Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://lnfm1.sai.msu.ru/~surdin/box/A4P_P+A.doc Дата изменения: Sat Dec 26 18:53:04 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 02:06:20 2016 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: рефракция

Астрономия для физиков (Сурдин В.Г., НГУ, 2015 г.)

Задачи с ответами

Задача 1: Два астронома с одинаковыми оптическими телескопами диаметром D
=10 м находятся - один на Земле, другой на Луне. Кто из них различит более
мелкие детали на поверхности соседнего тела, и каков будет их линейный
размер?

Реш. 1: Источником возмущения света служит атмосфера Земли. Линейное
разрешение составляет L = (L, где ( - угловое возмущение, L - расстояние от
источника возмущения до объекта наблюдения. Пусть ( = 1( для ночной
атмосферы Земли и ( = 3( для дневной.
Будем считать, что земной наблюдатель смотрит на Луну сквозь ночную
атмосферу, а лунный наблюдатель смотрит на Землю сквозь дневную атмосферу
Земли. Характерную толщину атмосферы примем равной L = 15 км. Тогда
атмосферное размытие сделает принципиально возможным наблюдение деталей
следующего линейного размера:
- с Луны на Земле днем: 15 км ( 3(/206265 = 22 см;
- с Земли на Луне ночью: 380 000 км ( 1(/206265 = 2 км.
Сможет ли телескоп диаметром 10 м с учетом дифракции на его
апертуре реализовать такое разрешение? Дифракционное разрешение
(1,22(/D) для ( = 5500 е и D = 10 м составляет около 0,014(. На
расстоянии Земля-Луна это соответствует линейному разрешению 380 000 км
( 0,014(/206265 = 26 м.
Следовательно, возможности наземного телескопа ограничивает
неоднородность земной атмосферы, не позволяющая увидеть на Луне детали
размером менее 2 километров. А возможности лунного телескопа ограничивает
лишь диаметр его объектива, не позволяющий различить на Земле детали
размером менее 26 метров. Чтобы реализовать на земной поверхности линейное
разрешение в 22 см, лунный астроном должен был бы иметь телескоп диаметром
не менее 1 км!


Задача 2: Солнечный ветер (поток протонов, электронов и (-частиц) имеет
следующие средние параметры в районе земной орбиты: плотность числа частиц
около n = 10 см-3 (можно считать, что в основном это протоны) и скорость
около v = 450 км/с. А солнечная постоянная (т. е. интенсивность солнечного
излучения вблизи Земли) приблизительно равна I = 1,4 кВт/м2. Что оказывает
большее давление на абсолютно отражающую плоскость в космическом
пространстве - солнечный свет или солнечный ветер?

Реш. 2: Давление солнечного ветра равно удвоенному (из-за отражения)
потоку импульса летящих протонов: 2mpnv2 = 2 ( 1,67ћ10-27 кг ( 107 м-3 (
(4,5ћ105 м/с)2 = 6,8ћ10-9 Н/м2.
А давление света - удвоенному потоку импульса квантов: 2I/c = 2 ( 1400
Вт/м2 / 3ћ108 м/с = 9,3ћ10-6 Н/м2. То есть, давление света в тысячу раз
сильнее, чем давление ветра на ту же площадь отражателя.
Тем не менее, см.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1
%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D1%83%D1%81


Задача 3: Солнечный ветер (поток протонов, электронов и (-частиц) имеет
следующие средние параметры в районе земной орбиты: плотность числа частиц
около n = 10 см-3 (можно считать, что в основном это протоны) и скорость
около v = 450 км/с. А солнечная постоянная (т. е. интенсивность солнечного
излучения вблизи Земли) приблизительно равна I = 1,4 кВт/м2. В какой из
этих двух форм Солнце теряет больше энергии-массы?

Реш. 3. Будем считать солнечный ветер сферически симметричным с такими же
параметрами, как у орбиты Земли (хотя это не совсем так). Тогда удельный
поток массы солнечного ветра составит mpnv = 1,67ћ10-27 кг ( 107 м-3 (
4,5ћ105 м/с = 7,5ћ10-15 кг м-2 с-1. Для солнечного ветра эквивалентный
удельный поток массы составляет I/c2 = 1400 Вт м-2 / (3ћ108 м/с)2 = 1,6ћ10-
14 кг м-2 с-1. То есть, в форме излучения Солнце теряет вдвое больше массы,
чем в форме корпускулярного потока.
Сложив оба потока (2,4ћ10-14 кг м-2 с-1) и умножив на площадь сферы
радиусом 1 а. е., [4((150 млн км)2 = 2,8ћ1023 м2], получим полный темп
потери массы Солнцем: 6,7ћ109 кг/с или 2ћ1017 кг/год. Учитывая полную
массу Солнца (2ћ1030 кг), видим, что относительная потеря массы в нашу
эпоху составляет 10-13/год.


Задача 4: Если темной ясной ночью на вершине горы зажечь спичку, то на
каком расстоянии L ее будет видно? А если дело происходит не на Земле, а
на Луне?

Реш. 4: Предельная чувствительность зрения человека обычно принимается
равной 6ћ10-17 Вт [Флиндт Р. Биология в цифрах. М.: Мир, 1992, с.141].
Это соответствует приблизительно 100 квантам света в секунду. Примем
для нашей задачи полную мощность спички 1 Вт, ее КПД в оптическом
диапазоне 10%, диаметр зрачка d = 7 мм и условие различимости огонька
глазом - оптический поток 10-16 Вт. Тогда при отсутствии поглощения
света расстояние определим из условия:

1 Вт ( 0,1 ( ((/4 ( d2) / (4(L2) = 10-16 Вт

Отсюда

L = 55 км.

Однако это справедливо лишь в вакууме, т. е. на Луне, причем высота горы
должна быть более 1 км, чтобы с равнины на расстоянии 55 км была видна ее
вершина (проверьте!)
Но на Земле даже в чистой атмосфере свет поглощается; в оптическом
диапазоне ослабление света звезды, наблюдаемой в зените составляет 0,23m
[Мартынов Д.Я. Курс практической астрофизики]. Высота однородной
атмосферы на Земле (т. е. толщина слоя воздуха, имеющего приземную
плотность и по числу молекул в проекции на луч зрения эквивалентного
нашей атмосфере в зените) составляет 8 км. Если наблюдатель смотрит вдоль
земной поверхности, то на расстоянии 55 км этот эффект ослабит свет на
0,23m ( (55 км / 8 км) = 1,6m, или в 2,5121,6 — 4,4 раза. Причем это
минимальная оценка для совершенно чистого воздуха. Поэтому расстояние,
полученное для безвоздушного пространства, нужно сократить, как минимум,
до D из условия (55/D)2 = 2,5120,23(D/8 км) . Получим около 34 км.


Задача 5: Почему звезды-гиганты и звезды-карлики одинаковых спектральных
классов имеют разную температуру поверхности? Какие из них горячее?

Реш. 5: Карлики горячее, поскольку для получения одинаковой степени
ионизации и возбуждения элементов (которыми и определяется вид спектра)
при более высокой плотности необходима более высокая температура. Высокая
плотность в атмосфере карликов связана с их большей силой тяжести, дающей
меньшую шкалу высот, при которой заметная оптическая толща набирается уже
в более плотных областях. В протяженной атмосфере гигантов та же толща
набирается еще в очень разреженных, верхних областях атмосферы.


Задача 6: Почему в недрах звезд термоядерные реакции идет вплоть до
железа, а первичный космологический нуклеосинтез практически остановился
на гелии?

Реш. 6: По мере выгорания легких элементов в ядре звезды температура и
плотность растут со временем, что позволяет формироваться все более
сильно связанным ядрам тяжелых элементов. А в ранней Вселенной в
результате быстрого расширения температура и плотность уменьшались. Когда
температура снизилась настолько, что синтез легких элементов еще мог
протекать и при этом ядра дейтерия и гелия уже не разрушались, для
синтеза более тяжелых элементов температура и плотность стали уже малы.
Произошла так называемая «закалка» - химический состав вещества
стабилизировался.


Задача 7: Почему в недрах звезд для переработки заметной доли водорода в
гелий требуются миллиарды лет (в лучшем случае - миллионы), а в эпоху
Большого взрыва, когда температура и плотность вещества были примерно
такими же, как в недрах звезд, за первые 3 минуты после начала расширения
Вселенной вещество на четверть стало гелием?

Реш. 7: В недрах звезд нет свободных нейтронов, поскольку время их жизни
порядка 10 мин. Поэтому в синтезе гелия необходима реакция превращения
протона в нейтрон, самая медленная в цепи термоядерных реакций. В ранней
Вселенной в первые минуты расширения нейтронов было почти столько же,
сколько и протонов, поэтому реакция их объединения в дейтерий и далее в
гелий шла очень быстро. Через 5 минут температура и плотность снизились и
реакция прекратилась.


Задача 8: Оптическая толща газово-пылевого облака для света составляет (
= 1 (т. е., проходя сквозь облако, свет ослабевает в e раз). Как
изменится значение (, если облако сожмется настолько, что его радиус
сократится в 10 раз?

Реш. 8: По определению, оптическая толща есть ( = k(L, где k - удельный
коэффициент поглощения (на единицу плотности среды и единицу расстояния
пути светового луча), ( - плотность среды, L - путь луча. При сжатии
облака в 10 раз его плотность возросла в 1000 раз, следовательно,
значение ( увеличилось в 100 раз.


Задача 9: Земля остановилась на орбите. Через какое время она упадет на
Солнце?

Реш. 9: Падение по радиусу к Солнцу с расстояния R можно представить как
движение по предельно сжатому эллипсу с большой полуосью а = R/2. Время
падения t равно половине орбитального периода Р на этой орбите. Значение
P легко определяется из 3-го закона Кеплера путем сравнения с движением
Земли: (P / 1 год)2 = (0,5 R / R)3. Отсюда P = 1/23/2 года, а t = P/2 =
1/25/2 = 65 суток.


Задача 10: Предположим, что в ядре Солнца мгновенно прекратились
термоядерные реакции. Когда и как мы сможем заметить это на Земле?

Реш. 10: Если в нашем распоряжении имеется детектор нейтрино, то через 8
мин 20 с (плюс время срабатывания самого детектора) он отметит
прекращение термоядерных реакций в центре Солнца. Но оптическое излучение
при этом не изменится. Оно будет поддерживаться гравитационной энергией
Солнца (т. е. его медленным сжатием). Характерное время этого процесса
называется временем Кельвина-Гельмгольца tKH = GM2/2RL, где M, R и L -
масса, радиус и светимость звезды. Для Солнца (() значение tKH составляет
GM(2/2R(L( —ћ107 лет. То есть, заметить изменение оптических
характеристик Солнца мы сможем не ранее чем через миллион лет!


Задача 11: Лунные затмения происходят, когда Луна попадает в тень Земли,
а солнечные - когда Луна «наползает» на диск Солнца. Но угловой размер
земной тени у орбиты Луны в несколько раз больше углового размера
солнечного диска. Почему же тогда солнечные затмения происходят в
несколько раз чаще лунных?

Реш. 11: За счет горизонтального параллакса, наблюдая из разных точек
Земли, мы имеем возможность смещать видимое положение лунного диска
относительно солнечного; ведь Луна к нам намного ближе, чем Солнце,
следовательно, ее параллакс намного больше. Поэтому в условии наступления
солнечного затмения есть свободный параметр - положение наблюдателя на
Земле (в основном это касается географической широты наблюдателя,
поскольку Луна сама передвигается в направлении, близком к долготному). А
в условии наступления лунного затмения этого свободного параметра нет,
поскольку Луна и тень Земли находятся на одинаковом расстоянии от нас.
Изменение точки наблюдения на Земле не меняет условия наступления лунного
затмения - оно либо есть, либо его нет.
Можно рассуждать и по-другому. Условием солнечного (хотя бы
частного) затмения служит попадание лунной полутени на Землю: диаметр
«мишени + ударника» (12742 км, Земля + 10183 км, полутень Луны у Земли)
составляет 22926 км. Условием лунного (теневого) затмения служит
попадание земной тени на Луну: диаметр «мишени + ударника» (1 диаметр
Луны + 2,7 диаметра Луны, тень Земли у Луны = 3,7 ( 3475) составляет
12858 км. Важно, что нужно брать не площади мишеней, а диаметры,
поскольку происходит сканирование по одной из координат (практически по
эклиптической долготе). Итак, для лунного затмения условие почти вдвое
более жесткое, чем для солнечного. Поэтому и затмения лунные происходят
вдвое реже, чем солнечные.
Если принять во внимание полутеневые лунные затмения, то полный
диаметр (19451 км, полутень Земли у Луны + 3475 км, диаметр Луны) = 22926
км, то есть ровно такой же, как и для частных (как минимум) солнечных
затмений.


Задача 12: В книге Дж. К. Роулинг «Гарри Поттер и философский камень»
перечислены предметы, необходимые ученикам Школы чародейства и волшебства
«Хогвартс». Оказалось, что молодым волшебникам среди прочего требуются и
телескопы, поскольку они должны изучать астрономию: «Каждую среду ровно в
полночь они приникали к телескопам, изучали ночное небо, записывали
названия разных звезд и запоминали, как движутся планеты». Вопрос: если
каждый раз наблюдения проводились в одно и то же время суток, то как же
ученики могли изучить разные звезды?

Реш. 12: Одно и то же солнечное (и основанное на нем гражданское, т. е.
поясное, декретное, зимнее, летнее) время соответствует разному звездному
времени, от которого зависит положение звезд над горизонтом. Поэтому,
если "каждую среду ровно в полночь" наблюдать звездное небо, то в течение
полугода можно изучить его полностью.


Задача 13: Энди Вейер в своем фантастическом романе «Марсианин» (М.: АСТ,
2015), так описывает спуск астронавтов на поверхность Марса с корабля
«Гермес», обращающегося на низкой околомарсианской орбите: «Сначала мы
покинули "Гермес", снизились и сбросили орбитальную скорость, чтобы
начать падать. Все шло гладко, пока мы не вошли в атмосферу. Если вас
пугает турбулентность на реактивном лайнере, летящем со скоростью 720
км/ч, представьте, каково приходится при 28 000 км/ч» (с. 33). Вы не
заметили ошибки в словах автора?

Реш. 13: Автор ошибочно привел значение скорости на низкой околоземной
орбите, тогда как для Марса значение этой скорости существенно меньше -
всего около 12 800 км/ч.


Задача 14: Поэт Лев Рубинштейн впервые посетил США весной 1991 года.
Его первое впечатление об Америке, как пишет с его слов Матвей
Ганапольский (http://m.golos-ameriki.ru/a/253224.html ), «усугублялось
тем, что это другое полушарие. Например, в том же Сан-Франциско меня
страшно поразила карта звездного неба, перевернутая наизнанку. Большая
Медведица то ли вверх ногами, то ли вниз - там все было наоборот! Причем
я это не сразу понял, не так уж я хорошо знаю карту звездного неба, но
потом мне объяснили, что здесь все перевернуто». Проанализируйте слова
поэта.

Реш. 14: Перемещение наблюдателя из Восточного в Западное полушарие
принципиально не меняет ориентацию созвездий относительно горизонта (это
происходит только при перемещении из Северного полушария в Южное). Тем не
менее, небольшое, но заметное даже для любителя астрономии изменение вида
звездного неба при переезде из Москвы (широта около 56њ) в Сан-Франциско
(широта около 38њ) все же происходит.


Задача 15: Из какой точки на поверхности Луны должен выехать луноход,
чтобы, пройдя 35 км на север, затем 20 км на восток, а затем 35 км на юг,
оказался в исходной точке.

Реш. 15: Кроме очевидного решения (южный полюс) существует еще
бесконечное число таких точек в районе северного полюса, на расстоянии от
него (35 + 20/2(n) км, при n = 1, 2,. В этой формуле не учтена кривизна
лунной поверхности.


Задача 16: Сколько геостационарных спутников необходимо, чтобы
поддерживать круглосуточную связь между научными станциями на Северном и
Южном полюсах?

Реш. 16: Максимальную широту, на которой геостационарные спутники еще
видны над горизонтом, определим из условия видимости объекта на горизонте

( = 90њ - arcsin (RЗ/rГС),

где rГС = 42166 км - радиус орбиты геостационарного спутника. Приняв
Землю за шар и взяв RЗ = 6371 км, получим ( = 90њ - 8,7њ — 81њ. На более
высоких широтах и, тем более, на полюсах Земли геостационарные спутники
не видны с уровня моря. Значит, и связь с их помощью невозможна.


Задача 17: Будет ли на Земле смена дня и ночи, если она перестанет
вращаться вокруг своей оси?

Реш. 17: Будет, поскольку орбитальное движение Земли приводит к
кажущемуся обращению Солнца вокруг нее с периодом в 1 год.


Задача 18: В радиопостановке по роману Ж. Верна «Таинственный остров» в
тот момент, когда путешественники обнаружили выброшенный на берег сундук
с полезными вещами, один из них, вынув из сундука подзорную трубу и
осмотрев в нее морскую гладь, воскликнул: «Господа, миль на 100 вокруг не
видно обломков кораблекрушения!» Каково было увеличение подзорной трубы?

Реш. 18: Линия горизонта проходит на расстоянии L от наблюдателя, там,
где его луч зрения касается поверхности Земли (см. рис.). На море это
практически линия математического горизонта. Пусть h - высота наблюдателя
над уровнем моря, R? - средний радиус Земли (6371 км). Тогда (R? + h)2 =
R?2 + L2. Отсюда L2 = 2hR? + h2. А с учетом того, что h << R?, получим с
высокой точностью расстояние до математического горизонта:

L = (2hR?)1/2 = 3,57 км ( (h / 1 м)1/2 .

При более аккуратном решении следовало бы учесть атмосферную рефракцию,
искривляющую путь светового луча в атмосфере и позволяющую «заглянуть за»
математический горизонт, но результат при этом изменится незначительно:

L = 3,86 км ( (h / 1 м)1/2 .

[pic]

Поскольку действие происходило практически на уровне моря (h — 2 м), в
трубу с любым увеличением поверхность моря видна не далее чем на 5 - 6
км, т. е. на 3 - 4 мили, имея в виду современные сухопутные мили (= 1,6
км). Если же французский писатель Жюль Верн имел в виду французскую
морскую милю (морское льё = 5,55 км), то расстояние составляет как раз
одну милю, что, по-видимому, не случайно.



Задача 19: От Северного полюса Земли к Южному прорыта вертикальная шахта.
Один снаряд без начальной скорости отпускают падать в шахту, а другой
запускают на низкую круговую полярную орбиту (см. рис.). Какой из них
быстрее достигнет Южного полюса?

[pic]
Как быстрее добраться до антиподов?


Реш. 19: Пусть МЗ - масса Земли и RЗ - радиус Земли. Полет спутника по
низкой орбите от одного полюса к другому займет половину его орбитального
периода:

Т1 = 0,5 Р = ( (RЗ3/GМЗ)1/2

Теперь определим продолжительность полета снаряда через шахту. Поскольку
распределение плотности вещества внутри Земли имеет довольно сложный вид,
мы рассмотрим два крайних случая:

а) Пусть Земля - однородный шар. На расстоянии r от центра Земли снаряд
испытывает притяжение только от внутренней части планеты радиусом r и
массой M(r) = MЗ (r/RЗ)3. Следовательно, он движется с ускорением а =
-GM(r)/r2 = -GMЗ r/R3З (знак минус говорит здесь о том, что направления
векторов r и a противоположны). Как видим, это уравнение простых
гармонических колебаний, возникающих в том случае, когда возвращающая
сила пропорциональна отклонению тела от точки равновесия. В нашем случае
эта точка - центр Земли.
Решить это уравнение можно по аналогии с уравнением малых колебаний
маятника:
а = -gr/L, где g - ускорение свободного падения, L - длина маятника, r -
его отклонение. Как известно, период колебания маятника составляет

Р = 2( (L/g)1/2 = 2( (r/a)1/2.

Значит, период колебания снаряда в шахте (независимо от амплитуды
колебания!) составит

Р = 2( (RЗ3/GMЗ)1/2

А полет между полюсами будет длиться

Т2a = 0,5 P = ( (RЗ3/GMЗ)1/2

Таким образом, в случае однородной Земли снаряды прибудут к южному полюсу
одновременно (Т1 = Т2a).

Однако известно, что к центру Земли плотность увеличивается, поэтому
рассмотрим другой крайний случай.

б) Пусть вся масса Земли сосредоточена в ее центре. Тогда ускорение
снаряда
а = GMЗ/r2. Это уравнение движения в поле точечной массы, типичное для
тел Солнечной системы. Движение нашего снаряда по радиальной орбите можно
представить как движение по вырожденному эллипсу с эксцентриситетом
практически равным единице. Тогда большая полуось этого эллипса равна
RЗ/2, а орбитальный период

Т2б = 2( [(RЗ/2)3/GMЗ]1\2 = ( (RЗ3/2GMЗ)1\2

Как видим, это в –2 раз меньше, чем Т1 или Т2a. Очевидно, что истинное
значение времени полета снаряда через шахту (Т2) удовлетворяет
неравенству Т2a > Т2 > Т2б. Следовательно, Т2 < Т1, т. е. снаряд,
отпущенный падать в шахту, достигнет противоположной точки Земли быстрее,
чем снаряд, выведенный на орбиту. Как видим, это очень удобный вид
межконтинентального транспорта и, к тому же, совершенно бесплатный (если
не считать затрат на создание шахты и поддержания в ней вакуума!).
Задача решена. А теперь попробуйте рассмотреть третий вариант
распределения плотности Земли - совершенно невероятный: пусть вся масса
планеты сосредоточена в ее бесконечно тонкой оболочке, а внутри - пусто.
Желаю успеха!


Задача 20: В галактической окрестности Солнца в результате поглощения
света межзвездной пылью поток излучения звезды ослабляется на 1%, пройдя
расстояние в 10 пк . Если считать пылинки непрозрачными шариками радиусом
r = 2ћ10-5 см, то каково среднее расстояние между пылинками?

Реш. 20: Рассмотрим столбик пространства с площадью сечения s и длиной L.
Если среднее расстояние между пылинками d, то средний объем пространства
на одну пылинку равен d 3, и количество пылинок в столбике N = sL/d 3.
Поскольку поглощение невелико (( << 1), пылинки практически не
проецируются друг на друга и ослабляют свет во столько раз, какую долю
сечения они в сумме перекрывают:

( = N(r 2 / s = L(r 2 / d 3.

Отсюда расстояние между пылинками (при ( << 1 !) составляет

d = (L(r 2 / ()1/3.

Подставив значения L = 10 пк = 3,1ћ1019 см, r = 2ћ10-5 см и ( = 0,01;
получим d = 1,6ћ104 см.