Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://phys.msu.ru/upload/iblock/50b/2010-00-00-terentyev.pdf Дата изменения: Mon Feb 15 12:39:42 2010 Дата индексирования: Mon Oct 1 21:07:36 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: практическая астрофизика

На правах рукописи

ТЕРЕНТЬЕВ Михаил Анатольевич

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ НЕИЗОЛИРОВАННЫХ КОРНЕЙ ВЫРОЖДЕННОГО УРАВНЕНИЯ

Специальность 01.01.03 математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2010


Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.Ф. БУТУЗОВ

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М.Г. Дмитриев доктор физико-математических наук, профессор С.А. Кащенко Ведущая организация: Обнинский государственный технический университет атомной энергетики

Защита диссертации состоится

2010 г. в

ча-

сов на заседании Диссертационного Совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, МГУ, д. 1, стр.2, физический факультет, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 501.002.10 доктор физико-математических наук Ю.В. Грац


Общая характеристика работы
Диссертация посвящена изучению ряда начальных и краевых задач с условием Неймана для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в случае, когда соответствующее вырожденное уравнение или система имеет неизолированные корни.

Актуальность темы
Хорошо известно, что математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, социологии, технике служат дифференциальные уравнения, содержащие малые параметры. Входящие в уравнение параметры являются количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса. Естественное желание пренебречь малыми факторами приводит к более простым уравнениям, но не всегда решения таких уравнений правильно описывают наблюдаемые явления. В таком случае говорят, что исходная задача является сингулярно возмущенной близость малого параметра к нулю не обеспечивает, вообще говоря, равномерную близость е? решения к решению более простого вырожденного уравнения. К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. Исследование таких задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова и получило дальнейшее развитие в работах А.Б. Васильевой, В.Ф. Бутузова и их учеников, где для широких классов сингулярно возмущенных задач с обыкновенными и частными производными разработаны погранслойные методы, позволяющие строить и обосновывать равномерные асимптотические разложения решений в ряды по степеням малого параметра. Альтернативные подходы к исследованию различных классов сингулярно возмущенных задач развиты в известных работах A.M. Ильина, С.М. Ломова, В.П. Маслова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, Л.С. Понтрягина, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Ро1


зова, В.А. Треногина и других уч?ных. Одним из важных условий в классической теории Тихонова является требование существования изолированного корня вырожденного уравнения. Более сложная ситуация возникает тогда, когда вырожденное уравнение имеет пересекающиеся корни или, в общем случае, неизолированный корень. Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Как выяснилось, пересечение корней вырожденного уравнения позволяет объяснить явление скачка скорости химической реакции, наблюдаемое на опыте. Активное исследование задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных) в случае пересечения корней вырожденного уравнения началось лишь недавно и ведется последние 10 лет. За это время для широких классов дифференциальных уравнений и систем тихоновского типа, как с обыкновенными, так и с частными производными (задачи Неймана эллиптического и параболического типов), доказаны теоремы о существовании и предельном переходе от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Прогресс в исследовании данного типа задач (они называются также задачами в случае смены устойчивости) связан с разработкой Н.Н. Нефедовым и его последователями асимптотического метода дифференциальных неравенств, который позволяет обосновывать асимптотические разложения решений более простым способом, чем это делалось ранее. Перед автором была поставлена задача исследовать существование и асимптотику решений для некоторых классов систем сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра при старших производных в ситуации, когда правые части уравнений зависят от малого параметра. В ходе исследования удалось решить
2


ряд проблем, касающихся рассматриваемого класса задач. Полученные результаты содержат:

ћ обобщение известных результатов на случаи произвольной размерности искомого решения и независимой переменной

ћ установление независимости поведения решения от структуры множества неизолированности корней вырожденного уравнения

ћ выяснение вопроса о том, насколько используемые достаточные условия существования решения являются необходимыми

ћ построение асимптотики произвольного порядка для решения возмущенной задачи

ћ разработку представлений о природе явлений в рассматриваемом классе задач Результаты диссертации расширяют классическую теорию А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой на новый класс задач, в которых вырожденные уравнения имеют неизолированные корни, а также расширяют применения асимптотического метода дифференциальных неравенств.

Цель работы
Главной целью диссертационной работы является доказательство теорем о предельном переходе для систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также для уравнений и систем уравнений в частных производных эллиптического типа с разными степенями малого параметра в случае, когда вырожденная задача имеет неизолированные корни.

Научная новизна
Как основной результат, в диссертации доказаны теоремы о предельном переходе и получены асимптотические оценки для решений ряда сингулярно возмущ?нных задач с разными степенями малого параметра при старших
3


производных в случае, когда вырожденные задачи имеют неизолированные корни. Показано, что допустима произвольная структура множества, где нарушается изолированность корней, включая естественный случай пересекающихся корней у вырожденной задачи. Оказалось также, что в рассматриваемом классе задач результаты не зависят от размерностей искомого решения и независимой переменной. Исследована роль достаточных условий, гарантирующих существование решения задач рассматриваемого типа. Впервые доказаны утверждения об отсутствии решения при невыполнении этих условий. Существенно развиты представления о природе явлений в рассматриваемом классе задач. На их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики любого порядка для решения возмущенной задачи.

Практическая ценность
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы

ћ для исследования разрешимости и построения асимптотик решений
ряда модельных задач химической кинетики

ћ для описания явления скачка скорости химической реакции бимолекулярного типа

ћ при исследовании новых классов сингулярно возмущенных задач в
случае неизолированного корня вырожденного уравнения

Положения, выносимые на защиту
На защиту выносится ряд теорем о предельном переходе для некоторых классов систем сингулярно возмущенных ОДУ, а также сингулярно возмущенных уравнений и систем уравнений в частных производных. Кроме того, на защиту выносится теорема об условиях отсутствия решения для сингулярно возмущенного уравнения эллиптического типа.
4


Личный вклад автора
Основные результаты диссертации, приводимые ниже, получены автором диссертации лично.

Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на X Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам 2003 (Москва, 2003 г.), на II международной конференции ЛомоносовМатемати-

ческие идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания (Обнинск, 2004 г.), на Международной конференции к 100летию со дня рождения академика А.Н. Тихонова Тихонов и современная математика (Москва, 2006 г.), на ежегодных Ломоносовских чтениях в МГУ (Москва, 2007 г.), на ежегодных математических чтениях РГСУ Математические методы и приложения (Руза, 2003, 2008, 2009 гг.), а также неоднократно обсуждались на научном семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители семинара профессора А.Б. Васильева и В.Ф. Бутузов).

Публикации
По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, одного приложения, заключения и списка цитированной литературы (80 наименований). Общий объем диссертации составляет 127 страниц.

5


Содержание диссертации
Во Введении выделен круг вопросов, охваченных диссертацией, охарактеризованы актуальность и новизна работы, а также кратко изложено содержание глав. В Главе 1 рассмотрены начальная и краевая задачи для систем сингулярно возмущ?нных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих два быстрых скалярных уравнения с разными степенями малого параметра при производных. Начальная задача имеет вид:

2 u = g (u, v , x, ), u(0, ) = u ,
0

p v = f (u, v , x, ), v (0, ) = v .
0

(1)

Здесь x [0, 1], > 0 малый параметр, p какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1 < p < 2. Краевая задача имеет вид:

2 u = g (u, v , x, ), u (0, ) = u (1, ) = 0,

2p v = f (u, v , x, ), v (0, ) = v (1, ) = 0.

(2)

Здесь также x [0, 1], > 0 малый параметр, p какое-то число, удовлетворяющее неравенствам 1/2 < p 1.

Условие 1.1 Пусть целое число n таково, что n - 1 <

1 2-p

n, и пусть

функции g (u, v , x, ) и f (u, v , x, ) в задаче (1) являются n + 1 раз непрерывно дифференцируемыми, а в задаче (2) дважды непрерывно диффе? ? ренцируемыми в области (u, v , x, ) I1 Ч I2 Ч [0, 1] Ч [0, 0 ], где I1 и I2 некоторые интервалы, 0 > 0 некоторое число.
При = 0 из (1) и (2) получаем вырожденную систему

g (u, v , x, 0) = 0,

f (u, v , x, 0) = 0.

(3)

Условие 1.2 Пусть уравнение g (u, v , x, 0) = 0 имеет относительно u
решение (корень) u = (v , x), такое, что при (v , x) I2 Ч [0, 1] выполнены
6


соотношения: I1 и

< 0 в задаче (1), gu ((v , x), v , x, 0) > 0 в задаче (2).

(4)

Подставив u = (v , x) во второе уравнение (3), получим уравнение

h(v , x) f ((v , x), v , x, 0) = 0.

(5)

Условие 1.3 Пусть уравнение (5) имеет относительно v два корня v =
v1 (x) и v = v2 (x), таких что v1 I2 , v2 I2 при x [0, 1], и, кроме того,
для некоторого x0 (0, 1) выполняются соотношения

v1 (x) > v2 (x), когда 0 x < x0 , v1 (x0 ) = v2 (x0 ), v1 (x) < v2 (x), когда x0 < x 1.
Соотношения (6) показывают, что корни v1 (x) и v2 (x) уравнения (5) пересекаются в точке x0 . Это отличает изучаемые задачи от задач, рассматриваемых в классической теории Тихонова, где предполагается изолированность корней вырожденной системы. (6)

Условие 1.4 Пусть для начальной задачи (1) выполнены неравенства:

<0, когда 0 x < x0 , >0, когда 0 x < x0 , hv (v1 (x), x) h (v (x), x) >0, когда x0 < x 1, v 2 <0, когда x0 < x 1,

а для краевой задачи (2) выполнены противоположные (строгие) неравенства.
Исходя из Условий 1.2-1.4 и понятия устойчивого изолированного корня естественно образовать следующее решение вырожденной системы (3):

v1 (x), когда 0 x x0 , v (x) = ^ v2 (x), когда x0 x 1,

u(x) = (v (x), x). ^ ^

(7)

Пару функций u(x), v (x), определ?нных равенствами (7), назов?м состав^ ^

ным устойчивым решением вырожденной системы (3). Из Условий 1.2
7


и 1.4 следует, что для начальной задачи (краевой задачи) выполнены соотношения:

gu (x) < 0 (> 0) при x [0, 1], ^ ^ hv (x) < 0 (> 0) при x [0, x0 ) и x (x0 , 1], ^ hv (x) = 0 при x = x0 .
Здесь и далее значок ^ означает, что функция вычисляется на составном устойчивом решении, например, gu (x) = gu (u(x), v (x), x, 0). ^ ^ ^ Для доказательства существования решения и предельного перехода при 0 к составному устойчивому решению вырожденной системы в каждой из задач использован асимптотический метод дифференциальных неравенств с условием квазимонотонности вектор-функции (g , f ), что обеспечивается следующим требованием.

Условие 1.5 Пусть производные gv и fu функций g и f удовлетворяют
в задаче (1) неравенствам

gv (u, v , x, ) 0,

fu (u, v , x, ) 0

(8)

при |u - u(x)| 0 , |v - v (x)| 0 , |x - x0 | 0 , 0 0 , где 0 > 0 ^ ^ некоторое число, такое что 0 < x0 - 0 , x0 + 0 < 1, а в задаче (2) противоположным неравенствам

gv (u, v , x, ) 0,

fu (u, v , x, ) 0

для тех же значений u, v , , как и в (8), и для 0 x 1.
Далее задачи (1) и (2) рассматриваются раздельно. Поскольку на отрезке [0, x0 - ], где некоторое положительное число, составное устойчивое решение системы (3) является изолированным и устойчивым, то к начальной задаче (1) на этом отрезке применима стандартная тихоновская теория, из которой следует, что при некоторых дополнительных требованиях (см. ниже Условия 1.6 и 1.7) для достаточно малых

существует единственное решение задачи (1), для которого справедливо
8


следующее асимптотическое представление:
n- 1

u(x, ) = u(x) + P0 u( ) + 0 u( ) + ^
k =1

(2

-p)k

[Pk u( ) + k u( )]+
(9)

+ [un (x) + Pn u( ) + n u( )] + o(), ?
n-1

v (x, ) = v (x) + P0 v ( ) + ^
k =1

(2-

p)k

[Pk v ( ) + k v ( )]+

+ [vn (x) + Pn v ( ) + n v ( )] + o(). ?
Здесь un (x) и vn (x) решение линейной системы уравнений ? ?

gu (x) un + gv (x) vn + g (x) = 0, ^ ? ^ ? ^

^ ^ ^ fu (x) un + fv (x) vn + f (x) = 0. ? ?

Функции Pi u( ), Pi v ( ), i u( ), i v ( ) пограничные функции, зависящие от растянутых переменных = x/p и = x/2 . Они определяются стандартным образом, в частности, P0 v ( ) есть решение начальной задачи

d P0 v = h(v (0) + P0 v , 0), ^ d P0 v (0) = v 0 - v (0). ^

0,

(10) (11)

В силу Условий 1.3 и 1.4 P0 v = 0 является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (10). Появляется обычное для стандартной теории требование.

Условие 1.6 Пусть начальное значение v 0 - v (0) принадлежит области ^
влияния точки покоя P0 v = 0 уравнения (10).
Функция P0 u( ) определяется равенством

P0 u( ) = (v (0) + P0 v ( ), 0) - (v (0), 0), ^ ^
а для 0 u( ) имеем начальную задачу

d 0 u = g ((v 0 , 0) + 0 u, v 0 , 0, 0), d 0 u(0) = u0 - (v 0 , 0).
9

0,

(12) (13)


Будем считать, что v 0 I2 , где I2 интервал из Условий 1.1 и 1.2. Тогда gu ((v 0 , 0), v 0 , 0) < 0 и тем самым 0 u = 0 является асимптотически устойчивой точкой покоя уравнения (12). Для задачи (12), (13) появляется требование, аналогичное Условию 1.6.

Условие 1.7 Пусть начальное значение u0 - (v 0 , 0) принадлежит области влияния точки покоя 0 u = 0 уравнения (12).
На отрезке [x0 - , x0 + ] составное устойчивое решение системы (3) не является изолированным и устойчивым в классическом смысле. Появляются дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость составного решения в точке x0 , а исследование задачи (1) удается провести при помощи метода дифференциальных неравенств.

^ Условие 1.8 Пусть hvv (x0 ) < 0. ^ ^ Условие 1.9 Пусть fu (x0 ) g (x0 ) > gu (x0 ) f (x0 ). ^ ^
Согласно методу дифференциальных неравенств построены нижнее и верхнее решения задачи (1), из вида которых следует, что на отрезке [x0 -

, x0 + ] решение данной задачи существует и представимо в виде u(x, ) = u(x) + O( ), v (x, ) = v (x) + O( ). ^ ^

(14)

На отрезке [x0 + /2, 1] составное устойчивое решение системы (3) вновь является изолированным и устойчивым, так что согласно стандартной теории система (1) имеет при достаточно малых единственное решение с асимптотикой типа (9). В силу экспоненциального убывания погранфункций это решение на отрезке [x0 + , 1] имеет представление

u(x, ) = u(x) + O(), ^

v (x, ) = v (x) + O(). ^
1

(15)

Следующая теорема суммирует полученные результаты.

Теорема 1.3 Если выполнены Условия 1.1-1.9, то при достаточно малых существует и единственно решение u(x, ), v (x, ) начальной задачи (1), и для него на отрезке [0, x0 - ] имеет место асимптотическое
1

Здесь и далее применяется та же нумерация теорем, что и в диссертации, а используемые в дис-

сертации формулировки вспомогательных утверждений и теорем в данном обзоре опускаются

10


представление (9), в -окрестности точки x0 представление (14) и на отрезке [x0 + , 1] представление (15), где любое достаточно малое и не зависящее от положительное число.
Исследование краевой задачи (2) проведено согласно методу дифференциальных неравенств путем построения подходящих нижнего и верхнего решений на отрезке [0, 1]. При этом для построения верхнего решения использована процедура сглаживания негладкого, вообще говоря, составного решения. Как и в случае задачи (1), здесь необходимы дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость составного решения в точке x0 .

^ Условие 1.10 Пусть hvv (x0 ) > 0.
Второе требование связано с зависимостью функций f и g от и выражено Условием 1.9.

Теорема 1.4 Если выполнены Условия 1.1-1.5, 1.9, 1.10, то при достаточно малых > 0 существует решение u(x, ), v (x, ) краевой задачи (2), такое, что для него имеет место асимптотическое представление:

u(x, ) = u(x) + w1 (x, ), ^ v (x, ) = v (x) + w2 (x, ), ^
где при i = 1,2 O(p ) в -окрестностях точек x = 0 и x = 1, wi (x, ) = O( ) в -окрестности точки x0 , = min 2 p/3, 1/2 , O() на отрезках [, x - ] и [x + , 1 - ], 0 0

любое достаточно малое и не зависящее от положительное число.
Глава 1 заканчивается обсуждением результатов, где рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра p. В Главе 2 рассмотрена задача Неймана для сингулярно возмущ?нного эллиптического уравнения:

2p u = f (u, x, ), x , u (x, ) = 0, x . nx
11

(16)


Здесь p > 3/4 некоторое число, > 0 малый параметр, ограниченная область в RN , N 1. Под nx подразумевается внутренняя нормаль к в точке x.

Условие 2.1 Пусть функция f (u, x, ) является дважды непрерывно диф? ференцируемой при (u, x, ) I Ч Ч [0, 0 ], где I некоторый интервал, 0 > 0 некоторое число. Пусть также в случае N 2 граница
области принадлежит классу гладкости C 2 .
При = 0 из (16) получаем вырожденное уравнение:

f (u, x, 0) = 0.

(17)

Условие 2.2 Пусть уравнение (17) имеет непрерывный при x корень
u = (x), прич?м множество , такое, что fu ((x), x, 0) > 0, если x \ , fu ((x), x, 0) = 0, если x .
Условие 2.2 означает, что вне некоторой окрестности корень (x) является изолированным (с уч?том Условия 2.1 ещ? и C 2 -гладким), а внутри этой окрестности свойство изолированности, как и гладкости, может быть нарушено. Указанное обстоятельство отличает рассматриваемый случай от классической теории, в связи с чем появляется ограничение на .

Условие 2.3 |(x) - ( )| L ћ x -
L > 0 (липшицевость ). Здесь ћ
N

N

при x, для некоторого

евклидова норма в RN .

Другое отличие от классической теории состоит в том, что fu ((x), x, 0) не является строго положительной функцией для всех x , и это не позволяет охарактеризовать (x) как устойчивый корень вырожденного уравнения; необходимы дополнительные требования, обеспечивающие устойчивость корня (x) в окрестности , где нарушается классическое условие устойчивости.

Условие 2.4 fuu ((x), x, 0) > 0 при x .
12


Условие 2.5 f ((x), x, 0) < 0 при x .
Из Условий 2.2 и 2.4 следует, что в некоторой окрестности вырожденное уравнение (17) имеет ещ? один, и только один, корень, совпадающий с

(x) при x и меньший (x) при остальных x. Рассматриваемая ситуация возникает, в частности, в том случае, когда уравнение (17) имеет в два непрерывных корня, пересекающихся при x .

Теорема 2.2 Пусть задача (16) в случае p > 3/4 удовлетворяет Условиям 2.1-2.5. Тогда при достаточно малых > 0 эта задача имеет решение

u(x, ), такое, что для него справедливо асимптотическое представление:

u(x, ) = (x) + (x, ),
где (x, ) имеет порядок O(1/2 ) в некоторой -окрестности , O(q ) при q = min(p, 1) в некоторой -окрестности , но вне -окрестности

, и, наконец, O() в остальной части .
Доказательство теоремы проведено с использованием асимптотического метода дифференциальных неравенств. Нижнее и верхнее решения построены на основе сглаженного корня (x) вырожденного уравнения и некоторых специальным образом введенных срезающих и погранслойных функций. Впервые использованные при этом интегральные конструкции оказались удобными в многомерном случае. Далее в Главе 2 исследована роль зависимости правой части f от в связи с вопросом существования решения задачи (16). А именно, поставлен вопрос о последствиях замены Условия 2.5 на обратное ему

Условие 2.6 f ((x0 ), x0 , 0) > 0 при некотором x0 .
Как оказалось, ответ зависит от наличия других корней у вырожденного уравнения и поведения f при u .

Условие 2.7 Уравнение f (u, x0 , 0) = 0 не имеет других корней, кроме
u = (x0 ), на промежутке [u, u] (u < (x0 ) < u).

13


Условие 2.8 Уравнение f (u, x0 , 0) = 0 не имеет других корней, кроме
u = (x0 ), на промежутке - < u < +, причем в некоторой (r
окрестности точки x0 справедлива оценка достаточно больших |u| и малых > 0.
f (u,x,) u2



0

)-

const > 0 для всех

Теорема 2.3 Пусть задача (16) для p > 3/4 удовлетворяет Условиям 2.12.4 и 2.6, а также 2.7 или 2.8. Тогда при достаточно малых > 0 эта задача не может иметь решения u(x, ), такого, что u u(x, ) u в некоторой окрестности точки x0 в случае Условия 2.7, и вовсе не имеет решения в случае Условия 2.8.
Требование достаточной малости существенно для отсутствия решения задачи (16), прич?м результат справедлив не только для краевых условий Неймана, но и для любого типа граничных условий. Доказательство теоремы основано на методе пробных функций, предложенном С.И. Похожаевым в качестве метода исследования отсутствия и разрушения решений нелинейных уравнений и неравенств в частных производных специального вида в неограниченных областях. Глава 2 заканчивается обсуждением результатов, где приведены многочисленные примеры, иллюстрирующие теорию, рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра p, а также развиты представления о природе явлений в задачах со сменой устойчивости, в частности, предложен метод построения регулярной части асимптотики решения в данном классе задач. В Главе 3 рассмотрена задача Неймана для системы уравнений эллиптического типа:

2P u = f (u, x, ), x , u (x, ) = 0, x . nx Здесь u = (u1 , . . . , un ), f = (f 1 , . . . , f n ), 2P = diag(2p1 , . . . ,

(18)
2p
n

) диаго-

нальная матрица, причем p1 p2 ћ ћ ћ pn > 3/4 некоторые числа,

n > 1, > 0 малый параметр, ограниченная область в RN , N 1.
Под nx подразумевается внутренняя нормаль к в точке x, действие
14


оператора Лапласа и взятие производной по нормали производятся покомпонентно.

Условие 3.1 Пусть вектор-функция f (u, x, ) определена и дважды непре? рывно дифференцируема при (u, x, ) I Ч Ч [0, 0 ], где I некоторый
прямоугольный параллелепипед в Rn , 0 > 0 некоторое число. Пусть также в случае N 2 граница области принадлежит классу гладкости C 2 .
По аналогии с Главой 1 вырожденная система

f (u, x, 0) = 0

(19)

решается методом последовательного исключения неизвестных в порядке, согласованном с порядком убывания степеней малого параметра. При этом появляются функции i (ui+1 , . . . , un , x), где i = 1, n - 1, и un = n (x). Для удобства записи формул определим функции i,j (uj функцию i вместо переменных u
i+1 +1

, . . . , un , x) как по-

лучающиеся путем последовательной подстановки функций i+1 , . . . , j в

, . . . , uj (в указанном порядке). Ана, . . . , un , x) как получающиеся путем
i,j

логично, определим функции f i,j (uj

+1

последовательной подстановки функций 1 , . . . , j в функцию f i вместо переменных u1 , . . . , uj (в указанном порядке). Условимся, что fk обозначает частную производную f
i,j

по соответствующему uk , k > j .

Условие 3.2 Пусть уравнение f 1,0 (u1 , . . . , un , x) = 0 имеет внутри области определения f непрерывный корень u1 = 1 (u2 , . . . , un , x), причем для всех допустимых значений переменных
1,1 1 1 (u2 , . . . , un , x) = f1 ,0 (1 (u2 , . . . , un , x), u2 , . . . , un , x) > 0.

f

Далее, пусть последовательно для i = 2, 3, . . . , n - 1 уравнение

f

i,i-1

(ui , . . . , un , x) = f

i,i-2

(

i-1

(ui , . . . , un , x), ui , . . . , un , x) = 0

имеет внутри области определения f непрерывный корень ui =

i (ui+1 , . . . , un , x), причем для всех допустимых значений переменных fii,i (ui+1 , . . . , un , x) = f
i,i-1 i

(i (ui+1 , . . . , un , x), u
15

i+1

, . . . , un , x) > 0.


Наконец, пусть уравнение f

n,n-1

(un , x) = f

n,n-2

(

n- 1

(un , x), un , x) = 0

имеет непрерывный при x корень un = n (x), причем множество

такое, что
n,n fn (x) = f n,n-1 n

(n (x), x) > 0, если x \ ,
n,n fn (x) = 0, если x .

Вектор-функция u = (x) ( вырожденной системы (19).

1,n

(x), . . . ,

n,n

(x)) является решением
n-1

Условие 3.2 означает, что, в отличие от 1 , . . . ,

, корень n априори

является изолированным и C 2 -гладким лишь вне некоторой окрестности ; внутри этой окрестности свойство изолированности и гладкости n может быть нарушено. Рассматриваемая ситуация возникает, в частности, в тех случаях, когда вырожденное уравнение имеет в два непрерывных корня, пересекающихся на множестве .

Условие 3.3 |n (x) - n ( )| L ћ x -
L > 0 (липшицевость n ). Здесь ћ
N

N

при x, для некоторого

евклидова норма в RN .

Положительность производных в Условии 3.2 говорит об устойчивости соответствующих многообразий i . Однако для n необходимы дополнительные требования, обеспечивающие его устойчивость в окрестности ,
n,n где нарушается требование fn > 0. n,n n,n Условие 3.4 fnn (x) = fnn -1 (n (x), x) > 0 при x .

Условие 3.5

f . . . f

1 1

ћћћ ...

1 fn-1 . . .

1 f . . .

< 0 при u = (x), x , = 0.

n 1

n n ћ ћ ћ fn-1 f

В связи с возможностью попадания множества на границу области появляется следующее ограничение на степени малого параметра.

Условие 3.6 p

n- 1

> 1, если = .

Задача (18) изучается при условии квазимонотонности вектор-функции

f , что обеспечивается следующим требованием.
16


Условие 3.7 Пусть производные компонент вектор-функции f удовлетворяют неравенствам

fji (u, x, ) 0,

j = i,

i, j = 1, n
n

для всех значений u, таких, что u - (x) число, x , 0 0 .

0 , где 0 некоторое

Теорема 3.2 Пусть задача (18) для P > 3/4 удовлетворяет Условиям 3.1-3.7. Тогда при достаточно малых > 0 эта задача имеет решение

u(x, ), такое, что для него справедливо асимптотическое представление:

u(x, ) = (x) + (x, ),
где (x, ) имеет порядок O(1/2 ) в некоторой -окрестности , O(q ) при q = min(pn , 1) в некоторой -окрестности , но вне -окрестности

, и, наконец, O() в остальной части .
Для доказательства теоремы применен асимптотический метод дифференциальных неравенств. При построении нижнего и верхнего решений комбинируются подходы, развитые в Главах 1 и 2. Глава 3 заканчивается обсуждением результатов, где приведены примеры, иллюстрирующие теорию, рассмотрены возможные обобщения и даны пояснения относительно выбора параметра P . Рассмотренные в Главах 1-3 краевые задачи для эллиптических уравнений и систем важны тем, что они определяют стационарные решения соответствующих начально-краевых задач параболического типа, поэтому задачей на перспективу является исследование асимптотической устойчивости и области влияния этих стационарных решений. В Приложении рассмотрен один из возможных примеров применения развитой теории к описанию явления скачка скорости бимолекулярной химической реакции. Как результат, получено описание контрастных (диссипативных) структур, возникающих в реакторе.
17


Заключение
Сформулируем основные результаты диссертации:

ћ доказаны теоремы о предельном переходе для сингулярно возмущенных систем ОДУ, уравнения эллиптического типа и систем уравнений эллиптического типа с разными степенями малого параметра при производных в случае, когда вырожденная задача имеет неизолированный корень

ћ получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач ћ показано, что множество, в окрестности которого корень вырожденной задачи является не изолированным, может иметь произвольную размерность (точки, кривые, поверхности, тела)

ћ выяснена роль достаточных условий, гарантирующих существование
решения: с использованием требований, в некотором смысле обратных этим достаточным условиям, для эллиптического уравнения доказаны утверждения об отсутствии решения, всюду близкого к неизолированному корню, и о полном отсутствии решения

ћ развиты представления о природе явлений в задачах с пересечением корней вырожденного уравнения, на их основе предложен метод построения регулярной части асимптотики решения для некоторых классов сингулярно возмущенных эллиптических задач

ћ на основе построенной теории дано описание явления скачка скорости
химической реакции бимолекулярного типа

Список публикаций автора по теме диссертации
1. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущ?нных уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002. Т. 42. 11. С. 1686-1699.
18


2. Терентьев М.А. Сингулярно возмущ?нная система параболических уравнений с разными степенями малого параметра при операторах в случае пересечения корней вырожденной задачи (В кн. "Тр. XI матем. чтений МГСУ") М: Изд-во МГСУ, 2003. С. 47-50. 3. Терентьев М.А. Сингулярно возмущ?нная система уравнений в случае пересечения корней вырожденной задачи // Десятая Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2003". Секция "Физика". Сборник тезисов. М: Физич. ф-т МГУ, 2003. С. 50-52. 4. Терентьев М.А. О сингулярно возмущ?нном уравнении эллиптического типа в случае неизолированного корня вырожденного уравнения при отсутствии зависимости правой части от малого параметра // II международная конференция "Матем. идеи П.Л. Чебышева и их прилож. к совр. пробл. естествознания". Тезисы докладов. Обнинск: ОГТУАЭ, 2004. С. 76-77. 5. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О сингулярно возмущенной эллиптической краевой задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения // Матем. заметки, 2005. Т. 78. Вып. 1. С. 26-36. 6. Терентьев М.А. Об одной сингулярно возмущенной задаче в случае неизолированного корня вырожденного уравнения // Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ (31 января 3 февраля 2008 года). Ч. 2 - М.: РГСУ, 2008. С. 124-126. 7. Терентьев М.А. О достаточных условиях отсутствия решения в сингулярно возмущенных задачах со сменой устойчивости // Математические методы и приложения: Труды восемнадцатых математических чтений РГСУ (31 января 4 февраля 2009 года). Ч. 1 - М.: РГСУ, 2009. С. 270-275.
19