x) r r g .




43

. x = ad
C (x)

(x) = {C (x),x}, = ad y , x G, y G . x y G y, f . , . -

{x, y } f G F (x + a) -- dF (x + a), {C (x),x} = 0. . 1.

a1 , {a2 ,f } = - a2 , {a1 ,f } . , {a2 ,f }(a1 ) = f ([a2 ,a1 ]) {a1 ,f }(a2 ) = f ([a1 ,a2 ]). 2. F , {dF (x),x} = 0 (., , [143]). x = x0 + x1 , x0 G , x1 0 = dF (x + a), {C (x),x} = = dF (x + a), {C (x),x + a} - dF (x + a), {C (x),a} , 1 = - C (x), {dF (x + a),x + a} - dF (x + a), {C (x),a} . 2 C , = - dF (x + a), {C (x),a} = - dF (x + a), {-1 ad (x1 )+ D(x0 ),a} = b a = - dF (x + a), {-1 ad (x1 ),a} - dF (x + a), {D(x0 ),a} = b a = - dF (x + a), a -1 ad (x1 ) b a - dF (x + a), {D(x0 ),a} = = - dF (x + a), ad (x1 ) - dF (x + a), {D(x0 ),a} . b , = - dF (x + a), {b, x1 + x0 + a} - - dF (x + a), {D(x0 ),a} + dF (x + a), {b, x0 + a} = = - dF (x + a), {b, x + a} - dF (x + a), {D(x0 ),a} + + dF (x + a), {b, x0 + a} . 1, = b, {dF (x + a),x + a} - - dF (x + a), {D(x0 ),a} + dF (x + a), {b, x0 + a} . 2, = - dF (x + a), {D(x0 ),a} + dF (x + a), {b, x0 + a} .
=0



G .


44

. . , . .

, {D(x0 ),a} = 0 {b, x0 + a} = 0. , D(x0 ),b G, a, x0 + a G {G0 ,G } = 0, G0 = H 0 0 , H -- . G0 , f G , v G0 0 (ad f )(v ) = f ([, v ]) = f (0) = 0, , v G0 = H H -- . G0 , f G , 0 G v
=0

(ad f )(v ) = f ([, v ]) = f (v ) = 0, v = [, v ] .
=0

G f G , f 0
=0

G



= 0.

1.6.
. e1 ,...,en -- G, e1 ,...,en ,e1 ,...,en -- (G) = G R[x]/(x2 ) . (G) , e1 ,...,en ,e1 ,...,en (G), xi , yi (i, j = 1,...,n), xi ei , yj -- ej (G) . k ^k Cij -- G e1 ,...,en , Cij -- (G) . F (x) -- G , A(F ) = F (1) ,F (2) , F (1) (y ) = F (y ) F (2) (x, y ) = F (y )/ yi xi . 1.6.1. p1 ,...,ps ,q1 ,...,qs , G , G, g , G, . . {pi ,pj } = {qi ,qj } = 0, {pi ,qj } = ij .


P1 = p Q1 = q
(1) 1 (2) 1

,...,Ps = p

(1) s

,P

s+1 +1

=p =

,...,Qs = q

(2) s

,Qs

(2) (2) 1 ,...,P2s = ps , (1) (1) q1 ,...,Q2s = qs

(G) (g ), (G), . . {Pi ,Pj } = {Qi ,Qj } = 0, {Pi ,Qj } = ij .




45

. {xi ,yj } zk , k = 1,..., 2n, i, j = 1,...,n. (G) ^ k F (z ) H (z ) = {F, H }(G) . Cij zk zi zj F F
(2) (2)

(x, y ), H

(2)

(x, y ) +

,H

(2) (G)

k + Cij y

yi k + Cij yk xi
k k = Cij xk

F (y ) H (y ) xp xp xi yp xj yp F (y ) H (y ) xp xp + yp xj yp F (y ) H (y ) xp xp = yp yj yp
k = Cij xk

F (y ) H (y ) 2 F (y ) H (y ) F (y ) 2 H (y ) k k + Cij yk xp + Cij yk xp . yi yj yi yp yj yi yj yp

, xp F F
(1) (1)

y

p

k Cij y

k

F (y ) H (y ) . yi yj

,H

(2)



H (y ) F (y ) xp + xi xj yp H (y ) F (y ) F (y ) k k + Cij yk xp + Cij yk yi xj yp xi y F (y ) H (y ) k . = Cij yk yi yj ,H
(2) (G) k = Cij xk

j

H (y ) xp yp

=

, {Pi ,Pj } = = {Qi ,Qj } = 0, {Pi ,Qj } = ij . (A) , P1 ,...,P2s ,Q1 ,...,Q2s -- . , .

2.
2.1.
2.1.1. . (R2n , )


46

. . , . .


n

=
i=1 1 n

dpi dq i ,

q ,...,q ,p1 ,...,pn -- R2n . (n) , . . R2n . J R2n , , (n) U (n)/O(n). N n -- R2n , x N n Tx N n f : N n (n) N n (n), . f : N n (n) f : H (n) H (N n ) , H (n) f () H (N n ) N n . ÷ H 1 (n) , . det : U (n) S1 -- , . det O(n) = {+1} = S0 , det2 : U (n)/O(n) S1 , SU (n)/S O(n). S1 dz /2iz , H 1 (S1 ; R). U (n)/O(n) (det2 ) (dz /2iz ). (n) U (n)/O(n) = (n). ÷ = [(det2 ) (dz /2iz )] , (., , [3, 10]). N n R2n -- -- N n . , X (t) = T (t) N n . -- , l=


(det)

2

dz . 2iz

H 1 (N n ; Z). -- N n . M m -- , -- T M m . Tz (T M m ), z T M m , , Vz , , . . , dz = 0, : T M m M m . M m Vz ,




47

Tz (T M m ) U (n)/O(n) ( Tz (T M m ) -- Tz (T M m )). , (det2 ) (dz /2iz ) -- (T M ), (T M ) -- T M , z Tz (T M ). N -- T M , N (T M ). l = l( ) , . H 1 (N ; Z), -- N . (. [20]). . 2.1.2. X n -- , jk i , Lm -- X n . Lm , (. 2.1.1). [X n ,Lm ] = { : [0, 1] X n }, -- - [0, 1] X n , (0) = x0 (1) Lm . (. [123]). f : [X n ,Lm ] Gm (Tx0 X n ) [X n ,Lm ] Gm (Tx0 X n ), Tx0 X n , m = dim Lm . [X n ,Lm ], T(1) Lm i x(0) = (0) . jk T(1) Lm f (). f () Tx0 X n f , Lm . f h (. [161]): f : h Gm (Tx0 X n ) h ([X n ,Lm ]). Lm X n , h . 2.1.1. a h Gm (Tx0 X n ) -- Gm (Tx0 X n ). f (a) h ([X n ,Lm ]) Lm X n ( f -- Lm X n ).


48

. . , . .

2.1.3. 2.1.2 . . 2.1.2. M 2m -- 2m- , 2-. (M 2m , ) . i M 2m jk , k ij = 0, k -- i . js . 2.1.3. (M 2m , ) , d = 0, . . (M 2m , ) -- . . k ij = 0 ij = s sj ik xk , , ij jk + + xk xi . +s is . jk (i, j, k) ki = 0, xj

, (M 2m , ) (. [234]). 2.1.4. (M 2m , ) -- . M 2m . , Lm -- M 2m . M 2m . (. [234]). f Lm f : [M
2m 2m

,Lm ] (Tx0 M

2m

),

(Tx0 M ) -- (Tx0 M 2m ,x0 ). f : h (Tx0 M
2m

) h ([M

2m

,Lm ])

. 2.1.5. a h (Tx0 M 2m ) -- (Tx0 M 2m ). f (a) h ([M 2m ,Lm ]) Lm N 2m .




49

2.1.4. , . 2.1.6. i M 2m . jk ^ . i , i -- M 2m , jk jk ^ -- Lm f, f M 2m , . . ^ f, f : [M 2m ,Lm ] (Tx0 M 2m ). ^ , f f . , ^ M 2m . i (s) = si + (1 - s)i , jk jk jk 0 s 1, -- . fs -- i (s). jk ^ fs f f , d i xk +i (s) j =0 jk dt dt s. 2.1.7. Ln R2n --
n

R2m , =
i=1

dpi dq

i

,

--.
. [M : [M
2m 2m

,Lm ]

,Lm ] Lm ,

() = (1),

, (M 2m ). , E2 E
p,q 2

=H

p

Lm , Hq (M

2m

)

,

Hq (M 2m ) -- Lm , 1 (Lm ) H q (M 2m ) (. [161]). M 2m = R2m , . ,


50

. . , . .

H q ([R2n ,Ln ]) H q (Ln ), . = . 2.1.8. -- Ln R2n i (1) jk i (2). jk fj : [R2n ,Ln ] (R2n ), j = 0, 1.

. , [R2n ,Ln ] d


d
? fj

f

j

c Ln

d d E (R2n ),

? fj -- , x0 R2n . R2n , , ? fj . H ([R2n ,Ln ]) k T

j



f

H (Ln ) '

? fj



H (R2n )

? , , fj = fj . , f0 = f1 , f0 , f1 (. ? ? 2.1.6). , f0 = f1 . M 2n = R2n ? ? -- (. 2.1.7), f0 = f1 , .

2.2.
2.2.1. , [X n ,Lm ], X n -- i , jk Lm . .




51

H = H (X n ,x0 ) -- x0 X n i . jk [X n ,Lm ]
f

E Gm (Tx X n ) 0
p

c Lm

? f

c E Gm (Tx X n )/H, 0

? f . . , H x0 -- Tx0 X n , - , x0 . H 0 H , , , . , H Gm (Tx0 X n ), m = 1,...,n. 2.2.2. M m -- i . jk (t), 0 t 1, x0 = (0) - x = (1) 1 . V -- - Tx0 M m , 1 V -- m Tx M . , x = x0 ( (0) = (1)). , H = Hx0 (M m ) x0 Gk (Tx0 M m ), k = dim V . ( ) HGk (Tx0 M m ) = Gk (Tx0 M m )/Hx0 (M m ). , N n M m -- ( , ), x0 M m -- . x N n - , (0) = x0 , (1) = x. - 1 -- x0 x . f : N n Gn (Tx0 M m )


52

. . , . .

f (x) = (Tx N n ) Tx0 M m 0 t 1, (0) = x0 , (1) (Tx N n ) Tx0 M m . = Hx0 (M m ), A( Tx N n ) =

. (t), = x, A H H = (Tx N n ).

f : N n HGn (Tx0 M m ) N n HGn (Tx0 M m ). 2.2.1. f : N n HGn (Tx0 M m ) N n M m i . jk f f : f : H HGn (Tx0 M m ) H (N n ). , f h . 2.2.2. M m -- i , a jk H HGn (Tx0 M m ) -- . a(N n ) = = f (a) H (N n ) N n M m . , m m : M1 M2 -- ,
m d : HGn (Tx0 M1 ) HGn (T (x0 ) m M2 ),

(d) (a)(N ) = a (N ) m HGn (T(x0 ) M2 ).

a

. , N
f
1

n



E (N n )
f
2

c m HGn (Tx0 M1 )

d

E HGn (T

c
(x0 )

m M2 ),

f1 f2 -- N n (N n ) , d -- . a(N n ). 2.2.3. M m -- i . jk (M m ,N n ), N n -- M m ,




53

a(N n ) = f (a) H (N n ), f -- N n M m a H Gn (Tx0 M m ) /Hx0 (M m ) -- HGn (Tx0 M m ), Hx0 (M m ) -- i . jk . 2.2.4. M m -- , N n -- M m . (M m ,N n ) . . y0 N n , 0 , 0 (0) = y0 , 0 (1) = x0 , -- - , y0 x0 . H = Hx0 (M m ) H , - , 0 0 1 , n N . , H -- H . - 0 0 1 , (t) N n , ~ f : N n Gn (Tx0 M m )/H . ~ N n -- , f = const (. [143]). : Gn (Tx0 M m )/H Gn (Tx0 M m )/H, H H . N
n

~ f



E Gn (Tx M m )/H 0


f

s c Gn (Tx0 M m )/H,

f , . , -- x x0 . , 0 = A Hx0 M m , -- , N n x y0 . -- , -1 = . -1 Hx0 (M m ), A -1 . ~ , (Tx N n ) = A (Tx N n ), , f (x) = f (x), ~ = f , . . . f ~ ~ f , , f . :


54

. . , . .
f H (N n ) ' r rr ~

H (Gn (Tx0 M m )/H )
f rr


T


rr H (Gn (Tx0 M m )/H ),



~ ~ ~ ~ . . f = f . f = 0, f = const, , f = f = n = 0 = 0. a(N ) = f (a) = 0, . . 1. 2.2.2 , . 2. 2.2.4 . 3. , ( , ., , [221]), , . (. ). 4. , (. [221]).

2.3.
, . M m -- i . jk N n M m ( N n N n , N n ). [N n ] Hn (N n ; R). v Hn (N n ; R) v [N n ] = v, [N n ] R. 2.3.1. a H n HGn (Tx0 M m ) -- n- M m . N n -- M m , a(N n ), [N n ] = a[N n ] N n M m , a[N n ] a. , -- . , , , . .




55

n 2.3.2. N1 n N2 vf- ( ), W n+1 , n n W n+1 = N1 N2 , v W n+1 , n N1 n N2 . vf- (. [220]). n- vf- , -- . , ) n = 4k +1, ; n n ) n = 4k + 1, W n+1 , W n+1 = N1 (-N2 ), .

2.3.3. N n M m vf- , . . N n = W n+1 , W n+1 -- M m . N n . . h: W
n+1

Gn (Tx0 M m )/H,

W n+1 = N n . W n+1 v (x), v (x) = 0, x W n+1 . M m gij , h(x) -- v (x) x0 . v (x) Tx W n+1 gij . h. N
n f

rri r j r W

n+1

E HGn (Tx M m ) 0 B Å Å Å Åh ,

. . h i f , f -- N n . , TW n+1 |N n TN n 1 , 1 -- . = f = i h . W n+1 -- (n +1)- M m , N n = W n+1 . (W n+1 ,N n ) [W n+1 ] Hn+1 (W n+1 ,N n ; R). : H [W
n+1 n+1

(W

n+1

,N n ; R) Hn (N n ; R)
n+1

] [N n ], . . [W

] = [N n ]. ,
n+1

: H n (N n ) H

(W

n+1

,N n )


56

. . , . .

v, a = + v , a , v H n (N n ; R) a Hn+1 (W n+1 ,N n ; R). a H HGn (Tx0 M m ) a[N n ] = a(N n ), [N n ] = f (a), [N n ] = i h (a), [N n ] = = i h (a), [W
n+1

] = + i h (a), [W

n+1

] = + 0 ž h (a), [W

n+1

] = 0,

i = 0 (W n+1 ,N n ): H n (N n ) - H n (W
i n+1

) - H



n+1

(W

n+1

,N n ).

, .

2.4.
2.4.1. , , , . . (M 2n , ) i . C (x0 ) - , jk x0 M 2n . C (x0 ) Hx0 (M 2n ) Tx0 M 2n . i . jk i , Hx0 (M 2n ) jk Tx0 M 2n , . . H = Hx0 (M 2n ) (Tx0 M 2n ) H (Tx0 M 2n ) = (Tx0 M 2n )/H . , N n M 2n -- M 2n . 2.2 f : N n H (Tx0 M f : H
2n 2n

),

f : H (Tx0 M ) H (N n ).




57

2.4.1. M 2n -- a H H (Tx0 M 2n ) -- M 2n . a(N n ) = f (a) H (N n )
2n

N n M

.

2.2.2. 2.4.2. a(N n ) = f (a) H (N n ), a H H (Tx0 M 2n ) , N n M 2n M 2n i . jk 2.4.2. N n -- M 2n . [N n ] [N n ] Hn (N n ; R), H (Tx0 M 2n ) -- M 2n . a H H (Tx0 M 2n ) -- n- , a(N n ) H n (N n ; R) N n M 2n . 2.4.3. a[N n ] H n a(N n ), [N n ] ( a) N n M 2n . n n 2.4.4. N1 N2 2n L-, M n n W n+1 M 2n , W n+1 = N1 N2 W n+1 n n P , N1 = {P = 0}, N1 = {P = 1} {x M 2n | P (x) = const} -- M 2n . 2.4.5. N n M 2n L- . a[N n ] a H (Tx0 M 2n ). . W h: W
n+1 n+1

M

2n

, W

n+1

= N n.

H (Tx0 M

2n

)


58

. . , . .

h(x) = (Tx {P = const}), -- {P = const} = {y W n+1 | P (y ) = P (x)}. (Tx {P = const}) , {P = const} -- -- . , (Tx {P = const}) . N
n f

rri r j r W

n+1

E H (Tx M 0 B Å Å Åh ,

2n

)

N n = {y W n+1 N n M 2 f = i h . 2.3.3.

n

| P (y ) = 0}. f -- , i -- . ,

N n M 2n [ ],g , [ ] -- , , g -- H (N n ; R), g H 1 H (Tx0 M 2n ) . , (M 2n , ) (x1 ,...,xn ,p1 ,...,pn ), . . M 2n = n i R2n , = dx dpi . = M 2n i jk H = {e}. , i = 0 jk (x, p) M 2n . N n M 2n xj = xj (u1 ,...,un ), pj = pj (u1 ,...,un ), j = 1,...,n,
i=1

(t) = xi = xi (t), pj = pj (t) , -1 (x + -1p) (x + -1p) 2 det d ln det . g ( ) = u u -1


g H H (Tx0 M 2n ) -- . , , Ad .

1




59

2.5.
= (f1 ,...,fn ) -- M 2n . Nc = {x M
2n

| f1 (x) = c1 ,..., fn (x) = cn },

c = (c1 ,...,cn ) Rn ,

a(Nc ) = ac , c Rn . M 2n : ) fi , i = 1,...,n, : {fi ,fj } 0 , ; ) fi , i = 1,...,n, M 2n ; ) n = 1 dim M 2n . 2 (., , [19, 119, 155--159, 207]). a H H (Tx0 M 2n ) -- H (Tx0 M 2n ) M 2n . ac [T n ] = a(T n ), [T n ] , T n -- Nc ( T n , T n -- n- , . [19, 159, 207]). F (x) = f1 (x),...,fn (x) F : M 2n x M 2n . K -- = F (K Rn . , rk dF (x) = n, . ) [159].

2.5.1. M 2n -- . , x = sgrad h M 2n h = f1 ,f2 ,...,fn -- . R -- Rn \ F (x) = = f1 (x),...,fn (x) . a, b R, F -1 (a) F -1 (b). . a Rn \ , Bb = F -1 (b) . , (t), 0 t 1, Rn \ , (0) = a, (1) = b. W n+1 = F -1 ( ) M 2n n+1. W n+1


60

. . , . .

F -1 (a) F -1 (b). F -1 (a) F -1 (b) L- . W n+1 k , k -1 (c) -- c R. (t), 0 t 1, (0) = a, (1) = b, Rn . ( ) xi . k (x) = fi (x). , fi-1 (c) = = F -1 (c) -- .

2.6.
2.6.1. , , . 2.6.1. M 2n -- x = sgrad H -- M 2n . , H = f1 ,f2 ,...,fn -- M 2n . , N n = {x M 2n | f1 (x) = c1 ,..., fn (x) = cn } -- f1 ,...,fn . i N n , jk sgrad fi , i = 1,...,n, . . . 2.6.2. Qn -- v1 ,...,vn -- Qn , v1 (x),...,vn (x) -- Tx Qn , x Qn . i , vi . jk . T T (vi ,vj ) = -[vi ,vj ]. . , i . jk 1 n x ,...,xn -- Qn vj ,...,vj -- vj , j = 1,...,n.
1 i vj p +i vj = 0. pk xk




61


1 n i k v1 + ... +i v1 = - 1 nk i v1 , xk

...
1 n i k vn + ... +i vn = - 1 nk i vn xk

i , j = 1,...,n, i, k . jk , v1 (x),...,vn (x) Tx Qn , , 1 n v1 (x) ... v1 (x) ... ... = 0 det ... 1 n vn (x) ... vn (x) x Qn . i . Y = jk X Y
n n i=1

f i vi ,

X Y =
i=1

(Xf i )vi .

, -- k vi = 0. R(X, Y )Z = X Y Z -Y X Z -[ R = 0 T (vi ,vj ) = -[vi ,vj ]. 2.6.1. T n -- f1 ,...,fn . T n -- , sgrad fi , i = 1,...,n. T n , T n -- . 2.6.2 T n , vi = sgrad fi . . , T (vi ,vj ) = -[vi ,vj ] = -[sgrad fi , sgrad fj ] = - sgrad{fi ,fj } = 0, {fi ,fj } = 0, . 2.6.3. , (M 2n , ) -- x = sgrad H M 2n . H = = f1 ,f2 ,...,fn -- n , NC0 -- n n . U NC0 NC0 i jk ,
X,Y ]

Z,

T (X, Y ) = X Y -Y X - [X, Y ],


62

. . , . .

n Nc U -- n , Nc , 2.6.1.

. I1 ,...,In , n 1 ,...,n U Nc , U
n

|U =
i=1

dIi d

i


n Nc = {x M

2n

| I1 (x) = const,..., In (x) = const}.

'--' (. [19]). i = 0 U . , i -- jk jk n . , Nc -- , (. [143]). II n i Nc . sgrad fi jk , 2.6.1 , i |U , . jk 2.6.2. , . , . . M n TM n s0 : M n TM n . 2.6.4. (M n ,g ) -- . TM n ~ g , M n , TM n s0 , M n . . M n -- , M n u ; x1 ,...,xn , I , x1 ,...,xn , g
p n

g=
i=1

(dxi )2 -

(dxi )2
p+1=1

(., , [47]). u = Tu x1 ,...,xn , ^ 1 n i ,..., , -- Tx u (x1 ,...,xn ).




63

xi = xi (x1 ,...,xn ),
n i=1 i =

xi xj

j ,

xi xi = +sk . xs xk

TM

n

g ~
n

g= ~
i=1

i ei [(dxi )2 + dxi d ],

ei = ... = ep = 1 ep+1 = ... = en = -1. , . . . , 2 xi j k xi j i dx + d . d = xj xk xj
n n i2 )

g= ~
i=1 n

ei (dx

+
i=1 n

i ei dxi d =

=
i=1 n

ei (dxi )2 +
i=1 n

ei

2 xi xj xk

xi j k s xi xi j dxs d + s dx dx + xs x xj
n i ei Fks dxk dxs , i=1

+
i=1

ei (dxi )2 +
s=1

s es dxs d +

F , F
i ks

=

2 xi xj
i ks

xi j . xk xs

i = -Fsk .

xj , 2 xi xj xi 2 xi xi + = 0, k xs x xj xk xs
i ks

j F , n n

+F

i sk

= 0.

ei
i=1 k,s=1

i Fks dxk dxs = 0.


64

. . , . .

, , x2 + ... + x2 - x2+1 - ... - x2 + x1 y1 + ... + xs ys - xs 1 s s n 1 = x1 + y1 + ... 2 12 12 - y1 - ... - ys + 4 4
2 +1 ys+1 2 s+1

- ... - xn yn =
2 n

1 + xs + ys 2 12 y + ... + 4 s+1

2

- xs 12 y. 4n

+1

1 +y 2

1 - ... - xn + y 2

-

, g (s, n - s), g TM n (s + (n - s), (n - s) + s) = (n, n), . . ~ . , gij ~ g , i 0, , ~ jk i Rj,pq 0, . . (TM n , g ) -- . ~ s0 i = 0. [143] , s0 (M n ) -- . , g s0 (M n ) . . , T M n M n (. [127, 128]). (M n ,g ) -- , f : TM n T M n , TM
n

g = f .

2.6.5. (M n ,g ) -- ~ . i , g TM n , jk g . . , g , ~ i 0. , jk g g , . . k ij = 0. , g s ij = 0 ij g . (M n ,g ) Holx (M n ) , x M n (. [221]). 2.6.6. (M n ,g ) -- ~ . Holx (TM n ) (TM n , g ) Holx (M n ), x M n . . , (t), 0 t 1, x = (0) = (1) M n = s0 (M n ),




65

(t) = 1 (t) ž ... ž N (t), i , i = 1,...,N , u i (0),i (1) s0 (M n ), i = 1,...,N . ^ , (t) (t) u1 ,...,uN i (t) i , u = -1 (u ), : TM n M n -- ^ ^ ^ . t1 ,...,tN , i (t) ui ui+1 . ps = (ts ) , s = 1,...,N . ps -1 (ps ) = Tps M n , (ts ). Tps M n , (ts ) s0 (ps ), s . 1 2 = 1 2 , - - - = (1 1 )(1 1 2 2 )(2 1 3 3 ) ž ... ž (N1 N ) . - - 1 = 1 1 , 2 = 1 1 2 2 ,..., N = N1 N . s0 (M n ) -- , TM n , i (t) ? ? i (t), i s0 (M n ) ? ? i (0) = i (0), i (1) = i (1). ? , u , i i , u . Tu -- , ? i i . M n , , TM n M n , . .

2.7.
2.7.1. 2.1 . : E M -- , i jk (. [143]). , p : V N -- E , X E , p = |X , N -- M . x0 M . X [M, N ] = = {(x, ) | x X, [M, N ], : [0, 1] M, (1) = p(x) N, (0) = x0 }. f : X [M, N ] Gm
-1

(x0 )


66

. . , . .

Gm -1 (x0 ) , -1 (x0 ) , m -- p (m = dim p-1 (x)). (x, ) X [M, N ], x X [M, N ], Tx X = Tx p-1 (1) -1 (1) 0 -1 (1) , , i , x0 . j f f h , . . f : h


Gm

-1

(x0 )

h (X [M, N ]).

p : X N , h (X [M, N ]). 2.7.1. a h
-1

Gm

-1

(x0 )

-- -

Gm (x0 ) . f (a) h (X [M, N ]) p : X N : E M . 2.7.2. , 2.2, , 2.7.1. , . . 2.7.2. : E M , -1 (b), b M , 2 -1 (b) . p : X N -- E , X E , p = |X , N -- M . X E , p-1 (b) -- -1 (b). , (X, Y ), . -1 (b) : E M (Eb ). : E M , -1 (b), , V -1 (b). H , H (Ex ) = = (Ex )/H , x M , . .




67

2.7.3. : E M -- , p : X N -- . , a H H -1 (x0 ) -- H (Ex0 ) : E M . a(X ) H (X ) p : X N . 2.7.4. a(X ) = f (a) H (X ) p : X N : E M . f: X
-1

(b0 ) /H

( p : X N ) . f Tx p-1 (b) -1 (b), b N , p-1 (b) 0 -1 (b) ( : E M ) -1 (b0 ), b0 M . 2.7.3. . 2.7.5. , a H k+n -1 (x0 ) /H -- (k + n)- E . a[X
k +n

] = a(X

k +n

), [X

k +n

]

X k+n E : E M . dim X = k +n, dim E = m+2n, dim M = m, dim N = k . . 2.7.6. : E m+2n M m -- k k k k . p1 : X1 +n N1 p2 : X2 +n N2 , P : Y k+n+1 W k+1 : E m+2n M m , P |W k+1 = p1 p2 , k k W k+1 W k+1 = N1 (-N2 ). , , . 2.7.7. p : X k+n N k : E m+2n M m . p : X k+n N k .


68

. . , . .

. P : W k+n+1 Y k+1 -- , , p : X k+n N k . h: W
k+n+1



-1

(x0 ) /H = H

-1

(x0 ) .

Tx P -1 (b), b Y k+1 , 0 -1 (b) Ex0 = -1 (x0 ) f . , , X
k +n f

rri r j r W

k+n+1

E H B Å ÅÅ Åh ,

-1

(x0 )

f -- X k+n i : X k+n W k+n+1 -- . : H (X
k +n

)' r r i rr rr H (W
f



H % ÅÅ ),
h



H

-1

(x0 )

Å ÅÅ

k+n+1

. . f = i h . a[X
k +n

] = a(X


k +n

), [X

k +n

] = f (a), [X

k +n

]=
k+n+1

= i h (a), [X

k +n

] = i h (a), [W



k+n+1

] = + i h (a), [W

] = 0,

i = 0 H s (W
k+n+1

) - H s (X

i

k +n

) - H



s+1

(W

k+n+1

,X

k +n

).

2.8.
2.8.1. Rn s. s
s n

,

s

=-
i=1

( i )2 +

( i )2 .
i=s+1 s

v , v, v

= 0.




69

2.8.1. p- V Rn IGp (Rn ); s s p- M p Rn , Tx M p s IGp (Rn ) x M p . s , N n -- M p N n -- . M p , Tx M p IGp (Tx N n ) x M p . , , , (. [201]). 2.8.2. IG1 (R4 ). 2 IG1 (R4 ) T2 S1 × S1 . = 2=

,
H



IG1 (R4 ) (w1 ,w2 ), = 2

deg w1 = deg w2 = 1.
. R4 = R2 R2 , x R4 x1 ,x2 R2 , x = x1 x2 . S3 R4 |x1 |2 + |x2 |2 = 1, K -- |x1 |2 = |x2 |2 . K S3 T2 , |x1 |2 + |x2 |2 = 1, |x1 |2 = |x2 |2 , . . |x1 |2 = 1/2 |x2 |2 = 1/2. IG1 (R4 ), 2 S1 × S1 (x1 ,x2 ) (-x1 , -x2 ), , , S3 . , . (N n ,gij ) -- . , i gij jk N n . , H HIGm (Tx0 N n ), x0 N n , , . 2.8.3. (N n ,gij ) -- i , gij , a jk H HIGm (Tx0 N n ) -- HIGm (Tx0 N n ) i . jk a(M m ) H (M m ) M m N n , f -- m m M m . , (M1 ,gij ), (M2 ,hij ) -- n m m m N -- M1 . : M1 M2 -- , hij = gij ,
m d : HIGn (Tx0 M1 ) HIGn (T (x0 ) m M2 ),


70

. . , . .



(d) (a)(N n ) =



a (N n )
(x0 ) m M2 ) .

a H HIGn (T

. 2.2.2, , . .
m 2.8.4. Ms -- m s. , Ms : m 1) Ms ; m 2) Ms ; m 3) m = dim Ms < 5. m v (x), x Ms , 1 1 N a(N ) = 0 m a H IG1 (Tx0 Ms ) . m . H Ms m (. [47]). v0 Tx0 Ms v v (x) = (v0 ), -- x0 x. , H = {e}. N 1 , v . , f (a), m a H HIG1 (Tx0 Ms ) = H m IG1 (Tx0 Ms ) ,

H = {e},

. 2.8.2. . N n -- m Ms . m 2.8.5. a H HIGn (Tx0 Ms ) -- n-m HIGn (Tx0 Ms ) m , Ms . a(N n ), [N n ] = a[N n ]
m N n Ms , n n n [N ] -- [N ] Hn N ; R) . N n 2.8.6. , N1 , N2 m Ms , m n n W n+1 Ms , W n+1 = N1 N2 ,




71

k C (W
n N1

n+1

),
m s

= {x M

| k (x) = 0},

n N2 = {x M

m s

| k (x) = 1}

{x

m Ms

m | k (x) = const} -- Ms .

2.8.7. , N n m Ms . n m a[N ], a H HIGn (Tx0 Ms ) , . . h: W h(x) = (Tx {x M
m s n+1 m HIGn (Tx0 Ms )

| k (x) = c}),

-- x m x0 Ms . h , m (Tx {x Ms | k (x) = c}) H . , N
n f

r

i rr j r

W

n+1

m E HIGn (Tx0 Ms ) B Å Å ÅÅh

,

i : N n W n+1 -- f -- m N n , N n = {x Ms | k (x) = c}. . H (N n ) ' r rr i rr . . f = i h . a[N n ] = a(N n ), [N n ] = f (a), [N n ] = i h (a), [N n ] = = i h (a), [W
n+1 f


r H (W

n+1

ÅÅ % Å ),

m H HIGn (Tx0 Ms ) ÅÅ Å h

] = + i h (a), [W

n+1

] =0

m a H HIGn (Tx0 Ms ) .

v, a = + v, a (W H n (W
n+1 n+1

,N n ):

) - H n (N n ) - H

i



n+1

(W

n+1

,N n ).

.


72

. . , . .

2.9.
2.9.1. , . 2.9.1. M -- , - i jk ij , . . i -- . jk M M0 × M1 × ... × Mk , M0 -- , |M0 -- M0 , M1 ,...,Mk -- . . , , -- , (M0 , |M0 ) -- . (0) Tx0 -- Tx0 M , H = Hx0 (M ), Tx0 -- Tx0 M . H
k

T

x0

=
i=1

T

(i) x0 (i)

Tx0 . T0 T , (0) Tx0 Tx0 , [77]. M0 , M -- , x0 . . [77]. , M0 , M -- . M = M0 × M . , -- M , , (0) , |T (0) -- . Tx0 , -- x0 R Tx0 M , . . = { Tx0 M | (, ) = 0}. -- , dim = dim Tx0 M - 1. H . M -- , H H0 . M -- SO(n), n = dim M




73

(. [77]). , H Tx0 M . Tx0 M = R, R -- H Tx0 M , (, ) = 0. (0) , Tx0 . ( , ) = (, ) H , H |Tx0 M . , ( , ) = (, ( ) ) = ( ) (, ), = ( ) . , (, ) = ( ) (, ), (, ) = 0, ( ) = 1. (0) (0) , Tx0 , . . Tx0 , (, ) = 0, , |Tx0 M . |M0 . , |M0 M |T (0) . , x0 (., , [143]). , |M0 -- , |T (0) , x0 . 2.9.2. M 2n -- gij . : M 2n ij . , i , jk k ij = 0 k gij = 0, i = i , . . i jk kj jk . , , . 2.9.2. (M 2n ,gij ) -- , x0 M 2n , H = Hx0 (M 2n ) -- x0 . M 2n ij , Tx0 M 2n H - 2- 2 (Tx0 M 2n ).


74

. . , . .

M

. ij -- , (ij )|Tx0 M 2n -- H - 2-. , -- H - 2- Tx0 M 2n . (t), 0 t 1, -- , x0 = (0) z = = (1) M 2n . X, Y Tz M 2n
2n

z (X, Y ) = ( X, Y ), -- . H - , . . , z , x0 . , . , d = 0, 2.1.3. . 2.9.3. (M, hij ) -- . , Re hij , = Im hij . (. [78]). 2.9.4. M 2n -- , , H -- . H -- Sp(n, R), H Sp(n, R). . M 2n -- , H (. [47]). , H Sp(n, R). , H -- Sp(n, R). -- (. [47]) H M N . , , H Sp(n, R), 2n N , . . Tx M N R2n , H , R2n = Tx M N R2n-N , . M 2n = M N × T2n-N , T2n-N -- . Holx (M
2n

) Holx1 (M N ) × Holx2 (T =

2n-N

) Holx1 (M N ) H, = = x = (x1 ,x2 ) M
2n

.

, Tx M 2n H - . , 2.9.2, M 2n .




75

. .
n 2.9.5. Ms -- n s. Ms :

1) (. . s = 0 s = n); 2) (. . s = 1 s = n - 1); n 3) n = dim Ms < 5,
n Ms , . . , , . n H 1 (Ms ) Rn . n . s n . [47] H = {I }, Ms = Rn /, -- s . n Tx0 Ms 2- 2 n (Tx0 Ms ) n Ms . 2.1.3 , , , .

2.9.6. (M, gij ) -- n, . n = 2m, n = 8, M ij , M ij . . N -- . [241]. (. [241]): ) n = 2m, m ) n = 4m, m 2, (SU(m), Cm ) N = 2; 2, (Sp(m), C2m ) N = m +1.

H -- . ). H SU(m), n = 2m, 1 , 2 , 2- 2 (. [241]). 2 , 2.1.3 d2 = 0, . . 2 -- , . ). H Sp(m), n = 4m, 1 , 2 [241]. ÷, Re[÷/(m - 1)!] -- 2- (. [241]). 2.1.3, d÷ = 0.


76

. . , . .

n 2.9.7. 2.9.5 TMs n Ms .

. 2.6.4. 2.9.3. (M 2n , ) N n M 2n . i M 2n i , . . Rj,pq = 0 jk i i k ij = 0, Rj,pq -- jk . 2.6.2. , , . , . . 2.9.8. (X, Y ) -- V . V J , . , J : V V , 1) J 2 = -Id; 2) (JX, J Y ) = (X, Y ); 3) ÷J (X, Y ) = (X, J Y ) -- V , , (X, Y ) > 0 X V , X = 0. . ÷ -- V . A : V V (X, Y ) = ÷(AX, Y ) X, Y V . ÷ A . -(A2 ) ÷, . . ÷(-A2 X, Y ) = ÷(X, -A2 Y ) X, Y V . -(A2 ) ÷, . . ÷(-A2 X, X ) > 0, X = 0.




77

-(A2 ) -- , : -(A2 ) J = (-(A2 ))-
1/ 2 1/ 2

=

-A2 .

A. , J 2 = -Id.

(JX, J Y ) = (X, Y ). ÷J (X, Y ) = (X, J Y ) . 2.9.9. (M 2n , ) -- , n v1 ,...,vn , x M 2n v1 (x),...,vn (x) (vi ,vj ) = 0, 1 i, j n. M 2n i jk , k ij Lx = v1 (x),...,vn (x) i . jk , Lx -- , i . jk . 2.9.8, J (J 2 = -Id) M 2n , ) (JX, J Y ) = (X, Y ), X, Y Tx M 2n ; ) g (X, Y ) = (X, J Y ) -- M
2n 2n

.

Tx M -- g (X, Y ) = (X, J Y ), v1 (x),...,vn (x) e1 ,...,en v1 (x),...,vn (x) = Lv Tx M 2n , v1 (x),...,vn (x). g (ei ,ej ) = ij , , , (ei ,J ej ) = ij . Lx -- Tx M 2n , (ei ,ej ) = 0. , (Jei ,J ej ) = 0, (Jei ,J ej ) = (ei ,ej ) = 0. , g (f1 ,...,f2n ) = (e1 ,...,en ,J e1 ,...,J en ) Tx M , g (fi ,fj ) = const (fi ,fj ) = const M 2n . : X = X i fi , X Y = Y (X i )fi (. [202]).
2n


78

. . , . .

, (t), 0 t 1, a = (0) b = (1) , , . . (. [77]). , f1 ,...,f2n . , , (fi ,fj ) = const, X (t),Y (t) = (X i fi ,Y i fi ) = X i Y j (fi ,fj ) = const X (t), Y (t), (t), , k ij = 0, . . . g , . . k gij = 0. R(X, Y )Z = X Y Z -Y X Z -[X,Y ] Z X Y = (XY i )fi . 2.9.10. M n -- . T M n , k ij = 0, -- T M n , Tx M n -- . vn (x), , i = 1,...,n, . . . M n v1 (x),..., . T M n . i , i = 1,...,n, -- , vi , i (vj ) = ij .

vi (y ) = i (y ) Tx M n Ty (Tx M n ) Ty T M n . = Tx M n -- n T M , 2.9.9 , , , .

2.9.11. F M 2n , M 2n . F , v1 ,...,vn , vi (x), i = 1,...,n, -- Tx F , x. 2.9.12. F (M 2n , ) , k ij = 0, -- . , M 2n -- .




79

2.9.13. x = sgrad h -- (M 2n , ) f1 = h, f2 ,...,fn -- . K = {x M
2n

| sgrad fi (x), i = 1,...,n},

sgrad fi (x) Tx M 2n . U = M 2n \ K , k ij = 0,
{x M
2n

| fi (x) = const, i = 1,...,n}

.
. 2.9.9, v1 ,...,vn vi = sgrad fi fi , i = 1,...,n. 2.9.14. v1 = sgrad h1 , v2 = sgrad h2 -- (M 2n , ). M (h1 ,h2 ) v1 v2 . : , so(3) 0, 2 .

2.10. -
2.10.1. - . . . , , . . . , . , (. [160]). , - . M 4 H -, M 4 Mi = {x M 4 | ai H (x) ai
+1

},

i . M 4 (. [160]).


80

. . , . .

- . . 2.10.1. M Mn =
I n

-,

B

M

n

'' B , B ,

) int B = I ; ) int B int B = = ; ) Q = Q -- M n , u B ()i . jk (M n ,B , ), B = {B }, = {()i }. jk 2.10.2. : [0, 1] M n - M n , (t) Q . - . M n -- - : [0, 1] M n -- M n . v T (0) M n (1) . , (t) Q1 ,..., Qs t1 < ... < ts 1. p1 = (t1 ),..., ps = (ts ), 0 v p1 (1 )i , jk [ (0),p1 ] (t) B1 . v1 p2 (2 )i , [p1 ,p2 ] (t) jk B2 , . . (v ) T (1) M n , v T (0) M n . , H - M n p M n . A : Tp M n Tp M n , - , p. Gk (Tp M n ), 1 k dim M n = n. HGk (Tp M n ) = Gk (Tp M n )/H (p).




81

2.10.2. - - . N n M m -- - M m , x0 M m -- . x N n (t), (0) = x, (1) = x0 , x x0 (t). f : N n Gn (Tx0 M m ), n = dim N n , f (x) = (Tx N n ) Tx0 M m . (t), 0 t 1, (0) = x, (1) = x0 , A H (x0 ) H (x0 ), A (Tx N n ) = (Tx N n ). f : N n HGn (Tx0 M m ) N n HGn (Tx0 M m ). 2.10.3. f : N n HGn (Tx0 M m ) N n - M m . f f : f : h HGn (Tx0 M m ) h (N n ). 2.10.4. M m -- - a h HGn (Tx0 M m ) -- . a(N n ) = f (a) h (N n ) N n M m h . 2.10.5. f (a), , N n M m . , , . N n [N n ] Hn (N n ; R). 2.10.6. a H HGn (Tx0 M m ) -- n- - M m . a(N n ), [N n ] = a[N n ] N n M m , a.


82

. . , . .

, vf-, 2.3. 2.10.7. N n - M m vf- , . . N n = W n+1 , W n+1 -- M m . N n . . 2.3.3.

3. ,
3.1.
M 2n [208] M 2n = R2n = Cn . R2n -- -- (. [1, 3, 29, 30]). . . , -- . [69, 87] M 2n = R2n . . . , ' ' ( ) . 2 , . , . . , [69, 87]. 3.1.1. f : M m N n+1 -- , M -- , N n+1 -- . f ( ), M m N n+1 .
m

. [210]: f , f . 2.2.4.




83

3.1.2. M m N n -- N n , f --. f -- , M m N n . . [210]: f , . 2.2.4. 3.1.3. M -- , N -- M , . N M . M , N M . . [223] , N -- . 2.2.4. 3.1.4. C1 , C2 -- , R3 . M -- R3 , C1 C2 , M . . , M -- , . . . f (M ) = S2 , f : M S2 -- M . g : M G2 (R3 )/H = G2 (R3 ), H = {e}, , , g . . M m Rn n, . , [204].

3.2.
3.2.1. [216]. (. [74]). -


84

. . , . .

, . . , . 9 A3,1 ,...,A3,9 , Aa,5 , 0 < |a| < 1, Aa,7 , |a| > 0. 3 3 . 3.2.1. ind A3,j A3,j , j = 1, 2,... , 9, 1. , , A3,j , j = 1, 2,... , 9, . , x = sgrad Hx . , , {x | H (x) = const} H . , , x = sgrad Hx . -- , H . . G = A3,j e1 , e2 , e3 , x G x = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 . G e1 , e2 , e3 , . . i ei (ej ) = j , i, j = 1, 2, 3. f G 1 f = f1 e + f2 e2 + f3 e3 . 3.2.2. , , , A3,9 . 3.2.2. . A3,1 . G = A3,1 [e2 ,e3 ] = e1 . , e1 . , , f1 = const = 0, f1 = 0 , . 3.2.3. O(f ) (f1 = const = 0) Ad , A3,1 , df2 df3 = . f1 O (f )

p = f2 /f1 , q = f3 O(f ) , . . = dp dq . , ( ),




85

i 0, jk . . , ad f = (0,x3 f1 , -x2 f1 ). x , (X, Y ) = (ad f, ad f ) = f ([x, y ]) x y
2 2 , . f2 + f3 22 2 2 O(f ) p, q f1 p + q , f1 = const. O(f ).

A3,2 . A3,2 [e1 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = e1 + e2 , I = f1 exp[-f2 /f1 ], . 3.2.4. O(f ) (f1 = 0) Ad , A3,2 , df1 df3 = . f1 O (f )

u1 = ln |f1 |, u2 = f3 p = f1 , q = f3 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x X1 X3 , 0, , x= - f1 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ). , , 2 2 2 . F (f1 ,f2 ,f3 ) = f1 + f3 /f1 A,2 3 , , . A3,3 . A3,3 [e1 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = e2 , I = -f2 /f1 , . 3.2.5. O(f ) (f1 = 0) Ad ,


86

. . , . .

A3,3 ,
=

df1 df f1

3 O (f )

.

u1 = ln |f1 |, u2 = f3 p = f1 , q = f3 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x X1 X3 , 0, , x= - f1 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ). , , 2 2 2 . F (f1 ,f2 ,f3 ) = f1 + f3 /f1 A,3 3 , , , F O(f ) p2 + q 2 p, q . A3,4 . A3,4 [e1 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = -e2 , I = f1 f2 , . 3.2.6. O(f ) (f1 = 0) Ad , A3,4 , df1 df3 = . f1 O (f )

u1 = ln |f1 |, u2 = f3 p = f1 , q = f3 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x X1 X3 , 0, , x= - f1 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ). , , 2 2 2 . F (f1 ,f2 ,f3 ) = f1 + f3 /f1 A,4 3 , , , F O(f ) p2 + q 2 p, q .




87

Aa,5 . Aa,5 3 3 [e1 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = ae2 , 0 < |a| < 1, - I = f2 f1 a , . 3.2.7. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,5 , 3 df1 df3 = . f1 O (f )

u1 = ln |f1 |, u2 = f3 p = f1 , q = f3 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x X3 X1 x= - , 0, , f1 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ). , , 2 2 2 . F (f1 ,f2 ,f3 ) = f1 + f3 /f1 (Aa,5 ) 3 , , , F O(f ) p2 + q 2 p, q . A3,6 . A3,6 [e1 ,e3 ] = -e2 , [e2 ,e3 ] = e1 , 2 2 I = f1 + f2 , . , A3,6 -- E (2) R2 . -- 2 2 f1 + f2 = R2 = const (R = 0). (f3 ,,r) -- A,6 , 3 -- f1 f (f1 ,f2 ).
2 2 3.2.8. f1 + f2 = R2 = const, R = 0 (. . O(f )) Ad , A3,6 ,

= d df3 |O

(f )

.

u1 = , u2 = f3 2 2 f1 + f2 = R2 = const (R = 0) , O(f )


88

. . , . .

area, . . = R-1 area. , ( ), i 0, jk .
. O(f ) u2 = {f2 = 0}. u1 , f1 X3 X2 x = 0, - , f1 f1 df2 df f1
3 O (f )

u1 = {f1 = 0}, (f2 ,f3 ), u2 -- (f1 ,f3 ). = 0 X = ad f , x ,

X = (X1 ,X2 ,X3 ). , = .

2 f1 = + R2 - f2 u1 , O(f )

df2 =+ f1

df
2

2 2 f2

R-

=d +

df
2

2 2 f2

R-

= +d arcsin

f2 R

= +d.

u2 . F (f1 ,f2 ,f3 ) = 2 2 = (f1 + f3 )/f2 A,6 , 3 , . Aa,7 (a > 0). Aa,7 (a > 0) 3 3 [e1 ,e3 ] = ae1 - e2 , [e2 ,e3 ] = e1 + ae2 ,
2 2 I = (f1 + f2 )

f1 + if2 f1 - if2

ia

, . -- , (r, ) (f1 ,f2 ) r exp(-a) = const, . . . 3.2.9. O(f ) (I = 0) Ad , Aa,7 , 3 = d df3 |O(f ) ,

(f3 ,,r) -- (Aa,7 ) , -- 3 f1 f (f1 ,f2 ). u1 = , u2 = f3 . ( ),




89

i 0, jk .
. : ) af1 - f2 = 0; ) f1 + af2 = 0. , X = ad f , x x= , = , f1 = r cos = C exp a cos , df1 = d, af1 - f2 ). ). ,
2 2 F (f1 ,f2 ,f3 ) = 2(f1 + f2 )+ 2 2 2 2 2 4(f1 + f2 )2 - 3(f1 + f2 + f3 )

-

X1 X3 , 0, af1 - f2 af1 - f2 df1 df3 af1 - f2

.

.
O (f )

f2 = r sin = C exp a sin .

, , . A3,8 . A3,8 [e1 ,e3 ] = -2e2 , [e1 ,e2 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = e3 , 2 I = f2 + f1 f3 , . A3,8 , SU(1, 1). 2 f2 + f1 f3 = C , C = const, . . ( C < 0), ( C > 0). 3.2.10. O(f ) 2 (f2 + f1 f3 = 0) Ad , A3,8 , = f1 df1 df2 +2f2 df3 df1 + f3 df2 df 2 2 2 f1 +4f2 + f3
3 O (f )

.


90

. . , . .

u1 = a sh , u2 = ,
f1 = a(ch +sh )sh , f2 = a ch , f3 = a(- ch +sh )sh .

, ( ), u1 , u2 i 0, jk .
. , X = ad f , x -f1 X2 +2f2 X3 f1 X1 - f3 X3 -2f1 X1 + f3 X2 x1 = 2 x2 = 2 x3 = 2 2 2, 2 2, 2 2, f1 +4f2 + f3 f1 +4f2 + f3 f1 +4f2 + f3 X = (X1 ,X2 ,X3 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ). , f3 X1 +2f2 X2 + f1 X3 = 0. . , , . 2 2 2 F (f1 ,f2 ,f3 ) = f1 + f2 + f3 A,8 3 , , . A3,9 . A3,9 [e1 ,e2 ] = e3 , [e2 ,e3 ] = e1 , [e3 ,e1 ] = e2 . , , SU(2) , , . 2 2 2 I = f1 +f2 +f3 . 2 2 2 -- I = f1 + f2 + f3 = R2 = 0. 3.2.11. O(f ) 2 2 2 (f1 + f2 + f3 = R2 = 0) Ad SU(2), A3,9 , = f1 df2 df3 + f2 df3 df1 + f3 df1 df 2 2 2 f1 + f2 + f3
-1 2 O (f )

area, . . = R area. , -- O(f ) R, u1 = = R cos , u2 = -- , f1 = R cos cos , f2 = = R cos sin , f3 = R sin .
. O(f ) , , . , H -- , O(f ), , , . , , f3 A,9 3




91

O(f ), f3 O(f ), , . 3.2.11. , X = ad f , x x= 1 [X, f ], |f |2

[X, f ] -- . , f1 X1 + +f2 X2 +f3 X3 = 0. , , . , , , du1 du2 = R cos d d, .

3.3.
3.3.1. . , . . , . 12 A4,1 ,...,A4,12 , Aa,2 (a = 0), Ab ,9 4 4 (-1 < b 1), Aa,11 (a > 0) Aab5 (ab = 0, 4 4, -1 a b 1), Aab (a = 0, b 0). 4 , (A4,1 ) . G , ind G = 2 , , . , x = sgrad Hx . -- , , . . H ( S1 ) . , : ) x = sgrad Hx ; ) .


92

. . , . .

. G = A4 e3 , e4 , x G x =

,j 4

e1 , e2 , xi ei . -

G e1 , e , e , e4 , . . ei (ej ) = i = j , i, j = 1,..., 4. f G
4

i=1 2 3

f=
i=1

fi ei . , f G , -

, G, O(f ) G . 3.3.1. , . 3.3.2. A4,1 . A4,1 [e2 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = e2 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 ,
2 I2 = f2 - 2f1 f3 ,

. 2 f1 = C1 , f2 -2f1 f3 = C2 . 3.3.2. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,1 , f2 , f4 = df2 df f1
4 O (f )

,

O(f ) u1 = f2 /f1 , u2 = f4 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X4 , 0,X2 ) . x= f1 , , .
2 F = f4 + 2 f2 2 f1

A,1 , 4 , ,




93

F u2 + u2 = const, 1 2 . Aa,2 , a = 0. Aa,2 , a = 0, 4 4 [e1 ,e4 ] = ae1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = e2 + e3 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f2 exp - f3 , f2 I2 =
a f2 , f1

. f2 exp - f3 = C1 , f2
a f2 = C2 . f1

3.3.3. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,2 , f1 , f4 4 = df1 df4 |O
(f )

,

. . .
. , X = ad f , x (-X4 , 0, 0,X1 ) x= . af1 2 2 , , . f1 + f4 a (A4,2 ) , , . A4,3 . A4,3 [e1 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = e2 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 exp - f3 f2 , I2 = f2 ,

. f1 exp - f3 f2 = C1 , f2 = C2 .

3.3.4. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,3 , f1 , f4 = df1 df f1
4 O (f )

,


94

. . , . .

O(f ) u1 = ln |f1 |, u2 = f4 p = f1 , q = f4 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X4 , 0, 0,X1 ) , x= f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f1 + 2 f4 2 f1

A,3 , 4 , , F p2 +q 2 = const, 2. A4,4 . A4,4 [e1 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = e1 + e2 , [e3 ,e4 ] = e2 + e3 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 exp - f2 f1 , I2 =
2 2f1 f3 - f2 , 2 f1

. f1 exp - f2 f1 = C1 ,
2 2f1 f3 - f2 = C2 . 2 f1

3.3.5. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,4 , f1 , f4 = df1 df f1
4 O (f )

,

O(f ) u1 = ln |f1 |, u2 = f4 p = f1 , q = f4 /f1 . , ( ), i 0, jk .




95

. , X = ad f , x (-X4 , 0, 0,X1 ) x= , f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f1 + 2 f4 2 f1

A,4 , 4 , . Aab . Aab5 4, 4,5 [e1 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = ae2 , [e3 ,e4 ] = be3 , ab = 0, -1 a b 1, ei , i = 1, 2, 3, 4. , fa fb I1 = 1 , I2 = 1 , f2 f3 .
a f1 = C1 , f2 b f1 = C2 . f3

3.3.6. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aab5 , f1 , f4 4, = df1 df f1
4 O (f )

,

O(f ) u1 = ln |f1 |, u2 = f4 p = f1 , q = f4 /f1 . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X4 , 0, 0,X1 ) x= , f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f1 + 2 f4 2 f1


96

. . , . .

2 G = ln2 f1 + f4

(Aab5 ) , 4, , , F p2 + q 2 = const, G u2 + u2 = const, 1 2 , 2. Aab . Aab6 4, 4,6 [e1 ,e4 ] = ae1 , [e2 ,e4 ] = be2 - e3 , [e3 ,e4 ] = e2 + be3 , a = 0, b 0, ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 2 2, f2 + f3
2b/a 2 2 I2 = (f2 + f3 )

f2 + if3 f2 - if3

ib

,

. f1 2 2 = C1 , f2 + f3
2b/a

r exp(-b) = C2 ,

(r, ) -- f2 , f3 . 3.3.7. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aab6 , f1 , f4 4, = df1 df af1
4 O (f )

,

O(f )
u1 = 1 ln |f1 |, a q= u2 = f4 f4 . af1


p = f1 ,

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X4 , 0, 0,X1 ) , x= af1




97

, , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f1 + 2 f4 2 a2 f1

(Aab6 ) , 4, , . A4,7 . A4,7 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e4 ] = 2e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = e2 + e3 ei , i = 1, 2, 3, 4. , , . . O(f ) -- A,7 . 4 3.3.8. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,7 , f1 ,...,f4 = (2f1 )-2 [(f2 + f3 )df1 df2 + f1 df1 df4 +2f1 df2 df3 + f2 df3 df1 ]|O q1 = f1 , q2 = f2 p2 = - f3 , 2f1
(f )

,

O(f )
p1 =

2 2f2 f3 - 2f4 f1 - f2 , 2 8f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-(f2 + f3 )X2 + f2 X3 - f1 X4 , (f2 + f3 )X1 - 2f1 X3 , 2f1 X2 - f2 X1 ,f1 X1 ) x= , 2 2f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , . , , , . A4,8 . A4,8 [e2 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = -e3 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 , I2 = f2 f3 - f1 f4 ,


98

. . , . .

. f1 = C1 , f2 f3 - f1 f4 = C2 .

3.3.9. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,8 , f2 , f3 = df2 df f1
3 O (f )

,

O(f )
p = f3 , q= f2 , f1

. .
= dp dq .

A4,8 O(f ) , , ( ).
. , X = ad f , x (0, -X3 ,X2 , 0) x= , f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f3 + 2 f2 2 f1

A,8 , 4 , . Ab ,9 . Ab ,9 4 4 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e4 ] = (1 + b)e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = be3 , -1 b 1, ei , i = 1, 2, 3, 4. , , . . O(f ) -- (Ab ,9 ) . 4 3.3.10. O(f ) (f1 = 0) Ad , Ab ,9 , f1 ,...,f4 4 = bf3 df1 df2 - f2 df1 df3 + f1 df1 df4 +(1+ b)f1 df2 df 2 (1 + b)f1
3 O (f )

,




99

O(f )
q1 = f1 , q2 = f2 , p2 = - f3 , f1


p1 =

f2 f3 - f4 f1 2, (1 + b)f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. T = ck fk ij (1 + b)f1 f2 . bf3 0 f1 0 , 0 0

0 0 = 0 -(1 + b)f1

0 0 -f1 -f2

0 f1 0 -bf3

T -1 , . . 0 bf3 -bf3 1 0 T -1 = - 2 f -(1 + b)f1 (1 + b)f1 2 0 -f1

-f2 (1 + b)f1 0 0

. , , , . A4,10 . A4,10 [e2 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = -e3 , [e3 ,e4 ] = e2 ei , i = 1, 2, 3, 4. , I1 = f1 ,
2 2 I2 = 2f1 f4 + f2 + f3 ,

. f1 = C1 ,
2 2 2f1 f4 + f2 + f3 = C2 .

3.3.11. O(f ) (f1 = 0) Ad , A4,10 , f2 , f3 = df2 df f1
3 O (f )

,


100

. . , . .

O(f ) f2 p = f3 , q = , f1 = dp dq . A4,10 O(f ) , , ( ).
. , X = ad f , x (0, -X3 ,X2 , 0) x= , f1 , , X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ). , , .
2 F = f3 + 2 f2 2 f1

A,10 , 4 , . Aa,11 . Aa,11 4 4 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e4 ] = 2ae1 , [e2 ,e4 ] = ae2 - e3 , [e3 ,e4 ] = e2 + ae3 , a > 0, ei , i = 1, 2, 3, 4. , , . . O(f ) -- (Aa,11 ) . 4 3.3.12. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,11 , f1 ,...,f4 4
2 = (2af1 )-1 × × [(f2 + af3 )df1 df2 - (af2 - f3 )df1 df3 + f1 df1 df4 +2af1 df2 df3 ]|O

(f )

,

O(f )
q1 = f1 , q2 = f2 , p2 = - f3 , f1


p1 =

2 2 2af2 f3 - f2 - f3 - 2f1 f4 , 2 4af1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .




101

. 0 0 k T = cij fk = 0 -2af1

0 0 -f1 -(af2 - f3 ) -(f2

0 2af1 f1 af1 - f3 . 0 f2 + af3 + af3 ) 0

T -1 , . . 0 f2 + af3 1 -(f2 + af3 ) 0 -1 T =- 2 -2af1 2f1 af2 - f3 0 -f1

-(af2 - f3 ) f1 2af1 0 , 0 0 0 0

. , , , . A4,12 . A4,12 [e1 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e3 ] = e2 , [e1 ,e4 ] = -e2 , [e2 ,e4 ] = e1 ei , i = 1, 2, 3, 4. , , . . O(f ) -- A,12 . 4 3.3.13. O(f ) 2 2 (f1 + f2 = 0) Ad , A4,12 , f1 ,...,f4
2 2 = (f1 + f2 )-1 [-f1 df1 df3 + f2 df1 df4 - f2 df2 df3 - f1 df2 df4 ]|O (f )

,

O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , f1 f2


1 2 2 p1 = - ln(f1 + f2 ), 2 p2 = - arctg .

( ), i 0, jk .
. -f2 f1 . 0 0

T = ck fk ij

0 0 = -f1 f2

0 0 -f2 -f1

f1 f2 0 0


102

. . , . .

T -1 , . . 0 0 0 1 0 T -1 = - 2 2f f2 f1 + f2 1 -f2 f1

-f1 -f2 0 0

f2 -f1 , 0 0

. , , , .

3.4.
3.4.1. . , . . , . 40 A5,1 ,...,A5,40 , 11 , 6 , 3 . A5,1 ,...,A5,39 -- , A5,1 ,...,A5,6 -- , A5,40 SU(2) R2 . G , . . ind G = 3, 2. , x = sgrad Hx . -- , , . . H ( S1 ) . , . . ind G = 1, 4. : ) x = sgrad Hx ; ) . , . G = A5,j , j = 1,..., 40, e1 ,...,e5 , x G x =
5

G e1 ,...,e , . . ei (ej ) = i = j , i, j = 1,..., 5. f G

i=1 5

xi ei . -



5

103

f=
i=1

fi ei . , f G -

, G, O(f ) G . 3.4.1. , . 3.4.2. 40 . A5,1 . A5,1 [e3 ,e5 ] = e1 , [e4 ,e5 ] = e2 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , I2 = f2 , I3 = f2 f3 - f1 f4 ,

. O(f ) f1 = C1 , f2 = C2 , f2 f3 - f1 f4 = C3 , , . 3.4.2. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,1 , f3 , f5 = df3 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p= f3 , f1 q = f5 ,


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, 0, -X5 , 0,X3 ) x= , f1


104

. . , . .

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f5 + 3 2 f1 A,1 , 5 , . A5,2 . A5,2 [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e2 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 ,
2 I2 = f2 - 2f1 f3 , 3 2 I3 = f2 +3f1 f4 - 3f1 f2 f3 ,

. O(f ) 2 3 2 f1 = C1 , f2 - 2f1 f3 = C2 , f2 +3f1 f4 - 3f1 f2 f3 = C3 , , . 3.4.3. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,2 , f2 , f5 = df2 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p= f2 , f1 q = f5 ,


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X5 , 0, 0,X2 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f5 + 2 2 f1




105

A,2 , 5 , . , F O(f ) p2 + q 2 = const, . A5,3 . A5,3 [e3 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e5 ] = e1 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , I2 = f2 ,
2 I3 = f3 +2f2 f5 - 2f1 f4 ,

. O(f ) 2 f1 = C1 , f2 = C2 , f3 +2f2 f5 - 2f1 f4 = C3 , , . 3.4.4. O(f ) 2 2 2 (f1 + f2 + f3 )2 = 0) Ad , A5,3 , = f3 df4 df5 + f1 df3 df5 + f2 df3 df 2 2 2 (f1 + f2 + f3 )2
4 O (f )

,

O(f ) f1 = 0 1 f3 p= arctg , q = f5 , 2 2 C1 C1 + C2 C1 + C2 f2 = 0 --
p= 1 C2 C1 +
2 C2

arctg

f3
2 C1 + C2

,

q = f5 .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= 0, 0, -f1 X5 - f2 X4 -f3 X5 + f2 X3 f3 X4 4+ f1 X3 2 2 2 , f2 + f2 + f2 , f2 + f2 + f2 f1 + f2 + f3 1 2 3 1 2 3 ,

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ), f3 X3 - f1 X4 + f2 X5 = 0, O(f ) . , , . :


106 ) f1 = 0; ) f2 = 0.

. . , . .

f1 f2 -- , . F = p2 + q 2 A,3 5 , , . A5,4 . A5,4 [e2 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e1 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , . O(f ) f1 = C1 . 3.4.5. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,4 , f2 , f3 , f4 , f5 = df2 df4 + df3 df f1
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f4 , q2 = f5 , p1 = f2 , f1 p2 = f3 , f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X4 , -X5 ,X2 ,X3 ) , x= f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . , , , . A5,5 . A5,5 [e3 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e2 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , . O(f ) f1 = C1 .




107

3.4.6. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,5 , f2 , f3 , f4 , f5 = f2 df3 df2 + f1 df2 df 2 f1 f2 f3 2, f1
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f2 , q2 = f5 , p1 = p2 = f2 , f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0,f2 X3 - f1 X5 , -f1 X3 ,f1 X3 - f2 X2 ,f1 X2 ) x= , 2 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . A5,6 . A5,6 [e3 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e2 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , . O(f ) f1 = C1 . 3.4.7. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,6 , f2 , f3 , f4 , f5 = f3 df2 df3 + f1 df3 df4 + f2 df4 df2 + f1 df2 df 2 f1 f2 f3 - f1 f4 , 2 f1
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f2 , p1 = p2 = f2 f4 - f5 f1 , 2 f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

, ( ), i 0, jk .


108

. . , . .

. , X = ad f , x x= (0,f2 X4 - f3 X3 - f1 X5 ,f3 X2 - f1 X4 ,f1 X3 - f2 X2 ,f1 X2 ) , 2 f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . , , . Aabc . Aabc 5, 7 5,7 [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = ae2 , [e3 ,e5 ] = be3 , [e4 ,e5 ] = ce4 , abc = 0, -1 c b a 1, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
a f1 , f2

I2 =

b f1 , f3

I3 =

c f1 , f4

. O(f ) a b c f1 f1 f1 = C1 , = C2 , = C3 , f2 f3 f4 , -- . 3.4.8. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aabc , f1 , f5 5, 7 = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) , x= f1




109

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Aabc ) , 5, 7 , . Ac ,8 . Ac ,8 5 5 1, [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e3 , [e4 ,e5 ] = ce4 , 0 < |c| ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 , I2 =
c f3 , f4

I3 = f3 exp

-f2 , f1

. O(f ) c f3 -f2 = C2 , f3 exp = C3 . f1 = C1 , f4 f1 3.4.9. O(f ) (f1 = 0) Ad , Ac ,8 , f2 , f5 5 = df2 df f1 f2 , f1
5 O (f )

,

O(f )
p= q = f5 ,


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X5 , 0, 0,X2 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f5 + 2 2 f1 c (A5,8 ) , , .


110

. . , . .

Abc9 . Abc9 5, 5, [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 + e2 , [e3 ,e5 ] = be3 , [e4 ,e5 ] = ce4 , 0 = c b, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
b f1 , f3

I2 =

c f1 , f4

I3 = f1 exp

-f2 , f1

. O(f ) b c f1 f1 -f2 = C1 , = C2 , f1 exp = C3 . f3 f4 f1 3.4.10. O(f ) (f1 = 0) Ad , Abc9 , f1 , f5 5, = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Abc9 ) , 5, , . A5,10 . A5,10 [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e2 , [e4 ,e5 ] = e4 ei ,




111

i = 1,..., 5. , I1 = f1 ,
2 I2 = f2 - 2f1 f3 ,

I3 = f4 exp

-f2 , f1

. O(f ) -f2 2 f1 = C1 , f2 - 2f1 f3 = C2 , f4 exp = C3 . f1 3.4.11. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,10 , f2 , f5 = df2 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p= f2 , f1 q = f5 ,


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X5 , 0, 0,X2 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f5 + 2 2 f1 A,10 , 5 , . Ac ,11 . Ac ,11 5 5 [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 + e2 , [e3 ,e5 ] = e2 + e3 , [e4 ,e5 ] = ce4 , c = 0, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
c f1 , f4

I2 = f1 exp

-f2 , f1

I3 =

2f3 f2 - 2, 2 f1 f1


112

. . , . .

. O(f ) c f1 -f2 2f3 f2 = C1 , f1 exp = C2 , - 2 = C3 . 2 f4 f1 f1 f1 3.4.12. O(f ) (f1 = 0) Ad , Ac ,11 , f1 , f5 5 = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f ) f5 p = f1 , q = , f1 = dp dq . , ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Ac ,11 ) , 5 , . A5,12 . A5,12 [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 + e2 , [e3 ,e5 ] = e2 + e3 , [e4 ,e5 ] = e3 + e4 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 exp -f2 , f1 I2 = 2f3 f2 - 2, 2 f1 f1 I3 = 3f4 3f2 f3 f3 - + 2, 2 3 f1 f1 f1

. O(f ) -f2 2f3 f2 3f4 3f2 f3 f3 f1 exp = C1 , - 2 = C2 , - + 2 = C3 . 2 2 3 f1 f1 f1 f1 f1 f1




113

3.4.13. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,12 , f1 , f5 = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 A,12 , 5 , . Aapq . Aapq 5,13 5,13 [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = ae2 , [e3 ,e5 ] = pe3 - qe4 , [e4 ,e5 ] = = qe3 + pe4 , aq = 0, |a| 1, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
a f1 , f2

I2 =

2 f3

2 f1 p 2, + f4

2 I3 = f1

q

f3 + if4 f3 - if4

i

,

. O(f ) p a f1 f1 q = C2 , f1 exp(-) = C3 , = C1 , f2 r r, -- f3 , f4 . 3.4.14. O(f ) (f1 = 0) Ad ,


114

. . , . .

Aapq , f1 , f5 5,13
= df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Aapq ) , 5,13 , . Ap,14 . Ap,14 5 5 [e2 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = pe3 - e4 , [e4 ,e5 ] = e3 + pe4 ei , i = 1,..., 5. , I1 = f1 ,
2 2 I2 = (f3 + f4 )

f3 + if4 f3 - if4

ip

,

2 2 I3 = (f3 + f4 )exp -2p

f2 f1

,

. O(f ) f2 f1 = C1 , r exp(-p) = C2 , r exp -p = C3 , f1 r, -- f3 , f4 . 3.4.15. O(f ) (f1 = 0) Ad , Ap,14 , f2 , f5 5 = df2 df f1
5 O (f )

,




115

O(f )
p= f2 , f1 q = f5 ,


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -X5 , 0, 0,X2 ) , x= f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f5 + 2 2 f1 (Ap,14 ) , 5 , . Aa,15 . Aa,15 5 5 [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 + e2 , [e3 ,e5 ] = ae3 , [e4 ,e5 ] = e3 + ae4 , |a| 1, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
a f1 , f3

I2 = f1 exp

-f2 , f1

I3 = f3 exp

-af4 , f3

. O(f ) a -f2 -af4 f1 = C1 , f1 exp = C2 , f3 exp = C3 . f3 f1 f3 3.4.16. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,15 , f1 , f5 5 = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


116

. . , . .


= dp dq .

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) , x= f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Aa,15 ) , 5 , . Apq16 . Apq16 5, 5, [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e1 + e2 , [e3 ,e5 ] = pe3 - qe4 , [e4 ,e5 ] = = qe3 +pe4 , q = 0, ei , i = 1,..., 5. , I1 =
2 f1 p 2 + f2 , f3 4 2 I2 = f1 q

f3 - if4 f3 + if4

-i

,

I3 = f1 exp

-f2 , f1

. O(f ) p f1 -f2 q = C1 , f1 exp(-) = C2 , f1 exp = C3 , r f1 r, -- f3 , f4 . 3.4.17. O(f ) (f1 = 0) Ad , Apq16 , f1 , f5 5, = df1 df f1
5 O (f )

,

O(f )
p = f1 , q= f5 , f1


= dp dq .




117

, ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . f2 2 F = f1 + 5 2 f1 (Apq16 ) , 5, , . Aspq . Aspq 5,17 5,17 [e1 ,e5 ] = pe1 - e2 , [e2 ,e5 ] = e1 + pe2 , [e3 ,e5 ] = qe3 - se4 , [e4 ,e5 ] = se3 + qe4 , s = 0, ei , i = 1,..., 5. [216] s, p, q . . 3.4.18.
2 2 I1 = (f1 + f2 ) 2 2 I2 = (f3 + f4 )

f1 + if2 f1 - if2
i
q s

ip

R, I3 = (f1 + if2 )qi+s , (f3 - if4 )pi-1

f3 + if4 f3 - if4

R,

.
. F k Cij fk =0 fj (. [143, 216]), . 3.4.19. O(f ) 2 2 (f1 + f2 = 0) Ad , Aspq , 5,17 = d df5 ,

, r, f5 -- (f1 ,f2 ,f5 ), -- f1 f f1 , f2 . , , f5 i 0, jk .


118

. . , . .

. : ) pf1 - f2 = 0; ) f1 + pf2 = 0. , X = ad f , x x= (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) , pf1 - f2

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , df1 df5 , pf1 - f2 , = f1 = C2 exp{p} cos , = d df5 . , X = ad f , x x= (0, -X5 , 0, 0,X2 ) , f1 + pf2 f2 = C2 exp{p} sin ,

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , df2 df5 , f1 + pf2 , , = = d df5 .
2 2 F (f1 ,...,f5 ) = 2(f1 + f2 )+ 2 2 2 2 2 4(f1 + f2 ) - 3(f1 + f2 + f5 )

, , . Ap,18 . Ap,18 5 5 [e1 ,e5 ] = pe1 - e2 , [e2 ,e5 ] = e1 + pe2 , [e3 ,e5 ] = e1 + pe3 - e4 , 0, ei , i = 1,..., 5. [e4 ,e5 ] = e2 + e3 + pe4 , p
2 2 I1 = (f1 + f2 )

f1 + if2 f1 - if2

ip

, f3 - if4 f1 - if2 ,

I2 = (f1 + if2 )exp -(p + i)

f3 + if4 f1 + if2

, I3 = (f1 - if2 )exp -(p - i)

.




119

3.4.20. O(f ) 2 2 (f1 + f2 = 0) Ad , Ap,18 , 5 = d df5 ,

, r, f5 -- (f1 ,f2 ,f5 ), -- f1 f f1 , f2 . , , f5 i 0, jk .
. : ) pf1 - f2 = 0; ) f1 + pf2 = 0. , X = ad f , x x= (-X5 , 0, 0, 0,X1 ) , pf1 - f2

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , df1 df5 , pf1 - f2 , = f1 = r cos = C2 exp{p} cos , = d df5 . , X = ad f , x x= (0, -X5 , 0, 0,X2 ) , f1 + pf2 f2 = r sin = C2 exp{p} sin ,

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , df2 df5 , f1 + pf2 , , = = d df5 .
2 2 F (f1 ,...,f5 ) = 2(f1 + f2 )+ 2 2 2 2 2 4(f1 + f2 ) - 3(f1 + f2 + f5 )

, , .


120

. . , . .

Aab . Aab19 5, 5,19 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = ae1 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e3 ,e5 ] = (a - 1)e3 , [e4 ,e5 ] = = be4 , b = 0, ei , i = 1,..., 5. , fb I1 = 1 , a f4 . O(f )
b f1 a = C, f4 . . .

3.4.21. 1. a = 0, O(f ) (f1 = 0) Ad , Aab19 , f1 , f2 , f3 , f5 5, = af1 df2 df3 + f2 df3 df1 + f1 df1 df5 +(a - 1)f3 df1 df 2 af1
2 O (f )

,

O(f ) (a - 1)f2 f3 f5 f2 q1 = f1 , q2 = f3 , p1 = - + , p2 = , 2 af1 af1 f1 = dp1 dq1 + dp2 dq2 .
2. a = 0, O(f ) (f1 = 0, f4 = 0) Ad , Aab19 , f2 , f3 , f4 , f5 5, bf4 df2 df3 + f3 df2 df4 + f2 df3 df4 + f1 df4 df5 = , bf1 f4 O (f )

O(f ) f3 f2 f3 f5 q1 = f2 , q2 = f4 , p1 = - , p2 = - , f1 bf1 f4 bf4 = dp1 dq1 + dp2 dq2 . , ( ), i 0, jk .




121

. 1. a = 0. , X = ad f , x x= (-f1 X5 + f2 X3 - (a - 1)f3 X2 , (a - 1)f3 X1 - af1 X3 ,af1 X2 - f2 X1 , 0,f1 X1 ) , 2 af1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . 2. a = 0. , X = ad f , x x= (0, -bf4 X3 - f3 X4 ,bf4 X2 - f2 X4 , -f1 X5 + f2 X3 + f3 X2 ,f1 X4 ) , bf1 f4

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . Aa,20 . Aa,20 5 5 [e1 ,e5 ] = ae1 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e2 ,e3 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = (a - 1)e3 , [e4 ,e5 ] = e1 + ae4 ei , i = 1,..., 5. , -af4 I = f1 exp , f1 . 3.4.22. 1. a = 0, O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,20 , f2 , f3 , f5 5 = af1 df2 df3 + f2 df3 df1 + f1 df5 df1 +(a - 1)f3 df1 df 2 af1
2 O (f )

,

(1 - a)f2 f3 q1 = f1 , q2 = f3 , p1 = + 2 af1 = dp1 dq1 + dp2 dq2

O(f ) f5 , af1 . p2 = f2 , f1

2. a = 0, O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,20 , f2 , f3 , f4 , f5 5 = f1 df2 df3 + f3 df2 df4 + f2 df3 df4 + f1 df4 df 2 f1
5 O (f )

,


122

. . , . .

O(f ) f3 f2 f3 - f1 f5 q1 = f2 , q2 = f4 , p1 = - , p2 = , 2 f1 f1
= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

, ( ), i 0, jk .
. 1. a = 0. , X = ad f , x x= (-f1 X5 + f2 X3 - (a - 1)f3 X2 , (a - 1)f3 X1 - af1 X3 ,af1 X2 - f2 X1 , 0,aX1 ) , 2 af1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . 2. a = 0. , X = ad f , x x= (0, -f1 X3 - f3 X4 ,f1 X2 - f2 X4 ,f2 X3 + f3 X2 - f1 X5 ,f1 X4 ) , 2 f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . , , . A5,21 . A5,21 [e2 ,e5 ] = e2 + e3 , [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = 2e1 , [e3 ,e5 ] = e3 + e4 , [e4 ,e5 ] = e4 ei , i = 1,..., 5. , f2 I= 4, f1 . 3.4.23. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,21 , f1 , f2 , f3 , f5 = (f3 + f4 )df1 df2 +2f1 df2 df3 +(f2 + f3 )df3 df1 + f1 df1 df 2 2f1
5 O (f )

.




123

f4 O(f ) f4 = Cf1 . O(f ) q1 = f3 , q2 = f1 , p1 = f2 , f1 p2 =
2 f3 - 2f2 f3 - 2f2 f4 f5 - , 2 4f1 2f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x
x= (-f1 X5 +(f2 + f3 )X3 - (f3 + f4 )X2 , (f3 + f4 )X1 - 2f1 X3 , 2f1 X2 - (f2 + f3 )X1 , 0,f1 X1 ) , 2 2f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . A5,22 . A5,22 [e2 ,e3 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e3 , [e4 ,e5 ] = e4 ei , i = 1,..., 5. , I = f1 , . f1 = C1 . 3.4.24. O(f ) (f1 ,f4 = 0) Ad , A5,22 , f2 , f3 , f4 , f5 = f4 df2 df3 + f3 df3 df4 + f1 df5 df f1 f4
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , p1 = f2 , f1 p2 =
2 f3 f5 +, 2f1 f4


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -f4 X3 ,f4 X2 - f3 X4 ,f3 X3 - f1 X5 ,f1 X4 ) x= , f1 f4


124

. . , . .

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . Ab ,23 Ab ,23 5 5 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = 2e1 , [e2 ,e5 ] = e2 + e3 , [e3 ,e5 ] = e3 , [e4 ,e5 ] = = be4 , b = 0, ei , i = 1,..., 5. , fb I = 1, 2 f4 .
b f1 2 = C. f4

3.4.25. O(f ) (f1 = 0) Ad , Ab ,23 , f1 , f2 , f3 , f5 5 = 2f1 df2 df3 + f1 df1 df5 +(f2 + f3 )df3 df1 + f3 df1 df 2 2f1 f2 , f1
2 f3 - 2f5 f1 - 2f2 f3 , 2 4f1 2 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f1 , p1 = p2 =


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f1 X5 +(f2 + f3 )X3 - f3 X2 ,f3 X1 - 2f1 X3 , 2f1 X2 - (f2 + f3 )X1 , 0,f1 X1 ) , x= 2 2f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . A,24 A,24 5 5 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = 2e1 , [e2 ,e5 ] = e2 + e3 , [e4 ,e5 ] = e1 + 2e4 , = +1, ei , i = 1,..., 5. , I = f1 exp -2f4 f1 , [e3 ,e5 ] = e3 ,




125

. f1 exp -2f4 f1 = C.

3.4.26. O(f ) (f1 = 0) Ad , A,24 , f1 , f2 , f3 , f5 5 = 2f1 df2 df3 +(f2 + f3 )df3 df1 + f1 df1 df5 + f3 df1 df 2 2f1
2 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f1 , p1 = f2 , f1 p2 =
2 f3 - 2f5 f1 - 2f2 f3 , 2 4f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= (-f1 X5 +(f2 + f3 )X3 - f3 X2 ,f3 X1 - 2f1 X3 , 2f1 X2 - (f2 + f3 )X1 , 0,f1 X1 ) , 2 2f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . Abp25 Abp25 5, 5, [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = 2pe1 , [e2 ,e5 ] = pe2 + e3 , [e3 ,e5 ] = pe3 - e2 , [e4 ,e5 ] = be4 , b = 0, ei , i = 1,..., 5. , I=
b f1 2p , f4

.
b f1 2p = C. f4


126

. . , . .

3.4.27. O(f ) (f1 ,f4 = 0) Ad , Abp25 , f2 , f3 , f4 , f5 5, = bf4 df2 df3 + f1 df5 df4 +(pf2 + f3 )df3 df4 +(pf3 - f2 )df4 df bf1 f4
b f1 2 f4 p

2 O (f )

.

f1 -- O(f ) =
f2 Cf4
2p/b

= C , f1 = Cf4

2p/b

. -

O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , p1 = , p2 = -
2 f5 f 2 + f3 - 2pf2 f3 +2 , bf4 2bf1 f4


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x
x= (0, -bf4 X3 +(pf3 - f2 )X4 ,bf4 X2 - (pf2 + f3 )X4 , -f1 X5 +(pf2 + f3 )X3 - (pf3 - f2 )X2 ,f1 X4 ) , bf1 - f4

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . Ap26 . Ap26 5, 5, [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = 2pe1 , [e2 ,e5 ] = pe2 + e3 , [e3 ,e5 ] = pe3 - e2 , [e4 ,e5 ] = e1 + 2pe4 , = +1, ei , i = 1,..., 5. , -2pf4 , f1 . I = f1 exp 3.4.28. 1. p = 0, O(f ) (f1 = 0) Ad , Ap26 , f1 , f2 , f3 , f5 5,
= 2pf1 df2 df3 +(pf3 - f2 )df1 df2 +(pf2 + f3 )df3 df1 + f1 df1 df5 2pf1 ,
O (f )

O(f ) 2 f2 f 2 + f3 - 2pf2 f3 q1 = f3 , q2 = f1 , p1 = , p2 = 2 , 2 f1 4pf1




127


= dp1 dq1 + dp2 dq2 . 2. p = 0, O(f ) (f1 = 0) Ad , A026 , f2 , f3 , f4 , f5 5, = f1 df2 df3 + f2 df2 df4 + f3 df3 df4 + f1 df4 df 2 f1
5 O (f )

,

O(f ) f3 f2 f4 f2 f5 q1 = f2 , q2 = f4 , p1 = - - 2 , p2 = 3 - , f1 f1 2f1 f1 = dp1 dq1 + dp2 dq2 . f1 = const O(f ). , ( ), i 0, jk . . 1. p = 0. , X = ad f , x
x= (-f1 X5 +(pf2 + f3 )X3 - (pf3 - f2 )X2 ,-2pf1X3 +(pf3 - f2 )X1 , 2pf1X2 - (pf2 + f3 )X1 ,0,f1X1 ) , 2 2pf1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . 2. p = 0. , X = ad f , x (0, -f1 X3 - f2 X4 ,f1 X2 - f3 X4 ,f3 X3 + f2 X2 - f1 X5 ,f1 X4 ) , x= 2 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . A5,27 . A5,27 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e3 + e4 , [e4 ,e5 ] = e1 + e4 ei , i = 1,..., 5. , -f4 I = f1 exp , f1 . -f4 f1 exp = C. f1


128

. . , . .

3.4.29. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,27 , f1 , f2 , f3 , f5 = f1 df2 df3 + f1 df1 df5 +(f3 + f4 )df1 df 2 f1
2 O (f )

.

C f4 = -f1 ln f1 -- O(f ). O(f )

q1 = f3 ,

q2 = f1 ,

p1 =

f2 , f1

p2 = -

f5 f2 +(f3 - f4 ) 2 f1 f1

,


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= (-f1 X5 - (f3 + f4 )X2 , (f3 + f4 )X1 - f1 X3 ,f1 X2 , 0,f1 X1 ) , 2 f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . Aa,28 Aa,28 5 5 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = ae1 , [e2 ,e5 ] = (a - 1)e2 , [e3 ,e5 ] = e3 + e4 , [e4 ,e5 ] = e4 ei , i = 1,..., 5. , fa I= 4, f1 .
a f4 = C. f1

3.4.30. O(f ) (f1 ,f4 = 0) Ad , Aa,28 , f2 , f3 , f4 , f5 5 = f4 df2 df3 +(a - 1)f2 df3 df4 +(f3 + f4 )df4 df2 + f1 df4 df f1 f4
5 O (f )

.




129

f1 -- O(f ), f1 = O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , p1 = f2 , f1 p2 = -

a f4 C

.

f2 f3 + f4 f2 f5 -, f4 f1 f4


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x
x= (0, -(f3 + f4 )X4 - f4 X3 ,f4 X2 - (a - 1)f2 X4 , (a - 1)f2 X3 - (f3 + f4 )X2 - f1 X5 ,f1 X4 ) , f1 f4

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,29 . A5,29 [e2 ,e4 ] = e1 , [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I = f3 , . f3 = C . 3.4.31. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,29 , f1 , f2 , f4 , f5 = f3 df1 df2 + f1 df2 df4 + f2 df4 df1 + f1 df1 df 2 f1
5 O (f )

.

f3 = const -- O(f ). O(f )
q1 = f4 , q2 = f1 , p1 = f2 , f1 p2 = - f2 f3 f5 2 +f f1 1 ,


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .


130

. . , . .

. , X = ad f , x (-f1 X5 + f2 X4 - f3 X2 ,f3 X1 - f1 X4 , 0,f1 X2 - f2 X1 ,f1 X1 ) , x= 2 f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . Aa,30 . Aa,30 5 5 [e2 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = e2 , [e1 ,e5 ] = [e3 ,e5 ] = (a - 1)e3 , [e4 ,e5 ] = e4 ei , i , I=
2 (f2 - 2f1 f3 )a+1 , 2 f1 a

(a + 1)e1 , [e2 ,e5 ] = ae2 , = 1,..., 5.

. 3.4.32. 1. a = -1, O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,30 , f1 , f2 , f4 , f5 5 = (a +1)f1 df2 df4 + f4 df1 df2 + af2 df4 df1 + f1 df1 df 2 (a +1)f1
5 O (f )

,

O(f ) f2 f4 f5 f2 q1 = f1 , q2 = f4 , p1 = p2 = , 2 - (a +1)f , (a +1)f1 f1 1 = dp1 dq1 + dp2 dq2 .
2. a = -1, O(f ) 2 (f2 - 2f1 f3 = 0) Ad , A-1 , f2 , f3 , f4 , f5 5,30 = 2f3 df4 df2 + f2 df5 df2 + f4 df3 df2 - f2 df4 df3 - f1 df5 df 2 f2 - 2f1 f3
3 O (f )

,

O(f ) 2f3 f4 + f2 f5 f2 f4 + f1 f5 q1 = f2 , q2 = f3 , p1 = 2 , p2 = - 2 , f2 - 2f1 f3 f2 - 2f1 f3 = dp1 dq1 + dp2 dq2 .




131

, ( ), i 0, jk .
. 1. a = -1. , X = ad f , x x= (-f1 X5 + af2 X4 - f4 X2 , -(a +1)f1 X4 + f4 X1 , 0, (a +1)f1 X2 - af2 X1 ,f1 X1 ) , 2 (a +1)f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . 2. a = -1. , X = ad f , x (0, 2f3 X4 + f2 X5 + f4 X3 , -f1 X5 - f2 X4 - f4 X2 , -2f3 X2 + f2 X3 ,f1 X3 - f2 X2 ) , x= 2 f2 - 2f1 f3 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ). , , . , , . A5,31 . A5,31 [e2 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = e2 , [e1 ,e5 ] = 3e1 , [e2 ,e5 ] = 2e2 , [e3 ,e5 ] = e3 , [e4 ,e5 ] = e3 + e4 ei , i = 1,..., 5. , I=
2 (f2 - 2f1 f3 )3 , 4 f1

.
2 (f2 - 2f1 f3 )3 = C. 4 f1

3.4.33. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,31 , f1 , f2 , f4 , f5 = (f3 + f4 )df1 df2 +3f1 df2 df4 +2f2 df4 df1 + f1 df1 df 2 3f1
(f 2 -Cf
4/3

5 O (f )

.

f3 = 2 2f1 1 -- O(f ). O(f )
q1 = f4 , q2 = f1 , p1 = f2 , f1 p2 = -
3 -f2 +3f1 f2 f3 +3f1 f2 f4 f5 + 3 9f1 3f1

)

,


132

. . , . .


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f1 X5 +2f2 X4 - (f3 + f4 )X2 , (f3 + f4 )X1 - 3f1 X4 , 0, 3f1 X2 - 2f2 X1 ,f1 X1 ) x= , 2 3f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . Aa,32 . Aa,32 5 5 [e2 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = e2 , [e1 ,e5 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e3 ,e5 ] = = ae1 + e3 ei , i = 1,..., 5. , f 2 - 2f1 f3 2 , I = f1 a exp 2 2 f1 .
2 f1 a exp 2 f2 - 2f1 f3 = C. 2 f1

3.4.34. O(f ) (f1 = 0) Ad , Aa,32 , f1 , f2 , f4 , f5 5 = f1 df2 df4 + f2 df4 df1 + f1 df1 df 2 f1
5 O (f )

.

O(f ) f2 f5 q1 = f4 , q2 = f1 , p1 = , p2 = - , f1 f1 = dp1 dq1 + dp2 dq2 . ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (f2 X4 - f1 X5 , -f1 X4 , 0,f1 X2 - f2 X1 ,f1 X1 ) x= , 2 f1




133

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . Aab . Aab33 5, 5,33 [e1 ,e4 ] = e1 , [e3 ,e4 ] = be3 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e3 ,e5 ] = ae3 , a2 + b2 = 0, ei , i = 1,..., 5. , f bf a I= 1 2, f3 .
ba f1 f2 = C. f3

3.4.35. O(f ) (f1 ,f2 = 0) Ad , Aab33 , f1 , f2 , f4 , f5 5, = f2 df1 df4 + f1 df2 df f1 f2
5 O (f )

.

O(f )
p1 = f1 , p2 = f2 , q1 = f4 , f1 q2 = f5 , f2


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X4 , -X5 , 0,X1 ,X2 ) x= , f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . Aa,34 . Aa,34 5 5 [e1 ,e4 ] = ae1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = e3 , [e1 ,e5 ] = e1 , [e3 ,e5 ] = e2 ei , i = 1,..., 5. ,


134

. . , . .

a f2 f3 exp , f1 f2 .

I=

a f3 f2 exp = C. f1 f2

3.4.36. O(f ) (f2 = 0) Ad , Aa,34 , f2 , f3 , f4 , f5 5 = f2 df2 df4 + f2 df3 df5 + f3 df5 df 2 f2 f4 , f2
2 O (f )

.

O(f )
q1 = f2 , q2 = f5 , p1 = - p2 = f3 , f2


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0, -f2 X4 + f3 X5 , -f2 X5 ,f2 X2 ,f2 X3 - f3 X2 ) , x= 2 f2 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . Aab . Aab35 5, 5,35 [e1 ,e4 ] = be1 , [e4 ,e2 ] = -e2 , [e3 ,e4 ] = e3 , [e1 ,e5 ] = ae1 , [e2 ,e5 ] = -e3 , [e3 ,e5 ] = e2 , a2 + b2 = 0, ei , i = 1,..., 5. , I=
2 f1 2 2 (f2 + f3 )b

f2 + if3 f2 - if3

ia

,

.
2 f1 2 2 (f2 + f3 )b

f2 + if3 f2 - if3

ia

= C.




135

3.4.37. O(f ) 2 2 (f2 + f3 = 0) Ad , Aab35 , f2 , f3 , f4 , f5 5, = f3 df5 df2 + f2 df2 df4 + f2 df3 df5 + f3 df3 df 2 2 f2 + f3
4 O (f )

.

O(f ) f3 f5 - f2 f4 f2 f5 + f3 f4 q1 = f2 , q2 = f3 , p1 = p2 = - 2 2, 2 2, f2 + f3 f2 + f3 = dp1 dq1 + dp2 dq2 . ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (0,f3 X5 - f2 X4 , -f2 X5 - f3 X4 ,f2 X2 + f3 X3 ,f2 X3 - f3 X2 ) , x= 2 2 f2 + f3 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,36 . A5,36 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e2 ,e5 ] = - e2 , [e3 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , f2 f3 + f1 f5 I= , f1 . f2 f3 + f1 f5 = C. f1 3.4.38. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,36 , f1 , f2 , f3 , f4 = f1 df2 df3 + f2 df3 df1 + f1 df1 df 2 f1
4 O (f )

.

O(f ) f2 f4 q1 = f3 , q2 = f1 , p1 = , p2 = - , f1 f1


136

. . , . .


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= (-f1 X4 + f2 X3 , -f1 X3 ,f1 X2 - f2 X1 ,f1 X1 , 0) , 2 f1

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,37 . A5,37 [e2 ,e3 ] = e1 , [e1 ,e4 ] = 2e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e3 ,e4 ] = e3 , [e2 ,e5 ] = -e3 , [e3 ,e5 ] = e2 ei , i = 1,..., 5. , I=
2 2 f2 + f3 +2f1 f5 , f1

.
2 2 f2 + f3 +2f1 f5 = C. f1

3.4.39. O(f ) (f1 = 0) Ad , A5,37 , f1 , f2 , f3 , f4 = f3 df1 df2 +2f1 df2 df3 + f2 df3 df1 + f1 df1 df 2f1
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f2 , q2 = f1 , p1 = - f3 , f1 p2 = f2 f3 f4 2 - 2f , 2f1 1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .




137

. , X = ad f , x (-f1 X4 + f2 X3 - f3 X2 ,f3 X1 - 2f1 X3 , 2f1 X2 - f2 X1 ,f1 X1 , 0) , x= 2 2f1 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,38 . A5,38 [e1 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e5 ] = e2 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I = f3 , . f3 = C . 3.4.40. O(f ) (f1 ,f2 = 0) Ad , A5,38 , f1 , f2 , f4 , f5 = f3 df2 df1 + f2 df1 df4 + f1 df2 df f1 f2
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f2 , q2 = f1 , p1 = - f3 f5 ln f1 + f1 f2 , p2 = - f4 , f1


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (f3 X2 - f2 X4 , -f1 X5 - f3 X1 , 0,f2 X1 ,f1 X2 ) , x= f1 f2 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,39 . A5,39 [e1 ,e4 ] = e1 , [e2 ,e4 ] = e2 , [e1 ,e5 ] = -e2 , [e2 ,e5 ] = e1 , [e4 ,e5 ] = e3 ei , i = 1,..., 5. , I = f3 , . f3 = C .


138

. . , . .

3.4.41. O(f ) 2 2 (f1 + f2 = 0) Ad , A5,39 , f1 , f2 , f4 , f5 = f2 df5 df1 + f1 df1 df4 + f3 df2 df1 + f1 df2 df5 + f2 df2 df 2 2 f1 + f2
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f5 , q2 = f2 - f3 p2 , p1 = ln
2 2 f1 + f2 ,

p2 = arctg

f2 , f1

f1 = 0,
p2 = f1 - arctg , 2 f2

f2 = 0,

= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= (f2 X5 - f1 X4 + f3 X2 , -f1 X5 - f2 X4 - f3 X1 , 0,f1 X1 + f2 X2 ,f1 X2 - f2 X1 ) , 2 2 f1 + f2

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . , , . A5,40 . A5,40 SU(1, 1) R2 . [e1 ,e2 ] = 2e1 , [e1 ,e3 ] = -e2 , [e2 ,e3 ] = 2e3 , [e1 ,e4 ] = [e2 ,e5 ] = -e5 , [e3 ,e5 ] = e4 ei , i = 1,..., ,
2 2 I = f1 f4 - f2 f4 f5 - f3 f5 ,

e5 , [e2 ,e4 ] = e4 , 5.

.
2 2 f1 f4 - f2 f4 f5 - f3 f5 = C.

: O(f ) R2 (f4 ,f5 ) \ O = M 2 , (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ) = (f4 ,f5 ), , R .
2

O = (0, 0),




139

3.4.42. : O(f ) M
2

.
. F : (R2 \ O) × R2 O(f ), (R2 \ O) × R2 np rr j r , f1 = x1 x4 + Cx2 2Cx3 x4 3 , f2 = x1 x3 + x2 x4 - 2 , + x2 )2 (x3 + x2 )2 4 4 Cx2 f3 = -x2 x3 - 2 4 2 2 , f4 = x3 , f5 = x4 . (x3 + x4 ) (x2 3
F

R2 \ O

Å % Å

E O(f ) ÅÅ

O(f ) p1 , p2 . (r, ) -- (f4 ,f5 ), . . f4 = r cos , f5 = r sin . p1 : ) f4 = 0 (. . cos = 0), 2sin f2 2C sin + f3 + 3 ; p1 = r r cos r cos ) f5 = 0 (. . sin = 0), 2C cos 2cos f2 f1 - -3 , p1 = r sin r r sin C -- , O(f ). , f4 = 0, f5 = 0. p2 : ) f4 = 0 (. . cos = 0), sin cos 2 C f2 + f3 - 2 ; p2 = - cos cos2 r cos2 ) f5 = 0 (. . sin = 0), cos p2 = - sin cos 2 C f1 - 2 2 , f2 + sin2 r sin

C -- , O(f ).


140

. . , . .

, f4 = 0, f5 = 0. 3.4.43. O(f ) 2 2 (f1 f4 - f2 f4 f5 - f3 f5 = 0) Ad , A5,40 , : ) f4 = 0, f2 , f3 , f4 , f5 O(f ) = f4 df2 df4 + f5 df3 df4 + f4 df3 df5 +2f3 df5 df 2 f4
4 O (f )

;

) f5 = 0, f1 , f3 , f4 , f5 O(f ) = f5 df1 df4 + f4 df1 df5 + f5 df5 df2 +2f1 df4 df 2 f5
5 O (f )

.

O(f )
q1 = r, q2 = , p1 , p2

(r, -- f4 , f5 ), = dp1 dr + dp2 d.

( ), i 0, jk .
. f4 = 0. , X = ad f , x x= (0, -f4 X4 , -f5 X4 - f4 X5 ,f4 X2 +2f3 X5 + f5 X3 ,f4 X3 - 2f3 X4 ) , 2 f4

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ). , , . f5 = 0. , X = ad f , x x= (-f5 X4 - f4 X5 ,f5 X5 , 0,f5 X1 - 2f1 X5 , -f5 X2 +2f1 X4 + f4 X1 ) , 2 f5 ). , {f5 = 0} .

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ) f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 , . , p1 , p2 , r, {p4 = 0}, , i 0 jk O(f ).




141

,

p2 +sin2 = H 2

, .

3.5.
3.5.1. G . , . . , . 22 A6,1 ,...,A6,22 , 4 . ind G : ) ind G = 4; ) ind G = 2. A6,1 , A6,2 A6,3 , A6,4 ,...,A6,22 -- . 2, . . , x = sgrad Hx . -- , , . . H ( S1 ) . 4, : ) x = sgrad Hx ; ) . . G = A6,j , j = 1,..., 22, e1 ,...,e6 , x G x =
6

G e1 ,...,e , . . i ei (ei ) = j , i, j = 1,..., 6. f G 6

i=1 6

xi ei .

f = O(f ) G .

i=1

fi ei . , f G ,

3.5.1. , .


142

. . , . .

3.5.2. . A6,1 . A6,1 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f4 , I2 = f6 , I3 = f3 f6 - f4 f5 ,
2 I4 = 2f2 f4 - f3 ,

. 3.5.2. O(f ) (f4 = 0) Ad , A6,1 , f1 , f3 = df1 df f4
3 O (f )

.

O(f )
q = f3 , p= f1 , f4


= dp dq .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X3 , 0,X1 , 0, 0, 0) x= , f4 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . f2 2 F = f3 + 1 2 f4 A,1 , 6 , . A6,2 . A6,2 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e1 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 ,
2 I2 = 2f4 f6 - f5 , 2 I3 = 2f2 f6 - 2f3 f5 + f4 , 2 3 I4 = 3f3 f6 - 3f4 f5 f6 + f5 ,

.




143

3.5.3. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,2 , f1 , f5 = df1 df f6
5 O (f )

.

O(f ) f1 q = f5 , p = , f6 = dp dq . ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, 0, 0,X1 , 0) x= , f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . f2 2 F = f5 + 1 2 f6 A,1 , 6 , . A6,3 . A6,3 [e1 ,e2 ] = e6 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e2 ,e3 ] = e5 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f4 , I2 = f5 , I3 = f6 , I4 = f1 f5 + f3 f6 - f2 f4 , . 3.5.4. O(f ) 2 2 2 (f4 + f5 + f6 = 0) Ad , A6,3 , = f6 df1 df2 + f4 df1 df3 + f5 df2 df 2 2 2 f4 + f5 + f6
3 O (f )

.

1. f4 = 0, O(f ) f1 q1 = f3 , p1 = , f4


144

. . , . .


= dp1 dq1 . 2. f5 = 0, O(f ) f2 q2 = f3 , p2 = , f5 = dp2 dq2 . 3. f6 = 0, O(f ) f1 q3 = f2 , p1 = , f6 = dp3 dq3 . ( ), i 0, jk . . , X = ad f , x (x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ) x= , f4 -f6 X2 - f4 X3 f6 X1 - f5 X3 f5 X2 + f4 X1 x2 = 2 x3 = 2 x1 = 2 2 + f2 , 2 + f2 , 2 2, f4 + f5 f4 + f5 f4 + f5 + f6 6 6 x4 = x5 = x6 = 0, X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . : f4 = 0; f5 = 0; f6 = 0. f2 2 F1 = f3 + 1 2 f4 , f4 = 0, f2 2 F2 = f3 + 2 2 f5 , f5 = 0, f2 2 F3 = f2 + 1 2 f6 , f6 = 0, , , .




145

A6,4 . A6,4 [e1 ,e2 ] = e5 , [e1 ,e3 ] = e6 , [e2 ,e4 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.5. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,4 , = f6 df1 df3 + f6 df4 df2 + f5 df3 df 2 f6 f1 , f6
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , p1 = p2 = f5 f3 - f6 f2 , 2 f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X3 ,f6 X4 ,f6 X1 - f5 X4 ,f6 X2 - f5 X3 , 0, 0) x= , 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . Aa,5 . Aa,5 6 6 [e1 ,e3 ] = e5 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = ae6 , [e2 ,e4 ] = e5 , a = 0, ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.6. O(f ) 2 2 (f5 - af6 = 0) Ad , Aa,5 , 6 = af6 df4 df1 + f5 df1 df3 + f5 df2 df4 + f6 df3 df 2 2 f5 - af6
2 O (f )

.


146

. . , . .

O(f )
q1 = f1 , q2 = f2 , p1 = af6 f4 - f5 f3 2 2, f5 - af6 p2 = f6 f3 - f5 f4 2 2, f5 - af6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (af6 X4 - f5 X3 ,f6 X3 - f5 X4 ,f5 X1 - f6 X2 ,f5 X2 - af6 X1 , 0, 0) , x= 2 2 f5 - af6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,6 . A6,6 [e1 ,e2 ] = e6 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e2 ,e3 ] = e5 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.7. O(f ) (f5 = 0) Ad , A6,6 , = f6 df4 df3 + f5 df1 df4 + f4 df2 df4 + f5 df2 df 2 f5 -f6 f3 + f5 f1 + f2 f4 , 2 f5
3 O (f )

.

O(f )
q1 = f4 , q2 = f3 , p1 = p2 = f2 , f5


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f5 X4 ,f4 X4 - f5 X3 ,f5 X2 - f6 X4 ,f5 X1 + f6 X3 + f4 X2 , 0, 0) , x= 2 f5




147

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,7 . A6,7 [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.8. O(f ) (f5 ,f6 = 0) Ad , A6,7 , = f6 df1 df4 + f4 df4 df2 + f5 df2 df f5 f6
3 O (f )

.

O(f ) f6 f1 - f4 f2 f2 q1 = f4 , q2 = f3 , p1 = , p2 = , f5 f6 f6 = dp1 dq1 + dp2 dq2 . ( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X4 ,f4 X4 - f5 X3 ,f5 X2 ,f6 X1 - f4 X2 , 0, 0) , x= f5 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,8 . A6,8 [e1 ,e2 ] = e3 + e5 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f4 , I2 = f6 , . 3.5.9. O(f ) (f4 ,f6 = 0) Ad , A6,8 , = f4 df2 df5 +(f3 + f5 )df5 df3 + f6 df1 df f4 f6
3 O (f )

.


148

. . , . .

O(f )
q1 = f5 , q2 = f3 , p1 =
2 2f4 f2 - f3 - 2f5 f3 , f4 f6

p2 =

f1 , f4


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X3 , -f4 X5 ,f6 X1 +(f3 + f5 )X5 , 0,f4 X2 - (f3 + f5 )X3 , 0) , x= f4 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,9 . A6,9 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f4 , I2 = f6 , . 3.5.10. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,9 , = f6 df2 df3 + f6 df1 df5 + f3 df3 df 2 f6
2 2f6 f1 + f3 +2f4 f2 , 2 2f6 5 O (f )

.

O(f )
q1 = f5 , q2 = f3 , p1 = p2 = f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X5 ,f4 X5 - f6 X3 ,f6 X2 - f3 X3 , 0,f6 X1 + f3 X3 - f4 X2 , 0) x= , 2 f6




149

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . Aa,10 . Aa,10 6 6 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e5 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = ae6 , [e2 ,e4 ] = e5 , a = 0, ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.11. O(f ) 2 2 (f5 - af6 = 0) Ad , Aa,10 , 6 = -f5 df3 df1 + f6 df3 df2 - f3 df3 df4 + af6 df4 df1 - f5 df4 df 2 2 f5 - af6 f5 f1 - f6 f2 + f3 f4 , 2 2 f5 - af6
2 O (f )

.

O(f )
q1 = f3 , q2 = f4 , p1 = p2 = f5 f2 - af6 f1 2 2, f5 - af6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x
x= (-f5 X3 + af6 X4 , -f5 X4 + f6 X3 ,f5 X1 - f6 X6 + f3 X4 ,f5 X2 - af6 X1 - f3 X3 , 0, 0) , 2 2 f5 - af6

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,11 . A6,11 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e2 ,e3 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f5 , I2 = f6 , . 3.5.12. O(f ) (f5 ,f6 = 0) Ad


150

. . , . .
,11

, A6
=

,
3 O (f )

f3 df3 df4 + f4 df4 df2 + f6 df1 df6 + f5 df2 df f5 f6
2 f3 - 2f2 f4 +2f6 f1 , 2f5 f6

.

O(f )
q1 = f4 , q2 = f3 , p1 = p2 = f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X4 ,f4 X4 - f5 X3 ,f5 X2 - f3 X4 ,f6 X1 + f3 X3 - f4 X2 , 0, 0) x= , f5 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,12 . A6,12 [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , 2 I1 = f6 , I2 = 2f3 f6 - f4 , . 3.5.13. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,12 , f1 , f2 , f4 , f5 = df1 df4 + df2 df f6
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f4 , q2 = f5 , p1 = f1 , f6 p2 = f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .




151

. , X = ad f , x (-X4 , -X5 , 0,X1 ,X2 , 0) , x= f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,13 . A6,13 [e1 ,e2 ] = e5 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 , I2 = 2 = 2f3 f6 - f4 , . 3.5.14. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,13 , f1 , f2 , f4 , f5 = f6 df4 df1 + f6 df2 df5 + f5 df4 df 2 f6 f4 , f6
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f1 , q2 = f5 , p1 = p2 = f6 f2 + f5 f4 , 2 f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X4 , -f6 X5 , 0,f6 X1 + f5 X5 ,f6 X2 - f5 X4 , 0) x= , 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . Aa,14 . 6 [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ei , i = 1,..., Aa,14 6 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e5 , [e2 ,e5 ] = ae6 , a = 0, 6. ,


152

. . , . .

2 2 I1 = f6 , I2 = f5 + af4 - 2af3 f6 , .

3.5.15. O(f ) (f6 = 0) Ad , Aa,14 , f1 , f2 , f4 , f5 6 = df1 df4 + df2 df af6
5 O (f )

.

O(f )
q1 = f4 , q2 = f5 , p1 = f1 , af6 p2 = f2 , af6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-aX4 , -X5 , 0,aX1 ,X2 , 0) , x= af6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,15 . A6,15 [e1 ,e2 ] = e3 + e5 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , 2 I1 = f6 , I2 = f4 - 2f3 f6 , . , 2 f6 = C1 , f4 - 2f3 f6 = C2 . 3.5.16. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,15 , f1 , f2 , f4 , f5 = f6 df1 df4 +(f3 + f5 )df4 df5 + f6 df5 df 2 f6
2 f4 - C2 . 2f6 2 O (f )

.

f3 O(f )
f3 =




153

O(f )
q1 = f4 , q2 = f2 , p1 =
2 2f6 f1 - f5 - 2f3 f5 , 2 2f6

p2 =

f5 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X4 , -f6 X5 , 0,f6 X1 +(f3 + f5 )X5 , (f3 + f5 )X4 - f6 X2 , 0) , x= 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,16 . A6,16 [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e5 , [e2 ,e4 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 ,
2 3 I2 = 3f3 f6 + f5 - 3f4 f5 f6 ,

. , f6 = C1 ,
2 3 3f3 f6 + f5 - 3f4 f5 f6 = C2 .

3.5.17. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,16 , f1 , f2 , f4 , f5 = f5 df2 df5 + f6 df5 df1 + f6 df2 df 2 f6 f5 f2 - f6 f1 , 2 f6
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f5 , q2 = f4 , p1 = p2 = f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .


154

. . , . .

. , X = ad f , x (-f6 X5 ,f5 X5 - f6 X4 , 0,f6 X2 ,f5 X2 - f6 X1 , 0) , x= 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,17 . A6,17 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e5 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 , I2 = 2 = f4 - 2f3 f6 , . , f6 = C1 , 2 f4 - 2f3 f6 = C2 . 3.5.18. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,17 , = f3 df4 df5 + f6 df4 df2 + f6 df1 df 2 f6
5 O (f )

.

f3

2 f4 - C2 . 2f6 O(f )

f3 =

q1 = f4 ,

q2 = f1 ,

p1 = -

f3 f5 + f6 f2 , 2 f6

p2 = -

f5 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X4 , -f6 X5 , 0,f6 X2 - f3 X4 ,f6 X1 + f3 X5 , 0) , x= 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , .




155

Aa,18 . Aa,18 6 6 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e5 , [e2 ,e5 ] = ae6 , a = 0, ei , i = 1,..., 6. , 2 2 I1 = f6 , I2 = f5 + af4 - 2af3 f6 , . , f6 = C1 ,
2 2 f5 + af4 - 2af3 f6 = C2 .

3.5.19. O(f ) (f6 = 0) Ad , Aa,18 , 6 = af6 df1 df4 + f3 df5 df4 + f6 df2 df 2 af6
2 2 f5 + af4 - C2 . 2af6 5 O (f )

.

f3 O(f )
f3 =

O(f )
q1 = f4 , q2 = f5 , p1 =
2 3 2 3a2 f6 f1 - f5 - af4 f5 +3af3 f6 f5 , 2f 3 3a 6

p2 =

f2 , af6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-af6 X4 , -f6 X5 , 0,af6 X1 + f3 X5 ,f6 X2 - f3 X4 , 0) , x= 2 af6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,19 . A6,19 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. ,


156

. . , . .

2 I1 = f6 , I2 = f5 - 2f4 f6 , . f6 = C1 , 2 f5 - 2f4 f6 = C2 .

3.5.20. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,19 , f1 , f2 , f3 , f5 = f6 df1 df5 + f3 df3 df5 + f4 df5 df2 + f6 df2 df 2 f6
2 f5 - C2 . 2f6 3 O (f )

.

f4
f4 =

O(f )
q1 = f5 , q2 = f3 , p1 =
2 2f6 f1 + f3 - f2 f4 , 2 f6

p2 =

f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x x= (-f6 X5 ,f4 X5 - f6 X3 ,f6 X2 - f3 X5 , 0,f6 X1 + f3 X3 - f4 X2 , 0) , 2 f6

X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,20 . A6,20 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e4 , [e1 ,e4 ] = e5 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e5 , [e2 ,e4 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 ,
3 2 I2 = f5 +3f3 f6 - 3f4 f5 f6 ,

. f6 = C1 ,
3 2 f5 +3f3 f6 - 3f4 f5 f6 = C2 .




157

3.5.21. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,20 , = f6 df1 df5 + f3 df4 df5 + f5 df5 df2 + f6 df2 df 2 f6
3 3f4 f5 f6 + C2 - f5 . 2 3f6 4 O (f )

.

f3
f3 =

O(f )
q1 = f5 , q2 = f4 , p1 = 2f6 f1 + f3 f4 - 2f5 f2 , 2 2f6 p2 = f2 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-f6 X5 ,f5 X5 - f6 X4 , 0,f6 X2 - f3 X5 ,f6 X1 + f3 X4 - f5 X2 , 0) x= , 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,21 . A6,21 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e4 , [e2 ,e4 ] = e5 , [e3 ,e4 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 ,
2 I2 = f4 +2f2 f6 - 2f3 f5 ,

. f6 = C1 ,
2 I2 = f4 +2f2 f6 - 2f3 f5 = C2 .

3.5.22. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,21 , f1 , f3 , f4 , f5 = df1 df5 + df3 df f6
4 O (f )

.


158

. . , . .

O(f )
q1 = f5 , q2 = f4 , p1 = f1 , f6 p2 = f3 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .
. , X = ad f , x (-X5 , 0, -X4 ,X3 ,X1 , 0) x= , f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , . A6,22 . A6,22 [e1 ,e2 ] = e3 , [e1 ,e3 ] = e5 , [e1 ,e5 ] = e6 , [e2 ,e3 ] = e4 , [e2 ,e4 ] = e5 , [e3 ,e4 ] = e6 ei , i = 1,..., 6. , I1 = f6 ,
3 2 2 I2 = 2f5 +3f4 f6 +6f2 f6 - 6f3 f5 f6 ,

. f6 = C1 ,
3 2 2 I2 = 2f5 +3f4 f6 +6f2 f6 - 6f3 f5 f6 = C2 .

3.5.23. O(f ) (f6 = 0) Ad , A6,22 , f1 , f3 , f4 , f5 = f6 df1 df5 + f5 df4 df5 + f6 df3 df 2 f6 f6 f1 + f5 f4 , 2 f6
4 O (f )

.

O(f )
q1 = f5 , q2 = f4 , p1 = p2 = f3 , f6


= dp1 dq1 + dp2 dq2 .

( ), i 0, jk .




159

. , X = ad f , x (-f6 X5 , 0, -f6 X4 ,f6 X3 - f5 X5 ,f6 X1 + f5 X4 , 0) , x= 2 f6 X = (X1 ,X2 ,X3 ,X4 ,X5 ,X6 ), f = (f1 ,f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 ). , , . , , .

3.6.
G -- , (G) = G (R[x]/(x2 )), g -- , G, (g ) -- , (G). F , G , (A) 1 , A(F ) = f (1) ,F (2) (. 1.1 1.2). , S -- , G , S S = S1 S2 , L(S ) = L(S1 ) L(S2 ), L(S1 ) = q
(1) 1 (1) ,...,qn ,q (2) 1 (2) ,...,qn ,

S1 S2 = ,

S1 = {q1 ,...,qn },

S2 = {p1 ,...,pn }.

L(S2 ) = p

(2) 1

,...,p(2) ,p1 ,...,p(1) . n n sin2 f

(1)

B (S ) =
f A(S )

f 2,

T (S ) =
f A(S1 )

f2 +
f A(S2 )

(G) . 3.6.1--3.6.4. 3.6.1. G -- , G = so(3). Os , s = 1, 2,... , gs , Gs = ... G R[x1 ]/(x2 ) ... ... R[xs ]/(x2 ), 1 s

, dim Os = 2s+1 . , -


160

. . , . .

. B T S = S1 S2 ( , 3.2):
1) 2) 3) 4) 5) S1 = {q = f3 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = p= p= p= p= p= f2 ; f1 f3 - ; f1 f3 - ; f1 f3 - ; f1 f3 ; f1 f2 f1

6 ) u1 = {f1 = 0} S1 = {q = f3 }, S2 = p = arctg ;

6 ) u2 = {f2 = 0} S1 = {q = f3 }, S2 = p= f1 - arctg 2 f2 f2 f1 ;

7 ) u1 = {af1 - f2 = 0} S1 = {q = f3 }, S2 = p = arctg ;

7 ) u2 = {f1 + af2 = 0} S1 = {q = f3 }, S2 = p= f1 - arctg 2 f2 a 2 ;

2 8 ) f2 + f1 f2 = a2

S1 =

q = arch

f2 a

,

S2 =

p=

2 f2 f2 - f2 - 1arch 12 22 2 a 2(f2 - a )

;

2 8 ) f2 + f1 f2 = -a2

S1 =

q = arch

f2 a

,

S2 =

p=

a 2

2 f2 f2 - f2 +1 arch 12 22 a2 2(f2 + a )

.

, T . B (p, q ), gs .




161

. 3.2 1.6.1. 3.6.2. G -- . Os , s = 1, 2,... , gs , Gs = (... (G R[x1 ]/(x2 ) ...) ...) R[xs ]/(x2 ), 1 s

, dim Os = 2s+2 , ind G = 0, dim Os = 2s+1 , ind G = 2. , . B T S = S1 S2 ( , 3.3):
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) S1 = {q = f4 }, S1 = {q = f4 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S2 = p= f2 f1 ;

S2 = {p = f1 }; S2 = S2 = S2 = S2 = f4 ; f1 f4 p=- ; f1 f4 p=- ; f1 f4 p=- ; af1 p=- S2 = {p1 , p2 },
2 f2

S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, p1 = 2f2 f3 - 2f4 f1 - 2 8f1 S2 =

,

p2 = - f2 f1 ;

f3 ; 2f1

8) 9)

S1 = {q = f3 },

p=-

S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, S2 = {p1 , p2 }, f2 f3 - f1 f4 f3 p2 = - ; p1 = 2, (1 + b)f1 f1 f2 10) S1 = {q = f3 }, S2 = p = - ; f1 11) S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, p1 = 2af2 f3 -
2 f2 2 - f3 2 4af1

S2 = {p1 , p2 }, - 2f1 f4 , p2 = - f3 ; f1


162

. . , . .

12 ) S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, p1 = 2af2 f3 -
2 f2 2 - f3 2 4af1

S2 = {p1 , p2 }, - 2f1 f4 , p2 = - f3 . f1

, T . B (p, q ), gs .
. 3.3 1.6.1. 3.6.3. G -- . Os , s = 1, 2,... , gs , Gs = (... (G R[x1 ]/(x2 ) ...) ...) R[xs ]/(x2 ), 1 s

, dim Os = 2s+2 , ind G = 1, dim Os = 2s+1 , ind G = 3. , . B T S = S1 S2 ( , 3.4):
1) 2) 3 ) S1 = {q = f5 }, S1 = {q = f5 }, S2 = S2 = f3 f1 f2 p= f1 p= ; ;

S1 = {q = f5 }, S2 = {p}, f3 1 arctg , f1 = 0; p= 2 2 2 2 f1 f1 + f2 f1 + f2 S1 = {q = f5 }, S2 = {p}, f3 1 arctg , f2 = 0; p = 2 + f2 2 + f2 f2 f1 f1 2 2 S1 = {q1 = f4 f2 p1 = , f1 S1 = {q1 = f2 f2 f3 p1 = 2 f1 , q2 = f5 }, S2 = {p1 ,p2 }, f3 p2 = ; f1 , q2 = f5 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 , p2 = ; f1

3 )

4)

5)

6)

S1 = {q1 = f3 , q2 = f2 }, S2 = {p1 ,p2 }, f3 f2 - f1 f4 f2 f4 - f5 f1 , p2 = ; p1 = 2 2 f1 f1




163

7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f5 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f5 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f5 }, S1 = {q = f1 }, S1 = {q = f1 },

S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = S2 = S2 =

p=- p= p= p= p= p= p= p= p= p=

f5 f1

;

f2 ; f1 f5 - ; f1 f2 ; f1 f5 - ; f1 f5 - ; f1 f5 - ; f1 f2 ; f1 f5 - ; f1 f5 - ; f1 f2 f1

17 ) u1 = {pf1 - f2 = 0} S1 = {q = f5 }, S2 = p = arctg ;

17 ) u2 = {f1 + pf2 = 0} S1 = {q = f5 }, S2 = p= f1 - arctg 2 f2 f2 f1 ;

18 ) u1 = {pf1 - f2 = 0} S1 = {q = f5 }, S2 = p = arctg ;

18 ) u2 = {f1 + pf2 = 0} S1 = {q = f5 }, 19) S2 = p= f1 - arctg 2 f2 f2 , f1 ;

S1 = {q1 = f1 , q2 = f3 }, p1 = -

S2 = {p1 ,p2 }, p2 = a = 0;

(a - 1)f2 f3 + f1 f5 , 2 af1


164 20)

. . , . .

S1 = {q1 = f1 , q2 = f3 },

S2 = {p1 ,p2 }, p2 = f2 , f1 a = 0;

(1 - a)f2 f3 - f1 f5 , p1 = 2 af1 21) S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, f2 p1 = , f1 22)

S2 = {p1 ,p2 },

f 2 - 2f2 f3 - 2f2 f4 f5 p2 = 3 - ; 2 4f1 2f1 S2 = {p1 ,p2 },
2 f3

S1 = {q1 = f3 , q2 = f4 }, p1 =

23)

f2 f5 , p2 = +; f1 2f1 f4 S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, p1 = f2 , f1 f2 , f1 p2 =
2 f3 - 2f5 f1 - 2f2 f3 ; 2 4f1

24)

S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, p1 = p2 =
2 f3

S2 = {p1 ,p2 },

- 2f5 f1 - 2f2 f3 ; 2 4f1 S2 = {p1 ,p2 },

25)

S1 = {q1 = f3 , q2 = f4 }, p1 =

2 f2 f5 f 2 + f3 - 2pf2 f3 , p2 = - +2 ; f1 bf4 2bf1 f4 26 ) p = 0,

S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, p1 = f2 , f1 p2 =
2 f2

S2 = {p1 ,p2 },
2 f3

+

- 2pf2 f3 ; 2 4pf1 S2 = {p1 ,p2 },
2 f3 f5 2-f ; 2f1 1

26 ) p = 0, S1 = {q1 = f2 , q2 = f4 }, p1 = - 27) f3 f2 f4 - 2, f1 f1

p2 =

S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 f5 f2 p1 = , p2 = - +(f4 - f3 ) 2 ; f1 f1 f1 S1 = {q1 = f2 p1 = f1 S1 = {q1 = f2 p1 = f1 f3 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 f3 + f4 f2 f5 , p2 = - -; f4 f1 f4 f4 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 f3 f5 , p2 = - 2 - ; f1 f1

28)

29)




165

30 ) a = -1, S1 = {q1 = f1 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 f4 f5 f2 p2 = ; p1 = - 2 - (a +1)f , (a +1)f1 f1 1 30 ) a = -1, S1 = {q1 = f2 , q2 = f3 }, S2 = {p1 ,p2 }, 2f3 f4 + f2 f5 f2 f4 + f1 f5 , p2 = - 2 ; p1 = 2 f2 - 2f1 f3 f2 - 2f1 f3 31) S1 = {q1 = f4 , q2 = f1 }, p1 = 32) f2 , f1 p2 =
3 f3

S2 = {p1 ,p2 },

- 3f1 f2 f3 - 3f1 f2 f4 f5 - ; 3 9f1 3f1 S2 = {p1 ,p2 },

33)

34)

35)

S1 = {q1 = f4 , q2 = f1 }, f2 f5 p1 = , p2 = - ; f1 f1 S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, f4 f5 p1 = - , p2 = - f1 f2 S1 = {q1 = f2 , q2 = f5 }, f4 f3 p1 = - , p2 = ; f2 f2 S1 = {q1 = f1 , q2 = f3 }, f3 f5 - f2 f4 p2 p1 = 2 2, f2 + f3

S2 = {p1 ,p2 }, ; S2 = {p1 ,p2 },

S2 = {p1 ,p2 }, f2 f5 + f3 f4 =- 2 2; f2 + f3

36)

37)

S1 = {q1 = f3 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, f2 f4 p1 = , p2 = - ; f1 f1 S1 = {q1 = f2 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, f3 f2 f3 f4 p1 = - , p2 = 2 - 2f ; f1 2f1 1 S1 = {q1 = f2 , q2 = f1 }, p1 = - f3 f5 ln f1 + f1 f2 S2 = {p1 ,p2 }, , p2 = - f4 ; f1

38)

39 ) u1 = {f1 = 0} S1 = {q1 = f5 , q2 = f2 - f3 p2 }, p1 = ln
2 2 f1 + f2 ,

S2 = {p1 ,p2 }, f2 p2 = arctg ; f1


166

. . , . .

39 ) u2 = {f2 = 0} S1 = {q1 = f5 , q2 = f2 - f3 p2 }, S2 = {p1 ,p2 }, f1 2 2 p1 = ln f1 + f2 , p2 = - arctg ; 2 f2 40 ) u1 = {f4 = 0} S1 = {p1 , p2 }, S2 = {q1 ,q2 }, f5 2 2 q1 = f4 + f5 , q2 = arctg , f4 p1 , p2 -- , 3.4.2; 40 ) u2 = {f5 = 0} S1 = {p1 ,p2 }, S2 = {q1 ,q2 }, f4 2 2 q1 = f4 + f5 , p2 = - arctg , 2 f5 p1 , p2 -- , 3.4.2.

, T . B (p, q ), gs .
. 3.4 1.6.1. 3.6.4. G -- . Os , s = 1, 2,... , gs , Gs = (... (G R[x1 ]/(x2 ) ...) ...) R[xs ]/(x2 ), 1 s

, dim Os = 2s+1 , ind G = 4, dim Os = 2s+2 , ind G = 2. , . B S = S1 S2 ( , 3.5):
1) 2) S1 = {q = f3 }, S1 = {q = f5 }, S2 = S2 = S2 = S2 = f1 f4 f1 p= f6 f1 p= f4 f2 p= f5 p= ; ; , f4 = 0; , f5 = 0;

3 ) S1 = {q = f3 }, 3 ) S1 = {q = f3 },




167

3 ) S1 = {q = f2 }, 4)

S2 =

p=

f1 f6

, f6 = 0;

S1 = {q1 = f3 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, f1 f5 f3 - f6 f2 ; p1 = , p2 = 2 f6 f6 S1 = {q1 = f1 , q2 = f2 }, S2 = {p1 ,p2 }, af6 f4 - f5 f3 f6 f3 - f5 f4 p2 = p1 = 2 2, 2 2; f5 - af6 f5 - af6 S1 = {q1 = f4 , q2 = f3 }, S2 = {p1 ,p2 }, -f6 f3 + f5 f1 + f2 f4 f2 , p2 = ; p1 = 2 f5 f5 S1 = {q1 = f4 , q2 = f3 }, S2 = {p1 ,p2 }, f6 f1 - f4 f2 f2 , p2 = ; p1 = f5 f6 f6 S1 = {q1 = f5 , q2 = f3 }, S2 = {p1 ,p2 },
2 2f4 f2 - f3 - 2f5 f3 f1 , p2 = ; f4 f6 f4 S1 = {q1 = f5 , q2 = f3 }, S2 = {p1 ,p2 },

5)

6)

7)

8)

p1 =

9)

p1 =

2 2f6 f1 + f3 +2f4 f2 , 2 2f6

p2 =

f2 ; f6

10) S1 = {q1 = f3 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, f5 f1 - f6 f2 + f3 f4 f5 f2 - af6 f1 , p2 = p1 = 2 2 2 2; f5 - af6 f5 - af6 11) S1 = {q1 = f4 , q2 = f3 }, p1 =
2 f3

S2 = {p1 ,p2 }, f2 ; f6 = {p1 ,p2 }, p2 =

12) S1 = {q1 = f1 p1 = f6 13) S1 = {q1 = f4 p1 = f6

- 2f2 f4 +2f6 f1 , 2f5 f6 f4 , q2 = f5 }, S2 f2 , p2 = ; f6 f1 , q2 = f5 }, S2 f6 f2 + f5 , p2 = 2 f6

= {p1 ,p2 }, f4 ;

14) S1 = {q1 = f4 , q2 = f5 }, S2 = {p1 ,p2 }, f1 f2 , p2 = ; p1 = af6 af6


168

. . , . .

15) S1 = {q1 = f4 , q2 = f2 }, p1 =
2 2f6 f1 - f5 2 2f6

S2 = {p1 ,p2 }, , p2 = f5 ; f6

- 2f3 f5

16) S1 = {q1 = f5 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, f5 f2 - f6 f1 f2 , p2 = ; p1 = 2 f6 f6 17) S1 = {q1 = f4 , q2 = f1 }, S2 = {p1 ,p2 }, f3 f5 + f6 f2 f5 , p2 = - ; p1 = - 2 f6 f6 18) S1 = {q1 = f4 , q2 = f5 }, p1 =
2 3a2 f6 f1

S2 = {p1 ,p2 }, p2 = f2 ; af6

-

3 f5

2 - af4 f5 +3af3 f6 f5 , 3 3a2 f6

19) S1 = {q1 = f5 , q2 = f3 }, p1 =
2 2f6 f1 + f3 2 f6

S2 = {p1 ,p2 }, , p2 = f2 ; f6

- f2 f4

20) S1 = {q1 = f5 , q2 = f4 }, S2 = {p1 ,p2 }, 2f6 f1 + f3 f4 - 2f2 f5 f2 , p2 = ; p1 = 2 2f6 f6 21) S1 = {q1 = f1 p1 = f6 22) S1 = {q1 = f6 p1 = f5 , q2 = f4 f3 , p2 = f6 f5 , q2 = f4 f1 + f5 f4 , 2 f6 }, ; }, S2 = {p1 ,p2 }, f3 p2 = . f6 S2 = {p1 ,p2 },

B (p, q ), gs .
. 3.5 1.6.1.

4.
, , , , , , , ,




169

. , ' ' . , -, - , . , [1, 49--51, 122, 166--168, 171--176, 179--181, 183, 184, 187, 188, 190, 192--195, 198, 224--229, 232], , . , . . , , , . , ( , , ' '), . . (. [19, 21, 177, 178, 186, 189]). , , . (, ), ( , ). . , , (. [189, 194]).

4.1.
, - ( ) . , , [19, 21, 177, 178, 186, 189]. , . ( ) . , (() , ),


170

. . , . .

( , ). , . , (. [19, 21, 177, 178, 186, 189]). (. [170--182, 184, 185]). . 1. , , . . ( ) [224--232]. 2. , ( ) , . , . 3. , (. . () ). () . 4. , , , [189, 194]. , ' ' . . [56] . . . . .




171

4.2. ,
4.2.1. , , () ( ). . () -- [5--14]. ( ) , ( ) , . , , '' , ( ''). ('' ), ( ), ( ). ( '' ). , , . , . . , , ( . [122, 167]).


172

. . , . .

, , ( ) . , , , ( ) , : = a sin + b + 1 sin5 + 2 sin4 + 3 2 sin3 + 4 3 sin2 + 5 4 sin , = c sin cos + d cos + 1 sin4 cos + 2 2 sin3 cos + + 3 3 sin2 cos + 4 4 sin cos + 5 5 cos . ( ) ( ) . , , , [172, 175]. (, () ), , , , (() ), (, , ) (), ( ). . , = + sin , = - sin cos ( ) , , [172, 175]. , ( , ) , [172, 175]. R2 {, } ( . [183, 186--198]). , ( ) R2 {, } . .




173

4.2.2. , . , . , , T V(, ) = - + f (), = g (), f ( + T ) = f (), g ( + T ) = g (),

T :
T T T

div V(, ) d =
0 0

g () d = - + f () +

f () d = 0.
0

- f () + g () = 0, Å f () . , , (. [194]). 4.2.1. (n +1)- , Rn {x} × S1 { mod 2 }, -- T > 0. (, , ) div(x, ). () ,
T

div(x, ) d
0

( ) . (, S1 { mod 2 } ) . , () . ( , ).


174

. . , . .

4.3.
( ) = f (, sin , cos ), k = fk (, sin , cos ), S1 { mod 2 }\ K × Rn { }, = (1 ,...,n ), f (u1 ,u2 ,u3 ), = , 1,... ,n, u1 , u2 , u3 : f (-u1 , -u2 ,u3 ) = -f (u1 ,u2 ,u3 ), f (u1 ,u2 , -u3 ) = f (u1 ,u2 ,u3 ), fk (u1 ,u2 , -u3 ) = -fk (u1 ,u2 ,u3 ). K , S1 { mod 2 }. u2 , u3 f (u1 ,u2 ,u3 ) , . -, , -, , -- , - (4.1). fk (, sin , cos ) dk = , d f (, sin , cos ) = sin (k = 1,...,n) dk fk (, , k ( = d f (, , ( (- ) = ( ), = , )) , )) 1,... ,n. (4.2) k = 1,...,n, (4.1)

, , (. . ), . (4.1) . , , . 4.3.1. (4.1) . (4.1). , , , ,




175

, . , f , , k ( ) ( = , 1,...,n) -- , . , , S1 { mod 2 }× R1 { } b > 0 [194, 198]: = - + b sin , = sin cos , = - + b sin cos2 + b 2 sin , = sin cos - b sin2 cos + b 3 cos , (4.3) (4.4)

(, ) d = , d - + b d + b [ 2 - 2 ] = d - + b + b [ 2 - 2 ] (4.2) . , . , (4.1). , , ( ) , [194]. , . = -z2 + b sin , 2 cos , z2 = sin cos - z1 (4.5) sin cos z1 = z1 z2 sin b, ( . ) S1 { mod 2 }\{ = 0, = }× R2 {z1 ,z2 } ( T S2 S2 ) [194],
2 - z1 / dz2 = , d -z2 +

dz1 z1 z2 / = . d -z2 +

(4.6)


176

. . , . .

, (4.5) ; ,
z1 = ln |z1 |.

, (. . ), [194], , , ( , ) () (4.6). (4.3)--(4.5), (4.1) , , . , (4.1) (4.2), . : , .

4.4. S1 { mo d 2 } × R1 { },
, (. [193]). 4.4.1. R2 {x, y } x = ax + by + 1 x3 + 2 x2 y + 3 xy 2 , y = cx + dy + 1 x2 y + 2 xy 2 + 3 y
3

( , ) , .
4.4.2. = a sin + b + 1 sin3 + 2 sin2 + 3 2 sin , = c sin cos + d cos + 1 sin2 cos + 2 2 sin cos + 3 3 cos

a, b, c, d, 1 , 2 , 3 , , , .




177

, (4.3) (4.4) a = b, b = -1, c = 1, d = 1 = 2 = 3 = 0 a = b, b = -1, c = 1, d = -b, 1 = -b, 2 = 0, 3 = b . . ( ) . , 2n - 1. , 4.4.1. 4.4.3. (2n +3)- R2 {x, y } x = ax + by + 1 x2 y = cx + dy + 1 x
n-1

+ 2 x2

n-2

y + ... +

2n-2

x2 y

2n-3

+

2n-1

xy y

2n-2

,

2n-2

y + 2 x

2n-3 2

y + ... +

2n-2

xy

2n-2

+

2n-1

2n-1

(4.7)

( , ) , .
(4.7) 2n - 1+4 , 4n , 2n + 1 ( 4 ). 4.4.4. = a sin + b + 1 sin2 +
2n-1 n-1

+ 2 sin2
2n-2

n-2

+ ... +
2

2n-1



2n-2

sin ,

= c sin cos + d cos + 1 sin
2n-1

cos + 2 sin

2n-3

cos + ... +

cos

a, b, c, d, 1 ,...,2n-1 , , , .
. (4.3)--(4.5), , , (, ), (4.1), (. [198]). ( () ), (4.4). ( [184]) .


178

. . , . .

4.5. S1 { mo d 2 }\{ = 0, = }× R2 {z1 ,z2 },
(4.5), (4.6),
2 2 = -z2 + (z1 + z2 )sin + sin cos2 , 2 2 z2 = sin cos + z2 (z1 + z2 )cos - z2 sin2 cos - z 2 1 2 2 2 2 1

(4.8) cos , z1 = z1 (z + z )cos - z1 sin cos + z1 z2 sin , [194], : 2 2 2 + z2 (z1 + z2 ) - z2 2 - z1 / dz2 = , 2 2 d -z2 + (z1 + z2 )+ (1 - 2 ) (4.9) 2 2 dz1 z1 (z1 + z2 ) - z1 2 + z1 z2 / = . 2 2 d -z2 + (z1 + z2 )+ (1 - 2 ) , - : (4.8) uk , k = 1, 2, (4.6) - u2 du2 1 + u2 = , d -u2 + (4.9). zk = uk .

cos , sin

du1 u1 u2 + u1 = , d -u2 +

du2 1 - u2 + u2 - u2 2 1 = . du1 2u1 u2 - u1

(4.10)

, 1 - u2 + u2 2 d + du1 = 0, u1 (, z1 ,z2 ) (. [194])
2 2 z1 + z2 - z2 + 2 = const. z1

(4.8) du2 + u2 3 (u2 + u2 ) - u2 3 - u2 1 2 1 + u2 = , d -u2 + 3 (u2 + u2 )+ (1 - 2 ) 1 2 du1 u1 3 (u2 + u2 ) - u1 3 + u1 u2 1 2 + u1 = , d -u2 + 3 (u2 + u2 )+ (1 - 2 ) 1 2

(4.10).




179

(4.5) Å sin = 0, + cos +sin cos - 2 cos 1 + cos2 Å + cos + [ ]=0 sin cos T S2 S2 . [194]. : ax + by + cz + c1 z 2 /x + c2 zy /x + c3 y 2 /x dz = , dx dx + ey + fz dy gx + hy + iz + i1 z 2 /x + i2 zy /x + i3 y 2 /x = dx dx + ey + fz

(4.11)

, (4.6), (4.9) , 1/x. (. [194]). . , , y = ux, z = vx, , (4.11) ax + bux + cv x + c1 v 2 x + c2 vux + c3 u2 x dv +v = , dx dx + eux + fv x gx + hux + iv x + i1 v 2 x + i2 vux + i3 u2 x du +u= , x dx dx + eux + fv x x a + bu + cv + c1 v 2 + c2 vu + c3 u2 - v [d + eu + fv ] dv = . du g + hu + iv + i1 v 2 + i2 vu + i3 u2 - u[d + eu + fv ] : [g + hu + iv + i1 v 2 + i2 vu + i3 u2 - du - eu2 - fuv ] dv = = [a + bu + cv + c1 v 2 + c2 vu + c3 u2 - dv - euv - fv 2 ] du. (4.12) 15- (4.12). 7 : g = 0, g = 0, f = 5 , i3 = e, h = 1 , a = 6 , i1 = 0, i1 = 0, b = 7 , i = 0, i = 0, c2 = e, i2 = 2 , c = h, 2c1 = i2 + f. (4.13) 8 1 ,...,8 : i3 = 3 , d = 4 , e = 3 , 2 + 5 , c2 = 3 , c3 = 8 . c1 = 2

c = 1 ,


180

. . , . .

, (4.12) (4.13) dv 6 + 7 u +(1 - 4 )v +(2 - 5 )v 2 /2+ 8 u2 = , (4.14) du (1 - 4 )u +(2 - 5 )vu . , (4.12), d (1 - 4 )v (2 - 5 )v +d u 2u
2

+d

6 - d[7 ln |u|] - d[8 u] = 0, u

(x, y , z ) y (2 - 5 )z 2 /2 - 8 y 2 +(1 - 4 )zx + 6 x2 = const. - 7 ln yx x (4.15)

, , , , 8 : dz 6 x + 7 y + 1 z +(2 - 5 )z 2 /2x + 3 zy /x + 8 y 2 /x = , dx 4 x + 3 y + 5 z dy 1 y + 2 zy /x + 3 y 2 /x = . dx 4 x + 3 y + 5 z 4.5.1. = 4 sin + 3 z1 + 5 z2 , z2 = 6 sin cos + 7 z1 cos + 1 z2 cos + cos 2 + 5 2 cos 2 cos z2 + 3 z1 z2 + 8 z1 , + 2 sin sin sin cos 2 cos + 3 z1 z1 = 1 z1 cos + 2 z1 z2 sin sin (4.16)


S1 { mod 2 }\{ = 0, = }× R2 {z1 ,z2 },

8 , , , , . , (4.16) 1 = 3 = 7 = 0, 2 = 6 = 1, 5 = 8 = -1, 4 = (4.5).
(4.11) (4.15), . , . , , .




181

, , ( ) , , (. [166--189, 189--198, 224--232]).

5.
[194], , . , , , . . - , '' , . , , .

5.1. ,
5.1.1. [194]. (v, ) -- , -- , I , m -- - , v cos - v sin - v sin + 2 = Fx , v sin + v cos +v cos - = 0, I = AB v 2 sin cos , Fx = - Bv 2 cos , m

(5.1)

A, B , > 0.


182

. . , . .

T, v = const, (5.1) Fx Fx = (T - B cos )v 2 , m |T| = T, (5.2)

(5.2) (5.1) S1 { mod 2 }× R1 {}: = -+ A1 sin , = A2 sin cos , vAB > 0, A2 > 0. A1 = I

(5.3)

5.1.1 (. [194]). (5.3) , , . . , (. . ). , , , , . , (5.3) (4.1), , = sin , y = -+ A1

dy = -A2 + A1 , d y = : ( 2 - A1 + A2 ) d = - d . . : y




183

1) A2 - 4A2 < 0: 1 ln( 2 - A1 + A2 )+ 2) A2 - 4A2 > 0: 1 ln | 2 - A1 + A2 | + 3) A2 - 4A2 = 0: 1 A1 A1 - +ln = const. 2 2 - A1 , 1) A2 - 4A2 < 0: 1 ln - [2 - A1 + A2 ] × exp 2) A2 - 4A2 > 0: 1 2 + A1 + A2 1 - 4A2 2A1 4A2 - A2 1 arctg 2 - A1 4A2 - A2 1 = const; A1 -4A2 + A2 1 ln 2 - A1 - 2 - A1 + -4A2 + A2 1 -4A2 + A2 1 +ln 2 = const; 2A1 4A2 - A2 1 arctg 2 - A1 4A2 - A2 1 +ln 2 = const;

A 2 -4 A 2 -A 1

1

×
A 2 -4 A 2 + A 1
1

× 2 + A1 - 3) A2 - 4A2 = 0: 1 |2 + A1 |× exp -

A2 - 4A2 1

= const;

A1 2 + A1

= const.

5.1.2. A1 = 0 . ( ) (. [1]). 5.1.3. , . , [1]. 5.1.4. ( ) .


184

. . , . .

(5.3) . , , . 5.1.2. [194]. (v, ) -- , -- , I , m -- - , (5.1), - Bv 2 cos , A, B , > 0. m T, Fx = - VC = const (5.4) (VC -- , . [167]), (5.1) Fx , , , . (5.4) (5.1) W1 = R1 {v }× S1 { mod 2 }× R1 { }: + v = v (, ), = - + sin cos + sin , = sin cos - sin2 cos + 3 cos , (, ) = - cos + n sin cos ; = v , n2 = AB /I , = n0 , ž = v . 0 (5.5), (5.6) (5.6). , 5.1.5. (5.5), (5.6) , -- , .
2 2 0 2 2 2

(5.5) (5.6)

, (5.4) (5.1) Fx 0, 2 0 (v, , ) = v 2 + 2 2 - 2 v sin = VC (5.7) .




185

, (5.5), (5.6) , 1 (v, , ) = v 2 (1 + 2 2 - 2 sin ) = V
2 C

(5.8)

. (5.8) , (5.5), (5.6), , VC = 0 2 VC v2 = . 2 2 - 2 sin 1+ W1 (5.5), (5.6) , , (5.8) (, (5.7)) ( ) (5.5), (5.6) . () (5.5), (5.6). {(v, , ) W1 : VC = const} , (5.2). (5.6) - + [ 2 - 2 ] d = , d + + [ 2 - 2 ] = - sin .

: C1 = 2 - , C2 = , C3 = 2 + . - = u1 , + = v1 , u 1 = v1 t 1 ,
2 v1 = p1 ,

v1 = 0, : 2p1 [C1 t1 + C2 +2t1 p1 ] = p
-1

dp1 [C3 + C1 t2 ]. 1 dt1

= q1 p1 = 0 q1 = a1 (t1 )q1 + a2 (t1 ),

a1 (t1 ) = 2(C1 t1 + C2 ) , C1 t2 + C3 1 a2 (t1 ) = 4t1 C1 t2 + C3 1

( t1 ). q
1

(t1 ) = k (C1 t2 + C3 )Q(t1 ), 1

k = const,


186

. . , . .

Q C1 t C1 = 0, e 1 , 2 C2 arctg C1 t1 C3 , C1 > 0, Q(t1 ) = e C1 C3 C2 -C1 C3 -C1 t1 +C3 , C1 < 0. -C t - C
11 3

(5.9)

k t1 ; k k (t1 ) = 4 Q-1 (t1 ) (C1 t2 1 t1 dt1 . + C3 )2

, (5.5), (5.6) :
t1

Q
0

-1

(t1 )q

2 1 (C1 t1

+ C3 )

-1

- 4
t0

Q-1 (1 )

1 d1 = C 0 , 2 (C1 1 + C3 )2

C = const. , C1 (. (5.9)), . . . C1 = 0. e-
u1 v1

v

-2 1

+

2 2

u1 +1 v1

= const.

, (5.5), (5.6) C1 = 0 . . C1 > 0. - C1 t1 . C3 C1 > 0 . . C1 < 0. = arctg - C1 C2 n0 = C2 > 1, C1 C3 2 - -1 - 1 - -3 + -1 +1 +const, - e 4n0
2
C2 -C1 C3



C 2 sin 2 +cos 2 -C1 C3

+const,

,

-C1 t1 + -C3 = . -C1 t1 - -C3




187

C1 < 0 . 5.1.5. 5.1.6. (5.6) . . (k, 0), k Z, - , , 0. , , , : 1) (4.1) ; 2) ( ), '' ; 3) ( ) ( , ) . 5.1.3. [194]. (v, ) -- , -- , I , m -- - , (5.1), - Bv 2 cos , A, B , > 0, m s yN Fx = - , h1 > 0, v , ( ) . T, s() = B cos , yN (, ,v ) = A sin - h
1


188

. . , . .

(5.4), (5.1) Fx , , , . (5.4) (5.1) W1 = R1 {v }× S1 { mod 2 }× R1 { }, , (5.5), (5.6): + v = v (, ), h1 B cos2 , I = n2 sin cos - n2 sin2 cos + 3 cos + 0 0 h1 B h1 B 2 sin cos - cos , + I I h1 B sin cos ; (, ) = - 2 cos + n2 sin2 cos - 0 I = - + n2 sin cos2 + 2 sin - 0 (5.10)

(5.11)

- = v , n2 = AB /I , ž = v . 0 (5.10), (5.11) (5.11). 5.1.7. (5.11) , , -- , . , (5.4) (5.1) Fx 0, (5.7) . , (5.11) , (5.8) . (5.8), , , (5.11), . , VC = 0 v2 =
2 VC . 1+ 2 2 - 2 sin

W1 (5.11) , , (5.8) (, (5.7)) ( ) (5.11) . () (5.11), (5.6). {(v, , ) W1 : VC = const}




189

, (5.2). (5.11) , n0 , H1 = h1 B , In0 AB 2 n0 = I , = n0 , = sin : v = v (, ), = - + sin cos + sin - H1 cos , = sin cos - sin2 cos + 3 cos + + H1 2 sin cos - H1 cos , (, ) = - 2 cos + sin2 cos - H1 sin cos . (5.10) (5.12). (5.13) : - [ 2 - 2 ]+ H1 [ - 1] d = . d - + + [ 2 - 2 ] - H1 [1 - 2 ] = t , d = td + dt (5.13)
2 2 2

(5.12)

d a1 (t) = a2 (t) + a3 (t) 3 , dt a1 (t) = -(1+H1 )t2 +( +H1 )t-1, a2 (t) = (1+H1 )t-, a3 (t) = -H1 t-t2 . p = dp = c1 (t)p + c2 (t), dt c1 (t) = 2t(1 + H1 ) - 2 , (1 + H1 )t2 - ( + H1 )t +1 c2 (t) = 2 - 2H1 t - 2t2 . (1 + H1 )t2 - ( + H1 )t +1
1 2



p1 D. : 1) D = ( - H1 )2 - 4 > 0: 2(1 + H1 )t - ( - H1 ) - D 2 p1 = k [(1 + H1 )t - ( + H1 )t +1] ž 2(1 + H1 )t - ( - H1 )+ D
H1 - D

;


190

. . , . .

2) D = ( - H1 )2 - 4 < 0: p1 = k [(1 + H1 )t2 - ( + H1 )t +1] ž exp arctg 3) D = ( - H1 )2 - 4 = 0: p1 = k [(1 + H1 )t2 - ( + H1 )t +1] ž exp L1 = 2L1 1+ H1 + 1 , 2(1 + H1 )t - ( + H1 ) -D ;

+ 1. 1+ H1 , , , k t. . - .

5.2. ,
5.2.1. m . (v, , ) -- , {x , y , z } -- , I1 , I2 , I2 -- , , v cos - v sin +y v sin sin - z v sin cos + (2 +2 ) = Fx , y z sin sin +z v cos - v sin cos + v cos cos - v - x v sin sin - x y - z = 0, v sin sin + v cos sin + v sin cos +x v sin cos - - y v cos - x z + y = 0, h y , I2 y +(I1 - I2 )x z = -AB v 2 sin cos sin - v h z , I2 z +(I2 - I1 )x y = AB v 2 sin cos cos - v Bv 2 Fx = - cos , A, B , , h > 0. m x = 0, (5.14)




191

T, (5.2), (5.14) Fx (T - B cos )v 2 , m (5.2) x 0 (5.14) . , z1 = y cos +z sin , z2 = -y sin +z cos

wk , k = 1, 2, 2 h1 = hB , h1 = H1 , b = IAB , zk = vwk ( = v . .), I2 2 = -(1 + H1 ) + b sin , (5.15) cos H1 w1 cos , w1 = (1 + H1 )w1 w2 sin cos , (5.16) = (1 + H1 )w1 sin (5.15). = H1 (5.15) ((5.15), (5.16)) w1 = ln |w1 | , () (). 5.2.1. (5.15), (5.16) , . (5.15). , (5.15), (5.16) :
2 dw2 b sin cos - (1 + H1 )w1 ctg - H1 w2 cos = , d -(1 + H1 )w2 + b sin dw1 (1 + H1 )w1 w2 ctg - H1 w1 cos = . d -(1 + H1 )w2 + b sin 2 w2 = b sin cos - (1 + H1 )w1

cos - H1 w2 cos , sin

(5.17)

= sin , (5.17)
2 dw2 b - (1 + H1 )w1 / - H1 w2 = , d -(1 + H1 )w2 + b dw1 (1 + H1 )w1 w2 / - H1 w1 = . d -(1 + H1 )w2 + b

(5.18)


192

. . , . .

wk = uk , k = 1, 2, , (5.18) b +(1+ H1 )(u2 - u2 ) - (b + H1 )u2 du2 2 1 = . (5.19) du1 2(1 + H1 )u1 u2 - (H1 + b)u1 (1 + H1 )u2 - (H1 + b)u2 +(1+ H1 )u2 + b 2 1 = C1 . u1 (5.20)

(5.19), , (5.15), (5.16)
2 2 (1 + H1 )w2 - (H1 + b)w2 sin +(1+ H1 )w1 + b sin2 = C1 . w1 sin

(5.21)

, b = H1 (5.15) (, (5.15), (5.16)) . , (5.21)
2 2 w2 +(1+ b)w1 + b[w2 - sin ]2 = C1 . w1 sin

(5.22)

, , , (5.22) (5.15) b = H1 :
2 2 w2 +(1+ b)w1 + b[w2 - sin ]2 = C1 , w1 sin = C1 .

b = H1 (5.15) . , (5.21) . , (5.15) , . (5.15) [b - (1 + H1 )u2 ]du2 d = , (5.23) b - (H1 + b)u2 +(1+ H1 )[u2 - U (u2 ,C1 )] 2 1 2 U (u2 ,C1 ) = C1 + C1 - 4D1 2(1 + H1 ) C1 > 4(1 + H1 )D1 (5.21), D1 = (1 + H1 )u2 - (H1 + b)u2 + b. 2




193

(5.15) (5.23): F1 (w1 ,w2 , sin ) = C2 . (5.16), (5.20) (5.15), (5.16) du1 b - (1 + H1 )u2 H1 + = u2 - , d 1+ H1 1+ H1 sin2 {2(1 + H1 )2 ( + C3 )} = [2(1 + H1 )w1 - 2C1 sin ]2 . 2 [(H1 + b)2 - 4b(1 + H1 )+ C1 ]sin2

. , (5.15) S1 { mod 2 }\{ = 0, = }× R2 {w1 ,w2 } ( T S2 S2 ). , (5.15) , (. . ), , . , , ( , ) (5.18) () . 5.2.2. m . (v, , ) -- , = {x , y , z } -- , I1 , I2 , I2 -- , , (5.14), Bv 2 cos , A, B , > 0, h = 0. m T, (5.4), (5.14) Fx , , , . F4 = -


194

. . , . .

(5.4) (5.14) , . . , , : (5.24) x = x0 = const. , . . x0 = 0. : z1 = y cos +z sin , zi = Zi v, i = 1, 2, z2 = -y sin +z cos , = v , = v , v = vv .

C (5.14) (5.4) x0 = 0 v = v (, Z1 ,Z2 ),
2 2 = -Z2 + n2 sin cos2 + (Z1 + Z2 )sin 0 2 cos Z2 = n2 sin cos - Z2 (, Z1 ,Z2 ) - Z1 0 sin cos Z1 = -Z1 (, Z1 ,Z2 )+ Z1 Z2 , sin cos = Z1 , sin

(5.25) , ,

(5.26)

(5.27) n2 = 0 AB . I2

2 2 (, Z1 ,Z2 ) = - (Z1 + Z2 )cos + n2 sin2 cos , 0

( ) ( ) (5.25)--(5.27) . , (5.4), (5.25)--(5.27) ( (5.24)) . , C VC = {v cos , v sin cos - z , v sin sin + y }. (5.14) (5.24) (x0 = 0) (5.4):
2 2 v 2 - 2vz2 sin + 2 (z1 + z2 ) = V 2 C0

.

(5.28)

, (5.28), 2,




195

(5.25)--(5.27):
2 2 v 2 (1 - 2Z2 sin + 2 (Z1 + Z2 )) = V 2 C0

,

(5.29)

(5.29) v : 2 VC 0 (5.30) v2 = 2 2. 1 - 2Z2 sin + 2 (Z1 + Z2 ) , (5.30) (5.25)--(5.27) -- . (5.26)
2 2 = -Z2 + b sin cos2 + b(Z1 + Z2 )sin , 2 2 Z2 = sin cos + bZ2 (Z1 + Z2 )cos - bZ2 sin2 cos - Z 2 1

(5.31) cos 2 2 Z1 = bZ1 (Z1 + Z2 )cos - bZ1 sin2 cos + Z1 Z2 , sin b = n0 , n0 . = sin , (5.31) :
2 2 2 dZ2 + bZ2 (Z1 + Z2 ) - bZ2 2 - Z1 / = 2 2, d -Z2 + b (1 - 2 )+ b (Z1 + Z2 ) (5.32) 2 2 dZ1 bZ1 (Z1 + Z2 ) - bZ1 2 + Z1 Z2 / = . 2 2 d -Z2 + b (1 - 2 )+ b (Z1 + Z2 ) uk , k = 1, 2, uk = Zk . (5.32)

cos , sin

1 - bu2 + u2 - u2 du2 2 1 = , d -u2 + b 2 (u2 + u2 )+ b(1 - 2 ) 1 2 2u1 u2 - bu1 du1 = . 2 (u2 + u2 )+ b(1 - 2 ) d -u2 + b 1 2

(5.33)

(5.33) : du2 1 - bu2 + u2 - u2 2 1 = . (5.34) du1 2u1 u2 - bu1 , , (5.34): d 1 - bu2 + u u1
2 2

+ du1 = 0.

(, Z1 ,Z2 ) 2 2 Z1 + Z2 - bZ2 + 2 = const. (5.35) Z1


196

. . , . .

(5.35), , (5.26) , :
2 2 Z1 + Z2 - bZ2 sin +sin2 = const. Z1 sin

(5.36)

, (5.36), (5.33) 2 - 2bu2 +2u2 - C1 U1 (C1 ,u2 ) du2 2 = , d -u2 + b - 2b 2 + b 2 (C1 U1 (C1 ,u2 )+ bu2 ) U1 (C1 ,u2 ) = d (b - u2 ) + b 3 (C1 U1 (C1 ,u2 )+ bu2 - 2) . = du2 2 - 2bu2 +2u2 - C1 U1 (C1 ,u2 ) 2 (5.38) C1 +
2 C1 - 4(u2 - bu2 +1) 2 , 2

(5.37)

(5.38) ( (5.37)) dp 2(u2 - b)p - 2b(C1 U1 (C1 ,u2 )+ bu2 - 2) , = du2 2 - 2bu2 +2u2 - C1 U1 (C1 ,u2 ) 2 p= 1 . 2 (5.39)

, (. . ). (5.39) C2 . . (5.25)--(5.27) (. . , ) , d Z1 / = 2 + Z 2 )+ b (1 - 2 ) , d -Z2 + b (Z1 2 u1 d = d -u2 + b 3 (u2 + u2 )+ b (1 - 2 ) 1 2 2u1 u2 - bu1 du1 = , 2 (u2 + u2 )+ b(1 - 2 ) d -u2 + b 1 2 (5.41) (5.40)

(5.33). (5.40), (5.41) : du1 = 2u1 - . (5.42) d




197

(5.34) (C1 -- ) (5.42), , du1 = + b2 - 4(u2 - C1 u1 +1), 1 d , (5.43) + du
2 2 1 1

(5.43)

b - 4(u - C1 u1 +1)

= + C3 ,

C3 = const.

(5.44)

(5.44) ( ) 1 arcsin 2
b (u1 - 2 )2 2 C1 +(b2 - 4)

.

(5.45)

(5.45) b2 u2 - 2 u2 1 2 cos [2( + C3 )] = , (5.46) G1 G1 = [u2 - bu2 ]2 +2[u2 - bu2 ][u2 +1]+[u2 +1]2 + b2 u2 . 2 2 1 1 1 , b = 2, (5.46) cos2 [2( + C3 )] = (Z2 - sin )Z1 2. (Z2 - sin )2 + Z1

= Z2 - sin Z1

= 1 , 1/2. , . 5.2.2. (5.25)--(5.27) , , . , (4.1) (4.2) , . : , .


198

. . , . .

5.3. ,
'' (., , [194]). , . (. [194]). , - , , , . , . , () . , . (. [157]), , , , [194]. , ( ). , , . 5.3.1. m () (. [194]). S ( N ), . : v = |v| -- D ,




199

-- , -- , . S v , S = s1 v 2 , s1 ( ). : yN = DN s1 = s sgn cos . s , yN -- (, ), = , v -- . , -- v , , -- , ( ) , . yN (, ) s(), . , yN . ( ), yN : yN = y (), . '' . , , . yN , s . yN : yN (, ) = y
N

,

v

= y () - H

, v

H > 0 . I = F ()v 2 - Hs()v, F () = y ()s(),

, ,


200 v = v (, ), = =- - B I

. . , . .

(5.47)

s() sin + h s()cos , + 2 sin + F ()cos + I m I s() 1 3 F ()+ cos - F ()sin + cos - I I m h cos - h 2 s()sin , I

(5.48)

s() F ()sin - cos + h s()sin . I m I (5.48) (5.47), (5.48) S1 { mod 2 }× R1 { }. (, ) = - 2 cos + 5.3.2. '' (5.47), (5.48) F (), s(), , , . '' , F (), s(). . . , y (), s() [165]: y () = y0 () = A sin , s() = s0 () = B cos , A > 0, B > 0. (5.49) (5.50)

{y }, {s}, {F }. (5.49), (5.50) , , , 2 - (y () , s() ), : y () > 0, ( {y }), , s() < 0, , , s(0) > 0, s (0) < 0 2 2 ( {s}). y , s + . , , s() > 0, 0, y {y } = Y, s {s} = . (0, ), y (0) > 0, y ( ) < 0

, F -- - , , F (0) > 0, F <0 F () > 0, 0, 2 2




201

( {F }). , , F {F } = . , F () = F0 () = AB sin cos (5.51)

(. [165]). [194] : () ? : y s , 0 < (t) < < 2

t = t1 ? yN s [194], ( yN s (H = 0)) y () s() (0 < < /2) - () . , , , '' . , . , , . , -, , , . . -, (5.47), (5.48) , , . , , , .


202

. . , . .

5.3.3. (5.48) : (0, 0), ,0 , 2 1 , , 2 (, 0), 3 2 - 2 ,0 , , -1 . (5.52) (5.53) (5.54)

, (5.53) , (5.54) -- . (5.47), (5.48) : ÷1 = 2 B Bh , ÷2 = n0 , ÷3 = , mn0 In0 n2 = 0 AB , B = s(0), AB = F (0). (5.55) I

: = (, ) R2 : - << , 2 2 = (, ) R2 : 3 << 2 2 .

5.3.1. (5.48) J , : 1) , (5.52)--(5.54), (5.48) ; 2) (5.48) ; 3) (0, 0) (5.55) . J: J1 = {(÷1 ,÷2 ,÷3 ) R3 : 0 < ÷3 - ÷2 < 2}. (5.48): (5.56) J J1 . . (5.56) (5.52): 1) (, 0) ;




203

2) (0, 0) , ÷1 > ÷3 - ÷2 , ÷3 - ÷2 , ÷1 = ÷3 - ÷2 , , ÷1 . , (5.48), (5.56) [166]. . -- : ) (/2, 0) ; ) (-/2, 0) ; ) (/2, 0) . , , . 5.3.2. )--) , . . . , , ) ). 5.3.3. k1 ) , r Q: r = 1 1 + m, r = + m, m N0 . 4 2

, k1 = r, ) - 1 2r, , r = 1/4+ m, (2r - 0, +), r = 1/2+ m. 5.3.4. k2 ) j , {j N : j = 1, 2, 3, 4, 5}. , k2 = j , ) - (0, 0) (j = 1); (/2, 0) (j = 2); (, 0) (j = 3); (-0, -) (j = 4); (-, 0) (j = 5).


204

. . , . .

, , ) k1 k2 , . . ) ) . . k1 , k2 , 5.3.4. 5.3.5. k = (k1 ,k2 ) (, ) ) ). , 5.3.3 5.3.4 , , , . 5.3.5 : , , , . ( k (1/4, 2) , (1/4, 4) , (1/4, 5), (1/2, 3) , (1/4, 5) , (1/4, 3) , (1/4, 3), (1/4, 4)) . 1--8 . , .

. 1. (k1 ,k2 ) = (1/4, 2)






205

. 2. (k1 ,k2 ) = (1/4, 4)



. 3. (k1 ,k2 ) = (1/4, 5)

. 4. (k1 ,k2 ) = (1/2, 3)




206

. . , . .

. 5. (k1 ,k2 ) = (1/4, 5)



. 6. (k1 ,k2 ) = (1/4, 3)



. 7. (k1 ,k2 ) = (1/4, 3)




207

. 8. (k1 ,k2 ) = (1/4, 4)

(5.48) (5.49), (5.50) ( (5.51)) , , . , [171], , . , ( k1 , k2 ), '' . , .

6.
, , , , .

6.1.
, . . '' (


208

. . , . .

, ) . , , , . , , - () . [122] , , ( , ) . , , () . [174] () , . , , () . , . .

6.2.
m , . , , : Dx1 x2 x3 x4 diag{I1 ,I2 ,I2 ,I2 } diag{I1 ,I1 ,I3 ,I3 }. (6.2) (6.1)

Dx1 x2 Dx3 x4 -- .




209

6.3. so(4)
, N S D -- : DN = R() ( ). (6.1) vD D Dx1 . (6.2) . () S S = s() sgn cos ž v 2 , |vD | = v,

s -- , , [194]. R S , , ( . . ): R = R() = A sin , S = Sv () = Bv 2 cos , A, B > 0. -- , so(4), , so(4), [191, 194] + +[, + ] = M, (6.3) = diag{1 ,2 ,3 ,4 }, -I1 + I2 + I3 + I4 I1 - I2 + I3 + I4 1 = , 2 = , 2 2 I1 + I2 - I3 + I4 I1 + I2 + I3 - I4 3 = , 4 = , 2 2 M -- , R4 , so(4), [ , ] -- so(4). so(4) 0 -6 5 -3 6 0 -4 2 , -5 4 0 -1 3 -2 1 0 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 -- so(4). , , i - j = Ij - Ii i, j = 1,..., 4.


210

. . , . .

R4 × R4 so(4), R4 so(4).

6.4. R

4

, ' ' , . , , . C , mwC = F, (6.4) ( ) : wC = wD +2 DC + E DC, wD = vD +vD , E = , F -- , ( F = S), E -- .

6.5.
. , Dx1 ( (6.1)) Dx1 x2 ( (6.2)) T, C . , (. [194]).

6.6. (6.1)
, T, , v = const. (6.5) (6.5) . (0,x2N ,x3N ,x4N ) -- N Dx1 x2 x3 x4 , {-S, 0, 0, 0} -- , 0 -S x2N 0 x3N 0 x4N 0 ,




211

so(4) : {0, 0,x4N S, 0, -x3N S, x2N S } R6 M so(4). = , (v, , 1 ,2 ) -- R4 , x2
N

= R()cos 1 ,

x3

N

= R()sin 1 cos 2 ,

x4

N

= R()sin 1 sin 2 .

(6.3) (4 + 3 ) 1 +(3 - 4 )(3 5 + 2 4 ) = 0, (2 + 4 ) 2 +(2 - 4 )(3 6 - 1 4 ) = 0, (4 + 1 ) 3 +(4 - 1 )(2 6 + 1 5 ) = x4N , (3 + 2 ) 4 +(2 - 3 )(5 6 + 1 2 ) = 0, (1 + 3 ) 5 +(3 - 1 )(4 6 - 1 3 ) = -x3N S, (1 + 2 ) 6 +(1 - 2 )(4 5 + 2 3 ) = x2N S. , (6.1) (6.6) : 0 0 0 (6.7) 1 = 1 , 2 = 2 , 4 = 4 . :
0 0 0 1 = 2 = 4 = 0.

(6.6)

so(4) ( n2 = AB /2I2 ): 0 3 = n2 v 2 sin cos sin 1 sin 2 , 0 5 = -n2 v 2 sin cos sin 1 cos 2 , 0 6 = n2 v 2 sin cos cos 1 . 0 z1 = 3 cos 2 + 5 sin 2 , z2 = -3 sin 2 cos 1 + 5 cos 2 cos 1 + 6 sin 1 , z3 = 3 sin 2 sin 1 - 5 cos 2 sin 1 + 6 cos 1 , '' T S3 ( (6.5) (6.7), ) ( = DC ): = -z3 + n2 v sin , 0
2 2 z3 = n2 v 2 sin cos - (z1 + z2 )ctg , 0 2 z2 = z2 z3 ctg + z1 ctg ctg 1 , z1 = z1 z3 ctg - z1 z2 ctg ctg 1 ,

(6.8)


212

. . , . .

1 = z2 ctg , 2 = -z1 ctg csc 1

(6.9)

(6.8), (6.9) (6.8). , , . z1 ,z2 z =
2 2 z1 + z2 ,

z =

z z

2 1

(6.8), (6.9) : = -z3 + n2 v sin , 0 z3 = n2 v 2 sin cos - z 2 ctg , 0 z = zz3 ctg , z = 1 =
2 1+ z z ctg ctg 1 , zz cos csc 1 , 2 1+ z

(6.10)

(6.11) (6.12)

2 = -z1 (z, z )ctg csc 1 .

, (6.8) : (6.10) (6.11) (, ) . , (6.10)--(6.12) (6.10): -- (6.11) , '' (6.12). , (6.10) T S2 . (6.10) [187]. :
2 z 2 + z3 - n2 vz3 sin + n2 v 2 sin2 0 0 = C1 = const, z sin z3 z , , sin = C2 = const. G sin sin

(6.11)
2 1+ z = C3 = const. sin 1

+ cos 1
2 C3 - 1

= sin{C3 (2 + C4 )},

C4 = const.




213

, sin sin 1 , , (v, , 1 ,2 ) , sin = 0 sin 1 = 0 () .

6.7. (6.2)
() S = {S1 ,S2 , 0, 0} N = (0, 0,x3N ,x4N ) Dx1 x2 x3 x4 : S1 = S sin , S2 = -S cos , = const, x3N = R cos 1 , x4N = R sin 1 ( -- , Dx1 x2 , 1 -- , Dx3 x4 ). , 0 S1 0 S2 x3N 0 x4N 0 .

CD Dx1 x2 DC : DC = { sin , - cos , 0, 0}, vD D v
D

= {v cos sin 2 , v cos cos 2 , v sin cos 1 , v sin sin 1 },

|vD | = v,

2 -- , Dx1 x2 . , (6.3): (4 + 3 ) 1 +(3 - 4 )(3 5 + 2 4 ) = 0, (2 + 4 ) 2 +(2 - 4 )(3 6 - 1 4 ) = x4N S2 , (4 + 1 ) 3 +(4 - 1 )(2 6 + 1 5 ) = -x4N S1 , (3 + 2 ) 4 +(2 - 3 )(5 6 + 1 2 ) = -x3N S2 , (1 + 3 ) 5 +(3 - 1 )(4 6 - 1 3 ) = x3N S1 , (1 + 2 ) 6 +(1 - 2 )(4 5 + 2 3 ) = 0, {0, x4N S2 , -x4N S1 , -x3N S2 , x3N S1 , 0} R6 M so(4) -- = (6.13)

. , (6.13) : 0 0 1 = 1 = const, 6 = 6 = const. (6.14)


214

. . , . .

(6.14):
0 0 1 = 6 = 0.

so(4) 2 = -n2 v 2 sin cos sin 1 cos , 0 3 = -n2 v 2 sin cos sin 1 sin , 0 4 = n2 v 2 sin cos cos 1 cos , 0 5 = n2 v 2 sin cos cos 1 sin , 0 n2 = AB /(I1 + I3 ). 0 - , T, , ( ) v = const, 2 = const. (6.15)

, (6.4) . , S + T, , (6.15), . . , , (6.4) , , , (6.15). 5 sin cos 1 - 3 sin sin 1 -4 sin cos 1 + 2 sin sin 1 vD = v -5 cos sin 2 + 4 cos cos 2 , 3 cos sin 2 - 2 cos cos 2 0 0 E DC = - 5 sin - 4 cos , 3 sin + 2 cos 2 2 -5 sin - 4 5 cos - 3 sin - 2 3 cos 2 2 4 5 sin + 4 cos + 2 3 sin + 2 cos , 2 DC = 0 0 (6.4) v cos cos 1 - v 1 sin sin 1 - - 5 v cos sin 2 + 4 v cos cos 2 - 5 sin - 4 cos = 0, (6.16)




215

v cos sin 1 + v 1 sin cos 1 + + 3 v cos sin 2 - 2 v cos cos 2 + 3 sin + 2 cos = 0. (6.17) (6.16), (6.17) so(4) . z1 = 3 cos 1 + 5 sin 1 , z3 = 2 cos 1 + 4 sin 1 , w1 = -z1 sin 2 + z3 cos 2 , w3 = z2 sin 2 - z4 cos 2 , = -w3 + n2 v sin , 0 1 = w1 ctg , w1 = w3 w1 ctg , w2 = -w4 w1 ctg ,
2 w3 = -n2 v 2 sin cos (sin sin 2 - cos cos 2 ) - w1 ctg , 0

z2 = 3 sin 1 - 5 cos 1 , z4 = 2 sin 1 - 4 cos 1 , w2 = z3 sin 2 + z1 cos 2 , w4 = z4 sin 2 + z2 cos 2



(6.18)

w4 = -n2 v 2 sin cos (cos sin 2 +sin cos 2 )+ w1 w2 ctg . 0 , (6.18) = -w3 + n2 v sin , 0
2 w3 = n2 v 2 sin cos cos( + 2 ) - w1 ctg , 0 w1 = w3 w1 ctg ,

(6.19)

w4 = -n2 v 2 sin cos sin( + 2 )+ w1 w2 ctg , 0 w2 = -w4 w1 ctg 1 = w1 ctg . (6.20) (6.21)

, (6.19), (6.21) , , : 1 (w1 ,w3 , sin ) =
2 2 w1 + w3 - n2 vw3 sin + n2 v 2 cos( + 2 )sin2 0 0 = C1 = const, w1 sin 2 (w1 ,w3 , sin ) = C2 = const, 3 (w1 ,w3 , sin , 1 ) = C3 = const.

=

(6.22) (6.23) (6.24)

( ,


216

. . , . .

), . , (6.22)--(6.24). w = w3 sin( + 2 )+ w4 cos( + 2 ), w = w1 sin( + 2 ) - w2 cos( + 2 )

(6.20) dw = -w , d1 dw = w , d1


2 2 w + w = C4 = const.

, ( , ) .

7.
, M 0 ( -- ., , . . [32--34], . . , . . ( )). so(4) × R4 . so(n) × Rn n- ( ). . . .


[1] . ., . ., . . . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 34. [2] . ., . . // . . -. . 1, , . -- 2005. -- 3. -- . 53--55.




217

[3] . ., . . . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 46--51. [4] . ., . . . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 71--86. [5] . . . -- .: - , 1956. [6] . ., . . // . -- 1937. -- . 6. [7] . ., . . // . -- 1938. -- . 21, . 9. [8] . ., . . // . . -- 1956. -- . 40, . 2. [9] . ., . . -- // . . -- 1959. -- . 48, . 3. [10] . ., . . // . . -- 1965. -- . 68, . 3. [11] . ., . . // . . -- 1970. -- . 6, 12. [12] . ., . ., . ., . . . -- .: , 1966. [13] . ., . ., . ., . . . -- .: , 1967. [14] . ., . . // . -- 1937. -- . 14, 5. -- . 247--250. [15] . . // . . . 90. -- .: , 1967. [16] . ., . . // . . -- 1986. -- . 41, . 1. [17] . . , // . . -- 1967. -- . 1, 1. -- . 1--14. [18] . . // . . -- 1969. -- . 24, 3. -- . 225--226. [19] . . . -- .: , 1989. [20] . ., . . // . . . . . . . -- 1985. -- . 4. -- . 5--139. [21] . ., . ., . . // . . . . . . . -- 1985. -- . 3. [22] . . // . . -- 1955. -- . 10, . 4.


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. . , . .

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219

[45] . . , // . . . . . -- 1980. -- 7. -- . 77--79. [46] . ., . . -- , // . -- . 238, 5. -- . 1032--1035. [47] . . -- .: , 1982. [48] . ., . ., . . : , , . . . . ' ' // . . . -- 2001. -- . 7, . 1. -- . 301. [49] . ., . ., . . . . . . ' ' // . . . -- 2001. -- . 7, . 1. -- . 305. [50] . ., . ., . . : , , . . . . ' ' // . . . . . . .--2007.--. 23.--. 16. [51] . ., . ., . . . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 19. [52] . ., . . Rn // . . -- 2001. -- . 380, 1. -- . 47--50. [53] . ., . . Rn . . . . ' ' // . . . -- 2001. -- . 7, . 1. -- . 315. [54] . ., . . Rn // . . -- 2002. -- . 383, 5. -- . 635--637. [55] . ., . . Rn // . . -. . 1, , . -- 2003. -- 5. -- . 37--41. [56] . ., . . // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 5--6. [57] . ., . . Rn . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 24--25. [58] . ., . . Rn . . . . ' ' // . . . . . . . -- 2007. -- . 23. -- . 30.


220

. . , . .

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221

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