Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qilab.phys.msu.ru/papers/jetp-123(4)-2003-reprint-ru.ps Дата изменения: Mon Feb 4 18:39:19 2008 Дата индексирования: Mon Oct 1 20:03:33 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: запрещенные спектральные линии

ЖЭТФ, 2003, том 123, вып. 4, стр. 116 c
2003
СПЕКТРОСКОПИЯ КОГЕРЕНТНЫХ ТЕМНЫХ РЕЗОНАНСОВ В
МНОГОУРОВНЕВЫХ АТОМАХ НА ПРИМЕРЕ ПАРОВ САМАРИЯ
Ю. В. Владимирова a , Б. А. Гришанин *a , В. Н. Задков **a ,
Н. Н. Колачевский b , А. В. Акимов b , Н. А. Кисилев b , С. И. Канорский b
a Международный лазерный центр Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова
119899, Москва, Россия
b Физический институт им. П. Н. Лебедева Российской академии наук
117924, Москва, Россия
Поступила в редакцию 30 августа 2002 г.
Предложена универсальная теория для расчета резонансов когерентного пленения населенности (КПН)
в многоуровневых атомах, позволяющая рассчитывать произвольные схемы многоуровневых атомов и
их возбуждения с учетом эффектов релаксации в них, приложенного магнитного поля и эффекта Доп-
лера. Результаты экспериментов по высокопрецизионной диодной спектроскопии когерентных темных
резонансов в парах самария систематически проанализированы с помощью данной теории. В отсут-
ствие магнитного поля модель самария основана на рассмотрении вырожденной -системы на активных
переходах 4f 6 6s 2 ( 7
F0 ) $ 4f 6 ( 7 F )6s6p( 3 P 0 ) 9 F 0
1 $ 4f 6 6s 2 ( 7
F1 ), которая с учетом четвертого уровня
4f 6 6s 2 ( 7 F2 ), играющего роль резервуара, становится открытой системой. Численное моделирование ре-
зонансов КПН показывает, что открытый характер системы уменьшает контраст резонансных кривых в
спектрах поглощения, не меняя ширины самих резонансов. Анализ системы выполнен также для случаев
наложения внешнего продольного и поперечного магнитного поля, для которых показана адекватность,
соответственно, 7- и 12-уровневых моделей атомных переходов.
PACS: 42.50.Hz, 42.50.Gy, 32.50.+d
1. ВВЕДЕНИЕ
Взаимодействие электромагнитного поля с ато
мом является одной из наиболее фундаментальных
проблем квантовой оптики. Известно, что много
уровневые атомы проявляют здесь существенно бо
лее широкий спектр эффектов, чем двухуровневые
атомы, за счет индуцированной полем когерентно
сти между атомными состояниями и квантовой ин
терференции. Трехуровневые системы, реализуемые
в -, - и V-конфигурациях, играют важную роль
для изучения этих эффектов, являясь промежуточ
ной по сложности системой между двухуровневыми
и многоуровневыми атомами. В них наблюдается це
лый ряд новых эффектов, из которых когерентное
пленение населенности (КПН) является одним из
* E-mail: grishan@comsim1.phys.msu.su
** E-mail: zadkov@comsim1.phys.msu.su
самых интригующих явлений, интенсивно исследо
вавшихся экспериментально и теоретически (см. об
зор [1] и ссылки в нем). Эффект КПН наиболее ярко
проявляется в трехуровневой системе с двумя близ
кими долгоживущими уровнями и третьим удален
ным от них уровнем (- или V-система), возбужден
ной двумя непрерывными лазерными полями, так
что удаленный уровень оптически ?связан? с дву
мя другими уровнями. Настройка возбуждающих
систему полей в резонанс с ее дипольными перехо
дами приводит к пленению населенности системы в
когерентной суперпозиции двух близкорасположен
ных уровней. В спектрах рамановского поглощения
этот эффект проявляется в виде очень узкого про
вала на фоне линии поглощения, а в спектрах резо
нансной флуоресценции он наблюдается как отсут
ствие эмиссии, что и дало название ?темный (или
КПН-) резонанс?.
Явление КПН в настоящее время широко исполь
1

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
зуется в различных приложениях, таких как магне
тометрия, метрология и др. [26]. Со времени перво
го наблюдения резонанса КПН в парах натрия [2]
большинство экспериментальных исследований ре
зонансов КПН было выполнено со щелочными ато
мами [1, 7], у которых в качестве нижних уровней
-системы использовались сверхтонкие компоненты
основного состояния с характерным расщеплением в
несколько ГГц. Большое время жизни когерентной
суперпозиции нижних состояний атомов щелочных
металлов делает возможным регистрацию контраст
ных и высокодобротных резонансов КПН благодаря
наличию прецизионных стабильных лазерных сис-
тем, перестраиваемых в области резонансного пере
хода и относительно простой фазовой привязки воз
буждающих световых полей. Так, в чистых парах
цезия зарегистрированы резонансы с шириной око
ло 10 кГц [7]. Дальнейшее уменьшение ширины ре
зонанса возможно при введении в ячейку инертного
буферного газа (Ne, He, Ar) при давлении несколько
кПа за счет увеличения времени нахождения атомов
в световом пучке при сохранении когерентности су
перпозиционного состояния нижних уровней, слабо
дефазируемых столкновениями с атомами буферно
го газа. В частности, для комбинации цезийнеон до
стигнута рекордно узкая ширина резонанса порядка
50 Гц [7].
Для атомов редкоземельных элементов специфи
ка КПН связана с тем, что характерное расстоя
ние между компонентами тонкой структуры, исполь
зуемыми в качестве нижних уровней -системы,
существенно превышает сверхтонкое расщепление
основного состояния щелочных атомов и составля
ет 10100 ТГц. При этом характерное время спон
танного распада этих уровней обусловлено магни
тодипольными переходами и составляет несколько
секунд, что не является препятствием для наблюде
ния сверхузких резонансов. Эти уровни также слабо
чувствительны к атомным столкновениям, посколь
ку они хорошо заэкранированы внешней замкнутой
оболочкой. С учетом этого атомы редкоземельных
элементов также являются перспективными для ис
пользования в метрологических приложениях, на
пример, для создания вторичного стандарта часто
ты (см., например, [8]). Одним из наиболее перспек
тивных для метрологических приложений является
атом самария, схема уровней которого существенно
проще, чем у атома цезия, особенно в приложенных
магнитных полях. Именно поэтому он и был нами
выбран в качестве ?пробного камня? для провер
ки разработанной нами общей теории КПН в мно
гоуровневых атомах.
Теоретически явление КПН подробно изучено в
рамках трехуровневой модели [1], позволяющей вы
полнить расчеты в аналитической форме. Для слу
чая многоуровневых систем эта простая модель, од
нако, значительно усложняется, в результате чего ее
аналитическое исследование в большинстве случаев
становится невозможным. В настоящей работе пред
ставлена общая теоретическая модель для численно
го анализа спектров КПН в атомах с произвольным
числом уровней и выполнено ее сравнение с экспери
ментальными данными для самария [9].
В разд. 2 представлен эффект КПН в рамках
трехуровневой модели -системы, которая является
простейшей моделью этого эффекта. Раздел 3 содер
жит описание общей математической техники расче
та стационарных состояний активных атомов и со
ответствующих населенностей уровней, коэффици
ентов поглощения и дисперсии приложенных полей
с точки зрения спектроскопии темных резонансов.
В разд. 4 рассматривается методика учета эффекта
Доплера при расчете поглощения среды. В разд. 6
приводится описание эксперимента по исследованию
КПН в парах атомов самария. Для атомов самария
полный учет зеемановской структуры уровней, за
действованных в процессе формирования резонан
сов КПН, требует использования 12-уровневой моде
ли, однако уже существенно более простая 4-уровне
вая система дает хорошее качественное соответствие
с экспериментальными данными. В разд. 5 дается об
щее описание этой модели и параметров, необходи
мых для проведения расчетов и их сравнения с экс
периментальными результатами. В разд. 7 излагают
ся результаты расчета поглощения для случаев от
сутствия магнитного поля и наложения продольного
и поперечного магнитных полей, а также выполня
ется сравнение полученных результатов с экспери
ментальными данными. В разд. 8 сформулированы
основные выводы. В Приложении рассматриваются
особенности резонансов КПН на фоне доплеровски
уширенной линии в продольном и поперечном маг
нитных полях.
2. ЭФФЕКТ КПН В -СИСТЕМЕ
В простейшей трехуровневой системе атомных
переходов в -конфигурации два нижних долгожи
вущих уровня j1i и j2i с частотным расщеплени
ем
связаны с верхним возбужденным энергетиче
ским уровнем j3i двумя световыми полями (рис. 1).
Если переход j1i $ j2i в дипольном приближе
нии запрещен и два поля E 1 exp( i!L1 t i' 1 ) и
2

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
|3#
|2#
|1#
J = 1
J = 1
#
#13
#23
#R
#L2# 23
#32 #23
#31 #13
#L1# 13
#21 #12
w12
#L
J = 0
Рис. 1. Схема трехуровневого атома в -конфигу-
рации, возбуждаемого двумя лазерными полями с
частотами !L1 и !L2
.
13
и
23  частоты Раби,
соответствующие полям накачки, ЖL  расстройка
резонанса на переходе j1i $ j3i, ЖR  рамановская
расстройка, 31 , 32  скорости радиационного рас-
пада возбужденного состояния на уровни j1i, j2i,
21 , w12  скорости распада и тепловой накачки
уровня j1i через уровень j2i, 13 , 23 , 12  ско-
рости дефазировки переходов j1i $ j3i, j2i $ j3i,
j1i $ j2i
E 2 exp( i!L2 t i' 2 ) находятся в резонансе с соот
ветствующими переходами j1i $ j3i, j2i $ j3i, то
в результате квантовой интерференции формирует
ся узкий резонанс КПН. Он проявляется в спектре
поглощения как резкий минимум, когда одно из дей
ствующих полей, например !L1 , сканируется, и ра
мановская расстройка Ж R = !L1 !L2
проходит
через соответствующее точному резонансу нулевое
значение.
Для более наглядного описания природы данно
го физического процесса атомную систему рассмат
ривают в различных базисах. В частности, вместо
основных состояний j1i и j2i удобно ввести их сим
метричную и антисимметричную линейные комби
нации ji:
j+i
=


R1 j1i
+

R2 j2i

eff
; ji
=
R2
j1i
R1
j2i
eff
;
где
Rk = d 3k E k =~ (k = 1; 2)  частоты Раби, опре
деляемые через соответствующие дипольные момен
ты d 3k =
eh3jrjki;
eff =
p
j
R1 j 2 +
j
R2 j 2
 эффективная частота Раби, а фазы состояний
j1i; j2i совпадают с фазами лазерных полей.
Матричный элемент электродипольного операто
ра взаимодействия, связывающий основное и воз
бужденное состояния, для состояния ji при нуле
вой рамановской расстройке обращается в нуль:
h3jV dip ji / 1 e iЖ R t

ЖR!0
! 0:
В этом состоянии, называемым темным, за счет ра
диационного распада оказывается сосредоточенной
подавляющая часть атомной населенности, вслед
ствие чего интенсивность флуоресценции почти пол
ностью подавляется. Данный процесс оптической
накачки в когерентное темное состояние называет
ся когерентным пленением населенностей. Когерент
ная природа КПН проявляется в зависимости темно
го состояния от фаз лазерных полей. Следователь
но, фазовые флуктуации действующих полей могут
уменьшать или даже разрушать КПН, и необходи
ма стабилизация относительной фазы лазерных по
лей. Другие процессы декогерентности и доплеров
ское уширение могут также вносить деструктивный
вклад в формирование КПН.
Экспериментально регистрируемая ширина ли
нии определяется стабильностью отстройки Ж R и
разности фаз
', а также доплеровским ушире
нием, время-пролетным уширением, штарковским
уширением (уширением световым полем и внешни
ми полями), уширением в неоднородных магнитных
полях и ударным уширением. В экспериментах с ще
лочными атомами удается с высокой точностью ста
билизировать
', например, модулируя лазер с час
тотой, соответствующей
. В случае использования
двух независимых диодных лазеров в режиме сво
бодной генерации можно рассчитывать на наблюде
ние резонансов КПН с шириной порядка несколь
ких МГц.
3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА
РАСЧЕТА ЭФФЕКТА КПН В
МНОГОУРОВНЕВЫХ СИСТЕМАХ
Описание динамики квантовых систем при на
личии релаксационных процессов требует модифи
кации динамических уравнений по сравнению с их
обычной формой, излагаемой в традиционных учеб
никах по квантовой механике и применимой только
3

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
к замкнутым системам без релаксации. Если дина
мика замкнутых систем задается оператором энер
гии, применяемым к волновым функциям, то в сис-
темах с релаксацией она может быть представле
на лишь преобразованиями, применяемыми к опера
торам матрицы плотности, или преобразованиями
динамических переменных, т. е. супероператорными
преобразованиями. Простейшие преобразования это
го типа возникают и в системах без релаксации при
их описании в терминах матриц плотности, в част
ности, при рассмотрении квантового уравнения Ли
увилля
@^
@t = L 0 ^
 =
i
~
[ ^
H ; ^
]:
Супероператорное преобразование представлено
здесь лиувиллианом L 0 , который с точностью до
мнимого сомножителя i=~ описывается комму
татором с гамильтонианом ^
H , примененным к
матрице плотности ^
.
Чтобы ввести соответствующие супероператоры
безотносительно к преобразуемым операторам, до
статочно ввести символ подстановки , обозначаю
щий место подстановки преобразуемого оператора,
в качестве которого в представлении Шредингера
выступает матрица плотности. Далее можно поль
зоваться правилами обращения с символическими
выражениями, вытекающими из общих определений
алгебры линейных операторов [10], которые вполне
очевидны. Например,
h
^
A 2 ; [ ^
A 1 ; ]
i
= ^
A 2 ( ^
A 1   ^
A 1 ) ( ^
A 1   ^
A 1 )A 2 =
= ^
A 2 ^
A 1  ^
A 1  ^
A 2 ^
A 2  ^
A 1 + ^
A 1 ^
A 2 :
В символическом представлении лиувиллиан за
мкнутой системы имеет вид
L 0 =
i
~
[ ^
H ; ]: (1)
Как и любые линейные операторы, после вве
дения линейного базиса на линейном простран
стве квантовых операторов супероператоры могут
быть представлены в виде соответствующих им мат
риц. Использование данной техники символическо
го представления супероператоров эффективно при
расчете систем любой размерности, особенно для
расчета многоуровневых систем. В частности, в си
лу большой размерности задач даже простое вы
писывание матриц, описывающих эволюционные су
пероператоры, становится технически сложной за
дачей. Однако при использовании символического
представления супероператоров, благодаря физиче
ски прозрачной форме записи, они могут быть сна
чала записаны в символической форме, после чего
их матричные элементы могут быть рассчитаны ли
бо аналитически, либо численно (в случае матриц
большой размерности) на компьютере. При этом тех
нические трудности их воспроизведения полностью
переносятся на автоматические компьютерные вы
числения, так что результаты этих вычислений мо
гут быть легко использованы для численного рас
чета рассматриваемых прикладных задач с исполь
зованием наиболее подходящего языка программи
рования. Нами для расчетов использовалась комби
нация пакета компьютерной алгебры Mathematica
(для аналитического задания супероператоров) и
языка программирования Фортран (для последую
щих численных расчетов спектров с использовани
ем рассчитанных матриц динамических суперопера
торов).
3.1. Расчет лиувиллиана N-уровневого атома
с использованием символического
представления
Лиувиллиан N-уровневого атома в лазерном по
ле в приближении вращающегося поля, так же как
и в двухуровневом случае, может быть представлен
в виде суммы вкладов
L t = L r + L e + L Ж + L i ; (2)
где L r  супероператор радиационного затухания,
L e  супероператор упругой дефазировки, L i  су
пероператор взаимодействия с лазерным полем и
L Ж  супероператор лазерной расстройки, допол
няющий выбранный супероператор невозмущенной
эволюции до супероператора свободной динамики
атома в нулевом лазерном поле. Последний включа
ет соответствующие расстройки всех действующих
лазерных полей с учетом того, что свободная пре
цессия с частотами этих полей включена в суперопе
ратор невозмущенной динамики.
Радиационное затухание представляется лиувил
лианом, скомбинированным из супероператора пе
рехода населенностей, представленного проектором
^
P lk  ^
P kl , и супероператора затухания поляризации,
представленного антикоммутатором
h
^
P kk ; 
i
+
:
L r =
X
kl
kl

^
P lk  ^
P kl
1
2
h
^
P kk ; 
i
+

; (3)
где двумерный массив kl описывает скорости спон
танного распада для k > l и скорости накачки для
k < l.
Упругая дефазировка представлена суперопера
тором L e , выражающимся через квадраты коммута
4

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
торов и определяемым конкретной моделью дефа
зировки. Для его конкретизации целесообразно вы
делить два различных типа дефазировки. В первом
случае рассматривается только внутренняя дефази
ровка в системе двух электронных состояний k и
l > k. Тогда в соответствии с микроскопической при
родой упругой дефазировки, обусловленной слабы
ми столкновениями [11, 12] как случайной модуляци
ей частоты перехода, она описывается соответствую
щим случайным супероператором частотного сдвига
(i=2)(t)
h
^
P kk ^
P ll

; 
i
, где (t)  флуктуацион
ное смещение частоты перехода. Результирующий
усредненный по флуктуациям случайной фазы ре
лаксационный супероператор имеет вид
L =
kl
in
4
[^n kl ; ] 2 ;
где ^ n kl = ^
P ll ^
P kk  оператор инверсии населен
ностей kl-подсистемы, kl
in  соответствующая ско
рость дефазировки. Этот тип чистой дефазировки
связан не только с дефазировкой самого kl-перехо-
да, но и вносит вклад в дефазировку всех переходов,
смежных с рассматриваемым. Тем не менее удобно
выделить дефазировку только выделенного kl-пере-
хода, используя разложение
[^n kl ; ] 2
= 4( ^
P kk  ^
P ll + ^
P ll  ^
P kk ) + [ ^
I kl ; ] 2 ;
где ^
I kl = ^
P ll + ^
P kk  оператор суммарной населенно
сти kl-подсистемы. Соответствующий вклад первого
члена,
L kl
in = kl
in ( ^
P kk  ^
P ll + ^
P ll  ^
P kk ); (4)
описывает чисто внутреннюю дефазировку без
влияния на смежные переходы. Если использовать
все независимые параметры kl
in , возможно пред
ставить дефазировку всех переходов, используя
только соотношение (4). Однако для простоты
отображения физической природы дефазировки
удобно ввести другой вклад, связанный с одинако
вой дефазировкой через k-й и l-й уровень любого
другого уровня в отсутствие воздействия на сам
kl-переход, т. е. ?внешнюю? дефазировку:
L kl
ex = kl
ex
h
^
I kl ; 
i 2
; (5)
где kl
ex  соответствующая скорость дефазировки.
Соответственно, полный супероператор упругой де
фазировки описывается суммой
L e =
X
k L kl
in + L kl
ex

: (6)
Супероператор лазерной расстройки зависит от
типа рассматриваемого резонанса и обычно может
быть записан в форме антисимметрического супер
оператора, представленного в виде коммутатора с
операторами населенностей
L Ж = i
X
k
Ж k

^
P kk   ^
P kk

; (7)
где Ж k  массив частотных расстроек.
Взаимодействие с лазерным полем может быть
представлено в форме антисимметрического комму
татора с операторами поляризации
L i =
i
2
X
k
kl
h
( ^
P kl + ^
P lk ); 
i
; (8)
где
kl  двумерный массив частот Раби kl-перехо-
дов.
После введения символического представления
полного эволюционного супероператора (2) и его
составляющих (3), (6)(8) могут быть рассчитаны
N 2 N 2 -матричные представления величин L t , L r ,
L e , L Ж , L i с использованием формулы
Lmn = (^e m ; L^e n ):
Здесь f^e k g  ортонормированный базис, а скобки
обозначают скалярное произведение двух операто
ров вида Tr( ^
A + ^
B), антилинейное по первому сомно
жителю и линейное по второму.
Базис f^e k g удобно взять эрмитовым и выра
зить через операторы ^
P kl -переходов, представлен
ные N  N-матрицами с единственным ненулевым
kl-элементом P kl (k; l) = 1. Удобно также предполо
жить, что нумерация уровней выбрана в соответ
ствии с возрастанием их энергий, E 1  E 2  : : : 
 EN . Тогда соответствующий базис строится сле
дующим образом:
^
e j(k;l) =
8 > > > > > > <
> > > > > > :
^
P kk ; k = l;
^
P kl + ^
P lk
p
2
; k < l;
i
^
P kl ^
P lk
p
2
; k > l;
(9)
где j(k; l)  нумерующий индекс, т. е. взаим
но-однозначное отображение двумерного множе
ства чисел kl (k; l = 1; N) в одномерный индекс
j = 1; N 2 . Он, в частности, может быть конкрети
зирован следующим, универсальным для любых N ,
образом:
j =
8 > <
> :
k; k = l;
(2k 1)N (k+1) 2 +k+2l; k < l;
(2l 1)N (l+1) 2 +l+2k+1; k > l;
5

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
что для N = 2; 3; 4 соответствует следующим матри
цам j N = (j N (k; l)):
j 2 =

1 3
4 2
!
; j 3 =
0
B @
1 4 6
5 2 8
7 9 3
1
C A ;
j 4 =
0
B B B B @
1 5 7 9
6 2 11 13
8 12 3 15
10 14 16 4
1
C C C C A :
Базис (9) является эрмитовым и ортонормирован по
отношению к описанному выше скалярному произ
ведению ( ^
A; ^
B), так что (^e m ; ^
e n ) = Ж mn для всех
m;n = 1; N 2 .
3.2. Расчет эффекта КПН в N-уровневом
атоме
Изложенная техника эффективна для аналити
ческих расчетов, связанных с решением как про
блемы стационарного состояния, так и полной спек
тральной задачи для эволюционного супероперато
ра L t [13, 14].
Основные свойства эффекта КПН определяются
величиной поглощения приложенного поля, которое
для случая -резонанса описывается выражением
WL = ~ Im !L
g
^
 +
13

+! 0
L g
0
^
 +
23



 ~ (!L + ! 0
L 0 ) n 3 : (10)
Здесь
^  +
13

,
^  +
23
 описывают усредненные положи
тельно-частотные операторы комплексных ампли
туд переходов, соответственно, 13 и 23, !L и
! 0
L  частоты полей бигармонической накачки, g и
g 0  соответствующие частоты Раби, и 0  со
ответствующие скорости радиационного затухания.
Для расчета стационарных средних
значений
^
 +
13
 ,

^  +
23
 или n 3 требуется рассчитать соответствующее
векторное представление h0j стационарной матрицы
плотности ^
 st , разрешив уравнение h0j L t = 0.
В рассматриваемом базисе с ^ e 1 = ^
P 11 , ^
e 2 = ^
P 22 ,
^ e 3 = ^
P 33 первые три элемента вектора h0j описывают
населенности и должны быть соответственно норми
рованы, так что бра-вектор стационарной матрицы
плотности h0j следует использовать в нормирован
ной форме
h0j ! h0j
h0j 1 + h0j 2 + h0j 3
;
автоматически обеспечивающим и правильный знак
рассчитываемых величин. Средние значения насе
ленностей при этом совпадают с соответствующи
ми компонентами: h^n k i = h0j k ; k = 1; 3; а комплекс
ные амплитуды переходов выражаются через соот
ветствующие компоненты с k > 3:

^  +
13

=
h0j 6 +i h0j 7
p
2
;
^  +
23

=
h0j 8 +i h0j 9
p
2
;

^  +
12

=
h0j 4 +i h0j 5
p
2
:
Приведенные соотношения позволяют выразить по
глощение в аналитическом виде, удобном как для
численных расчетов, так и для качественного анали
за.
Для расчета населенностей уровней, коэффи
циентов поглощения и дисперсии в произвольной
N-уровневой системе была написана универсальная
программа на языке Фортран, пригодная для ис
пользования и при больших значениях N > 10.
Ее важной особенностью является использование
минимально необходимого числа входных парамет
ров, которое существенно меньше числа N 2 N 2 мат
ричных элементов лиувиллиана в рассматриваемом
обобщении лиувиллиана (1) за счет отсутствия необ
ходимости выписывания вручную всех элементов ди
намической матрицы L t , которая в соответствии с
формулами (2)(8) фактически содержит огромное
число нулевых вкладов.
4. УЧЕТ ЭФФЕКТА ДОПЛЕРА
Техника расчета, описанная в разд. 3, позволя
ет получить зависимости коэффициента поглоще
ния лазерного излучения для покоящегося атома в
зависимости от расстройки первого поля Ж L и рама
новской расстройки Ж R . В эксперименте с полем вза
имодействуют движущиеся атомы, поэтому на ко
эффициент поглощения среды оказывает влияние
эффект Доплера, приводящий в отсутствие упро
щений к необходимости выполнения расчетов сразу
для континуума расстроек. Его учет в настоящей ра
боте проводился следующим упрощенным образом,
качественно соответствующим рассмотрению из ра
боты [15], но без использования приближенной за
мены максвелловского распределения по скоростям
лоренцевским.
Частота лазерного поля, с которым взаимодей
ствует атом, движущийся в произвольном направле
нии, в соответствии с учетом эффекта Доплера пер
вого порядка дается формулой ! 1;2 = ! Lj + Ж Lj ; где
6

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
б
а
j3i
J = 2
j2i
J = 1
j1i
J = 0
J = 1
j4i


!23
!13
ЖR
43
!L2
;
24
42 ; 24
!L1
;
14
41 ; 14
ЖL
21 ; 12 ; w12
32 ; 23 ; w23
J = 1
J = 1
J = 2
J = 0
672 нм
686 нм
293 см 1
4f 6 6s 2
4f 6 6s6p
Рис. 2. Диаграмма энергетических уровней атома самария (а) и параметры, используемые в расчетах (б ). Парамет-
ры такие же, как на рис. 1
Ж Lj = ! Lj vn =c; j = 1; 2  расстройки компонент би
гармонического лазерного поля, v n  проекция ско
рости движущегося атома на вектор n распростра
нения пучков лазерного поля.
Число частиц газа при температуре T , движу
щихся со скоростью v k , определяется максвеллов
ским распределением по частотам [11]:
dN
dЖL =
N
p
 exp
"  Ж L

!D
 2
#
dЖL

!D
;
!D =
!L1 v 0
c
:
где
Ж L = ! !L1 ; v 0 =
r
2kT
m
:
При этом рамановская расстройка Ж R = !L2
!L1
при сонаправленном распространении ла
зерных пучков приближенно считается постоянной
для частиц, движущихся с разными скоростями. По
этому зависимость коэффициента поглощения поля
!L1 от рамановской расстройки при сканировании
поля !L2 имеет вид
KD (Ж R ) =
Z
K(ЖL ; Ж R )
dN
dЖL dЖL ; (11)
где K(ЖL ; Ж R )  коэффициент поглощения покояще
гося атома.
5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕГИСТРАЦИЯ
РЕЗОНАНСОВ КПН В ПАРАХ САМАРИЯ
Как уже отмечалось в разд. 1, самарий явля
ется перспективным кандидатом для изучения воз
можностей метрологических применений резонан
сов КПН в парах редкоземельных атомов метода
ми нелинейной спектроскопии высокого разреше
ния. Диаграмма энергетических уровней атома са
мария приведена на рис. 2. В эксперименте проводи
лось изучение поглощения паров самария в области
линий переходов
4f 6 6s 2 ( 7 F 0 ) $ 4f 6 ( 7 F )6s6p( 3 P 0 ) 9 F 0
1 $
$ 4f 6 6s 2 ( 7 F 1 ); (12)
образующих -систему.
Схема экспериментальной установки представле
на на рис. 3. В качестве источников излучения ис
пользовались два полупроводниковых лазера (1, 2 )
с внешними резонаторами, настроенные на резонанс
ные длины волн 672 и 686 нм. Лазеры собраны по
схеме Литтрова с коллимирующим асферическим
объективом и голографической дифракционной ре
шеткой 1800 линий/мм. Диапазон свободной пере
стройки лазеров составляет около 5 ГГц. В одночас-
тотном режиме лазер на частоте 672 нм излучает
2.5 мВт, а лазер на частоте 686 нм  около 12 мВт.
Спектры интересующих нас переходов в самарии
подробно исследованы в работе [16] методами суб
доплеровcкой спектроскопии насыщенного поглоще
ния. В указанной работе определены относительные
изотопические сдвиги и сверхтонкое расщепление
уровней с точностью 12 МГц. Установлено, что ли
нии изотопа 154 Sm (22.75 %) смещены относительно
спектральных линий остальных изотопов ( 144 Sm 
3.07 %, 147 Sm  14.99 %, 148 Sm  11.24 %, 149 Sm 
13.82 %, 150 Sm  7.38 %, 152 Sm  26.75 %) на 1 ГГц
в красную область спектра, что позволяет осуще
ствлять надежную привязку к переходам в этом изо
топе. Однако присутствие других изотопов слегка
изменяет крылья линии рабочего перехода.
7

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
Lock
box
Lock-in
672
686
12
17
2
3
4
5
6 7
8
9
10
11
13
14
15
16
1
18
19 20
21
22
Рис. 3. Экспериментальная установка для спектро-
скопии темных резонансов в парах самария. 1 и
2  полупроводниковые лазеры с частотой 672 и
686 нм соответственно, 3 и 5  светоделительные
кубики, 4  модулятор на частоте 600 Гц, 6  по-
ляризационный кубик, 7  кювета с парами сама-
рия, 8  коаксиальный нагреватель, 9  кольца
Гемгольца, 10, 11  оптические изоляторы, 12 
конфокальный интерферометр с областью свобод-
ной дисперсии 74:35  0:01 МГц, 13  конфокаль-
ный интерферометр с областью свободной диспер-
сии 149:8  0:1 МГц, 14  спектроанализатор, 15 
решетка с 2400 штрихов/мм, 1618  фотодиоды,
19  генератор, 20  синхронный детектор, 21  за-
поминающий осциллограф, 22  электронный блок
привязки лазера на частоте 672 нм к пику пропус-
кания интерферометра (12 )
Пары Sm создаются в кювете из нержавеющей
стали (7 ) длиной 50 см со стеклянными окошками на
торцах. Кювета снабжена системой откачки и систе
мой напуска буферного газа. Несколько грамм Sm
помещается в центр кюветы. Нагрев кюветы прово
дится в центральной части размером 15 см с помо
щью коаксиального нагревателя (8 ) ( 500 Вт), пи
таемого постоянным током. Остаточное магнитное
поле в кювете составляет доли эрстеда. Кювета по
мещена внутрь двух пар колец Гельмгольца (9 ) диа
метром 30 см, позволяющих создавать в централь
ной части кюветы продольное и поперечное магнит
ные поля до 40 Э. Для получения заметного погло
щения кювета нагревалась до температуры около
1000 K [9]. Концентрация паров при этой темпера
туре составляла около 10 11 10 12 см 3 .
Лазер на частоте 672 нм настроен на центр
перехода 4f 6 6s 2 ( 7 F 0 ) $ 4f 6 6s6p( 9 F 0
1 ) в 154 Sm и
привязан к пику пропускания стабилизированно
го метрового конфокального интерферометра (12 )
с высокой долговременной стабильностью (около
5 МГц/час). При этом ширина спектра генера
ции лазера составляет менее 0.5 МГц. Лазер на
686 нм медленно перестраивается в области пере
хода 4f 6 6s 2 ( 7 F 1 ) $ 4f 6 6s6p( 9 F 0
1 ) так, чтобы прой
ти точку Ж R = 0. Изменение частоты генерации
лазера контролируется с помощью 0.5-метрового
конфокального интерферометра (13 ) с добротно
стью около 20 и областью свободной дисперсии
149:8 + 0:1 МГц. Модовый состав излучения лазе
ров контролируется с помощью спектроанализатора
(14 ) с добротностью 50 и областью свободной дис
персии 8 ГГц. Все интерферометры оптически изо
лированы от лазеров для предотвращения возникно
вения обратной связи. Линейно поляризованное из
лучение лазеров сводится на поляризационном ку
бике (6 ) в один пучок (с точностью 10 3 рад) и на
правляется в кювету с парами самария. При этом
плоскости поляризации пучков ортогональны. На
входе в кювету плотность мощности излучения лазе
ра на 672 нм составляет 0.1 мВт/мм 2 , а для лазера
на 686 нм  0.2 мВт/мм 2 . После выхода из кюве
ты пучки разделяются с помощью голографической
дифракционной решетки 2400 линий/мм (15 ) и по
ступают в систему регистрации (16, 20, 21 ).
Поскольку КПН связано с взаимодействием
атомной системы с бихроматичеким световым
полем, в эксперименте регистрировалась только
добавка к поглощению лазерного излучения на
длине волны 672 нм, связанная с наличием второго
лазерного поля. Для этого перед входом в кювету
пучок лазера на 686 нм модулировался с помощью
жидкокристаллического модулятора (4) с частотой
fm = 600 Гц, а регистрировался сигнал на той же
частоте модуляции в канале лазера на 672 нм. На
личие широких крыльев избыточного поглощения
обусловлено влиянием столкновений с буферным
газом [17]. Спектры наведенного поглощения ре
гистрировались как при нулевом магнитном поле,
так и при наложении продольного или поперечного
магнитного поля. В экспериментах во внешнем
поперечном магнитном поле его направление выби
ралось вдоль направления поляризации лазера на
длине волны 672 нм.
6. КПН В РАМКАХ ЧЕТЫРЕХУРОВНЕВОЙ
МОДЕЛИ
В обсуждаемом эксперименте в парах самария
помимо активных уровней, образующих -систему,
в процесс формирования резонансов КПН вовле
8

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
чен уровень 4f 6 6s 2 (J = 2), хотя и не участвую
щий напрямую в возбуждении верхнего уровня, но
поглощающий часть населенности за счет радиа-
ционного распада (рис. 2а). Кроме того, заселение
уровня J = 2 идет через процессы некогерентной
накачки со стороны нижних уровней, образующих
-систему. Уровень J = 2, таким образом, для про
цессов формирования КПН в выделенной -системе
играет роль резервуара, и его наличие превраща
ет -систему в открытую. В отсутствие магнитно
го поля данная четырехуровневая модель учитыва
ет все основные механизмы, определяющие эффек
ты КПН.
Характеристики атома самария и параметры экс
перимента, необходимые для сравнения с экспери
ментальными данными, суммированы в табл. 1, 2, 3.
В табл. 1 приведены силы осцилляторов интересую
щих нас переходов, в табл. 2  энергии и g-факторы
нижних метастабильных уровней с J = 0; 1; 2 и верх
него уровня -системы. Для метастабильных уров
ней также приведены их относительные населенно
сти при T = 600 Ж С (см. [16]).
Дипольный момент d, частоты
Раби
и скорости
распадов рассчитываются по формулам
jd JJ 0 j 2 =
3~e 2
2m
(2J + 1)jf JJ 0 j
! JJ 0
;

JJ 0 =
d JJ 0 E
~
; JJ 0 =
4d 2
JJ 0
! 3
3~c 3
;
где m и e  масса и заряд электрона, c  ско
рость света, ! JJ 0
 частота перехода, jf JJ 0 j 
сила осциллятора перехода J ! J 0 . Напряжен
ности электрического поля рассчитываются по
формуле E =
p
2W=c" 0 и принимают значения
EL1  270 В/м и EL2  390 В/м при плотно
стях мощности излучения лазеров на входе в
кювету, соответственно, WL1 = 0:1 мВт/мм 2 и
WL2 = 0:2 мВт/мм 2 [9]. Данные расчета представле
ны в табл. 3.
Напряженность магнитного поля составляла
15 Э в случае продольного магнитного поля и
29 Э  в случае поперечного. При этом для
продольного магнитного поля зеемановское расщеп
ление, рассчитанное по формуле
= egH=2mc,
составляло
0 = 1:98
10 8 с 1 для уровня 6s6p и

00 = 4:09
10 8 с 1 для уровня 6s 2 . Для поперечного
магнитного поля
0 = 2:50
10 8 с 1 для уровня 6s6p
и
00 = 5:17
10 8 с 1 для уровня 6s 2 .
7. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ
СПЕКТРОВ КПН В ПАРАХ САМАРИЯ
В результате расчета, основанного на описанной
в разд. 3 технике, нами получены коэффициенты
поглощения покоящегося атома самария в рамках
трех- и четырехуровневой моделей (соответственно,
рис. 4а и 4б ). Анализ приведенных зависимостей по
казывает, что введение четвертого уровня J = 2 в
трехуровневую модель практически не меняет ши
рину резонанса, в то время как полное поглощение
четырехуровневой системы по величине значитель
но меньше, чем в случае трехуровневой. Это проис
ходит за счет захвата населенности на уровне J = 2
через соответствующий канал радиационного распа
да.
7.1. Модификация спектров в магнитном
поле
При наложении магнитного поля рассмотренная
выше трехуровневая система атома самария превра
щается в семиуровневую за счет расщепления уров
ней с J = 1. Уровень j3i расщепляется на три компо
ненты (рис. 5), в связи с чем существуют три пере
хода на уровень j1i, разрешенные правилами отбора
для радиационных переходов, и вероятность каждо
го из них составляет 1/3 полной вероятности перехо
да j3i $ j1i. Аналогично, уровень j2i также расщеп
ляется на три компоненты, и на переходе j3i $ j2i,
согласно правилам отбора, образуются шесть пере
ходов, вероятность каждого из которых составля
ет, соответственно, 1/6 полной вероятности перехода
j3i $ j2i.
Дополнительным каналом распада в многоуров
невых системах по сравнению с трехуровневой систе
мой является столкновительная деполяризация [18].
Деполяризация атома при столкновении с другим
атомом связана с переходами между состояниями с
разными проекциями атома на выделенное направ
ление. При наложении магнитного поля столкнове
ния будут вызывать переходы между зеемановски
ми подуровнями с различными значениями проек
ции магнитного момента для каждого мультиплета
jmi  jm  1i. При столкновениях с изменением
проекции момента разрушается когерентность меж
ду нижними уровнями -системы, что влияет на
величину резонанса КПН. Для проведения теоре
тических расчетов использовались численные дан
ные, приведенные в разд. 6. В расчетах этот процесс
учитывался введением константы деполяризации G
между уровнями каждого мультиплета, которая рас
9

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
#12 , #23 = 0
#12 , #23 = 10 -2
#12 , #23 = 10 -1
#12 , #23 = 1
#12 , #23 = 2
#
#12 = 2
#12 = 5
#12 = 10
#12 = 0
#12 = 0.01
#12 = 0.1
#12 = 1
#
-75 -50 -25 0 25 50 75
#R , ###
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
##########
0.3
0.1
0.2
0
-75 -50 -25 0 25 50 75
#R , ###
##########
Рис. 4. Коэффициенты поглощения пробного поля в трехуровневой (а) и четырехуровневой (б ) системах как функ-
ции рамановской расстройки ЖR при ЖL = 0 и различных скоростях дефазировки (с 1 ). Соответствующие схемы
уровней приведены на рис. 1, 2
J = 0
|1#
|2#
|7#
|6#
|5# #m2 = +1, -1
# ##
J = 1
# # |3#
|4#
#m1 = 0
J = 1 #
#
J = 0
|1#
|2#
|4#
|3#
|7#
|6#
|5#
J = 1
#m2 = +1, -1
# ##
#m1 = +1, -1
J = 1
# #
Рис. 5. Схема -системы атома самария при наложении: a  продольного магнитного поля для линейных ор-
тогональных поляризаций лазерных пучков, б  поперечного магнитного поля; правила отбора для первого поля
!L1 
m1 = 1 (а), 0 (б), для второго поля !L2 
m2 = 1.
0 и
00  величины зеемановского расщепления,
соответственно, нижнего и верхнего уровней с J 6= 0
сматривалась нами как подгоночный параметр, из
меняемый в диапазоне G = 080 41 .
При дальнейшем рассмотрении мы будем разли
чать две конфигурации приложенного магнитного
поля  продольную и поперечную.
7.2. Случай продольного магнитного поля
Схема уровней для продольной конфигурации
полей приведена на рис. 5a. Для линейно поляризо
ванных полей, согласно правилам отбора, в рассмат
риваемой системе разрешены шесть переходов, так
как E 1 ?H (
m 1 = 1) и E 2 ?H (
m 2 = 1). Пере
ходы j1i $ j5i и j3i $ j5i, j1i $ j7i и j3i $ j7i обра
зуют две -системы, переходы j2i $ j6i и j4i $ j6i
также разрешены правилами отбора, однако в об
разовании -систем не участвуют, а ответственны
за образование дополнительных пиков поглощения
(см. Приложение).
На рис. 6 приведена соответствующая данной
конфигурации зависимость коэффициента поглоще
ния покоящегося атома самария от рамановской рас
стройки Ж R и лазерной расстройки Ж L без учета де
поляризации. Учет процесса деполяризации приво
дит, во-первых, к росту наведенного поглощения, а
во-вторых, к монотонному уменьшению контраста
резонанса КПН. Влияние деполяризации на шири
10

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
Таблица 1. Длины волн и силы осцилляторов активных переходов
Переход Длина волны , нм Сила осциллятора gf
6s 2 (J = 0) ! 6s6p (J = 1) 672.5875 8:5
10 3
6s 2 (J = 1) ! 6s6p (J = 1) 686.0927 9:5
10 3
Таблица 2. Энергетические уровни самария, задействованные в спектре поглощения
Четные уровни 4f 6 6s 2 ( 7 F ) Нечетный уровень 4f 6 ( 7 F )6s6p( 3 P 0 ) 9 F 0
1
J Энергия, см 1 g Относительная J Энергия, см 1 g
населенность
при T = 600 Ж С
0 0 1.0
1 292.58 1.50 0.6 1 14863.85 3.10
2 811.92 1.50 0.24
Таблица 3. Параметры, определяющие возбуждение -системы
Частота Раби, с 1 Скорость радиационного распада, с 1 Скорость дефазировки, с 1

14 = 0:58
10 7 41 = 0:42
10 6
12 = 2:4
10 4

24 = 0:83
10 7 42 = 0:45
10 6
23 = 1:6
10 4
43 = 0:42
10 6
ну резонанса КПН практически не наблюдается.
С использованием формулы (11) и рассчитанного
поглощения покоящегося атома был рассчитан коэф
фициент поглощения среды. На рис. 7а приведены
зависимости коэффициента поглощения среды при
!L1 = const и Ж L = 0 от рамановской расстройки Ж R
для двух значений температур: T 1 = 873 К, соответ
ствующего условиям эксперимента, и T 2 = 10 К.
Изменение температуры приводит к изменению
абсолютной величины коэффициента поглощения,
но практически не сказывается на его форме. Это
происходит за счет того, что при повышении тем
пературы возрастает вклад атомов, взаимодейству
ющих с полем при больших лазерных расстройках,
что понижает поглощение K(ЖL ; Ж R ).
Для сравнения на рис. 7б приведен эксперимен
тальный спектр поглощения пробного лазерного по
ля (672 нм, Ж L = 0), полученный путем сканирова
ния частоты второго управляющего поля. Как вид
но на рис. 7, типичная ширина экспериментально
наблюдаемых резонансов КПН составляет 56 МГц,
что согласуется c теоретическими расчетами. Вви
ду того что поглощение поля измеряется на фик
800
400
0
-- 400
-- 800
--1000
--500 0
500
1000
d R , еЙ'
d L , еЙ'
0.06
0.04
0.02
0
иУ''ОУ-ВМЛВ,
УЪМ. Вo/oo.
Рис. 6. Зависимость коэффициента поглощения по-
коящегося атома самария от ЖR и ЖL в случае про-
дольной конфигурации магнитного поля
11

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
##########,
###.
##.
-1250 0 1250
#R , ###
#
-2500 2500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.16
0.08
0.12
##########,
###.
##.
#
-1000 -500 0 500 1000 1500
-1500 #R , ###
Рис. 7. a  Теоретические зависимости коэффи-
циента поглощения семиуровневой системы от ра-
мановской расстройки ЖR в продольном магнитном
поле с учетом эффекта Доплера для двух значе-
ний температур T = 10 К (штриховая линия) и
T = 873 К (сплошная). б  Экспериментальная
зависимость коэффициента поглощения в продоль-
ном магнитном поле напряженностью 29 Э при дав-
лении 0:2 Торр буферного газа Ar
сированной частоте !L1 , находящейся в резонансе
с атомным переходом, полная ширина контура по
глощения как функции рамановской расстройки Ж R
неограниченно велика.
Оценки, приведенные в Приложении, показы
вают, что при наложении продольного магнитно
го поля должно наблюдаться расщепление резонан
са КПН на величину 2
0 ! 12 =! 13 . Эксперименталь
но наблюдаемое положение резонансов КПН полно
стью согласуется с этими результатами, и расщепле
ние составляет порядка 3 МГц.
Наблюдаемые в эксперименте широкие крылья
контура поглощения при больших рамановских рас
стройках Ж R связаны с влиянием столкновений [17],
а именно, с возможностью переходов атомов из раз
ных скоростных групп в группу, резонансную со све
товым полем [19]. В приведенных расчетах данный
механизм не учитывался.
7.3. Случай поперечного магнитного поля
Энергетическая диаграмма уровней для атома
самария в поперечном магнитном поле показана
на рис. 5б. В поперечном магнитном поле H? ли
нейно поляризованное излучение лазера с часто
той !L1 (вектор H? лежит в плоскости поляриза
ции) может вызывать только переходы с
m = 0
(-компоненты). В то же время излучение лазера
с частотой !L2 с плоскостью поляризации, орто
гональной H? , вызывает переходы с
m = 1
(-компоненты). В этом случае образуются две
-системы: переходы j1i $ j6i, j2i $ j6i и j1i $ j6i,
j4i $ j6i. При этом переходы j3i $ j5i и j3i $ j7i в
образовании -системы не участвуют.
Для случая наложения поперечного магнитного
поля, аналогично разд. 4, были рассчитаны коэф
фициенты поглощения покоящегося атома, изучено
влияние деполяризации и рассчитаны коэффициен
ты поглощения среды с учетом влияния эффекта
Доплера.
Особенностью спектров поглощения в попереч
ном магнитном поле является расщепленная линия
резонанса КПН, величина расщепления которого
совпадает с величиной зеемановского расщепления
подуровней j2i и j4i уровня J = 1:
! = 2
0 (см.
Приложение).
Деполяризация магнитных подуровней проявля
ется аналогично случаю продольного магнитного по
ля (см. разд. 7.2). Максимальное значение контрас
та резонанса достигается при G = 0, с ростом G
контраст резонанса уменьшается, а его ширина при
этом практически не меняется.
На рис. 8 сопоставлены экспериментальные дан
ные с результатами теоретического расчета коэффи
циента поглощения среды для случая поперечного
магнитного поля. Как и в случае продольного маг
нитного поля, положение и ширина резонансов КПН
совпадают с теоретическими расчетами (см. Прило
жение).
8. ВЫВОДЫ
В данной работе представлена теоретическая мо
дель для описания КПН в многоуровневых систе
мах, позволяющая проводить расчеты с использова
нием минимального набора входных параметров. Ее
применение к анализу спектроскопических характе
ристик КПН в парах самария показывает, что резо
12

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
##########,
###.
##.
-1250 0 1250
#R , ###
#
-2500 2500
0
0.2
0.4
0.6
0.8
##########,
###.
##.
#
-1000 -500 0 500 1000 1500
-1500 #R , ###
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
Рис. 8. a  Теоретические зависимости коэффи-
циента поглощения семиуровневой системы от ра-
мановской расстройки ЖR в поперечном магнитном
поле с учетом эффекта Доплера при T = 873 К для
двух значений деполяризации магнитных подуров-
ней, G = 0 (сплошная линия) и G = 0:5 (штрихо-
вая). б  Экспериментальная зависимость коэффи-
циента поглощения в поперечном магнитном поле
напряженностью 29 Э при давлении 0:2 Торр бу-
ферного газа Ar
нансы КПН в отсутствие внешнего магнитного поля
хорошо аппроксимируются простой четырехуровне
вой моделью.
При наложении продольного или поперечного
магнитных полей спектроскопические характеристи
ки атомов самария хорошо описываются семиуров
невой моделью. Усложнение энергетической струк
туры уровней атомов самария приводит к увеличе
нию числа резонансов КПН и появлению дополни
тельных пиков поглощения в спектрах, за счет то
го что рассматриваемая система распадается на на
бор трехуровневых -систем, каждая из которых от
вечает за формирование соответствующего резонан
са. При этом переходы между уровнями, прямо не
участвующими в образовании -систем, участвуют
в формировании пиков наведенного поглощения.
Показано, что в присутствии магнитного поля су
щественное влияние на форму линии поглощения и
контраст резонансов КПН оказывает явление депо
ляризации магнитных подуровней, проявляющееся
как монотонное падение контраста резонансов КПН
с ростом константы деполяризации.
Рассчитаны и сопоставлены с экспериментальны
ми данными коэффициенты поглощения паров с уче
том максвелловского распределения атомов по ско
ростям. Показано, что изменение температуры ведет
к изменению абсолютной величины коэффициента
поглощения, но практически не сказывается на его
форме.
При наличии поперечного магнитного поля
результаты численных расчетов полностью вос
производят экспериментальные данные как в
отношении положения и ширины резонансов КПН,
так и в отношении формы спектров. Для продоль
ного магнитного поля качественные теоретические
оценки подтверждают наблюдаемое в эксперименте
расщепление резонанса КПН на малую величину
порядка 3 МГц, однако его воспроизведение при
численном расчете требует выхода за рамки при
ближений [15], обычно используемых для описания
эффектов влияния доплеровского уширения на
формирование спектров КПН.
Работа поддержана РФФИ (гранты
? 01-02-16311, 01-02-174-42, 01-02-174-39,
00-15-96-586), государственной научно-технической
программой ?Фундаментальная метрология?,
INTAS (INFO 00-479) и Volkswagen-Stiftung
(I/73647).
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОСОБЕННОСТИ РЕЗОНАНСОВ КПН НА
ФОНЕ ДОПЛЕРОВСКИ УШИРЕННОЙ
ЛИНИИ В МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
Случай продольного магнитного поля
В эксперименте частота первого лазера постоян
на и равна !L1 = ! 13 + Ж L1 , где Ж L1  небольшая
лазерная расстройка. В резонансе с полем !L1 мо
гут находиться только те частицы, которые имеют
определенную проекцию скорости по направлению
светового луча, такую, чтобы доплеровский сдвиг
скомпенсировал расстройку частоты поля !L1 отно
сительно частоты квантовых переходов j1i $ j7i и
j1i $ j5i (точки а и b на рис. 9a).
13

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
f
e
d а
c b a
F (Vx)
ЖL 2
Vx
ЖL 1
ЖL 2

0
2
0
K(!) b + e
b + d
b + c
2
00

00 !L 2
б

0
0 !L 2
в
ЖL 1
(j1i $ j7i; j3i $ j7i) (j1i $ j5i; j3i $ j5i)
2
00 !12
!13
Рис. 9. Наблюдение резонансов КПН на фоне до-
плеровски уширенной линии; точка а соответствует
переходу j1i $ j7i, b  j1i $ j5i, c  j3i $ j7i, d 
j2i $ j6i, e  j4i $ j6i, f  j3i $ j5i. а  F (vx) 
функция максвелловского распределения по скоро-
стям; точки а и b соответствуют частицам, кото-
рые имеют определенную проекцию скорости по на-
правлению светового луча, такую, чтобы доплеров-
ский сдвиг скомпенсировал расстройку частоты по-
ля !L1 относительно частоты квантовых переходов
j1i $ j7i и j1i $ j5i; точки c, d, e и f соответ-
ствуют скоростным группам частиц, для которых
доплеровский сдвиг компенсирует расстройку ЖL 2
частоты !L2 относительно частот квантовых пере-
ходов соответственно j3i $ j7i, j2i $ j6i, j4i $ j6i,
j3i $ j5i; графическая иллюстрация получения пи-
ков поглощения (б ) и резонансов КПН (в) на фоне
доплеровски уширенной линии
Поглощение волны !L1 будет наблюдаться на
частотах ! 13 +
00 (переход j1i $ j7i) и ! 13
00
(переход j1i $ j5i). Согласно определению эффекта
Доплера, получим выражения для соответствующих
скоростных групп:
!L1 =
! 13 +
00
1 v x1 =c
!
!

1
v x1
c

=
! 13 +
00
!L1 (точка a);
!L1 =
! 13
00
1 v x2 =c !
!

1
v x2
c

=
! 13
00
!L1 (точка b):
Взаимодействие частиц в каждой скоростной группе
с полем !L1 приводит к тому, что уровень j1i обед
няется, а населенности уровней j2i,j3i и j4i возрас
тают за счет распадов с верхних уровней. Вторая
частота !L2 = ! 23 +ЖL2 , где Ж L2  расстройка второ
го поля, сканируется в широком диапазоне частот.
На рис. 9а нанесены точки c, d, e и f, соответствую
щие скоростным группам частиц, для которых доп-
леровский сдвиг компенсирует расстройку Ж L2 час
тоты !L2 относительно частот квантовых переходов
j3i $ j7i, j2i $ j6i, j4i $ j6i, j3i $ j5i. Поглощение
волны !L2 будет наблюдаться на четырех частотах:
! 23 
00 (переход j3i $ j7i и j3i $ j5i) и ! 23 
0
(переход j2i $ j6i и j4i $ j6i), т. е. выражения для
соответствующих скоростных групп имеют вид
!L2 =
! 23 +
00
1 v x3 =c
!
!

1
v x3
c

=
! 23 +
00
!L2 (точка c);
!L2 =
! 23 +
0
1 v x4 =c !
!

1
v x4
c

=
! 23 +
0
!L2 (точка d);
!L2 =
! 23
0
1 v x5 =c !
!

1
v x5
c

=
! 23
0
!L2 (точка e);
!L2 =
! 23
00
1 v x6 =c
!
!

1
v x6
c

=
! 23
00
!L2 (точка f):
14

ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003 Спектроскопия когерентных темных резонансов : : :
В случае, когда расстройка Ж L2 > ! 23 +
00 , точки
cf находятся слева относительно точки b. В каж
дой из этих скоростных групп (af ) атомы возбуж-
даются излучением !L2 или !L1 . Равновесное рас
пределение населенностей нарушается. При умень
шении расстройки Ж L2 точки c, d, e и f на графике
(рис. 9а) движутся вправо. При совпадении точек
c и b атомы, находящиеся в этой скоростной груп
пе, одновременно взаимодействуют с обоими поля
ми. Возбуждаются два перехода, которые не обра
зуют -систему, однако из-за наличия неравновес
ного распределения частиц по уровням и избытка
населенности на уровне j3i возрастает поглощение
второй волны, что соответствует пику поглощения
(рис. 9б ). Получим частоту, на которой наблюдает
ся этот пик поглощения, из условия совпадения ско
ростных групп v x2 (точка b) и v x3 (точка c), т. е. из
условия
! 13
00
!L1 =
! 23 +
00
!L2
:
Из этого выражения легко получить частоту,
на которой наблюдается первый пик поглощения,
!L2 = ! 23 +2
00 +ЖL1 . При дальнейшем уменьшении
Ж L2 наблюдаются пики поглощения при совпадении
скоростных групп v x2 и v x4 (точки b и d), а также
v x2 и v x5 (точки b и e) на частотах, соответственно,
!L2 = ! 23 +
00 +
0 + Ж L1 и !L2 = ! 23 +
0 + Ж L1 .
При дальнейшем снижении Ж L2 точка c совпадает
с точкой a, что соответствует одновременному воз
буждению переходов j1i $ j7i и j3i $ j7i, т. е. резо
нансу КПН в -системе, образованной уровнями j1i,
j3i и j7i. Рассчитаем, на какой частоте будет наблю
даться пик резонанса КПН. Из условия совпадения
скоростных групп v x1 и v x3 :

1
v x1
c

=
! 13 +
00
!L1
;

1
v x3
c

=
! 23 +
00
!L2
;
следует, что первый резонанс КПН будет наблюдать
ся на частоте
!L2 = ! 23 + Ж L1 +
! 12
00
! 13
:
Второй резонанс КПН возникает при совпадении
скоростных групп v x6 (точка f ) и v x2 (точка b). Ана
логично получаем частоту
!L2 = ! 23 + Ж L1
! 12
00
! 13
;
на которой наблюдается второй резонанс КПН. При
этом расстояние между двумя резонансами КПН
равняется
! ac
L2 ! bf
L2 = 2
0 ! 12
! 13
:
Дальнейшее уменьшение расстройки Ж L2 приво
дит к появлению пиков поглощения в левой части
графика (рис. 9в). Следует особо заметить, что на
личие лазерной расстройки второго поля, не равной
нулю, приводит к тому, что распределение пиков и
резонансов симметрично относительно частоты
!L2 = ! 23 + Ж L1 : (П.1)
Таким образом, на доплеровски уширенном конту
ре, в отличие от спектра покоящегося атома, мы на
блюдаем симметричную картину (шесть пиков по
глощения и два резонанса КПН) относительно час
тоты (П.1).
Случай поперечного магнитного поля
Рассуждения аналогичны случаю продольного
магнитного поля. Поглощение волны !L1 будет на
блюдаться на частоте ! 13 (переход j1i $ j6i). Вто
рая частота, !L2 = ! 23 + Ж L2 , где Ж L2  расстрой
ка второго поля, сканируется в широком диапазоне
частот. Поглощение волны !L2 будет наблюдаться
на двух частотах: ! 23 
0 (переход j2i $ j6i и
j4i $ j6i). Одновременное возбуждение переходов
j1i $ j6i и j2i $ j6i, а также j1i $ j6i и j4i $ j6i,
соответствуют резонансам КПН в -системах, обра
зованных уровнями, соответственно, j1i, j6i, j2i и j1i,
j6i, j4i. Таким образом, наблюдаются два резонанса
КПН на частотах !L2 = ! 23 
0 . Расстояние меж
ду резонансами равно удвоенной величине зееманов
ского расщепления нижнего уровня
!? = 2
0 . От
метим, что отношение величины расщепления резо
нансов КПН для атома самария в поперечном и про
дольном магнитных полях составляет

!?

! k
=
2
0
?
2
0
k ! 12 =! 13
= 25
H?
H k
:
ЛИТЕРАТУРА
1. E. Arimondo, in: Progress in Optics 35, 257, ed. by
E. Wolf, Elsevier, Amsterdam (1996).
2. G. Alzetta, A. Gozzini, L. Moi, and G. Orriols, Nuovo
Cim. B 36, 5 (1976).
3. H. R. Gray, R. M. Whitly, and C. R. Stroud (Jr.), Opt.
Lett. 3, 218 (1978).
4. G. Alzetta, L. Moi, and G. Orriols, Nuovo Cim. B 52,
209 (1979); Opt. Comm. 42, 335 (1982).
5. A. Aspect, E. Arimondo, R. Kaiser, N. Vansteenkiste,
and C. Cohen-Tannoudji, Phys. Rev. Lett. 61, 826
(1996).
15

Ю. В. Владимирова, Б. А. Гришанин, В. Н. Задков и др. ЖЭТФ, том 123, вып. 4, 2003
6. A. Kasapi, Phys. Rev. Lett. 77, 3908 (1997).
7. R. Wynands and A. Nagel, Appl. Phys. B 68, 1 (1999).
8. R. Holtzwarth, Th. Udem, and T. W. Haensh, Phys.
Rev. Lett. 85, 2264 (2000).
9. Н. Н. Колачевский, А. В. Акимов, Н. А. Киселев,
А. А. Папченко, В. Н. Сорокин, С. И. Канорский,
КЭ 31(1), 61 (2001).
10. Б. А. Гришанин, http://comsim1.phys.msu.su/people/
grishanin/teaching/qsp/.
11. Л. А. Вайнштейн, И. И. Собельман, Е. А. Юдин,
Возбуждение атомов и уширение спектральных
линий, Наука, Москва (1978).
12. W. Happer, Rev. Mod. Phys. 44, 169 (1972).
13. B. A. Grishanin, V. N. Zadkov, and D. Meschede,
Phys. Rev. A 58, 4235 (1998).
14. I. V. Bargatin, B. A. Grishanin, and V. N. Zadkov,
Proc. SPIE 3736, 246 (1998).
15. E. Kuznetsova, O. Kocharovskaya, and M. O. Scully,
Proc. SPIE 4750, 117 (2002).
16. Н. Н. Колачевский, А. В. Акимов, Н. А. Киселев,
А. А. Папченко, В. Н. Сорокин, С. И. Канорский,
Опт. и спектр. 90(2), 164 (2001).
17. A. V. Akimov, N. N. Kolachevsky, V. N. Sorokin,
and S. I. Kanorsky, in Abstracts IQEC-2002 Technical
Digest, Moscow (2002), p. 93.
18. Б. М. Смирнов, Возбужденные атомы, Энергоиз
дат, Москва (1982).
19. P. F. Liao, J. E. Bjorkholm, and P. R. Berman, Phys.
Rev. A 21(6), 1927 (1980).
16