Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/Nagirner-radmech.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Feb 2 16:41:18 2009 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 23:02:51 2012 Êîäèðîâêà: ISO8859-5 Ïîèñêîâûå ñëîâà: îìï

?

É

 

?



?

?

Ê

Ê

?






É È ÌÍÌ ÌÍÊ ÌÍÌ ÌÎÊ ?

ÊÉ ÎÌÌ




Î ÎÎÊ ÏÎ Í
É Ê É É
É ÊÉ

ÊÉ ÊÉ ÊÉ
É

Ê Ê Ê

?
?Ê Ê

?

?

? Ê
Ê ?Ê

Ê

Ê

?



Ê Í ÊÈ ÑÛ Ö ? Ê È Ê È  ÑÛ Ö Ê ÍÌÍ É ÉÎ ÉÌ Ê É ÊÉ ÉÌ

Ê Ê É È ÎÌÌ Ê


É ÉÎ

ÏÉ

Î

Ê

Ê

Ê

É É È È Ê Ê È È





È É É É É É



Ê ÍÊ

ÊÏ Ê ÊÊ

ÏÉ



ÎÎÊ ÏÎ

È ÎÌÌ


?
È ? Ê È É È Ê Ê È Ä ÍÍ Ê Ê È È Ê É É É É É É É É È





?Ê ?Ê

È

ÅÈ

È

É É Ê

È

È 

ÅÈ È Ê

Ä È ÍÊ Ê È Ê

Ê

È

É É É É É

É Î Ê ? É É È É É È ÎÊ Ê ÈÉ

ÊÊ

Ê? È

Ê

Ê ?

Ê

È È È

Ê

Ï


Ê Ê Ê ÌÊ ÍÊ È È È ÄÑÊÎÌÅ È Ê ÛÈ È È

Ê

È

É É É È É É

È

È

? ?

Ê È Ê ÎÌ  ÑÊ ? È

É É É

Ê




ÑÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ È È
H

Ê

È È
B H . t

Î

Ê

É É

div H = 0, rot E = -

ÄÍÅ È
EÊ

È ?
È Î

É É É É É

È ÊÊ

È

E 4 div E = 4 , rot H = + . c t c (r , t)

ÄÎÅ Ê É É ÄÏÅ É É É È

È

(r , t)

È

+ div = 0, t

È ÊÊ ÄÎÅ

Ê Ê È

È

Ê È

Ê Ê Ê



È

È

É


ÎÊ

Ê Ê
div(E ç B ) = B (rot E ) - E (rot B ).

É É ÄÅ É ÄÅ Ä Å ÄÅ È É

È



È
1 W + div S = -E , c t E 2 + H 2 , 4

W=

S=

c E ç H. 4 E

ÄÅ Ê ÏÊ
A

È

Ê È Ê Ê È

Ê

È Ê



È

É

E=-

1 A - grad , c t

H = rot A .

ÄÅ É

?

Ê

ÄÍÅ È Ê Ê È È

É É É

È È ÄÅ È



A = A - grad , = +

1 . c t

ÄÅ

ÄéÅ

Ê?




Ê

É È
+ div A = 0. c t ÄÅ

È

É ÄÅ Ê É É ÄÍÌÅ
È ),

È

È

È

ÄÅ

+ div A = b(r, t) = 0. c t Ä Å ÄÍÌÅ 2 - = b(r , t) ( = div grad c 2 t2 È Ê b(r, t) ÄÍÍÅÈ ÄÅ È ÄÅ Ê È

ÄÍÍÅ ÄÅ Ê

È

Ê

ÄÍÍÅÊ Ê Ê Ê Ä ÅÈ

È





É

È

ÄÅ

2 4 4 2A - = , 2 2 - A = . c 2 t2 c t c

ÄÍÎÅ ÄÍÏÅ

?

c v= .

È
1 2 - , v 2 t2

Ê ?

É É ÄÍ Å

=


Ê
4 , 4 . c

É

=

A=

ÄÍ Å È É É È

È È È Ê Ä ÅÊ È

Ê

Ê Ê È

Ê

ÄÍ ÅÊ

Ê

É É

= 4 f (r , t),

ÄÍ Å

(r , t) =

f (r1 , t1 ) 3 d r1 . |r - r1 |

ÄÍ Å Ê È É Ê È É É

Ê È
t1 È tÊ 

Ê

f

Ê Ê
t

ÈÊÊ
r

1

Ê
|r - r1 | = v (t - t1 ). r1

ÄÍ Å Ê É



ÄÍ Å


r

tÈ

vÈ

È

r1 È

t1 Ê

Ê

É

ÿ ÎÊ
ÍÊ È Ê È
tÊ

r = (x, y , z )È x, y , z , t È

É É È Ê? É

Ê?

È È É È Ê

Ê? Ê Ê?

É É É É È ÄÍ Å

r = { c t, r }

Ê

È

s

2 12

= c2 (t1 - t2 )2 - (r1 - r2 )2 .

Ê È Ê È Ê
s22 > 0È 1 È s22 < 0È 1

È

È Ê Ê

È

É É

È

Ê

Ê

É


s

2 12

= 0È

Ê

Ê

È Ê

È É ÄÎÌÅ

È
s 2 = c 2 t2 - r 2 .

Ä

Å

É ÄÎÍÅ É È É É É É É

ds2 = (ds)2 = c2 dt2 - dr 2 .

ÎÊ È Ê È È È È Ê È È Ê r , tÈ È È

Ê

Ê

È È

È È Ê? È

È

È É É É É

VÊ

È

Ê

È

Ê

É É É É

È
r = r - V t + ( - 1) (r V ) V /V 2 . t = (t - V r/c2 ),

ÄÎÎÅ

ÍÌ


1 1 - V 2 /c
2

È
.

É ÄÎÏÅ É É É É

È

È

tÈ

È

È

c tÊ

È

r = (r - ctV /c2 ) + ( - 1)V ç (V ç r )/V 2 .

c t = (c t - V r /c),

ÄÎ Å Ê
VÊ É É

? Ê È Ê È V = V (1, 0, 0)Ê È È

V

-V È

È

ÈÊÊ

Ê È

É

È Ê ÄÎ Å É

t = (t - xV /c2 ), x = (x - V t), y = y , z = z .

Ê ÏÊ Ê ÈÊÊ È Ê
cdt d3 r Ä s

Ê
2

É É É É d4 r = É É

È

ÅÊ

ÄÎÎÅÊ ÍÍ


Ä

Ä Ê?

ÅÈ Ê Ê? Å Ä

É ÅÈ È É È É

È d = dt/ d3 r0 = d3 r Ä d4 r/cÅÊ È È Ê? ÅÈ É Ê È
0, 1, 2, 3È

Ê É É É É É È É

Ê? Ê? È

Ä Ä È

È ÅÅ

Å

Ì

ÈÊÊ

a = {aÅ } = {a0 , a}, Å = 0, 1, 2, 3, a = (a1 , a2 , a3 ) = (ax , ay , az ). ÄÎ Å

È a = { a0 , a} È

È Ä Å ÅÈ È
a0 = a0 Ê

É É É ÄÎ Å È

Ä

ÈÊÊ

È

a = (a0 - a V /c), a = a - a0 V /c + ( - 1)(V a)V /V 2 . 0

a = (a0 - a V /c), a = (a - a0 V /c) + ( - 1)V ç (V ç a)/V 2 . ÄÎ Å 0

È ÍÎ

Ê


È Ê
a = { aÅ } = { a0 , a}

Ê
b = {bÅ } = {b0 , b}

É É È ÄÎ Å È É

a b = a0 b0 - a b, a2 = a2 - a 2 . 0

È É È È a ?

È Ê

È ÄÎ Å ÈÊÊ Ê Ê È Ê È a2 < 0 È Ê È

É
a2 > 0 È É

È È
a2 = 0 È

Ê Ê
r 2 = s2 Ê

È Ê ÍÅ r = { c t, r } Ê

È

É



Ê

È dr = {cdt, dr }È

Ä

Å È

Ê É É ÄÏÌÅ

(dr )2 = ds2 = c2 dt2 - dr2 .

ÎÅ

È
1 , - c t

È

Ê

Ê

É

=

(



).

ÄÏÍÅ

ÍÏ


È

È


Ê

È
+ dr = d t È È

È ÄÎ Å

É É ÄÏÎÅ

dr = dt



È

Ê 1 2 = 2 2 -= c t Ê
2

Ê? É É ÄÏÏÅ

Ê

Ê Ê È È È È ÅÊ

v=

Ä É Ä

Å

È Ê?

dr dt É É dr

É È
1 , ÄÏ Å 1 - v 2 / c2

v= v

d dr = { c t, r } = { c , v } = { c , v } , d dt

=

È

Ê

È

È

Ê ÄÏ Å Ê É

v 2 = c2 > 0 ,

Å
= v /c = { , }.

Ä

ÄÏ Å

Í


Ê È

Ê

È ÄÏ Å

p = m v = m { c, v } = { p 0 , p } , p 0 = m c , p = m v .

È
p 2 = p 2 - p 2 = m 2 c2 > 0 . 0

ÄÏ Å É

p0 =

m2 c2 + p2 = mc , p = |p|,

ÄÏ Å É

=

1 + (p/mc)2 .

Ä ÌÅ

Ä ÌÅ
v= p = m pc m 2 c2 + p
2

.

Ä ÍÅ

Ê
(p) = p0 c - mc2 = mc2 ( - 1), p = |p|,

Ä ÎÅ Ê È É Ä ÏÅ Ê

ÊÊ
m

m c2 Ê

È
v = |v | = d(p) . dp

Ê ÍÅ

v cÈ Ê Ê È
2

1 1+

p m cÊ = p2 mv 2 = , 2m 2

É Ä Å

p = mv , = mc

1 p2 -1 2 m 2 c2

ÊÊ Í

Ê


ÎÅ

vc p cÊ Ê

Ä ÏÅ

1È

p m cÊ

Ê

Ê
w= dv dv d = = { c, v } . d dt dt

Ä

Å Ê É

v 2 = v2 Ê

vw d = 3 2 . dt c vw vw , w + 2 v }. c c w = 2 { 2 w , w + ( w ) }.

Ä

Å

w = 2 {

2

Ä

Å

È

Ä È Ä È

Å É Å É É È

?

Ê

È

È

w = 3 ( 2 w - w - 2 2 w ) = 0.

Ê?

È È Ê È Ê Ê

ÍÌÊ Ê

w 2 = 4 [ 4 ( w )2 - w2 - 4 2 ( w )2 - 2 2 ( w )2 ] = = 6 [-w2 (1 - 2 ) - ( w )2 ] = 6 [-w2 + ( ç w )2 ].

Ä ÌÅ È É

w = 0È

Ê

È

È

Ê

Í


ÍÍÊ

Ê È Ê È

Ê

È

Ê



É

È

Ê

È

Ê



È

È Ê ?Ê

Ê

É È É Ä ÍÅ Ê

È

È / cÈ Ê

k = {k , k } =

c

{ , n} , k =

, k = k n, |n| = 1. c



È

È

ö = k / , ö = k / = / c, ö = k / .

Ä ÎÅ

ÍÎÊ È Ê

Ê

È
VÈ

Ê

É

Å Ä

È

Å

É È Ä ÏÅ

= (1 - n V /c).

ÄV -V Å

È

È Ä

É Å

= (1 + n V /c).

Í


È ÍÎ

Ê È Ê
V / cÈ

È Ê Ê Ê




È

É È É





Ê

É V 2 / c2 È Ê Ê È É É È È É É Ê É

È

Ä È Ê Ê

Ê

ÅÈ

ÍÏÊ ?



É

n = n - V /c + ( - 1) (n V )V /V 2 .

Ä

Å É


n = n - V /c + ( - 1)(n V )V /V (1 - n V /c)
2

.

Ä

Å

ÄÅ

È
n ç n = [V /c - ( - 1)nV /V ]n ç V /V .

V -V Ê É

Ä È È Ä

Å

Ê

VÈ n V

n n



È ÄÅ

Ê Ä ÏÅ
n



sin( - ) = sin

V /c - (1 - 1/) cos . 1 - V cos /c

Å

Í


È

ÄÅ


sin( - ) = V sin /c.

É Ä Ê
2

Å È



Ä ÏÅ

Ä

Å

(1 - V cos /c)(1 + V cos /c) = 1/2 = 1 - V 2 /c cos - cos + V (1 - cos cos )/c = 0. co s - V / c cos + V /c , co s = . 1 - V cos /c 1 + V cos /c

Ä ÌÅ Ä ÍÅ

cos =

Ä ÎÅ

sin =

1 sin sin 1 , sin = . 1 - V cos /c 1 + V cos /c sin( - )Ê

Ä ÏÅ Ä Å

ÍÊ

Ê

Ê
n ç V = n ç V .

Ä

Å

È

É Ä Å

?
sin = sin ,

È Ä È È Å É Ä ÎÅÈ
2

Ê Ê

É Å

sin d =

sin d = (1 - V cos /c)2
2

sin d.

Ä

Í


È È

dÊ

È Ä

2 sin dÈ

È

Å d3 k /k È k 2 d2 nÈ Ê È È É É É É Ê É

dk /k Ê

d3 p/p0 Ê

Ê Ê Ê

È

Í Ê? ?

È

Ê È
d3 r =

Ê È
3 d r = d3 r0 .

Ä È
d3 r0

Å É É É

È

È

È v = c 2 - 1 / Ê
/ = 0 È

È È

Ê É Ä É

È
j=

{ c , v } = { c, } .

Å



ÎÌ


j =

+ = 0. t 4 , c

Ä

Å

È
= 4 , =

Ä ÌÅ

Å
4 j. c

A=

Ä ÍÅ È É Ä ÎÅ È É Ä ÏÅ É É È É É É É

È
A = {, A}. 1 + A = 0, c t

A =

È

Ê

Ê Ä ÍÊ Ê Î ÅÊ Ê Ê È È Ê Ä Ê È Ê

É

É Å

v 1 = 1 {c, v1 }, v 2 = 2 {c, v2 }.

ÎÍ


V = v1 Ê
2 2 v 1 = {1 (c - v1 /c), 0} = {c, 0}, ÄÅ 2 v 2 = {1 2 (c - v1 v2 /c), 2 v2 - 1 2 v1 + (1 - 1)2 (v1 v2 )v1 /v1 }.

21 = 12 = 1 2 (1 - v1 v2 /c2 ) = v 1 v 2 /c2 = r

Ä

Å É É

È

Ê

È Ä Å

2 2 v1 = c2 (1 - 1/1 ), v1 v2 = c2 (1 - r /1 2 ),

v21 =

2 1 v2 - 1 v1 + r 1 + 1

1 -

r 2

v1 =

1 r

2 v2 - 1

2 + r v1 . 1 + 1 ÄÅ

2 v21 = |v21 |2 =

È

2 c2 2 + 2 + 2r 2 r + 2 2 2 - 1 + r (1 - 1) - 2 (1 2 - r ) , 2 r 1 + 1 1 + 1 ÄÅ È Ê?

2 vr = v12 = v21 = c 1 - 1/r = c

c2 (v1 - v2 )2 - (v1 ç v2 )2 . c2 - v1 v2

Ä ÌÅ É Ä ÍÅ

cÊ v21 = 1 2 (v2 - v1 ). r

È

È

r = 1 2 , v21 = v2 /1 - v1 .

Ä ÎÅ

ÎÎ


È
1 - 2 r r - 1 2 1 v1 - v2 - 1 + 1 2 + 1 r

È

É

v12 + v21 =

2 , r = 1ÅÊ

2 1 v1 + v2 , 1 + 1 2 + 1 Ä ÏÅ È Äv1 = v2 È 1 =

ÿ ÏÊ
ÍÊ Ê Ê Ê É r0 (t)
e tÈ

É É

(r , t) = e (r - r0 (t)), (r , t) = (r, t) r (t). 0

Ä

Å Ê É

Ê ÄÍ ÅÈ

Ê Ê

É

Ê
r tÊ ? r

È t É

=1 = 4 , A= 4 . c

Ä
d3 r1 . |r - r1 |

Å É

ÄÍ Å
= t
1

È
(r1 , t1 ) d3 r1 , |r - r1 | A= 1 c (r1 , t1 )

Ä

Å É

tÈ

È È ÎÏ

Ê


È

ÄÅ

t

1

É Ä Ä ÅÊ Å É
d3 r1 . |r - r1 | ÄÅ É

c (t - t1 ) = |r - r1 |.

ÈÊÊ
(r , t) = e (r1 - r0 (t1 ))



e d3 r1 , A= |r - r1 | c t

(r1 - r0 (t1 ))r (t1 ) 0 É

È

È

c (t - t0 ) = |r - r0 (t0 )|. 1 1 (r , t) = e I, R0 A(r , t) =

Ä É

Å

e 0 r (t ) I . R0 0 1

Ä ÌÅ É

È

Ä

Ê

Ê ÍÅ

R0 = R0 (r , t0 ) = r - r0 (t0 ), R0 = R0 (r , t0 ) = |R0 | = |r - r0 (t0 )|, Ä ÍÅ 1 1 1 1

I=

(r1 - r0 (t1 ))d3 r1 .

Ä ÎÅ

.
Ê ÍÊ 

R0 r
Ê

r0 (t1 )

È È Ê?

É r0

Ê

È ÈÊÊ

É Ê

Î


Ä ÌÅ

ÎÊ ?

Ä ÅÊ ? Ê

Ê

É É Ê

ÍÅ

r1 - r0 (t - |r - r1 |/c) = r2 . É

Ä ÏÅ É

Ê

Ê

ÎÅ ?É È È

È

Ê È È Ä Ê Ä

Ê? É
= e , A = 0. R0

É Ê É É Å É É Å

Ê

R0 = {c (t - t0 ), r - r0 (t0 )} = {R0 , R0 } 1 1 v0 r0 (t0 ) 1 = . c c

v 0 = c{0 , 0 0 },

0 =

Ä

Å É É

È

È È
2 0 = (1 - 0 )- 1/2

Ê?
.

È Ä

Å É É É É

È Ê?

È
R0 Ê

A = {, A}

È

Î


v e e { 1 , 0 } I , v= v 0 R0 0 R0

0

R0 Ê 1

A=

I=

1 - 0 R0 /R0 t rÊ

.

Ä

Å É r t1

ÏÅ Ê È


c(t - t1 )

Ê Ä Å

Ê

È

Ê ÈÊÊ Ê È
bÊ

vÊ

ÊÎ

Ä ÌÅÊ È

É É

Ê

Ê

aÈ

È ÊÊ

Ê? Ä É È È

? Ê
b - aÈ

É È Ê Ï ÅÊ É É È


bÊ

È

a / cÊ

È

È

b-a b = , c v b/ a v

b 1 = . a 1 - v /c

Ä È

Å

Ä ÌÅ
a-b b 1 b = , = . c v a 1 + v /c

È Ä È Ê Ï ÅÊ

?

Ê

ÄÍÌÌÅ

Î


...
Ê ÎÊ

.

...
È

.

Ê

b-a a a b a a-b

a a-b b a
Ê È



Ê ÏÊ

È

v



b / aÊ a

Ê ? È

Ê
a 0Ê

É
I

É È É

È ÄÅ

e e r0 (t1 ) (r , t) = , A = , s = R0 (r , t1 ) - r (t1 ) R0 (r , t1 )/c. ÄÍÌÍÅ 0 s cs

ÈÊÊ

t0 È 1 c(t - t1 ) = R0 (r , t1 ).

Ä

ÅÈ ÄÍÌÎÅ

Î


Ê È È
R0

Ê È
2 1/R0 È

É É Ê É É É È É É Ê Ê É È
rc

È
1/R0 Ê

È È È Ê È

È ÊÊ

Ê

ÏÊ
aÊ ?

Ê?

È
R = r - rc .

É

É

ÄÍÌÏÅ É ÄÍÌ Å

?

È
=

x = x(t1 ) = r0 - rc = R - R0 . R = R0 + x 1 1 r 0 (t1 ) = x (t1 ), c c (t1 ) =

1 1 1 r 0 (t1 ) = x (t1 ) = w, ÄÍÌ Å c c c

w = w (t1 ) n= R Ê R

Ê È È

|x| aÊ

Ê Ê |x| a RÊ
R0 =

È

Ê

R2 + x2 - 2 R x = R

1 - 2 (x/R) n + (x/R)2 R-x R R0 = = n. R0 R0 R

R [1 - (x/R) n] = R - x n,

ÄÍÌ Å

Î


È ?
R (r, t) = (t1 ) =

È È
e R - R (t1 ) 1/R0

È È È È
1/R Ê

È



Ä

Å

É É É Ê
R0

,

A(r, t) = A(t1 ) =

e (t1 ) R - R (t1 )

ÄÍÌ Å

(t1 ) = t

1 (t1 ) e e , A(t1 ) = . R 1 - n (t1 ) R 1 - n (t1 )
1

ÄÍÌ Å

Ê

TÈ R = c (t - T ).

É ÄÍÌ Å

ÄÍÌÎÅÈ ÄÍÌ Å

ÄÍÌ Å
t1 -

È ÄÍÍÌÅ
R / cÊ t1 Ê t1 Ê

R 1 nx = T = t- . c c tÈ

? Ê

T

È

É É É

ÄÍÍÌÅ
n 1 -n = - , c

dt

1

1 - n = dt, t

1

ÄÍÍÍÅ

1 n 1 t t1 = 1 - n , t1 = - = , . t t1 c 1 -n 1 -n

ÄÍÍÎÅ

Î


È
(t1 ) = e + n A(t1 ). R

É ÄÍÍÏÅ È
-1

È





RÊ . t1 È Ê Ê

É É È ÄÍÍ Å

r = r r

È
1 n =- . t1 c 1 - n t1

= t

1

ÄÍÍ Å É É ÄÍÍ Å ÄÍÍ Å

Ê

È
=- = -

ÄÍÍ Å
n , c t

ÄÍÍÎÅ

n n A , A = - . c t c t

È
t1 e n A e (1 - n ) + (n ) , . = = = t t1 t R (1 - n )3 t R (1 - n )3

ÄÍÍ Å

1 1 n A + A = - = 0. c t c t c t

ÄÍÍ Å È

È
A= e e {1, } , = R R 1 - n

È

R = {R, R},

= {1, }/ 1 - 2 . ÄÍÎÌÅ

ÏÌ


Ê

È
1 A 1 A - = - + c t c t e - (1 - n ) = Rc (1 -

Ê? Ê

É

E=-

n 1 = (-A + n ) = c t c t + (n - ) n . ÄÍÎÍÅ n )3

?

H =çA=-

e n (1 - n ) + (n ) n A . ç =- ç c t Rc (1 - n )3

ÄÍÎÎÅ

È



ÄÍÎÍÅ

E=

È

1 e n ç [(n - ) ç ] . cR (1 - n )3 E = H ç n. n, E H

ÄÍÎÏÅ

H = n ç E,

ÄÍÎ Å É É É É É ÄÍÎ Å É

ÈÊÊ È È È

È Ê

È È
n n A , H=- ç A. ç c t c t

E =nç



Ê È

Ê

È

E 2 /4 = H 2 /4 Ê S=

ÈÊÊ

Ê W=

c c E2 EçH = E ç (n ç E ) = c n = W c n. 4 4 4

ÄÍÎ Å

ÏÍ


È Ê È È

ÈÊÊ

É

W n S W + S = - = 0. t t c t

ÄÍÎ Å

ÿÊ
ÍÊ
v cÊ Ê

Ê Ê
a È = c/ c a / v Ê



= v /a aÊ t
1

È È ÄÍÍÌÅÈ È È

È È

TÈ

ÈÊÊ vÊ É a/ v Ê ÈÉ v cÈ È Ê É
x Tt

a/ c a/ v Ê

É
1

?
= 1 e e = R 1 - n x (t1 )/c R 1+ nx . c

Ê

ÄÍÎ Å

?
A=

x e e = x(T ) R c 1 - n x /c Rc e? x ç n, E = H ç n. R c2

ÄÍÎ Å ÄÍÏÌÅ

H=

W=

12 1 12 e2 ? ? E= H = 4 2 |x ç n|2 = 4 2 |d ç n|2 , 4 4 cR cR

ÄÍÏÍÅ

ÏÎ


Ä
S=

d = ex

Å

È

c c2 n c ? E çH= E ç (n ç E ) = |d ç n|2 = W c n. E n= 4 4 4 4 c3 R 2 ÄÍÏÎÅ ? È ÊÊ É È Ê È È R2 È Ê Ê ÄÍÏÎÅ W () = 1? e2 ? 2 e2 |d ç n|2 = |x| sin2 = w2 sin2 , ÄÍÏÏÅ 4 c3 4 c3 4 c3



Ê

É ÄÍÏÏÅ È Ê È È Ê Ê? Ê É
2 e2 2 w. 3 c3

É É

ÈÊÊ



I =2
0

e2 W () sin d = w2 2 4 c3



sin d sin2 =
0



È Ê ÄÍÏÏÅ ÄÍÏ Å È Ê Ä È

ÄÍÏ Å ÈÊÊ Ê É É É É



È Ê

Ê ÊÅ

ÏÏ


ÎÊ È

Ê È

É É É

Ê Ê
t1 È

Ê È Ê? Ê È È

É É

Ê dx = {cdt, 0}, dP = {dP0 , 0} = I {dt/c, 0} = = (I /c2 ){cdt, 0} = (I /c2 )dx, w2 = w2 , I = (2/3)(e2 /c3 )w2 ,

tÄ

t1 Å

Å
cP0

Ê dx = {cdt1 , dx(t1 )}, dP = {dP0 , P } = I {dt1 /c, dx(t1 )/c2 } = = (I /c2 ){cdt1 , dx(t1 )} = (I /c2 )dx(t1 ), w 2 = 6 [( ç w )2 - w2 ], I = (2/3)(e2 /c3 )(-w 2 ). ÄÍÏ Å É Ä Ê
x

Ä

Å

É ÅÊ Ä

PÊ

È

È

É É x

PÈ

È Å Ê È

dx

dP Ê ?

È

È

È ÊÊ

É É É

Ê

Ê Ï


Ê È
I=

IÄ

I / c2 Å

É È Ä ÌÅ
2 e2 6 2 [w - ( ç w )2 ]. 3 c3 -w 2 Ê ?

Ê

É É

É ÄÍÏ Å É

ÏÊ

Ê



E=

e n ç [(n - ) ç w] . c2 R (1 - n )3

ÄÍÏ Å
n

d2 n dI (n) = W d2 n =

È

È

É

c 2 22 e2 |n ç [(n - ) ç w ]|2 2 d n. ÄÍÏ Å E R d n= 4 4 c3 (1 - n )6

ÍÈ
(t1 )È t R tÊ t1 t/ t1 = 1 - n Ê tÊ

nÈ

t1 Ê ? R t1 È

È É É n É

t1 Ê

W W

É É

W (n) = W (1 - n ) = = e2 4 c
3

c22 R |E | (1 - n ) = 4 w2 (1 - n )2 + 2(nw )( w )(1 - n ) - (1 - 2)(nw )2 (1 - n )5

. ÄÍÏ Å

Ï




w

/2-È

e1 = e1 ( , w) =

w /w - sin / çw , e2 = e2 ( , w ) = , e3 = . co s w co s ÄÍ ÌÅ

= e3 , w = w(cos e1 + sin e3 ).

ÄÍ ÍÅ


n = sin (cos e1 + sin e2 ) + cos e3 .

ÄÍ ÎÅ

n = cos , w = w sin , nw = wÅ, Å = sin cos + cos sin cos . ÄÍ ÏÅ ÄÍÏ ÅÈ È É e2 w 2 1 Å sin (1 - 2 )Å2 . ÄÍ +2 - 4 c3 (1 - cos )3 (1 - cos )4 (1 - cos )5

W (n) =

Å É

È

ÄÍ

Å

ÄÍÏ ÅÊ

È

È

W d2 n = I ,

W nd2 n = I .

ÄÍ

Å É

Ê Ê Ê È È ÄÍ Å È
1

É

dP =

I dt I I dx(t1 ) = 2 {cdt1 , dx(t1 )} = dt1 {1, (t1 )} = 2 c c c c

W {1, n}d2 n.

ÄÍ

Å

Ï




Ê

É È É ÄÍ Å

(t1 ) = (t1 ){1, (t1 )} w (t1 ) = 2 { 2 w, w + 2 ( w) }, ö = ö{1, n},

ÄÍ
öÊ

Å É
ö

Ä Ê

É ÈÊÊ È
dP = - e2 d1 4 c3

È È ÄÍ Å È

Å È

(ö )2 w 2 + (ö w)2 2 2 ö d n ö. (ö )5

ÄÍ

Å

È

d1 = dt1 / È È
ö öÊ ?

É ö2 d2 n É É Ê Ä É É É

È Å

È

W=-

e2 ö3 (ö )2 w2 + (ö w )2 . 4 c3 (ö )5

ÄÍ ÌÅ É w 2 = -w 2 , ö = È

ö0 , ö = ö0 , w ö = -ö0 n w ÄÍÏÏÅÊ

ÈÊÊ = 0È È ÄÍ ÌÅ Ê

Ê



Ê Ï


Ä ||w Å
W= e2 2 sin2 w . 3 4 c (1 - cos )5

ÄÍ ÍÅ


Ê
co s
max

W

È
max

È
1 2 1 + 3 +
2

É

=

1 + 15 2 - 1 , sin 3

=

1 + 15

2

.

ÄÍ ÎÅ

Ê Ê Ê 0 < 1È È

ÄÍ ÍÅ
sin2 Ê = /2Ê È 1 - cos ÄÍ ÍÅ È

É É É Ê Ê È É É

Ê

È

1- cos = 1- + (1-cos ) =

ÄÍ ÍÅ
W e2 2 w 4 c3
2

1 - 2 2 1 + 22 1 . +2 sin2 2 + = 1+ 2 2 2 2 2 ÄÍ ÏÅ È
5

u e2 2 5 8 w2 , u = ( )2 . 4 c3 (1 + u)5 ÄÍ Å È É Ê ? È u = 1/4È Ê Ê max = 1/(2 )È ÄÍ ÎÅÊ u/(1 + u)5 28 /55 Ê
2

2 2 1 + 2

=

u/(1 + u)5 = 27 /55 Ê

u = 0.05303 u = 0.8216Ê = 0.2303/ = 0.9065/ Ê

Ï


É 1 sin2 È É (1 - cos )5 32 8 ÄÍ ÍÅÈ = 0, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98Ê É = 1.154, 1.167, 2.294, 3.203, 5.025Ê É Ê 32 8 È É 32, 1.01 Ç 102, 1.91 Ç 103, 2.46 Ç 104, 3.54 Ç 105, 1.30 Ç 107Ê Ä Å Ê  É Ê Ê u = ( )2 Ê Å É Å Ê u/(1 + u)5È = 1, = Ê ? È Í É È Ê
0.04 0.08

Ê

0.02

0.06

0.00

0.04

-0.02

0.02

-0.04 -0.02

0.00 0.00 0.02 0.04 0.06
2

0.08

0.0

0.5

1.0

1.5

u

2.0

2.5

3.0



Ê

1 sin (1 - cos )5 32 = 0È 0.5È 0.8È 0.9È 0.95 0.98 Ê

Ê

8



Ê

Ê È u = ( ) 1.0Ê Ê
2

È

È È È

È



É Ê É

Ï


È


Ê
1

È

0

sin3 d = (1 - cos )5


-1

1 - 2 4 d = I0 5 - I2 5 = 6 , (1 - )5 3
35

25

10 0

3 d = 25 6 I2 (1 + 2 2 )5

=

46 . 3

ÄÍ

Å È

È

È

?Ê È

É

3 < >= 6 25 4


10+ 0

+3 d = 24 I2 (1 + 2 2 )5 1- 4 1- 2 4

+3 5

=

1 = (3 - /2)(2 + /2) = 2

/2 . ÄÍ sin( /2)

Å

-4 < < 6Ê ? < >= 9 1 0.8836 24 = , < 2 >= 2 I2 32
55

È
1 . 2

=

ÄÍ

Å

D =

0.2193 0.4683 D = , . 2

ÄÍ È

Å É É

È È
1/

È ÊÊ È Ê È

È

É

Ê

Ê

Ì


É

È

Ê

È

É É

ÿÊ
ÍÊ ÈÊÊ ÄÍÌ ÅÊ Ê? Ê È


É É



=
-

e

it

(t1 )dt, A =
-

e

i t

A(t1 )dt.

ÄÍ
rÈ

Å

Ê ? t1 ÄÍÍÌÅ
e = e R
i R/c -

tÊ

t1 È

È È

ÈÊÊ

É


e
i (t1 -x n/c)

ÄÍÍÍÅÈ

t
i R/c -

e dt1 , A = e R

e

i (t1 -x n/c)

dt1 .

È
A = { , A } = e e R
i R/c

ÄÍ ÌÅ É ÄÍ ÍÅ

2 G(ö),

G(ö) = G (n) = {G0 (ö), G(ö)} =

1 2 c

e

iöx

dx.

ÄÍ ÎÅ

Í


?
ö = { ö, ö} , ö = ö n , ö = / c,

É ÄÍ ÏÅ Ê É É Å

ÊÊ

ÄÍ ÎÅ È

È

x = {c t1 , x(t1 )}, dx/c = {dt1 , (t1 )dt1 }.

ÄÍ

ÄÍ Å ÄÍ ÍÅÈ
n

È


È

ÄÍ ÌÅ ÍÊ ? È Ê
ö

ÄÍ ÍÅ É É ÄÍ Å

ö A = 0, ö = ö A

Ä

Å
ö G(ö) = 0, ö G0 (ö) = ö G(ö).

ÄÍ ÎÅ ÄÍ Å

È
A- = A ,

ÄÍ

Å É

ÊÊ

Ê
A(t1 ) = 1 2


e
-

-i t

A d .

ÄÍ

Å

ÎÊ

Ê ÄÍÎ ÅÈ Ê

É É É

Î




E =
-

e

i t

E (t1 )dt =

i ö ç (A ç ö) = iön ç (A ç n) = ö

? ? Ê

= i ö [A - n (A n)] = i ö [A - n ]. H = i ö ç A = n ç E .

ÄÍ

Å

ÄÍ ÌÅ ÄÍ Å É É

È


-

1 |E | dt =
2



0

|E |2 d . G

ÄÍ ÍÅ

È ÄÍ Å
|E |2 = ö =ö
2 2

ÄÍ ÍÅ

|A |2 + | |2 - n(A + A ) =
2

|A |2 - | |2 = -ö2 A A = -4

e2 2 ö G G . ÄÍ ÎÅ R2

ÊÊ

ÏÊ

Ê

Ê
2 0

È ÄÍ ÍÅ






W=

-

W dt1 =

-

c W dt = R 4
2

c |E | dt = 2 R 4
2

2 0

d |E |2

ÄÍ ÎÅ
W = -4

ÄÍ ÏÅ ÄÍ Å É

2

ec 4 2



d ö2 G G .
0

ÄÍ Å
P= 1 c2 I dx = = 1 c 1 c


{1, (t1 )}I dt1 =

ÄÍ

Å

d2 n

1 {1, }dt1 W d2 n = c 1 ÄÍ {1, }dt1 W = d2 n{1, n}W . c

Å

Ï


È

È
2

ÄÍ ÏÅ
d3 ö ö G G . ö

P = -e c

d n{1, n}

2

ö2 döG G
0



= - e2 c

ÄÍ

Å

ÄÍ Å
G G


Ê

= (nG )(n

G

)-G G = -|nçG |2 = -|G |2 sin2 . ÄÍ

Å Ê É È É É É É É É fÈ É

Ê

Ê È
T
0

È È
t t1 Ê

È

È Ê

È È
tt t1 Ê
1

È

È f t1 È Ê Ê f (t1 + T0 ) = f (t1 )Ê ÄÍÍÌÅÈ t t1 t È È Ê Ê f1 (t) = f (t1 )Ê t1 È f1 (t + T0 ) = f (t1 + T0 ) = f (t1 ) Ê È

Ê

? ÄÍÍÌÅ
= f1 (t)Ê

È

f1 È t

Ê
T
0

È È È
T0 Ê

É É
0 = 2 / T 0 È É 2

È È

È



Ê È

È

É É É

Ê




A=
l= -

exp (-i 0 l t)Al .

ÄÍ

Å




T0 /2

0 Al = 2
-T0 /2

A exp (i l0 t)dt.

ÄÍ

Å É

È

È
A
-l

ÄÍ
= A . l

Å

ÄÍ ÌÅ ÅÈ É ÄÍ ÍÅ É

Ä
nAl = l .

ÄÍÎ ÅÈ ÄÍ ÅÈ



ÄÍ

Å

È

i i i El = - l0 nç(nçAl ) = - l0 [n(nAl )-Al ], Hl = l0 nçAl . ÄÍ ÎÅ c c c É ÄÍ ÍÅÊ É ÄÍÍÌÅ ÄÍ Å
T0 /2

0 Al = exp (i l0 R/c) 2
-T0 /2

A exp i l0 (t1 - nx/c) (1 - n )dt1 =
T0 /2

0 e = exp (i l0 R/c) 2 R
-T0 /2

exp i l0 (t1 - nx/c) {1, }dt1 .ÄÍ ÏÅ


Al =

È

ÄÍ ÎÅ

e0 exp (i l0 R/c)Gl , R Gl È
T0 /2

ÄÍ

Å É

1 Gl (n) = {G0l , Gl } = 2
-T0 /2

exp i l0 (t1 - nx/c) {1, }dt1 , ÄÍ

Å

G0 l (n) = ÄÍ e El = -i R

nGl (n)Ê ÎÅ 2 l 0 n ç (n ç Gl ), c

Hl = i

2 e l 0 n ç Gl . Rc

ÄÍ

Å É



Ê

Ê

|El |2 = |Hl |2 =

l2 2 l2 2 0 (|Al |2 + |l |2 - nAl - nA l ) = 2 0 (|Al |2 - |l |2 ) l l c2 c ÄÍ Å Gl |El |2 = - l 2 4 e2 l2 2 0 Al A = - 2 0 2 Gl G . l l c2 c R E

ÄÍ

Å

T0 /2



E 2 dt = T
-T0 /2

0 l= -

|El |2 = -T

0

4 e2 0 2 R 2 c2



l2 Gl G . l
l= 1

ÄÍ

Å

T0 /2

T0 /2

c W dt1 = R 4
-T0 /2

2 -T0 /2

E 2 dt = -

e2 c

3 0 l= 1

l2 Gl G . l

ÄÍ ÌÅ È É

È

Ê
T0 /2

È ÄÍ ÌÅ
e2 c2
3 0

ÄÍ

Å


1 P= c

d n{1, n}
-T0 /2

2

dt1 W = -

d2 n{1, n}

l2 Gl G . ÄÍ ÍÅ l
l= 1


È ÄÍ ÍÅ ÈÊÊ È
Wl = R
2

Ê
1 / 0 Ê ?

Ê É É

lÉ

È

É

e2 c e2 e2 2 2 2 |El |2= - 2 l2 0 Gl G = 2 l2 0 |n ç Gl |2= 2 l2 0 |Gl |2 sin2 l , l 0 c c c ÄÍ ÎÅ È È


P = Wl

0

d2 n{1, n}

Wl .
l= 1

ÄÍ ÏÅ
Gl

Ê Ê
t t1

È

2 0 d2 n Ê Ê Å
G = 1 2 c e
i t

ÄÍ ÎÅ 0 {1, n} G 2 Wl /0 Ê

ÄÍ

ÅÊ

É È È

È

È

ÄÍ ÌÅ

ÄÍ

Ä

Ê

É ÅÈ É É Å É

r 0 dt, dx dr0

ÄÍ

?

Ê?


G

Ê
e

È
r 0 dt = -i e

È
i t

w =

e

i t

wdt = -i

i t

dr0 = -2 ic G .

ÄÍ

Å


ÅÈ

Ä
I È 8 /3Ê


ÄÍ

É Å

cP0 =

e2 I dt = - c



d
0

2

d nG

2

G

=
0

I d .

ÄÍ

Å

I = -

e2 c

2

d2 nG G =

8 e2 2 |G |2 . 3c

ÄÍ

Å É

?

Ê




/
0

/

0

1 Gl = 2 c
- /
0

e

il0 t

1 r 0 dt = 2 c
- /
0

e

il0 t

dr0 .

ÄÍ

Å

È

ÄÍ ÅÈ
/
0

Gl

É

0 wl = 2
- /
0

e

il0 t

2 w dt = -ic0 Gl .

ÄÍ

Å

Ä
e2 c

Å
8 e2 2 2 l |Gl |2 . 3c0

Il =

d2 nWl = -

2

d2 nGl G = l

ÄÎÌÌÅ É

ÄÍ Å ? ?Ê ?Ê ÌÊ
l

ÄÎÌÌÅ l 0 Ê Ê È Ê

ÄÍÏ ÅÊ Í È

È È

É É


ÿÊ
? È È Ê È È ÊÊ È Ê É È È 
T gi ni =e nj gj ni nj Ej È gi g ÅÊ
-(Ei -Ej )/kB T

É Ê È Ê Ê Î Ê É É È É Ê É

Ä È È Ä
,



ÅÊ

?É

È

Å

ÄÎÌÍÅ
Ei É

j







Ä

n

e

n+ g + (2 mkB T )3/2 =2 e n1 g1 h3

-1 /kB T

.

ÄÎÌÎÅ
+

?
g
1


m

n

+

Èn Ê

1

E1 = -1 < 0È g

É



È

Ê





É

B (T ) I = B (T ), B (T ) = 2 h 3 c2 e 1
h /(kB T )

-1

.

ÄÎÌÏÅ




Ñ ÑÊ

ÿ ÍÊ
? Ê Ê ÍÊ Ê È Ê
2



È

É É

Ê

É

É
2

m1 ?1 = Z1 Z2 e r r1 r2 Z2 e

r2 - r1 , |r2 - r1 |3

m2 ?2 = Z1 Z2 e r

r1 - r2 . |r2 - r1 |3
2

ÄÍÅ È

Z1 e

Ê ÍÈ

É

Èm

1

m

É

R

É

È

È

Ê É r = r2 - r1 ÄÎÅ
R r

Ê

É

R=

m1 r1 + m2 r2 , m1 + m2

r = r2 - r1 .

É
r1 = R - m m= m1 m2 . m1 + m2 m m r , r2 = R + r. m1 m2

ÄÏÅ

ÄÅ

Ì


ÄÍÅ È
? (m1 + m2 )R = 0,

È

r m? = Z1 Z2 e2 3 . r r rÈ

ÄÅ É Ê É ÄÅ

r =r

2

2

ÄÅ = rr rr

Z1 Z2 e2 m(r )2 + = E, 2 r E ? L = mr ç r È È L = m r ç r + r ç ? = 0, r

Ê

Ê È

É ÄÅ É

Ê

È

È

Ê

Ê È

Z2 = - 1 , Z1 = Z Ê È mÅÊ

É Z eÊ

Ä

ÎÊ É

È

Ê?

È

È

É É

r = r(cos , sin , 0),

r = r (cos , sin , 0) + r(- sin , cos , 0). Ä Å L ÄL > 0Å mr 2

L = mr2 (0, 0, 1)È =

L2 (r )2 = r2 + r2 2 = r2 + 2 2 . mr

ÄÅ

Í


ÄÅ

ÄÅ
Z e2 +E r L2 . m2 r 2 r = r()

É

r=

2 m

-

ÄÍÌÅ É

dr r mr == d L

2

2 m

Z e2 +E r

- r

L2 m2 r

2

ÄÍÍÅ É É Ñ Ê É É

È Ê
xÊ EÊ r



È

È È Ê



È Å È

Ê

Ê
Z e2 , 2|E | 2|E |L2 , mZ 2 e 4

r= <1

a(1 - 2 ) , 1 + co s

a=

= a

1-

ÄÍÎÅ Ê

È
r = a(1 - cos ), co s = co s - , 1 - co s

É

m a3 ( - sin ), Z e2 sin sin = 1 - 2 . 1 - co s t= Z e2 , ma3

ÄÍÏÅ ÄÍ Å

È
0 = (2|E |)3/2 = Z e2 m1/2 T0 = 2 . 0

ÄÍ Å

Î


?

Ì

2 Ê È



É
b= 1 - 2 a.

É ÄÍ Å

r = (x, y ) = (a(cos - ), b sin ),

Å

Ê
r= a(2 - 1) , 1 + co s

Ê
Z e2 , 2E 2E L2 , mZ 2 e 4 a

a=

=

1+

ÄÍ Å

È

Ê?
>1

Ê


r = a( ch - 1), co s = - ch , ch - 1 ma3 ( sh - ), Z e2 sh sin = 2 - 1 . ch - 1 t=

É

ÄÍ Å ÄÍ Å



É

Å
b=

Äa

b

r = (x, y ) = (a( - ch ), b sh ),

2 - 1a.

ÄÎÌÅ

? (2 - 1)a

È

Ê a0 = L2 /(Z e2 m) =
Z e2 Z 2 e4 m = (2 - 1) . 2 a0 2L2

E = (2 - 1) 1

ÄÎÍÅ

(1 - 2 )

x y2 x2 2 + 2 a + a2 = 1 . a0 0 0

ÄÎÎÅ

Ï


?
d0 =

È
(1 - )

L2 = a0 /( + 1)Ê Z e m( + 1)
2

x2 x y2 2 + 2 d + (1 + )d2 = 1 + , d0 0 0

ÄÎÏÅ

E=

Z e2 Z e2 Z e2 2 ( - 1) = ( - 1). = 2a 2 a0 2d0

ÄÎ Å Ê É

È

È
- x y2 x2 + 2 +22 = 1, b2 b ( - 1) 2 - 1 b 2 - 1 Ê

ÄÎ Å

E=

ÊÍ

Z e2 2b

ÊÍ Í
2 a0 È 1 - 2

Ä

a0 È



È ÊÍ Ê?

È
d0

É ÅÊ Ê É

(0, Áa0 )È 1 a0 Ê ? 8

-

Ê

(1, 0)È 2 - - d0 d0 1- 1- ÍÈ 1

- a0 Ê 1 - 2 Ê Ê Ê È

ÊÍ É
=0 -

È ÊÍÊ Ê
> 1È

É È È

ÊÍ

É x=1 ÊÍ Í


y /a
4

0

y /d
4

0

y /b
4

2

2

2

0

0

0

-2

-2

-2

-4 -4 -2 0

-4 -4 -2 0

-4 -2 -1 0 1

x/a
Ê ÍÊ

0

x/d0
Ä Å=
5 , 3, 7, 10, Ê 3

x/b

113 5 Ä È Å = 0, , , , 1, , 3, 7 735 3

a=

a0 |1 - 2 |

a=

d0 È |1 - | ÊÍ

b=

a

0

|1 - 2 |

b=

Ê
-1
2

bÈ



1+ d0 Ê |1 - | bÈ É b a= È 2 - 1

2 bÊ 2 - 1

È

x = bÊ

È

È Ê

È É

ÏÊ

Ê Ê? n = (sin cos , sin sin , cos )Ê


ÄÑÊÍÏ Å W (, , t) = Z 2 e6 (1 - cos )2- [(cos - ) cos + 1 - 2 sin sin ]2 sin2 . = 4 m 2 c3 a 4 (1 - cos )6 ÄÎ Å
2 Z 2 e6 (1 - 2 )4 . 2 c3 a4 (1 - cos )4 3m 0
/

Å



Ê

I (t) =

ÄÎ Å É

ÄÍÏÅÊ

0

- /

2 2 Z 2 e6 (1 - 2)4 I (t)dt = 2 c3 a 4 3m 0 0

0

0

d 2 Z 4 e10 m = (2 + 2). (1 - cos )3 3 c3 L 5

=0Ä

È

È È
T0 ÅÊ 1 - 2 + 2 Ê 2

ÄÎ Å É É É

1 - co s = 1 - 2 0 È (1 2 )(1 + 2 )/2È - É 0 2 /2, 1 - 2 ) = a0 ((1 - 2 )/2, 0 )Ê 0 W=

É r = a((1 - 2 )/2 - É

4 m

2 c3 a 4 0

[(1 - 2)2 cos /2 + 0 sin ]2 sin2 Z 2 e6 0 , 2 )/2]4 1 - 4 [(1 + 0 (1 + 2 )2 0 ÄÎ Å 2 Z 2 e6 4 [(1 + 2 )/2]4 . 3 m 2 c3 a 0 0 = 1 È 0 = 0 È

I=

ÄÏÌÅ

W=

Z 2 e6 1 6 (1 - sin2 cos2 ), 4 m 2 c3 a 4 0

I=

2 Z 2 e6 1 6 . 3 m 2 c3 a 4 0

ÄÏÍÅ


È È
m a3 d0 0 È (1 + 2) 0 Z e2 2 Å
0

-

È

É d dt = (1- cos ) = 0 ÄÎ Å
= 1Ê W (, , t) =

ÄÏÌÅ

Ê



Z 2 e6 ( ch - 1)2 - [( - ch ) cos + 2 - 1 sh sin ]2 sin2 = , 4 m 2 c3 a 4 ( ch - 1)6 ÄÏÎÅ 2 Z 2 e6 (2 - 1)4 I (t) = ÄÏÏÅ , 3 m2 c3 a4 ( ch - 1)4 0

ÄÍ ÅÊ


È

- É Ä Ê Ä?ÊÍ ÅÅ

-

2 Z 2 e6 I (t)dt = (2 - 1)5/ 3 m2 c3 a5/2 0 = 2Z e m 3 c3 L 5
4 10

2

m Z e2



-

d = ( ch - 1)3

1 + arcsin 2

(2 + 2) + 3 2 - 1 .

ÄÏ Å Ê

È

Ä = 1Å

ÄÎ Å

ÄÏ Å È

Ê = 0È È r = a0 ((1 - 2 )/2, 0 )È 0 Ê Ê Ê

É 0 = / 2 - 1 È

É É É

Ê È


ÄÏÎÅ ÄÏ Å

È Ê

É É

Ê Ê

É É


Å

È 
1 Gl = 2 c
- /
0

Ê È
/
0

È

È



ÄÑÊÍ ÄÊÏ ÅÈ

Å

È

É É È



e

il0 t

(-a sin , b cos )

d dt = dt

=

1 e 2 c
-



il(- sin )

(-a sin , b cos )d =

b 1 iaJl (l), Jl (l) .ÄÏ Å c l

È
8 e2 2 2 a 0 l 3 c3
2

É

Il =

2

J l (l) +

1 - 2 2 Jl (l) . 2

ÄÏ Å ÄÑÊÍ ÎÅÈ

Å


Ê



G =

1 2 c

e
-

i t

dr =

1 2 c

e
-

iÅ( sh -)

(-a sh , b ch )d, ÄÏ Å

Å=

m a3 Ê Z e2

ÄÊ Å ÄÊÍÌÍÅ
G = 1 e c

Ê ÄÏ Å

È KiÅ (z )Ê





É É

Å/2

b iaKiÅ (Å), KiÅ (Å) .

ÄÏ Å

È
I = 8 e2 2 2 ae 3 c3
Å

K

2 iÅ

(Å) +

2 - 1 2 KiÅ (Å) . 2

ÄÏ Å


Ê

È
v

Ê

Ê

É Ê È

È

bÈ v

Ê mv 2 E= Ê 2 È È Ê

b v = |v | Ê L = mbv È = 1 + m2 v 4 b2 /(Z 2 e4 )Ê
dq = 2 d Z e2 a= mv 2 Ê
2 1

I bdb.
0

Ä ÌÅ É
b bdb = a dÈ Ê
2

v

È
b = a ( - 1)È Í
2 2 2 Å Å

È

dq = 2 a d

I d =

1 6 e 2 2 a4 e 3 c3 Å2

K

2 iÅ

(z ) + 1 -

Å2 2 KiÅ (z ) z dz . z2



z = ÅÊ

Ä ÍÅ É Ä ÎÅ

Å2 1 KiÅ (z ) + KiÅ (z ) - 1 - 2 z z

KiÅ (z ) = 0.

È d z KiÅ (z )KiÅ (z ) = z K dz È

2 iÅ

(z ) + 1 -
Å

Å2 z2

2 KiÅ (z ) ,

Ä ÏÅ Ä
zÊ

1 6 e 2 2 a4 dq =- e d 3 c3 Å

KiÅ (Å)KiÅ (Å).

Å

È

KiÅ (z )




Ê ÍÅ È
E=-

È
= 0Ê

Ê Ê
a = a0 È 0 =

Ê

É É É

Z 2 e4 m Z e2 È =- 2 2L 2 a0

È


0 Il 8 e2 2 a 3 c3 0
2 0


2

Z e2 Ê m a3 0 È

l(l/2)l l!

2

2l-2

.

Ä

Å

È È
Il

È ÍÈ

È 4 e2 2 2 4 Z 2 e6 a= I1 = Ê 3 c3 0 0 3 L 2 c3 È Ê Ê 1È Ä Å

8 Z 2 e6 2 2 l (1 - 2 )J l (l). 3 L 2 c3

È ?
u3 /3

È
v- Ê lÊ ? Il =

È ÄÊ ÏÅ l ÄÊ Å È u = 1 -


2

È



Ê Ê?

u 1È v- (X ) ,

8 Z 2 e6 X L 2 c3

2

K

2 2/3

(X ) + K

2 1/3

Ä

Å É É É

X = l u3 /3Ê ? X l
2/3

Ê?

8 Il 2

-2/3

Ê X 1 Äl 3/u3 Å 26 Ze 2 (2/3) 2 3 X 2/3 È Ê Ê Lc
-2X

Z 2 e6 Il 2 3 X e Lc

Ê

È Ì

È

Ê

l 3/u 1 É

3


ÎÅ  Ê


Ê
LÈ È a0 È

È É

É a0 a0 mv 2 2 2 a 2È b ÈE= (Z e /2a0 ) È 2 L3 m a3 0 = 2 4 È L = Z e 2 m a0 Ê Å 3 Å0 È Å0 = Z e2 Zem Åz KiÅ (z ) ÄÊ ÅÈ ÄÊ Å Ä?ÊÍ Å È - ln(z /2) - E È E È KiÅ (z ) -1/z È
I
2 8 Z 2 e6 8 e 2 a0 = . 3 Å2 3 c 0 3 c3 L 2 È ÊÊ

Ä Ê È
Å

Å

Äb a0 / 1ÅÊ Ê Í ÍÈ L Z e2 md0
u3 /3

È
L

Z e2 mbÈ

È

É

ÄÊ Å
Å Å0 /u3 È I =

KiÅ (z ) ÄÊÍÌÍÅÊ È Åv+ Å0 /3
2 2/3

Ê

Ê É È ÊÊ u = 2 - 1È v+ É v+ Ê Ä Å

8 e 2 2 a2 0K 3 c3 3

( Å0 /3) + K 3/Å0 È

2 1/3

( Å0 /3) .

È
I = 2 3
7/3 2/3

2 (2/3) e2 c3

Z e2 m

2/3



2/3

.

Ä ÌÅ È

I =

8 e2 a 3 c3

7/2 0

m e Z e2

-2 Å0 /3

.

Ä ÍÅ É É

È ÎËÏ È Ê Í È


È

È ÄÊÍÌÌÅ

ÄÊÍÌÎÅ

Ä

ÅÈ

È

È

Å 1Ê

É

1 6 Z 2 e6 1 1 6 e 2 a4 dq . = 3 2 2 = d Å 3 3c 3 3 m 2 c3 v 2

Ä ÎÅ Í ÎÏ

Ê

ÄÏ Å

Ä ÎÅ

Ê ?Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê?

Ä
Ê È Ê

Å
É É É É É É È Ê È È Å
2

È Ê

ÈÊÊ Ê Ê? È

È

È

ÿ ÍÈ



Ê Ê

È

É É É È É É

Ê Ê Î Ä
d

Ä Ê

Ê Ê

Ê

Í Ê

È

ÄÑÊÍÏ ÅÅ 21? d I (t) = 3 c3
d = e (Z1 r1 + Z2 r2 ),

Z1 e

Ä ÏÅ Z2 e ÄÅ

Ê Î



R

È É

Í Ê
R r

Î Z1 e È

Z2 e m1 Ê r = r2 - r1 É ÄÏÅÊ

m

2

É É

É

d = e [(Z1 + Z2 ) R + m (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) r ].

Ä

Å É

Å

ÈÊÊ

Ä ÏÅ

È

Ä

? d = m e (Z2 /m2 - Z1 /m1 ) w . w Ä

Ä Ê Ê?

Å É

È

Å

È Ê Ê
Z eÊ

m2 = mÊ

È

È

É É ÿ ÍÈ Z2 = -1, Z1 = Z É É É Ä É È É

ÎÊ
v

Ê Ê? bÊ È

bÊ

t b/ v Ê

Å w Z e2 /(m b2 )Ê
2 e2 I (t) dt = 3 c3




E =
-

w2 dt
-

Ä

Å

E

2 e2 3 c3

Z e2 1 m b2

2

b 2 e2 Z 2 e4 1 = . v 3 c3 m 2 b 3 v

Ä

Å

Ï


È ÊÊ Ê
q=
0

É Ê


q


dq /d Ê dq d . d dq /d È tÈ bÈ

É Ä Å É É É

E 2 b db =
0

ÏÊ
t 1Ê v / bÊ

Ê È

Ê

Ä ÅÄ
q



b v / Ê dbÅÈ E 2 b3 d /v .

Ä ÌÅ

0

ÄÏ Å Ä  Ä

4 Z 2 e6 1 dq . Ä ÍÅ d 3 m 2 c3 v 2 È È É È Ä Å L = mv bÈ 2E = mv 2 = Z e2 2 - 1/bÅ È È Ä ÍÅ Ä ÎÅ 4/ 3Ê È gcc É É ÅÊ dq /d È 1 6 Z 2 e6 1 dq gcc (v , ). = Ä ÎÅ d 3 3 m 2 c3 v 2

?

È

Ä Ê? È Ê Ê 2 dq dq 3 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). = 2 = d d 3 3 m 2 c3 v 2  È

È

Å Ä ÎÅ

È

Ä ÏÅ


?

È

Ä ÏÅ

Å
cc (v , ) =
2

Ä Ä

È

É Å É È

1 dq . h d

Å
cc (v , ) =

ÄÍ

Ê



Ä ÏÅ Ä Å

3 2 2 Z 2 e6 1 gcc(v , ). 3 3 m 2 c3 v 2 h

? Ê

È

Ä ÏÅ



Ê

Ä

Å Ê

È Ä Å

È
m v2 4 v 2 m3 ex p - f (v ) = 2 kB T (2 m kB T )3/2


Ê

,
0

f (v )dv = 1.

Ä

Å





+ d È v

h cc (v , )d ne n+ f (v ) v dv Ê

È È

f (v )dv v

v +dv È É È

È

vÊ

Ä È È

ÅÈ É É É

Ê?

È Ê

cc( )Ê ?

È




4 cc ( ) = ne n+ h
vm
in

cc (v , ) f (v ) v dv .

Ä

Å






Ê



È
v Ê

È È Ä

Ê

m v2 m (v )2 = + h . 2 2 v vmin = ÄÅ v Ê
2

Å É É É É É

2 h /mÊ

È È Ä

É

v dv = v dv f (v )/v = f (v ) exp(-h /kB T )/(v )2 È  ÅÈ
+

cc ( ) = ne n

3 2 2 Z 2 e6 h kB T g (, T ) exp - . c3 (2 m kB T )3/2 cc kB T 33 ÄÅ É Ê
lg x
3
1 ,, 12 xy ?/ 1
2

lg

cc ( ) ne n+ Z

2

-40 -41 -42 -43 -44 -45 -46 -47 -48 13 14 15 16 17 18 19 20

2 1

,,

? 3 1/ x

2

-3 0
lg T

-2

-1

0

1 lg y

3

4

5

6

7

8

-1 -2 -3

1

3

ln

y1/2 x



3

ln

1 x

lg



Ê ÎÊ


cc ( )Ê



Ê ÏÊ



gcc (, T )Ê

ÊÎ



É


Ê È
gcc (, T )


É ÈÊÊ È

cc (T ) =
0

cc ( )d = ne n

+

(kB T )2 3 2 2 Z 2 e6 g . Ä ÌÅ 3 h (2 m kB T )3/2 cc 33 c

Ä 

Ä ÌÅ Å
4 cc(T ) = 1.42 Ç 10
-27

È

Z2 T

1/2

ne n+ (

-3 -1

).

Ä ÍÅ È É É É

Ê ÅÈ Ä Ê
ne n+ f (v )dv v v v


Ê È È È Ê Ä

Ê ÅÊ

Ä

Ê ÅÊ

È



È É

Ä ÅÊ

c c B (T ) c2 d 1 + B (T ) = ne n+ f (v )dv kcc d. 3 4 2 h h Ä ÎÅ È

Ê ÄÑÊÎÌÏÅÈ

Ä ÎÅ



kcc (v , ) =

c2 v 2 4 Z 2 e6 gcc(v , ) Z2 cc (v , ) = = 1.80 Ç 1014 3 . 8 2 v v 3 3 m 2 ch v 3 Ä ÏÅ É È




Ä ÌÅ

È

È
n+ Å

Ä
c2 B (t) , 2 h 3

É É

ne n+ k cc (, T )B (T ) = cc (, T ) 1 +


Ä

Å

kcc (, T ) =
0

kcc (v , )f (v )dv =

1 kB T Z2 1 1 6 2 Z 2 e6 gcc (, T ) 3 = 3.69 Ç 108 1/2 3 . Ä = T 3 3 ch (2 mkB T )3/2

Å É

Ê Ï
x=

cc = ne n kc

+

c

ÍË

Ê Ê

kc

c

5

È



È

H

h kB T Èy= 2 È kB T Z H

Ê
= me 4 / 2
2

Ê
= 2 2 me 4 / h Ê
2

Ê





È

É Ê

ÿ ÏÊ
ÍÊ  È È ÊÊ Ê
kÈ p

Ê?

ZÈ Ê È
p1 Ê

É Ê ÈÊÊ È q = p1 + k - p È É É

È

Ê


Ê Ê? ? Ê Ê?

ÈÊÊ È È Ê É É É

p

1

k

p

1

k

q
Ê Ê

p

q

p

Ê

È Ê?

Ê

È

Ä

ÅÈ



È

É É É

Ê?

È

É k = {k , k}È k = k È | | = 1È p = {p0 , p}È p1 = {p01 , p1 }Ê É 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 k = k - k = 0È p = p0 - p = m c È p1 = p01 - p1 = m c Ê
k (p0 - p )Ê p + k = p0 Ê

Ê

É

È È

È

pk = k p0 - k p = É

01

Ê

É É


p

01



?

= p0 - k Ê È Ê



Ä

k ÅÈ

x=

p p1 k ,z= , z1 = ,= mc mc mc

1 + z 2 , 1 =

2 1 + z1 .

Ä

Å

ÎÊ È È

Ê

Ê È

È ÊÊ É É É Ä Å

2 d (x, z ) = 4Z 2 fs re

z1 dx F, zx

F ( , x) = F1 + F2 È 1 1 1 l l1 4 + 2 + l 3 + l1 3 - , F2 = - 2 1 Ä 2 3 z z1 z z1 z z1 2 8 1 1+ z1 x2 x 1 + z 2 2 2 =L l + 3 3 ( 2 1+ z 2 z1+ 1) + - l1 .Ä 3 3 3 z z1 z z1 2z z1 z z1 F1 =

Å Å É


l = ln

+z 1 + z1 = 2 ln(1 + z1 ), Ä ÌÅ = 2 ln( + z ), l1 = ln -z 1 - z1 1 + z z1 - 1 1 + z z1 - 1 L = ln Ä ÍÅ = 2 ln . 1 - z z1 - 1 x
2

È re = e2 /mc Ê
vc

fs = e2 / c 1 = - xÊ

È

É É F ( , x) É È É

Ê

Z fs c/v = Z fs /z 1Ê zÈ Z

Ì


z

1

Ê

Ä

ÅÄ

Å

È

z1 F 10 zx
8 6 4 2 0
Ê Ê

z1 =

0.001, 0.01, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0, 4.0, 6.0, 8.0, 10.0

0

2

4

6

8

10

x

Ê

z1 F zx

Ê

Ê
z = z + + 2x1 Ê 1 + x È ÄÅ 5.795 Ç 10-28 Z 2 dx 2 Ê
2 1

É
x2

Ê ÏÊ ÍÅ È Ê Ê? È

É

Ê

È

É É

xÊ

z1 0È F È l l 2 2+2 - , zz 2z x x2 z 2 z2 -1 + 2 + 3 z 2 6

4 F1 = lim F1 = - ( - 1) - z1 0 3 28 + F2 = lim F2 = + x2 + x l z1 0 x3 2z

Ä ÎÅ
. Ä ÏÅ

Í


?

zÈ





xÊ 1 + z2, z =

= 1+x = -1 =

È

z2 Ê l +1 l = 2 ln( + z ) = 2 ln(1 + x + x(2 + x))Ê z 0, 1Ê È È F2

È 2 - 1 =

É É É x(2 + x), x = É
F
1



È

x0 É

x0

ÎÅ
z Z fs È

4 16 1 lim F1 = - , F2 . 3 3x Ê È z1Ä z È x = - 1 x=
2 z 2 - z1 z. 2

Ä É

Å É

ÅÈ

É É Ä Å

F1 F2 È 1

È ÍÈ Ä ÍÅ

Ä

Å

È



É

L ln

?

2 1 + (z 2 + z1 )/2 + z z1 - 1 z + z1 (z + z1 )2 = 2 ln . = ln 2 1 + (z 2 + z1 )/2 - z z1 - 1 (z - z1 )2 z - z1

Ä

Å È



F1 F = F2 = z + z1 16 1 ln . 3 z z1 z - z1

Ä

Å É

z È z1 1 È x = - 1 2 1/ 2 , 1/1 Ê L 2 ln 2 1 , F1 -2 x 1 2 +- 1 3

ÏÅ

Ê

, F2 -LF1 , F1 + F2 = -F1 (L - 1).

Ä

Å

Î


Å Ê
F1 2

Ê
x z 1È z1 2 z1

È

È x Ê È
1 + z1 = l1 È l1 2z1 ,

É É

L 2 ln

l1 - 1 , F2 l1 3 2z1 z1

2 2 1 + z1 - 1

Ä

Å

F1 + F2 = 2 =2 1 2 z1

2 l1 2 21 2z - 1 - 1 z1 1 l1 2z1

l1 2z1

2

=
1

1 + z1 -

l1 - 1 + z 2z1

.

Ä ÌÅ É É

Ê
2

Ê? ÄÅ È



32 2 Z 2 e6 gcc (v , ) 16 2 211 = Z fs re 2 gcc(v , ). cc (v , ) = m 2 c3 v 2 h z 33 33 cc (z , x) FÊ ÄÅ

Ä ÍÅ È É Ä ÎÅ



È

F=

(z + z1 )2 16 1 ln . 3 z z1 2x


2 cc (z , x) = Z 2 fs re

Ä ÍÅ

É Ä ÏÅ Ä ÍÅ Ä È Å

z1 F r 3 z1 F = 2 z 2 e . z czx



Ä ÏÅ

gcc (v , ) =

3 (z + z1 )2 ln , 2x



Ê Ï


Ê

Ê

Ê Ê Ä ÎÅÅ

Ê

É É É

Ä

Ê

ne n+ f (v)dv v

B (T ) c2 B (T ) cc (v , ) = ne n+ f (v1)dv1 kcc (v1 , ) d 1 + d. 4 2 h 3 h ÄÅ kcc (v1 , ) Ä È É ne n+ kcc (v1 , )ÅÊ f (v ) É È Ä ÅÈ Ê É É fM ( ) = y e 4 K2 (y )
-y

,

Ä È
K2 (y )

Å



y = mc2 /kB T

Ê


4
0

fM ( )z 2 dz = 1.

Ä

Å

?
f (v )dv 4 fM ( )z 2 dz .

Ä Ê Ä Å È

Å

?
cz / Ê

È
v

È

Ä

Å

Ä

Å
2

c z B (T ) = ne n+ fM ( )z 2 dz c cc (z , x)d 1 + 2 h 3 B (T ) 2 = 4 ne n+ fM (1 )z1 dz1 kcc (z1 , x) d. h

Ä

Å É

È Ä

Ä ÅÈ

ÅÈ

È


Ä
= 1 + x, fM ( ) = e
-x y

Å

Ê
z dz z1 dz1 , = 1 F

É ÄÍÌÌÅ É

fM (1 ),



Ê
Z2 c3 cc (z , x) c3 z 2 2z = fs re F 3 . 2z 8 11 8 1

kcc (z1 , x) =

ÄÍÌÍÅ É

ÄÅ

Ä ÍÅÈ



È

kcc (v1 , ) =

2 cc (v , ) c2 v 2 2 2 c gcc (v , ) = Z 2 fs re 3 . 2v 8 1 v1 33

ÄÍÌÎÅ

Ê

Ä ÎÅ

Ä ÅÊ

ÄÍÌÍÅÈ v = cz È v1 = cz1 È 1 = 1 Ê Ä ÅÈ É ÄÍÌÏÅ Ê

È

cc (x, y ) cc (x, y ) 1 +

cc (x, y ) = ne n+ kcc (x, y )È

c2 B (T ) = cc (x, y )B (T ). 2 h 3






z3 cc (x, y) 2 = h c cc (z , x) fM ()dz = Z 2 fs re hce ne n+
z
m in

-x y 0

F fM (1)

z2 z dz1 . 1 1



z

m in

xÊ

È

min = 1 + xÈ

È
z
m in

ÄÍÌ Å
= x(2 + x)Ê Ê


Å


ÄÊ Ê
3 Z2 z2 2c (1 )dz1 = fs re 3 F fM (1 ) z1 dz1 . 2 1 0

kcc (x, y ) = kcc (z1 , x)4 z
0

2 1 fM



ÄÍÌÍÅ

ÄÍÌ Å 5 Ê È

È


ÄÍÌ Å É

y z2 ~ F ( , x)e F (x, y ) = F ( , x)fM (1 ) z1 dz1 = 1 4 K2 (y )
0 1



-y

1

z z1 d1 .


yÊ

xÈ

È È

ÄÍÌ Å È È

Ê

Ê ~ 4 F (x, y )

ÄÍÌ Å É É É

Ê È

Ä

Ê ÅÊ Ê

É

ÿ Ê
ÍÊ È È Ê È Ê Ä Ê? Ê ÿ ÎÈ Í Ê È È É ÅÊ È É É É É

?


~ 4 F (x, y )
90

~ 4 F (x, y )
90

y = 0.01 Ç l
70

70

y = 0.1 Ç l

l = 10

l=1
50 50

30

l = 10
0 2 4 6 8

30

l=1

x

10

0

2

4

6

8

x

10

~ 4 F (x, y )
250 200 150 100

y = 1, 2, 5, 10, 20, 50 y = 50

y=1
50 0
Ê Ê

2

4

6

8

10

x

~ F (x , y )

- Z 2 H / i 2 È

Ê

H

È
iÊ mv 2 - Ei . 2 v

Ei = i mv 2 / 2



È
h =

ÄÍÌ Å È È É Ê


Ä

Å



É ÄÍÌ Å

1 dEi 2 H d . =- = Z2 di h di h i3 È

Ê
+ d È i

1 dq d Ê h d
i + diÊ

É

ÄÅ
ci (v , ) = gci ( )

1 dq d 27 4 Z 4 e10 1 1 = gci ( ), h d di 3 3 m c3 h 4 i 3 v 2

ÄÍÌ Å

Ê Ê Ê È
iÉ mv dv = hd Ê

ÎÊ

È È

É É

ÄÍÌ Å

È

Ê È

i = -Ei /hÈ

iÉ

Ê
1 ci ( )v dv f (v ). 4

È

É

ci ( )d = ne n+ h

ÄÍÍÌÅ É ÄÍÌ ÅÈ

Ä ÅÈ

ÄÍÌ Å



27 4 Z 4 e10 m gci ( ) ci ( ) = ne n+ i3 3 3 c3 h 2

ex p -

H h + Z2 2 kB T 2i kB T (2 mkB T )3/2

. ÄÍÍÍÅ



ÄÍÌ Å Ê ?Ê ÎÏ

ÄÍÍÍÅ Ä Ê





Å

É


gci ( ) 1 - 0.1728

h Z 2

1/3 H

2 Z 2 H -1 . i 2 h

ÄÍÍÎÅ É É É

Ê

È


È




4 Aci (T ) = ne n+

i

d ci ( ) = h

ci ( )f (v )v dv .
0

ÄÍÍÏÅ É É É

È


h i kB T

g ci 29 5 Z 4 e10 m 1 E Aci (T ) = 3 h3 i3 (2 mk T )3/2 1 33c B E1 (x) Aci (T ) lg Aci (T ) + 19
4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 3.0
10 10

ex p

hi kB T

.


lg kic ( )
i
1 2 3 4 4 3

Ê

Ê

ÄÍÍ Å Ê

i
2 1

3.5

4.0

4.5



Ê

Ê

i = 1(1)10Ê

lg T Aci (T )

5.0

13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0



Ê

Ê

i = 1(1)10Ê

lg kic ( )

ÏÊ

È

Ê

É É

4 n kic ( )B (T ) i

c2 d B (T ) . ÄÍÍ Å = ne n+ f (v )v dv ci ( ) 1 + h 2 h 3


Ä
kic ( ) =



 g + = 1Å

ÄÑÊÎÌÍÅÈ ÄÑÊÎÌÏÅÈ

ÄÑÊÎÌÎÅ ÄÍÍ Å

1 c2 m 2 v 2 26 4 e10 m 1 1 ci ( ) = Z 4 gci ( ). 22 gi h ch 6 i 5 3 33

ÄÍÌ ÅÈ i Ê i = 1(1)10 Ê
= i È

Ê È ÄÍÍ Å
iÉ

È
kic ( ) kic ( )

È

Ê



È ÊÊ

É É

iÊ



ni kic ( )È
( )

bf ( ) =
i=i0 ( )

i0 È

Ê

È È
10

Ê È

É È É É

Ä

È

ÅÈ

È
c
c

~ ic = ne n+ kic È
-Ei /kB T

2 6 4 Z 4 me ~ kic ( ) = 3 3 ch 3

gci ( ) 11 e (2 mkB T )3/2 i3 3
5 Ê

.

ÄÍÍ Å



kic

2

È

~ kic

Ä ãéâ É æ Å bf ( ) cc ( ) + bf ( ) È Ê lg[( )/(ne n+ )] + 41 Ä Ê ÍÌÅ T5 Ê



É
( ) = É  É É lg[b f ( )/n1 ] + 19 Ä ÊÅ T = T5 Ç 105 Ê ? É

Ì


Ê È

È

Äi = 1ÅÊ

È

È
bf È

É È É

1 1 1 1 + e-3H /4kB T + e-8H /9kB T + e-15H /16kB T + ... = 8 27 64 27 1 -3H /4kB T 8 -5H /36kB T 1+ e-7H /144kB T + ... .ÄÍÍ Å = 1+ e + 1+ e 8 27 64 H /kB 157000

È
i0 ( ) Ê

Ê È
1/ 3 Ê lg[bf ( )/n1 ] + 19
5 0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 13.5
0.2 1.0 0.7 0.5 T5 0.3

É É Ê É É



lg[bf ( )/n1 ] + 19
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 16.0 13.5
10 4 6

3 2

T5
1

14.0

14.5

15.0

15.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

lg
Ê Ê

lg

lg[bf ( )/n1 ] + 19 T = T5 Ç 105 È T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Ä Å T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Ä ÅÊ

É
AÈ


Ê È È

É É É ÍÎ Ê?

Í


È Ê Ä Z 2 Å
b
f

È Ä Z 4 ÅÊ Ê È È È É È Ä Ê

É É É Ê É

È

ÅÊ

lg[( )/(ne n+ )] + 41
80 70 60 50 40 30 20 10
1.0 0.1

lg[( )/(ne n+ )] + 41
10 9 8
1

T5
0.2

7 6 5

T5

2 0.3 0.6

4 3 2 1 16.0 0 13.5 14.0 14.5 15.0 15.5
3 5 10

0 13.5

14.0

14.5

15.0

15.5

16.0

lg
Ê ÍÌÊ

lg

lg[( )/(ne n+ )] + 41 T = T5 Ç 105 È T5 = 0.2, 0.3, 0.5, 0.7, 1 Ä Å T5 = 1, 2, 3, 4, 6, 10 Ä ÅÊ

Ê

Ä ÅÊ È

Ê

È

É É É È É É

Ê

Ê

Ê

Ê

Ê Î


?

Ê
l i r i = 0.269[3i2 - l(l + 1)] A È 1 0 -8 Ç 1 0 6 = 1 0
-2

É É É È Ê É

i = 1000 ÊÊ È NÈ

È Ê
i
0

i



È Ê Ê È

È È È

È É É É É É É

? È
ri
3 N ri 1Ê 1 0 -8 i 2 È

N

È i È Ni

È
-6

Ê È
i


È È

Ê

É

ÊÊ
N i

Ê?

È

Ê?


È È


N = ne = 1012 È ne = 1 0 3 ? 1 0 4 i = 5 0 0 ? 3 7 0 È

?

È Ê ÏÌÉ Ni È lg N = 23.26 - 7.5 lg i .
i


Ê

È É

ÄÍÍ Å È
ne = 1 È

Ä i = 32ÅÈ Ä

Ê

É È



ÄÍÍ Å i = 1260ÅÊ È

Ê Ï


È

È È

È

Ê
L , L , L , . . .Ê ?

È È È

É É

H , H , H , . . .Ê

È
H
i+1

È

Ê?

È

Ê? , Hi+2 , Hi+3 , . . .
H
103

É É È iÊ É 103 100Ê È É É Hi+1 È

È
i

Ê ÍÌÌ È
H
i+5

È È

H Ê

i

Hi = 3288052 i i

2i + 1  . i2(i + 1)2

ÄÍÎÌÅ Ê


i

-5

È Ê

Ai+

1,i

È

É É

Ê ÊÊ ? Ä È Ä Í Ê Ê 91 90Å  105 104Å Í Ê?Í Ê È Ê? Ê È È Ê È Î

É É Ä È Ê Å É É

Ð ÑÑ


È  Ê Ê

È È È
i

È

Ä Ê Å

É É É É

Ê

ni = b i n Ê ? i

Ê

Ê È ÊÊ

b

i


H

bi È É

É
i+1

dI = -ni ki ( )I + Ci ( )n ds

i+1

1+

c2 I . 2 h 3

ÄÍÎÍÅ



Ci ( )


i+1

È

È

n ki ( )B (T ) = Ci ( )n i

1+

g i 2 h 3 c2 B (T ) , Ci ( ) = ki ( ). 2 h 3 gi+1 c2 ÄÍÎÎÅ
1

dI gi ni+ = -ni ki ( ) 1 - ds gi+1 ni

I +

2 h 3 gi ki ( ) n c2 gi+1

i+1

.

ÄÍÎÏÅ

?
1- g g
i

È

È
gi n+1 bi+1 bi+1 ni+1 i =1- =1- e ni gi+1 n bi bi i
-h /kB T

.

i+1

ÄÍÎ Å


b
i+1

ÍÊ
bi + bi = 1 + (ln bi ), e bi 1- g g
i -h /kB T

b

i

1-

h . kB T

ÄÍÎ Å

i+1

ni+1 h - (ln bi ). ni kB T

ÄÍÎ Å


ÄÍÎ Å (ln bi ) > 0 Ä È Ê Ê bi+1 Ê È ? È Ê È

È È Ê È È

È

È
bi Å

É È Ê È É É É É É Ê É É



Ê

Î È Î

Ê

Ä

Ê

ÅÊ Ð- Ê ÞÑÊ

É É

È È

ÏÎÊ




Ñ Ñ ÑÊ

É

ÿ ÍÊ 
ÍÊ ÈÊÊ È Ä ? ÈÊÊ È È ÊÈ Ê È Î ÅÊ Ê È É ÅÊ È È ÎÊ ÑÊ Ê? t Ê Ä ÑÑÊ Å È Ê Ê Ê É Ê Ê Ê Ä Ê
e m

É Ê Ê É É É É É É

È

Ê

Ê È

È

É É È É É É É

Ê

É

Ê

É


È
H = H e3 Ä

È Ee = 0 È e3 È Ê Ê ÍÅÊ

Ê? eÊ ?

È

É

e

3

=0 = /2 e
Ê ÍÊ ?
1

=

e

2

Ê

ÑÑÑÊ

È Å
= e3 . È

Ä ÄÍÅ É

?

È


È Ê

È

È

È

É É É È É

Ê È È
Ef = 0 Ê

È

Ä

Ê Ê Î Å È


È ÑÞÊ È ? Ê È È Ê È Ê Ê ÞÊ Ê È È È Ê? È

È Ê É Ê?

Ê? fÊ É

É

É É ÈÊÊ Ê É

Ê

Ä Ê Ê Ê
= eH È mc T = 2 / Ê

É Å

ÏÊ

É

H > 0Ê e>0

È

È

m

R È

È Ê

R /c > 0Ê

R > 0È

È É É É É É É

È

Ê

Ê È H = H e3 Ê

e1 , e2 , e3 Ê

Ê?

È e1

e2 È

É
re = re () = R (e1 sin - e2 cos ),

ÄÎÅ


= e te , È te

e

Ê
r e = {cte , re }.

É

ÄÏÅ Å Ä È É ÄÅ

 È
ze = e dre 1 dr e = = {e , ze }, c dt c dte

ze = e e ,

e =

1 dre = e (e1 cos + e2 sin ), c dte e
e

e =

R d R = e . c dte c

ÄÅ É É ÄÅ


z
e

e =

1 = 2 1 - e

2 1 + ze .

È
te , e , e

È

t



É É ÄÅ

t = = e te = t Ê Te = T e Ê È È t È Ê Ê R = e ce / ÄÅ ÄÅ È

e =

È ÊÊ
t
e

t

e

Ê È Ê ÏÈ

È È

É É

Ê

Ì


ze = e e =

R R 2 , e = 1 + ze = 1 + , c c R ze = , e = . e = 22 e c2 + R 1 + (R /c)2

2

ÄÅ ÄÅ É ÄÍÌÅ ÄÍÍÅ


we = c dz e 2 = {0, e we }, we = we (-e1 sin + e2 cos ), dt 2 e R 2 we = R e = c e e = c = , 2 e e

È
4 e 2 we

=

24 R

Ê

È

we

-w 2 =

Ê Ê È È È È Ê? ÍÈ É È É Ê È È
- cÊ
e

Ê
e
2

e È

1

È Å

È È Ê

É

e3 È È

È ? Ê È ÊÊ

e

3

?

ÄÍÅÊ
= 1/ 1 - 2 Ê



È

Ê?

ÄÏÅ

É É

Í


È

re È

È È

É È ÄÍÎÅ

r f = {ctf , rf } = { cte , e3 cte + re }.

È
f = e Ê

É

tf = te = e t = f t È

rf = rf (tf ) = cte + re () = ctf + R (e1 sin - e2 cos )

ÄÍÏÅ

È

È

Ê
drf = + . cdtf

f =

ÄÍ Å

= (e1 cos f tf + e2 sin f tf ), =

R d R d dte e e e = = =. c dtf c dte dtf e ÄÍ Å È

2 f2 = + 2 =

2 e 2 22 2 2 + = (1 - )e + ,

ÄÍ Å

f =

1 = 1 - f2

1
2 1 - - 2

=

1
2 (1 - 2 )(1 - e )

= e

ÄÍ Å

È

È È

È f = e / = /f Ê È È

Ê

È

È É É É

Î


= t = e te = (e / )tf = f tf Ê É Tf = 2 /f = (2 /e ) = T f Ê É È È 
zf =

È

È

Ê

É

e dr f f dr f 1 dr f = = = {f , zf }, c dt c dte c dtf

ÄÍ Å

zf = z e3 + z (e1 cos f tf + e2 sin f tf ), z = f , z = f = ze . ÄÍ Å

É

È Ê Ê

Ê

É È ÄÎÌÅ

= f cos , = f sin .

ÄÍÌÅ
wf = c



È

È É

dz f dzf d2 rf ={0, f2wf }, wf = c = = wf (-e1 sin + e2 cos ),ÄÎÍÅ dt dtf dt2 f we 2 wf = R f = 2 = c f = c f sin . ÄÎÎÅ f

2 24 2 -w2 = f4 wf = R = c2 f2 f2 sin2 .

ÄÎÏÅ É

R È Ê? Ê

H

È

f

È ÊÊ
f Ê

È È

É

É É

Ï


È Ê Ê Ê È Ê
dt

Ê È È Ê È È È Ê È ÊÊ È È É É É É É É
dt
1

Ê Ä

È ÄÑÊÍÏ ÅÈ

e

dtf ÅÈ

ÄÑÊÍÏ Å
I= 2 e2 [-w2 ], 3 c3

È

É ÄÎ Å É É ÄÎ Å É É É

w 2 = - 6 [w2 - ( ç w)2 ],

w = 2 { 2 w , w + ( w ) } Ê ÄÎÍÅÈ I=



ÄÎÏÅÈ

2 e2 2 2 2 2 2 e2 2 2 4 2 e2 2 4 R. f f sin = e e e = 3c 3c 3 c3 Ê H Ê

f , f ÍÅ

È Ê
f 1 f 1

I

2 e2 2 2 2 sin . 3c f

ÄÎ Å È f 1, f 1È Ê

ÎÅ

È

Ê
2 e2 2 2 2 sin . 3c f

I

ÄÎ Å


È
ÅÊ f

Ê ÄÎ Å


È È

È É Ä 1/f È Ê Ê = 0 /f È È

f

É

I

2 e2 2 2 . 3c 0

ÄÎ Å
- = 0 /f Ê É

Ê?
e|rd | = ec0 / ec0 Ê ?


È È É Ê Ê

È É

f

ÄÑÊÍÏ Å

ÄÎ Å
2 e|rd | = ewd =

È È

È

È Ì È


Ê È È

É É É É É

?

Ê

È

ÄÑÊ ÎÅÊ

Te È

I Te 1 2 e2 2 2 4 2 4 = = 3 c e e e e mc2 (e - 1) 3

e2 mc

2 2

23 H e e . e e - 1

ÄÎ Å É ÄÏÌÅ È É 2 2/e Ê

Í
H = e/T È 7.21 Ç 1014  Ê È e = 0 e 2 . T e (e + 1)

ÍÈ

2 T = (8 /3)re È

e




Ê

È È Ê Ê

e

È

É É É É É

È

ÿ ÎÊ
ÍÊ É Ê
R



È Ê ÄÑÊÍÎ Å

È

É É É

ÄÑÊÍÏ Å
=
2

E=

e d n ç nç cR dt1 1 - n 1 - n R

e n ç [(n - ) ç w] . ÄÏÍÅ cR (1 - n )3

È È
t
1

È

È n = R/R w
t

É

t1 Ê ?

t = t1 + r (t1 )

R nr (t1 ) - , c c

ÄÏÎÅ
R

? È

È

É

È

É

ÄÏÍÅ


dt = (1 - n )dt1 . t
1

ÄÏÏÅ É Ê È É

È

ÈÊÊ


W (n) =

e2 w2 (1 - n )2 + 2(nw )( w )(1 - n ) - (1 - 2)(nw)2 . ÄÏ Å 4 c3 (1 - n )5

? Ê



È
nf Ê È

f

É È É É É È É Ê

È

È

R

È cTf = 2 cf / = (2 mc2 /e)f /H 104 f /H Ê f È È È Ê È e1 e3 È È Ê?
nf = e1 sin f + e3 cos f = (sin f , 0, cos f ).

ÄÏ Å È

ÄÏ Å É É ÄÏ Å

Ê



È

f = ( cos , sin , ), wf = -wf (sin , - cos , 0).

ÄÏ Å

È

nf wf = -wf sin f sin , nf f = cos f+ sin f cos , f wf = 0. ÄÏ Å

?

f

É



ÄÎÌÅÈ

É wf =


cf f sin = c



f sin Ê f

É
W (f , ) =

=

2 e2 wf [1 - f (cos f cos + sin f sin cos )]2- (1 - f2) sin2 f sin2 . 4 c3 [1 - f (cos f cos + sin f sin cos )]5 ÄÏ Å

ÎÊ ÍÅ f 1Ê

Ê Ê È

f

È È

È

W=

e2 2 2 2 sin (1 - sin2 f sin2 ). 4 c f

ÄÏ Å È Ê É

ÎÅ f 1, f 1Ê
2 Ä f = + È

È

È

ÄÏ Å

f

È
È È = 0 /f ÅÊ

= 0 /f , || 1Ê

È

+ sin (sin cos + cos sin ) cos = cos (cos2 + sin2 cos )- - sin cos sin (1 - cos ) 1 - 2 sin2 2 - . 2 2

cos f cos + sin f sin cos = cos (cos cos - sin sin )+

Ä ÌÅ



1 - f 1 1 - f = 2 Ê 2f ÄÏ Å 1 - n f f

È

1 + f 2

1 2 2 1 + + sin2 = 2 (1 + 2 + sin2 2 ). 0 0 2 2f 2 2 2f

Ä ÍÅ

Ê?
W2 e2 2 2 4 (1 + 2 + sin2 2 )2 - 4 sin2 2 0 0 0 sin f . c (1 + 2 + sin2 2 )5 0 0

Ä ÎÅ


È
È

È Ä È Ê = /2
Ê W 2 e2 2 f2 2 0 . c (1 + 2 )3 0

È È

É É

ÄÏÎÅÅÊ È È = 0 / È Ê

É È Ä ÏÅ

ÄÏ ÅÊ

È

È È

Ê È

È

É É

Ê ÏÊ
U
2 n

ÄÏ ÅÊ Ê ? Ê?
2

É

0

2 d 2 + 1 = 2U3 (1 ) = , 2 )5/2 3 (1 - 1 cos ) (1 - 1

0

sin2 d = (1 - 1 cos )5

2 2 4 + 1 2 .Ä = 2 [2U4 (1 ) - (1 - 1 )U5 (1 ) - U3 (1 )] = 2 1 4 (1 - 1 )7/2

Å É Å

È

c = 1- cos f = 1 -f cos f cos , s = sin f = f sin f sin . Ä È
c

1 = s / c Ê W / f È

W (f ) =

-

W (f , )d =

2 2 2 2 2 c + s e2 2 2 1 - f2 4c + s = f sin2 - sin2 f .Ä 2 2 - 2 )5/2 2 - 2 )7/2 4c f 4 (c (c s s

Å


?
W

IÈ

È
f I= 2 W = dn f
2

È

0

W sin f df .

Ä

Å É

Ê
Å = c o s f =

I

W
2 2

v f sin + e

2 v + f e sin 1 - e v 2 1 - e v

.

Ä

Å

1 = 0 W (f ) =

f 1 È

c = 1, s =

e2 2 2 2 e2 2 f sin (2 - sin2 f ) = f2 sin2 (1 + cos2 f ). Ä 4c 4c

Å É É É



Å È Å Ê

È Ï Ê È Ê

È

Ä È Ê

Ê Ä

Ê
f = + = 0 /f

f 1Ê 1 2f2

Ä

Å

c = 1 - f cos (cos cos - sin sin ) 1 - 1 - ç co s 1 -

cos ç

2 cos2 1 2 2 - sin sin2 + 2 + cos 2 + 2 sin 2 = 2 2f

0 f sin 2 + cos2 (1 + 2 ) 0 Ä ÌÅ , 2f2 1 s = f sin (sin cos + cos sin ) 1 - 2 sin ç 2f = sin2 + ç sin 1 -
2 0 f sin 2 - sin2 (1 + 0 ) 2 + cos sin2 + .Ä ÍÅ 2 2 2f

ÍÌÌ


?



2 )/f2 Ê 0

È f È È È 2 2 c - s = (1 + 2 )/(2f2 )È c - s = sin2 (1 + 0 ÄÅ
W (f ) 7 / 4 + 3 2 e2 2 3 0 f sin . 4c (1 + 2 )7/2 0

sin2

Ä ÎÅ É É


È f = + È È Ê
sin f


É


ÈI=
0

W (f ) sin f df

-

e2 2 W d0 = sin2 f2 4c

-

2 e2 2 2 2 7 / 4 + 3 2 0 d0 = sin . 2 )7/2 3c f (1 + 0

Ä ÏÅ
2

z=


z , 0 = 1-z 1+
0 2 0 1



-

7 / 4 + 3 2 2 0 d0 = 2 )7/2 4 (1 + 0 = 0 /f

0

(1 - z 2 )(7 + 5z 2 )dz =

8 . 3

Ä

Å

Ä ÍÅ Ä

È

Ä ÌÅ s Å Å

c =

0 0 c 0 0 , s = s2 , c = 1 + 2 + 20 (0 + 0 ), s = 20 (0 + 0 ). Ä 0 2f2 2f

?
ç

W

W (f ) 2

2 e2 2 f2 0 ç c (1 + 2 )7/2 0

0 0 0 0 [2(c )2 + (s )2 ](1 + 2)[1 + (20 + 0 )2 ] - (0 + 0 )2 [4(c )2 + (s )2 ] 0 . [1 + (20 + 0 )2 ]7/2 ÄÅ

ÍÌÍ


È È
f3 f È

È

ÈÊÊ

Ê

1/f

È
1/f Ê f

f2

Ä É
W

f4

È Ê?

Ê

È

É ÅÊ É É
I

Ê
= /2Ê

È È = / 2 - f È Ä Å

É É

Ê

È

È ÄÅ

Ê È e2 2 W (e ) = 3 we We ()È 4c

1 1 32 2 2 2 1+ e + 2 + 2ze + + ze e sin2 - 4 e 2 5 We () = e 2 (1 + ze sin2 )7/2

2 e

1 +z 4

2 e

sin4 .

ÊÎ 5 We /e 



È

Ä È

Ñ e = 0, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98Ê Å Å 5 2 We (0)/e = 1 + 3e /4È

Å É É

ÊÎ  È Ñ Î

Å

5 e = 1, 2.053, 12.86, 63.55, 336.9, 3205Ê 5 = /2 Ä Å ÄWe ( /2)/e = 2Ê

5 e È È É

Ê

È

È

È

É É

ÊÎ u = (e )2 = 2 Ê 0

Ê Í ÍÌÎ

e


Ä
1.20Ê
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 0.0

(7/4 + 3u)/(1 + u)7/2 È

È

ÅÊ u = 0.219

É

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 1.0 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6

u
Ê

0.8

1.0



ÊÎÊ



ÊÎÊ

5 We ()/e e = 0, 0.5È 0.8, 0.9, 0.95 0.98Ê



u = ( e )2 (7/4 + 3u)/(1 + u)

7/2

ÿ ÏÊ
ÍÊ

É
Ê? È È

Ê È

É È É É

È È

È

È

T e = 2 / e Ê

Ê
t
1


t

ÑÈ

Ê

ÍÌÏ


Ê ÄÑÊÍ Å
T0 /2

Gl È

É É É

1 Gl (n) = 2
-T0 /2

exp i l0(t1 - nr /c) dt1 .

Ä

Å É


El = -i e22 l 0 e R
il0 R/c

n ç (n ç Gl ).

Ä Ê

Å É

Ê

ÄÅ

ÄÅ

É
e3 Ê n
e

É

Ê? É É



e

1

È

ne= sin e e1+cos e e3 , re=

ce (sin e1-cos e2), e= e (cos e1+sin e2 ), e Ä ÌÅ t1 = te = /e Ê ÄÅ
e

Gl = z = l e sin e Ê

e 2

(cos e1 + sin e2 )e
-

i l -iz sin

d,

Ä ÍÅ

È

Ê
Gl =

ÄÅ
e e

Gl È



ÄÊÏ ÅÈ



É É Ä ÎÅ É É Ä ÏÅ

1 Jl (z )e1 + ie Jl (z )e sin e

2

.

ÎÊ

Ê

È



ne ç [ne ç e1 ] = sin e ne - e1 , ne ç [ne ç e2 ] = -e2 .

ÍÌ


È
n
e

É
e2 (ne ) = e2 .

ÄÑÊÍ ÅÈ

lÉ

e1 (ne ) = cos e e1 - sin e e3 ,

Ä Ä

Å

Ä ÎÅÈ Ä ÏÅ
e il e e cR
ile R/c

Ä

Å

El =

[ctg e Jl (z )e1 (ne ) + ie Jl (z )e2 (ne )] .

Å

È
Te /2

Ä
2 c 2 e2 e R22 2 e c R

Å
l
2



ÄÑÊÍ ÌÅÈ

Ê


W dt =
-Te /2

2 ctg2 e Jl2 (z ) + e Jl 2 (z ) =

e l= 1

Wl .

l= -

lÉ Wl =

Ä
e2 2 l wl , c

ÄÅ Å Wl Ä Ä Å Å É

2 wl = wl (e , e ) = ctg2 e Jl2 (z ) + e Jl2 (z ).

È 2 e2 l2 e wl /(4 c2 R2 ) l R È Å ÄÅ Í ÍÎ Ê ÊÏ e = / 2 È Ê Ê e Ä
0.75, 0.8, 0.85, 0.9, 0.925, 0.95, 1.0Ê l2 wl (e , /2)Ê Ê È Ê e = 1 l

z = le sin e Ê ? cn e Ê

Ä È É É

Ê

È É l2 wl (e , /2)ÅÊ Ê É e = 0.4, 0.5, 0.55, 0.6, 0.65, 0.7È É e É e È É È È Ê

ÍÌ


0.4

1.0

0.8 0.3 0.6 0.2 0.4 0.1 0.2

0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 e 2 0.8 1.0

0.0 0 10 20

l

30

40

50



Ê ÏÊ

l wl (e , /2)



l = 1(1)5 e Ê

ÊÊ l2 wl (e , /2) l e = 0.4È 0.5(0.05)0.9, 0.925, 0.95, 1.0Ê

ÏÊ

Ê È

É Ï Ê É É Ä
i ctg e Jl (z ) -e Jl (z ) .Ä

È Å Ä ÏÅ

Ê
lÈ Ê Ê È El Ê

È

ÄÅ

Ê

É Ê

El [i ctg e Jl (z )e1 (ne ) - e Jl (z )e2 (ne )] =

Å É É É

Ï Ê ? È

Ê

ÍÌ


c c ^ EE = S= 4 4 I V Wl Ê

|Ex |2 Ex Ey

Ex Ey 2 |Ey |

=

1 2

I +Q U + iV

U - iV I -Q

,

Ê?

ÈQ

U

Ä ÌÅ È

l c ^ Sl = El El 4 ctg2 e Jl2 (z ) -ie ctg e Jl (z )Jl (z ) 2 ie ctg e Jl (z )Jl (z ) e Jl2 (z )

, Ä ÍÅ

È Ul = 0 È
Ql =







Ä

Å

È

e2 e2 2 2 l [ctg2 e Jl2 (z )-e Jl2 (z )], Vl = 2 l2 e ctg e Jl (z )Jl (z ). Ä ÎÅ c c

È È È Ê? Äctg /2 = 0ÅÈ È
e = 0

Ê È ÊÊ

Wl2 = Q2 + Ul2 + Vl2 È l

É

É É

e2 Il = -Ql = [z Jl (z )]2 Ê c ÈÊÊ Ê

e = È

È

2 e 2 e Ê c2 Jl (z ) (z /2)l /l!

É È É É ÅÅÊ É È É É

I1 = V1 =

È

z 0 Ä

ÄÊ

Ê Ê Ä ÅÈ Ê Ê È Ê

ÍÌ




W l (e ) = 2
0

sin e de Wl .

Ä ÏÅ È Ä

Å



È



Ä

ÄÊÍÌ Å

ÄÊÍÌ ÅÅ É

e2 l W l (e ) = 4 l e J2l (2le ) - 2 c e

1

0

J2l (2le y )dy .



Ä

Å È É È

Ê

V l = 0È Ê Ê

? (z /2) /( + 1)
W l 4

2 = y 0 1 1 2 1-y l e dy .Ä Å = -4 le J2l (2le ) - 2 J2l (2le y )dy + 2l J2l (2le y ) c e y Ql (e ) = -4
2 J2l (2le y )dy 1 + e - 0 0

e l e J2l (2le ) + l c

2



1



Äl e 1 Å

z +0È Ql -4 lÈ
2l e

J (z )

e2 l(l + 1) (le )2l , c (2l + 1)!

l2 e2 (le )2l . c (2l + 1)! l

Ä È

Å

l (2/e)2l

+1

È

È

È Ê

È

Ê
W l (e )

Ê

É É É Ê

ÍÌ


W l (e )/(4 e2 /c)
1.0

-Ql (e )/W l (e )
1.0 0.9

0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.5 0.2 0.4 0.0 0 10 20 30 0.3

0.4

l

40

50

0

10

20

30

l

40

50



Ê

Ê



Ê

Ê

É Ê

e Ê

0.99, 1.0Ê

4 e2/c

e È


-Ql (e )

Ê

Ê

e= 0.4, 0.5(0.05)0.9, 0, 925, 0.95, 0.97È Ê É l É e Ê Å

Ê
Q (e ) l -l È l+1 W l (e ) È l e Ê

Ê ÍÈ

É

e 0

È Ê È
ö

Ê? Ê Ê Ê? Ê n
e



É

É É

e

È öf Ê ?



n È

f

Ä ÍÌ

È


Å
e

fÈ

öÊ

É
öf = { öf , öf n f } .

öe = {öe , öe ne },

Ä

Å

ÄÑÊ Å
öe = öf (1 - cos f ),

Ä

Ê

É ÄÑÊ ÏÅ Ä Å É ÄÅ Ä ÌÅ

öf = öe (1 + cos e ).

Ä

ÄÑÊ

ÅÅ

öe ne = öf nf + öf e3 + ( - 1)öf e3 (e3 nf ), öf nf = öe ne - öe e3 + ( - 1)öe e3 (e3 ne ). öe sin e = öf sin f È sin e = e
1

sin f sin e , sin f = . (1 - cos f ) (1 + cos e )

Ä ÍÅ É É Ä ÎÅ Ä Å

ÄÅ

e

3

c o s e =

c o s f - c o s e + , c o s f = . 1 - c o s f 1 + c o s e

?

È

È

Ä ÍÅ Ä ÎÅÈ Ê? Ê



Ä ÎÅ dö/ö

d ö/öÈ
3

1 - tg

e = 2

Ê

ö2 sin dÈ ö2 sin dd = ö2 d2 nÈ Ê? É öe sin e = öf sin f öe de = öf df È f 1 + tg Ê 2 Ê? È É ÈÉ ÈÊÊ Ê

ÍÍÌ




Ä

ÅÊ Ä ÏÅ É

z = l

sin f s f sin sin f =l , =l (1 - cos f ) 1 - f c o s c o s f c

Ä ÅÊ Ä Å = f cos , = f sin È
wl =
2

c o s f - sin f

2 2 Jl2 (z ) + Jl 2 (z ) .

Ä

Å

È
l d2 P f = l

d2 n


f

T

f

e2 c 2 2 2 l öf d nf öf wl . 2 e

Ä

Å

?
d2 P e= l

Ê? Ä Å

É Wl È

Ê

3 e2 c 2 2 2 e2 c e e l öe d ne öe wl = 2 l2 3 d2 ne {1, ne}wl = Wl {1, ne}d2 ne . 2 e e c c ÄÅ e c È Wl È È É

ÄÅ



ÄÅ
d2 P f = l Wlf f {1, nf }d2 nf , c 1 - c o s f

È Ä

É Å



Ä

Å

Wlf =

wl e2 2 . l2 c (1 - cos f )2

Ä
Wlf

Å

Ä

È

Ä

Å ÅÈ

P

f l

É

ÍÍÍ


Tf Ê

È

Ê
e

È

f

Wlf È



Ä ÅÊ

È

É
ö
e

ö

f

öe = e / cÈ f = e / È È

Ê?

È È

e l = l e Ê

È

È

È É Ä Å É É É É È È È É É È É

f l = lcöf = l

cöe f =l =l . c c f c

Ê Ä
l = 1ÅÈ

ÄÅ
Tf = 2 / 2 /(cöf ) = Tf c È c o s c o s f
f

Ê Ê? È È È

È È Ê ?Ê Ê  É

È

Ê È Ê
c = sin2 È

Ê



È

f È =l 2 È sin
f l

È É Ê Ä

f / 2

1/ sin2



ÄÅ Ê

Å

f

É É



È ÍÍÎ

È nf

e

È


È


È È
Pl =
2 2 Jl2 (z) + Jl 2 (z) =

É
dP =
2 f l

= 2

{ 1 , 0 , 0 , c o s f } e2 2 l sin f df 2f c (1 - cos f )3
0

cos f- sin f

e2 = 2 2 f l c

2 0

sin e de {1 + cos e , 0, 0, cos e + }ç e { , 0, 0, }W l . c

2 ç ctg2 e Jl2 (z ) + e Jl 2 (z ) =

Ä ÌÅ É

ÄÊÍÎ Å

È Ê ÄÊÍÎ ÅÅÈ


È
f l= 1 2

Ä

É

P=
l= 1

e2 P l = 2 2 c
2

l sin f d
0

f

{ 1 , 0 , 0 , c o s f } ç (1 - cos f )3


ç

c o s f - sin f

2 Jl2 (z ) + Jl 2 (z ) =

e { , 0, 0, } c

W l . Ä ÍÅ
l= 1

Ê È
e2 I= c z
2 f l= 1

È
l
2 0

Ä ÍÅ

Ê c f / 2 È Ê Ê ÄÎ Å
2 2 Jl2 (z ) + Jl 2 (z ) ,

IÈ

È

É É É

sin f d 3 c

f

c o s f - sin f

Ä ÎÅ





Ä ÏÅÊ È ÄÍÏ Å ÍÍÏ È 

È É ÑÊ


ÊÊ

?

ÄÎ ÅÊ Ä ÍÅ


È


Ä

Å

É

2 I= e 2

l= 1

e2 Wl =2 c

2 e l= 1

ÄÊÍÍ Å

e2 c

J1,1 J2,0 È ÄÊÍÍ ÅÅÈ 2 e 2 2 2 4 e I = e e e - 2 c e
2 e

1 l e J2l (2le ) - J2l (2ley )dy . 2 e
0 1

Ä ÏÅ É

 Ä

0



24 e e

1 - 2 (2I4,0 (e ) - 3I3,0 (e ) + I2,0 (e )) , e

2 1 + e y 2 2 y dy = 2 (1 - e y 2 )4

Ä ?Ê

Å É É

? Ê

Í

Ä ÎÅ

Ä ÏÅ

ÄÎ ÅÊ

ÿÊ
ÍÊ Ê È
e 1, e 1Ê

Ê È

È

Ê

È

Ê

É É É É É

È e = / 2 - e È - / 2 / 2 Ê || = |0 |/e 1Ê z = le sin e = le cos É
2 1/e + 2 =

u=

1 - z 2 /l 2 =

2 2 1 - e + e sin2

1 + 2 0 1. Ä e

Å

ÍÍ


È

u

3 v = v+ u3 /3 = (1 + 2 )3/2 /(3e )Ê 0 2 3/2 3 lÄ y = l(1 + 0 ) /(3e )Å

É

1 + 2 0 K Jl (z ) 3 e

1/3

(y ),

1 + 2 0 Jl (z ) K 2 3 e

2/3

(y ),

Ä

Å

Äctg e = tg Å
Wl e2 2 1 + 2 2 0 K l 4 c 3 2 e 0
2 1/3

(y ) + (1 + 2 )K 0

2 2/3

(y ) . l e

Ä

Å Ê É É

3 ÍÅ l 3e , y 1Ê ? ÄÅ
K (z ) Wl e2 3 c

Ê È Ê
l2/3 . 1 + 2 0 e

ÄÊ

Å

1/3 -2/3 2

2

(2/3)

Ä

Å É

l l2/3 Ê 3 ÎÅ l 3e , y 1Ê 4 2 l2 /e 9e Ê 3 ÏÅ l 3e , y 1Ê Wl

ÍÈ È
.

Wl

É


Wl

e2 1 l 1 + 2 2 l 2 0 exp - (1 + 2 )3/2 3 0 c 2 e (1 + 2 )1/2 3 e 0

Ä

Å

Ä
e = ÅÈ Ä ÅÊ È e = 1 È 3 l 3e È y2 [2 K 1 + 2 0 0
2 1/3


2 e È

Ä

Å È

È

?

e = 1 È É É É lÈ É Ê

F (y , 0 ) = 9

(y ) + (1 + 2)K 0

2 2/3

(y )], y = l

(1 + 2)3/2 0 . ÄÍÌÌÅ 2 3e

ÍÍ


F (y , 0 )
3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 3.5

0 = 0
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0

Fm y
m m

0 = 1
2.0 2.5 3.0

0.5 0.0

x y
0.0 0.5 1.0

1.5



2.0
0

2.5

3.0



Ê

Ê


1Ê

y

F (y , 0 ) x



Ê

Ê

É
0 Ê

0 = 0, 1/2

F (y , 0 )


Wl =
2 e

Ä

Å ÄÍÌÍÅ
xÈ

2 e2 e F (y , 0 ). c 3 2

F (y , 0 ) 0 Ê x

Ê È
y

È

Ê x = y /(1 + 2 )3/ 0 Ä

2

ÅÊ 0 Fm (0 ) = F (ym , 0 )È ÊÊ 0 Ä ÌÊ Í 0 = 0 ÌÊ ÏÊÏÍ 0 = 0 È F (ym , 0 ) 5.4791/2Ê 0 xm = ym /(1 + 2 )3/2 Ê 0 È È Ê È ÍÍ
e

0 = 0

Ê?
y
m

É É y
xm

Í

0 = ÅÊ 0 x 0

y

m

É

Ê È È

É È É É


3 3e È

Ê

È Ä Ê ÊÊ ÈÊÊ È Ê È

l 2 l /e 3e Ê e = /e È É



È



ÅÈ

È


É É É É É

e

Å ÎÊ È
u=

1- ÄÊ Å

2 e

Ê Å Ê 3 = 1/e 1, v u3 /3 = 1/3e Ä
1 K 2 3e
2/3

É É

e J2l (2le )

(x),

x=

2l . 3 3e

ÄÍÌÎÅ É

Ê?
u =
2 1 - e y 2 , v =

1 1 + u ÄÍÌÏÅ - u , ln 2 1 - u u 2 du e u dy 1 - u2 dv 2 u y dy dv = = - e =- , dy = - . ÄÍÌ Å 1 - u 2 1 - u 2 u e 1 - u 2




ÄÊ ÏÅ

1

0

1 J2l (2le y )dy

e 1/3
3 e

v K u

1/3

1 - u 2 (2lv ) dv . u

ÄÍÌ Å


x = 2lv
1

É

0

1 J2l (2le y )dy 2l

x

v (1 - u 2 )K u 3

1/3

(x )dx ,

ÄÍÌ Å

ÍÍ


?
xÈ v = x/2l 1Ê ?
1

Í Ê u 1
1 2l 3


v u 3 /3È
1/3

É É ÄÍÌ Å

0

J2l (2ley )dy

K
x

(x )dx .


4 e2 l Wl K 2 3 c e
2/3

(x) -

1 2



K
x

1/3

È

(x )dx .

Ä ÅÈ

ÄÍÌ Å ÄÍÌ Å

ÄÊ ÎÅÈ
K
1/3

2/3

È

(x )dx = 2K

x

(x) -

K
x

5/3

(x )dx ,

Wl

e2 3e fW (x), c

x=

2l , 3 3e

ÄÍÍÌÅ É




È

fW (x) = x
x

K

5/3

(x )dx .

ÄÍÍÍÅ





0

8 fW (x)dx = . 93

ÄÍÍÎÅ Í

93 f (x) = fW (x)Ê 8
W


x x 2
-2/3 n=0 2n

È

fW (x) = x 3 - x 2
8/3 n=0

(x/2)2n - n!(n - 2/3)(n - 1/3)

(x/2) 25/3 1/3 -1 x . ÄÍÍÏÅ n!(n + 8/3)(n + 4/3) 3 (1/3)

ÍÍ


È
x e 2

È
x

0.91801
m- 1

x = 0.28581Ê É
2

-x n=0

fW (x)

(-1)n

(2n - 1)!! 2n xn

n k =0 m =0

k+

1 2

-

25 9 ,

m!(2m - 1)!!

ÄÍÍ Å É

ÊÊ
1.0 0.8 0.6 0.4

Ê?

p (x )

fQ (x)
0.2 0.0 0
Ê Ê

fW (x)

1

2

3

4

5

x





fW (x)È fQ (x)

p (x )Ê

È

W

l

m

ÊÈ li 3 e È lmm = 3e Ç 0.28581 W 2 (e )/(4 e /c) = 3e Ç 0.91801Ê e = 7 È È Ê È ÈÊÊ lÈ È È È l Ê

Ê W

m

=W

l

m

(e )/(4 e2 /c)È

lm

É É
lim m

É = É É

ÍÍ


Ê
e ÌÊ Ì ÌÊ ÌÊ Ì ÌÊ Î ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ ÌÊ

ÍÊ ÍÊ Ì ÎÊÎ ÎÊ Ï ÎÊ Ï ÏÊÎÌ ÏÊ ÏÊ Í ÊÍÍ ÊÌ ÊÌÏ ÊÌ È

e

l

m

Î Ï

ÍÍ Í Í Î ÏÌ Ï ÍÎ

li lmm ÍÊ ÎÊ Ï ÊÍ ÊÎ ÍÌÊ Ì Í ÊÌ ÍÊÏ ÎÏÊ ÎÊ Ï ÊÌ ÊÌ Í ÎÊ Î

Wm ÌÊÍ ÌÊÎÌ ÌÊÎ ÌÊÏÍÍ ÌÊÏ Í ÌÊÏ ÌÊ Ï ÌÊ ÌÊ Ì ÌÊ ÌÊ Î ÌÊ

Wm ÌÊÎÍÍ ÌÊÎ Ì ÌÊÎ Ì ÌÊÏÏÏ ÌÊÏ Í ÌÊ Ì ÌÊ Î ÌÊ Î ÌÊ ÎÌ ÌÊ ÌÊ Ï ÌÊ

lim




ÎÊÍ ÊÎÊÎÊ
Å+1+ 2 Å+1- 2 È

É

xÅ K (x)dx = 2
0

Å-1





.

ÄÍÍ Å É É



Ê
xÅ fW (x)dx =

È

xÅ 93 = 8

=
0



K
0

5/3

3Å + 4 3Å + 14 x Å+2 9 3 2Å-2 . ÄÍÍ Å = (x )dx Å+2 Å+2 6 6


x2 - x2 = 1.3605È Dx = 1.1664Ê ? È

x2

x = 55 3/72 = 1.3231È = 2 7/3 = 1.7638È Dx = É

Ê Ä ÍÎÌ Å É

Ê ÄÅ

Ql


W lÈ

Ê È
y=
2 e - 1 + u

É
1-y = 3 x 2l
2/3

1 - u 2 / e 1 È
2 2 2

=

e -



1-u
e

2

=
e

e +

1-u



2 u - 1/e 1 2 2

-

1 . 2 e

Ä
1

È

Ê ÍÊÍÎ

Í


È

Å
2/3

ÄÍÍ Å É

2l J2l (2ley )
0

?

2l 3 1-y K1/3 (x )dx dy x y 2l 4l 3 x 1 K2/3 (x) - K1/3 (x )dx . = 2 2 3e
x

-

1 = 2 e

ÄÍÍ Å

Ql = -

e2 2 l K 2 c e 3

2/3

(x) = -

e2 3e fQ (x), c x fQ (x)

fQ (x) = xK 2 /3 3È

2/3

(x).

È

ÊÊ

fQ (x) fW Ê  p(x) = fQ (x)/fW (x)Ê ?

ËÏ È

ÄÍÍ Å

ÏÊ É Ä

Ê?

É É È p(0) = 0.5, p() = 1Ê È



É Ê

Å

Ê È Ä ÌÅ

É É É f =

f 1 Ä ÎÅÊ + 0 /f Ê



ÄÊ ÏÅ

Ä ÍÅÈ

ÄÊ

ÅÊ

ÍÎÍ


f 1, f 1





z=l



ÄÊ Å u =

s È c

É

1 - z 2 /l 2 = 1 + 2 sin 1 + 2 0 0 . = 2 f sin f sin

=

2 2 1 - s / c =

2 2 c - s c

ÄÍÎÌÅ

È
0 È È

v+ u3 /3 (1 + 2 )3/2 /3f3 sin3 Ê 0

È

(cos f - )/ sin f -0 /f È





Ê É sin È

I

e2 c

2 f



l

2

l= 1 -

sin d0 1 1 + 2 1 2 0 0 K f sin6 3 2 sin2 f4

2 1/3

(y ) + (1 + 2)K 0

2 2/3

(y ) .

?



È

Ä

ÅÊ È Ê

È È Ê È
l sin2 . f

È

ÄÍÎÍÅ lv+ Ê È É È É É

? ÄÅ È Ä ÌÅ

Ê Äf 1Å È
= l l f , sin2 l=

É

ÄÍÎÎÅ


y = lv+ l (1 + 2 )3/2 x 0 = (1 + 2 )3/2 , 0 3 sin3 2 3f x= l , c

ÄÍÎÏÅ

c =

32 3 eH 3 eH sin = f2 sin = f2 . 2f 2 mc 2 mc

ÄÍÎ Å

ÍÎÎ


H = H sin

Ê l /c = l /c È

È

c = c /2 Ê ÄÍÎÍÅÈ Äy = x(1 + 2 )3/2 /2Å 0 2 A1 (x) = d0 2 (1 + 2 )K1/3 (y ) = K5/3 (x )dx - K2/3 (x)ÄÍÎ Å , 0 0 3x x - 2 K5/3 (x )dx + K2/3 (x) ÄÍÎ Å . A2 (x) = d0 (1 + 2)2 K2/3 (y ) = 0 3x
- x

È

È

É

?
e2 I c
2 f

È

Ê



l= 1

1 2 l57 f sin 3x
2



K
x

5/3

(x )dx .

ÄÍÎ Å

x=

l 2 , 3 sin3 3 f

l=

33 3 sin x. 2f f3 sin3 xÈ

ÄÍÎ Å
l

?

Ädl = 1Å
dl = 1 =

33 3 sin dx. 2f

ÄÍÎ Å É

ÄÍÎ Å
2 e2 f 1 1 2 9 6 6 2 3 3 3 I f sin x f sin dx K 7 25 c 3 f sin 3 4 2 x 0 x

5/3

(x )dx =

e334 2 = sin c 4 f
2 2 f



fW (x)dx =
0

2e 2 4 2 sin . 3c f f

2

ÄÍÏÌÅ

ÍÎÏ


ÄÎ Å
m c2 x

ÄÍÍÎÅÊ È f 1 Ê



Ê
E ( , f ) =

É É É ÄÍÏÌÅ = xc È dx = d /c Ê ÈÊÊ È

2 3e sin fW (x). 2 c

ÄÍÏÍÅ É É É É

È Ê

ÄÍÏÍÅ È È

È

È

É È
= 0 /f È

È

Ê

È

É

Ê

Ê

È

u=

2 2 1 - s / c =

ÊÉ = 2l 0 f c 0 0 1 - (s /c )2 v 0 = 0È Ê
f l

Ê

È Ê È

Ê È È Ä ÊÈ È Ê ÊÄ
-p



È
p

ÿ ÍÈ Å

È

È

Å

È É È É ÄÍÏÎÅ

Ne ( ) = C (p)

, m M .



È
C (p)

È

m 10Ê É

ÍÎ




M

C (p) p=1



m

-p

d = 1,

C (p) =

1- M p

1-p

1 - m-

p

.

ÄÍÏÏÅ Ê



È È

È

É È

Ê Ê Ê È È ÄÍÏÎÅ

M

È É É È ÈÉ ÄÍÏÍÅÈ

2 3e sin C (p)IW (p), E ( ) = 2 c

IW (p) =



m

-p

d fW (x). ÄÍÏ Å

?

ÄÍÍÍÅ
= sin Ê

M

ÄÍÏ Å Ê fW (x) 2 -2 = ,= x= c 3


É É
2 - x 3
1/2

È

IW (p) = 1 = 2
2 2 /(3 m )



m

-p

d x
x

K

5/3

(x )dx =


3 2

(p-1)/2

x

p/2 -3/2

x

dx x K
x

5/3

(x )dx . ÄÍÏ Å

2 2 /(3 M )

Ê
2 [2 /(3m ), ) Ê

ÌÈ È É 2 [0, 2 /(3M )] É

ÍÎ


ÄÍÏ Å
1 IW (p) = 2 1 2 = 3 2 3 2 1 p+1
(p-1)/2

É

x
0 (p-1)/2

p/2 -3/2

x

dxx
x x


K

5/3

(x )dx =

=

K 3 2

5/3

(x )dx
0

x(

p-1)/2

dx =

0 (p-1)/2

x(
0

p+1)/2

K

5/3

(x)dx.

ÄÍÏ Å

? ÄÍÏ Å
IW (p) = 1 p+1 3

ÄÍÍ ÅÈ
p > 1/3
(p-1)/2



3p + 19 12



3p - 1 12

ÄÍÏ Å

E ( ) =

C (p) 3 e2 2 c p+1

3

(p-1)/2



3p - 1 3p + 19 . 12 12

ÄÍÏ Å

Ê

È Ê Ê? Ê È È

Ê È È È


È

É É

Ê È ÊÊ Ê
p > -5

É
Ê

1 2



1

sin(
0

p+3)/2

d =
0

y

(p+3)/2

(1 - y 2)-

1/2

p+5 4 dy = . ÄÍÏ Å p+7 2 4

ÍÎ


É ÄÍÏ Å

È È

Ê ÄÍÏ Å
e2 c 2 p

È

É É

E ( ) = A(p)

(p-1)/2

,

ÄÍ ÌÅ

3 A(p) = 2



p/2

C (p) p+1

3p + 19 12



3p - 1 12



p+5 4 . p+7 4

ÄÍ ÍÅ

ÊÊ

p1

A(p)

È Ä



C (p)È

p 1/3È ÄÍÏÎÅÈ Ê ÍÌÈ ÅÊ

10 8 6
A(p)/C (p) B(p)/C (p) AQ (p)/A(p) AQ (p)/C (p)

4 2 0 0
Ê ÍÌÊ

1

2

4 3 A(p) B(p) AQ (p) È È C (p ) C (p ) C (p )

p 5 AQ (p) Ê A(p)

Ê Ê

ÄÍ ÌÅ Ê É Ê?

É É

É

ÍÎ


È È È È Ê

Ê

È Ê

É

Ê

È

É Ê Ê

? Ê È Ê

= /2 Ê m c2

Ê?


É É È

È
E (, ) =

È
E ( , ) d E ( , ) = . 4 d 2

ÄÍ ÎÅ



M

= n

e
m

E (, )Ne ( )d = n

e

E ( ) . 2

ÄÍ ÏÅ

È
= n
e

e2 E ( ) = ne A(p) 2 2c





(p-1)/2

.

ÄÍ

Å É É

Ê

È

È Ê ÍÎ Ê

È


ÎÏÈ
A
-h /mc
2



B -h /mc2 B -h /mc2 Ê È ÄÍÏÍÅ ÄÍ

É É É É

Ê



A

-h /mc

2

= 2

E ( , ) E (, ) = 4 . h h

Å É É

Ê È
fM ( )[A
-h /mc
2

È

È ÈÊÊ

+ B
2

-h /mc

2

B (T )] =

= fM ( - h /mc )B B (T )

-h /mc2

B (T ).

ÄÍ ÄÑÑÊ ÅÊ Å

Å É È

È

È Ä

fM ( )

fM ( ) =e fM ( - h /mc2 )

h /kB T

,

ÄÍ

Å

É
c2 A 2 h 3

B

-h /mc2

= B

-h /mc

2

=

-h /mc

2

.

ÄÍ

Å



È
-h /mc2

I È m c2

Ê

k ( )

I = [Ne ( - h /mc2 )B h

- Ne ( )B

-h /mc

2

]

I . Ne ( ) ÄÍ Å

ÍÎ


È
(h )2 k () = - B m c2

È


d ln(Ne ( )) (h )2 c2 A = d m c2 2 h 3

É É
p . ÄÍ ÌÅ
2

-h /mc2

-h /mc

k ( ) =

2 p E (, ). m 2

ÄÍ ÍÅ



M

k = n

e
m

k ( )Ne ( )d = n

e

e2 3 sin pIW (p + 1). c m 2

ÄÍ ÎÅ É È É

È

p > -2/3Ê 3
p/2

k = n

e

e2 p 3 sin 2 c m p+2



3p + 22 12



È
k = n
e

3p + 2 . 12 ÄÍ ÏÅ È

e2 c m 2



p/2

B (p),

ÄÍ

Å

B (p) = 3 2



(p+1)/2

pC (p) p+2

3p + 22 12



3p + 2 12



p+6 4 . p+8 4 ÄÍ

Å

ÍÏÌ




Ê ÍÌÊ Ê Ê ÄÍÍÌÅ ÄÍÏÍÅ

B (p)/C (p)

p

Ê? Ê È

È ÄÍÍ ÅÈ

É É

È

2 3e Q( , f ) = - sin fQ (x). 2 c 2 C (p) 3e Q( ) = - 2 c 4

ÄÍ

Å

3

(p-1)/2



3p + 7 12



3p - 1 12

.

ÄÍ

Å

È
Q( ) = -AQ (p)

Ê?
2 3e 2 c




(p-1)/2

,

ÄÍ

Å


AQ (p) = 3 2 C (p) 4 3p + 7 12 3p - 1 12 p+5 4 . p+7 4

p/2



ÄÍ

Å

È È
p

È

È
3p + 7 12 3p + 19 12

Ê

É

AQ (p) p+1 = A(p) 4



=

p+1 . p + 7/3

ÄÍ ÌÅ

ÍÏÍ




È



AQ (p)/C (p) Ê pÈ



È È

É É

ÏË

È Ê
p=0 È Ql

Í

p Ê

É
Ql Ä Ä

Å ÄÍ ÅÊ È È Ê

Ê È Ê Ê?

È

ÄÍÍ ÅÅÈ Å È

É É É É É

ÄÍ

È

Ê

É É É

È ? È È Í ÌÉ È Ê ?Ê

Ê

?Ê Ê È È

Î

É É É Ê

Ê ? Ê

Ê

ÄÍ ÌÅÊ ? É È É É É É

ÅÈ

Ê ÍÏÎ

Ä È

È È


È Ê È Ê Ê? É ÊÊ Ê È È Ê È È ÏÊ È Ê Î Ê È Ê

È É É É É É



É

? éæê èéæ æ

È È Ä Ê È Ê ÅÈ É

è ãâÈ

É È

É




ÑÞÊ

ÿ ÍÊ
È Ê Ê? ÊÊ Ê?Í È
10
12

ÍÊ

Ê Ê ?Ê ÊÊ

È

È ÊÊ ÍÏ Ê Å È É É É É È É É É É È É É Ê É É È È É

Ê

Ä Ê Ê? È È

Ê



Ê

? 10

18

?

È È

È

È

È È

Ê Ê Ê È
10

11

? 10

13

?Ê Ê

È È È È

È

Ê

È

È Ê?

È Ê Ê



È

n = > 1Ê  È Ê Ê = n = constÊ É c 1 = c / n < cÊ Ä - eÅ
2

ÍÏ


vÈ

È

c1 < v < cÊ

(r , t) = -e (r - v t), (r , t) = (r , t) v .

ÄÍÅ

È z È Ê Ê v = v (0, 0, 1)Ê È ÊÊ È Ê ÎÊ Ê
1 c2 1 1 c2 1 4 2 - = , t2 2 4 - A= . t2 c

Ê

Ê É

ÄÎÅ È É ÄÏÅ

È

v

n

È
n2 v. c xz Ê ?

A=

È r = (x, 0, z )È z > 0Ê

È


(r , t) = 1 (r1 , t1 ) d3 r1 . |r - r1 |

x>0

ÄÅ

È

È

|r - r1 | = c1 (t - t1 ),

ÄÅ


t r1 r

È
t 1 < tÊ e n2

c1 È

ÄÅ
d3 r1 , |r - r1 |

(r , t) = -

(r1 - v t1 )

ÄÅ

ÍÏ


ÄÅ

t

t

1

|r - v t1 | = c1 (t - t1 ).

ÄÅ É Ê
t


aÊ ? t1 t
1

È ÄÅ Ê
tÈ r1 = v t1 È r c1 (t - t1 ) È t1 = t È Ä

Ê
t
1

ÄÅ È È



É É

t1 < t



Ê È ÏÊ

?

Ê ÿÏ  Ê?

ÑÅÊ

Ê

X = r - v t, X1 = r - v t1 = X + v (t - t1 ).

ÄÅ

ÄÅ
|X1 | = |X + v (t - t1 )| = c1 (t - t1 ).

ÄÅ
t - t1 È

?

ÄÅ
t - tÁ = 1 -(X v ) Á Y , v 2 - c2 1

ÄÍÌÅ ÄÍÍÅ ÄÍÍÅ È
v > c1 È t Y

Y 2 = (X v )2 - (v 2 - c2 ) X 2 . 1 v 1

Y t+ È 1

Ê? Ê

È

È
tÊ

Ê
t - t1 > 0 È

È

X v < 0È t - t1 < 0 È

È

É É

È

Ê

ÍÏ


Ê
Y

Ê

X v = X v cos Ê

Y 2 = X 2 v 2 cos2 - (v 2 - c2 ) X 2 = X 2 v 2 (c2 /v 2 - sin2 ) 0. ÄÍÎÅ 1 1

È
sin c1 /v = sin 0 .

sin2 c2 /v 1

2

ÄÍÏÅ

È
- 0 .

ÄÍ Å
X v c1 . v



0 È

É ÄÍ Å

tg 0 = c1 / v 2 - c2 , 0 = arcsin 1

ÄÍ Å È

Ê

Ê?

X = (x, 0, z - v t), z -vt x x2 + (z - v t)2

ÄÍ Å

co s =

x2

+ (z - v t

)2

, sin = vt > z

.

ÄÍ Å

ÄÍÏÅÈ

Ê

È

ÄÍ Å

É ÄÍ Å

c1 (v t - z )

v 2 - c2 x 1

t t =

z + v

v 2 - c2 1 x. v c1 tÁ È 1

ÄÍ Å

Ê

ÄÍÌÅÈ

ÍÏ


t-t , t - 1 + 1 - 1

ÄÍÌÅÈ

t-t

+ 1

>

Ê Ê
Á X1 Á, X1

ÈÊÊ Ê
Xv Y , v 2 - c2 1

É

Á vx = v

X

Á 1

=X -v

ÄÎÌÅ Å ÄÎÍÅ É

Äy
y= vt-z v , q= , f= x c1 y 2 - (q 2 - 1).

?
x qyÁf , c1 q 2 - 1

v X = - x y v , Y = c 1 x f , t - tÁ = 1 vX
Á 1

ÄÎÎÅ ÄÎÏÅ

=

xv (y Á q f ). q2 - 1

È

ÄÍ Å

ÄÅ
1 1 qyf . Á= Á= x (y 2 + 1) X1 c1 (t - t1 ) y q 2 - 1Ê

X 2 = x2 (1 + y 2 ),

ÄÎ Å

ÄÍ Å

È

È

Á vx =

xv qyf qÁyf (y Á q f ) =v 2 . q2 - 1 x (y 2 + 1) y +1
Á vx

ÄÎ Å É + vx
z

ÄÎÏÅÈ
t y>q

c1 Ê

ÄÎ ÅÊ È x

y = qÈ Ê?

y

y
É

ÍÏ


t È t =t Ê? + t > t vx > c1 È Ê Ê q2 - 1 < y < qÈ Ê Ê t < t c1 > - Ê t > t0 vx È t = tc = (z + x yc )/v È
+ 1 - 1

Ê

Ê

È t < t È t

y = y =

q 2 - 1È
Á vx = c1 Ê

É É É

Ê

? < t0 = z /v + x/c1 - vx > 0È < 0Ê É Ê ÄÎ Å È ÄÎ Å

Ê

yc =

q2 + 1 q2 - 1

, tc =

z x v 2 + c2 1 > t0 > t , + v v v 2 - c2 1
- vx y +È

È Ê ÍÊ Ê

t +È Áv Ê

- c1 Ê

Á vx

Ê
9 v -c = È 16
2 2 1

È
c1 = 1 È É 3 v 2 - c2 = Ê 1 4 469 3 r= 14, 5 40 É

È 5 v = > c1 È 4
t = 11È

r1 = v t1 =

5 (0, 1)t1 Ê 4 3 14 81 3 14 81 5 X= r-vt = , X1=X +v(t-t1 ) = ,- , - + (0, 1)(t-t1 ). 5 40 5 40 4 ÄÎ Å |r - r1 | = c1 (t - t1 ) 81 3 14, - 5 40 |X1 | = |X + v (t - t1 )| = c1 (t - t1 ), 5 + (0, 1)(t - t1 ) = t - t1 . 4

È

É

ÄÎ Å

ÄÎ Å

ÍÏ


?

È
9 65 = 0 , t - t1 = Á 4 2 5 È 2
+ 1 + |X1 - X1 - |X1

É
9 81 65 - = Á 2, ÄÏÌÅ 4 4 2 17 Ê 2 6 61 14, 65 65 6 11 14, 25 25 , ÄÏÍÅ . ÄÏÎÅ

(t - t1 )2 - 9(t - t1 ) +

Ê Ê t - t+ = 1
X X
+ 1

13 2

t - t- = 1 , ,

t+ = 1

9 2

t- = 1

= =

3 61 14, 5 10 3 11 14, 5 25

X

| |

= =

+ X1 = c1 (t - t+ ) 1

- 1

- X1 = c1 (t - t- ) 1

+ vx =

11 5 11 61 5 65 - = = 1.173 > c1 = 1, vx = = = 0.55 < c1 = 1. ÄÏÏÅ 65 4 52 25 4 20

È

È È Ê

ÊÍÈ È Ê È

È

É É

Á X1 È

Ê ÎÊ
r=

Ä

Å

Ê

É É É
c1 Ê

Ê

469 9 11, - Ê 20 40

É É Ê

ÄÎ Å

9 11 81 9 11 81 5 X = r-v t = , X1 = X+v (t-t1 ) = ,- , - + (0, 1)(t-t1 ). 20 40 20 40 4 ÄÏ Å

ÍÌ


ÄÎ Å
(t - t1 )2 - 9(t - t1 ) +

È
15 3 45 = 0 , t - t+ = , t - t- = . 1 1 4 2 2 t+ = 1 7 2 t- = 1 19 Ê 2

ÄÏ Å

?
+ X1 =

9 147 11, 20 20 9 3 11, - 20 20

, ,

- X1 =

+ 1 + |X1 | - X1 - |X1 |

X

= =

+ 147 X1 9 11, += 150 150 c1 (t - t1 )

, ÄÏ Å . ÄÏ Å

- 1 X1 3 11, - -= 10 10 c1 (t - t1 )

+ vx =

147 5 147 15 1 - = = 1.225 > c1 = 1, vx = - = - = -0.125. ÄÏ Å 20 4 120 10 4 8

?

È

Ê



É ÊÍ Ê

. . . . .


.

. . . . . . .
Ê ÍÊ

.



Ê

ÍÍ


ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê È a + bÈ
aÊ

Ê È



È

È

É Ê É Ê É È

v0 = vx > 0Ê ? bÈ bÊ

+ v0 = -vx > 0

b b 1 a+b =, = . v0 c1 a v0 /c1 - 1

ÄÏ Å È É

È

Ê? Ä ÌÅ È Ê É É É É Ä ÍÅ

b b 1 a-b =, = . v0 c1 a v0 /c1 + 1

È ÈÊÊ È
É

È

e = 2 n

ÄÏ Å Ä ÌÅ 1 1 1 1 . +- + + - X1 vx /c1 - 1 X1 -vx /c1 + 1
Á Á X1 vx ÄÎÍÅÈ

Ä ÅÈ

È

ÄÎ Å

ÄÎ ÅÈ

=

2 e c1 1 v , A = n2 . n2 Y c

Ä ÎÅ

ÎÊ Ê ÍÎ

Ê

È

É


ÄÍÍÅ Ä ÅÊ

Ä ÎÅ È

YÈ



É É Ê Ä ÏÅ

2 Y 2 = c2 (z - v t)2 - (v 2 - c1 )x2 . 1

2 Y 2 = 2(X v )v - 2(v 2 - c1 )X = 2(-(v 2 - c2 )x, 0, c2 (z - v t)), Ä 1 1 2 Y = -2(X v )v 2 + 2(v 2 - c2 )X v = -v(Y 2 ) = -2c2 (z - v t)v . Ä 1 1 t

Å Å

È
= - v ç (v ç X ) + c2 X 1 , = -v . Y2 t

Ä

Å

ÄÏÅ
v v A = n2 = n2 (v ), A = t c t c n2 2 v2 (v - c ç A = n ç = c c Y2 v2 n , c
2 1

Ä Ä

Å Å

)v ç X .

È
n2 n2 n2 + A = - = 0. c t c t c t

Ä

Å

Ê

ÿ ÏÊ
ÍÊ Ê Ê É

E = --

n2 1 A 2 = 2 [v (X v )-(v 2-c1 )X- 2 v (c2 X v )] = - 2 (v 2-c2 )X . 1 1 c t Y c Y Ä ÌÅ

ÍÏ


?
H =çA= n2 E ç v, c

É Ä ÍÅ ÈÊÊ
S= c E ç H = S l. 4

Ä ÎÅ

E=

2 2 e v v 2 - c2 2 e c1 v 2 - c 1 1 (x, 0, z - v t), H = (0, x, 0), n2 Y3 n Y3

Ä ÏÅ

S=

e 2 c2 v v 2 - c2 1 x(z - v t, 0, -x). 4 n4 Y 6

Ä

Å

È
- (z - v t, 0, -x) X , (0, 1, 0), l = X X

Ä

Å

È È
r = (x, 0, z )

Ê Ê?

t = t t=t



Y

È

É É É É É

È
1 / t2 È 1 / t5 Ê 1 / t3 È

Ê
t

È

ÈÊÊ

È Ê

È

È Ê

É É

2 1 + z s(z , 0 ) = 2 È 2 (z - ctg 0 )3

S = |S | =

e 2 c2 v v 2 - c2 1 1 s 4 n4 Y 6 x3

z - vt , 0 . x

Ä

Å

Í


ÎÊ È


Ê Ê
YÈ dt 1 = e Y c1 v
i z /v 1 i z /v

Ê


v2 - c v2 - c
2 1

É É É

e
t

i t

ex p i K -i

xu v c1

du = u2 - 1 .

1 e = v c1

0

2 1

x v c1

Ä È

Å É É

È Ê
1 2 ec (r , t) = 2 n2
1 -

È
i z /v 1

e

-i t

d e c1 v

ex p i

v2 - c

2 1

xu v c1



du , u2 - 1

Ê
1 2 ec E (r , t) = 2 n2
1 -

ÄÏÅÊ

Ä

Å É

e

-i t

d e c1 v

i z /v 1

ex p i

v2 - c

2 1

xu v c1

E ( , u)du u2 - 1

Ä

Å H ( , u)Ê
1 2e -i 2 n2 v v


v 2 - c2 1 u, 0, i c1 v



Ä

Å É

E ( , u) = = -e i n2 v 2

+

n2 (0, 0, v )i = c2 v2 - c c1
2 1

-e i v 2- c2 v 2- c2 1 u, 0,- 2 1 = 2 2 c1 c1 n v e n2 vçi 2v c n v v 2 - c2 c1 u , 0 , i 1

v 2- c2 1 u, 0, c1 e =i v vc

,Ä ÌÅ

H ( , u) =

v 2 - c2 1 (0, 1, 0). c1 Ä ÍÅ

Í


Ä ÌÅ

Ä ÍÅÈ

È

È
c e 2 2 v 2 - c2 1 1 4 2 n 2 v 3 c c2 u 2 - 1 1 v 2 - c2 1 , 0, u . c2 1

S ( , u) =

Ä ÎÅ

ÏÊ
W =- = -ev E d3 r = -e

Ê? È



v Ez d3 r (x) (y ) (z - v t) =


(x) (y ) (z - v t)d3 r ç ex p i c1 c2 1 v2 1- c2 1 v2

e

i (z /v -t)

d
x

- 2

du ç u2 - x2

ui

e v - c2 1 = n 2 v 2 c2 1
0

Ä ÏÅ
2 c1 v2

e2 v =2 c u/xÊ ? v c



-

d 1 -

sgn( )

e2 v =2 2 c

1- u

d .

Ä Ê
1

Å

É É Ê É c1 cÈ É

max

È È

È



n c1 > c Ä

È Ê




n( )

( )

Ä ÏÅ
W= e2 v c2
0

n(
max

max

È (v )) = c/v 1Ê
c2 n ( )v
2

ÅÊ

È

É

(v )

1-

2

d .

Ä

Å

ÄÅ

Ê Í




ÿÊ
ÍÊ È È È Ê ?Ê Ê  È Ê È Í É É É É É È È Ê È
q (r, t) = q (r - v t) = q (x) (y ) (z - v t), (r , t) = v (r , t) = q v (0, 0, 1) (x) (y ) (z - v t).

Ê

Ê Ê

Ê È

È

Ê Ê

ÈÊÊ

È

Ê?

È
0Ê

Ê

?Ê Ê 

Ê
v>

Ä Ä

Å Å

È
xy
-

È
z<0

Ê +

È
z > 0Ê

É

Ê

ÎÊ

Ê?

Ê

É

H = 0, E = 4 , ç H =

4 1 H E + , ç E = - .Ä c t c c t

Å

Í


ç ( ç E ) = (E ) - E = =- 1 1 çH = - c t c t

4 - E = ç =-

-

1 H c t

=

E 4 + c t c

4 2E - 2 .Ä c 2 t2 c t

Å

Ä
2E - E = - 4 c 2 t2

ÅÄ

Å
.

1 v + 2 c t

Ä

Å É É

ÏÊ
x y

Ê

(r , t) = ( , z )ei(öx x+öy y-t) döx döy d , ~ ~ E (r , t) = E (öx , öy , , z )ei(öx x+öy y-t) döx döy d .

Ä ÌÅ Ä ÍÅ

( , z ) = ~

q (2 )3

(x) (y ) (z - v t)e ~ Ez = E Ê ÄÅ

-i(öx x+öy y - t)

dxdy dt =

q eiz/v . (2 )3 v Ä ÎÅ

E

Ê

zÈ

z

-

2 2 E + (öx + ö2 )E - E = -4 y c2

v 1 ~ i - 2 i . v c

Ä ÏÅ

Ä ÏÅ
E + ö


2 -ö c2


2

E=-

4 i q c2 (2 )3 ö


-

c2 v2

e

i z /v

,

Ä

Å

= |ö |, ö Ê

= (öx , öy , 0)Ê ÅÈ

Í


~ E = Ez È Ê? È ~ ~ ~x + öy Ey Ê Eö = ö E = öx E iEö + E = 4 . ~

~ E

Ä

Å Ä

È Å É É

È
- E- |z
=0

= + E+ |z

=0

, (Eö )- |z

=0

= (Eö )+ |z

=0

.

Ä Ä Å

Å É

Ê

Ê
4 q (1 - c2 /v 2 ) e (2 ( - c2 /v 2 - ö2 c2 / 2 ) )3

Eq = -

i z /v

.

Ä

Å È

ÊÊ
EÁ = CÁ 4 q CÁ e (2 )3
Ái( z /c)



-ö2 c2 /

2

.

Ä

Å

Ê

ÄÅ
q Eö = -

É
ö2 c2 EÁ . 2 È

Eq ö2 c2 , (Eö )Á = 2 /v 2 v - c c

-

Ä

Å É È


ö


ÄÅ z<0

Ê

È

< ö2 c2 / 2 È z>0



Ê ö È È Í

È È Ê

É É

Ê


È

È v > c/ n Ê ? Ê

= n 2 > c2 / v 2 È

n

É ÄÅ Ä ÅÊ
ö2 c2 c2 < Á < 2 È 2 v É > vÊ ö ÈÊÊ Å È

È

Ê?

È Ê Ä



v 1 (1 - rÁ )(1 + rÁ ) ö c = , = . , rÁ = Á- 2 , sÁ = Á- 2 - 2 = - c 2 Ä ÌÅ Ä ÅÈ É 4 iq È (2 )3 sÁ É 2 2 2 - - C- = - + C+ , s- s+ - s + r- C- = 2 + s - r+ C+ . Ä ÍÅ

-

+


2 2

È Ä ÎÅ Ä ÏÅ

C+ = C- =

1 - + - r- + - - , 2 D+ 1 - r- 1 - 2 r+ + - - 2 1 - 2 - + r+ , 2 D- 1 + r+ 1 - 2 r-

D = + r- + - r+ Ê

Ê




Ê Ä + - - CÁ = 2 . D Á È È

È

È Ê Ê 1È Å Ä È Ê È Å É É

È

1, = 1/ 1 - 2 1Ê

ÍÌ




È

È
2 p , p = 2 È

É Ê É Ä ÍÈ Å

=1-

4 e 2 ne . m

?
=

2 ö c öc 0 p Á , Á 1 - Á . = sin = , = Á 2
2 p-

Ä

Å

D 2, 1 + rÁ 2, + - - 1- rÁ 1- 1-

- 2

2 p+

=

2 - 2 - + È 2

2 2 Á 0 p - 2 1-+ 2 ( 2 2

2 2 p Á+0

)

2 1 + 0 + 2 Á .Ä 2 2

Å É


C+ C-

È

-1

Ä ÎÅ
C+ 1

C+ Ê

2 2 - 2 0 + - , 2 2 1 + 0 + + 1 + 0 + -

Ä Ä

Å Å É

2 2 - 2 0 - + 2 4 2 1 + 0 +

-

=-

C+ . 2 4 (1 + 0 + 2 ) +
2

?

È ?

È Ê

Ê

È

É




ÞÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ È Ê ? Í ÎÏ È Ê È È È ÍÏÈ Í È ÎÈ ÏÊ Ê ?Ê È Ê Ê È Ê É É É ÍÎ É È Ê É
k ck , cp
0

pÊ

É É

k1 p1 Ê ck1 , cp0 1 Ê

Î Ä
01

Ê

ÑÈ ÿ ÎÅ

p0 =

m 2 c2 + p 2 , p

=

m 2 c2 + p 2 . 1

ÄÍÅ É Ê? É É É Ê É

È

È

Ê È È

È

Ê ÍÊ Ê? È

È

Ê

Ê ÍÎ


p

1

k

1

p

1

k

1

k
Ê ÍÊ

p

k

p

Ê

p0 + k = p

01

+ k1 ,

p + k = p1 + k1 .

ÄÎÅ É É

È

?

Ê

È p = { p0 , p} k = { k , k } Ê É pk = p0 k - pk Ê É È Ê? È p 2 = p 2 - p 2 = m 2 c2 È k 2 = k 2 - k 2 = 0 0 È É
p + k = p1 + k 1 ,

Ê

È

ÄÏÅ

pk = p1 k 1 ,

pk 1 = p1 k ,

pk = (p + k )k 1 .

ÄÅ

k = mcxÈ È k = mcx È p0 = mc È p = mcz = mcz È p = mcz = mc{ , z}È k = mcx = mc{x, x } Í x1 = ÍÏ

Ê


k1 /mc

ÊÊ

È Ê Ê? Ä È Å
, e2 = ç , = ,

Ê É É É

ÎÊ È Ä
e1 = - 1-

ÅÊ ?

È

È

È

2

1-

2

ÄÅ Ê È

=

1 - 2 e1 + Ê ? 1 =



1 - Å2 (cos e1 + sin e2 ) + Å . 1 - Å2 1 - 2 co s .

ÄÅ ÄÅ É

1 = 1 = Å +

?

È

p0 + k - k1 =

m2 c2 + (p + k - k1 )2 .

ÄÅ

?

È
k p0 - k p = k1 p0 - k1 p + k k1 - k k1 .

ÄÅ ÄÅ

k (p0 - p ) = k1 [p0 - p1 + k (1 - Å)].

ÄÍÌÅ


k1 = k p0 - p , p0 - p1 + k (1 - Å) x1 = x - z . - z 1 + x(1 - Å)

ÄÍÍÅ

Í


? ÊÊ Ä Ê? Ê Ê Å
0 k1 = k



È

Ê

È

È É É ÄÍÎÅ

È È p = z = 0 , z = 0 , p 0 = m c, = 1
0

mc . mc + k 0 (1 - Å0 ) k = m cx =

? ÄÍÎÅ

È Ä
x0 = 1 C = h/mc ?


x0 , 1 + x0 (1 - Å0 )

Å

h È

0 = 0 + C (1 - Å0 ), 1

ÄÍÏÅ É É ÄÍ Å ÄÅ ÄÅ ÄÍ Å ÄÍ Å

Ê

Ä ÅÊ

È
0 e1 =

- 0 1-

0

2 0

,

0 e2 =

0 ç È

2 1 - 0

.

=

20 1 - 0 e1 + 0 0 È
0 1 =

0 0 1 - Å2 (cos 0 e1 + sin 0 e2 ) + Å0 0 , 0

0 1 = Å0 0 +

1 - Å2 0

2 1 - 0 cos 0 .

 z = 0Å
1 = pk 1 /m c = z x1 = x1 ( - z 1 ) = = pk/m2 c2 = z x = x( - z ) = k 0 /mc = x0 ,
22 0 k1

Ä

p = 0È

ÄÍ Å
.

/ mc =

x0 1

ÄÍ Å

È

Í


= Ê

V = cz / È

É È È ÄÍ Å

È
x = ( + z 0 ),



Ê -V Ê ?

0 x1 = 1 ( + z 1 ).

ÏÊ
Å0 = 1È Ê Ê

ÅÈ



Ê È È È È È

Ä

È

É Ê É É

Ê

C Ê

ÄÅ0 = 0Å


È

È

È

Ê



É È É

Ê È

É É É É

È

È È Ê Ê? Ê Ê È

È È ÊÊ Ê

Ê



É É



È 511 ?È È

Ê

È C = 0.024 Ê É É É

Í


Ê È

È

Å È

É Ê É Ê É Ê Ê È É É È ÅÊ

É

e2 8 2 re , re = T = È 3 m c2


2

ÄÄÑÑÊ

Å



8 e2 2.342 Ç 103 v C v 3 2 c 3 m c2 = = = 2 +3 , cc c n+ 3 Z 2 e2 Z (n ) c kB T 1 1 6 2 Z 2 e6 ne n+ 3 3 hc (2 mkB T )3/2 3 ÄÎÌÅ 8kB T v= Ê m Z = 1 n+ = ne Ê ÄÎÌÅ È È É n+ 3 È Ê È É É É Ê È Ê É Ê È È ÈÊÊ É È È É Ë È Ê? Ê É È Ê n
e

Í


Ê

Ê

Ê

É É ÄÎÍÅ É É

F ( , 1 ) = Å2 + 1 + B , 0 Å0

B=

1 + - 2. 1

Ê ÄÅ
= 1 + q ,

È ÄÍ Å ÄÍ Å

É ÄÎÎÅ


q= k k1 = x x1 = xx1 (1 - Å) = 1 (1 - Å0 ). m 2 c2

ÄÎÏÅ

È
Å0 = 1 +

1 1 -. 1

ÄÎ Å Ä
F É Å2 + 1Å 0 x0 /x0 )2 0È É 1 È



ÄÎÍÅ

È



B = x0 /x0 + x0 /x0 - 2 = ( x0 /x0 - 1 1 1 x0 Ê 1 ÄÍÏÅÊ F F ( , 1 ) = 1 1 - 1
2

+2

1 1 - 1

+

1 +. 1

ÄÎ Å É É É

È ÄÍ Å ÄÍ ÅÈ p, k p1 , k 1 Ê
2 re m2 c2 2 d 2 pk

ÄÅ
d3 p1 p1 0



Ä

Ê

Å

1

k1 dk1 (p1 + k 1 - p - k )F =

Í


=

2 re d2 2

1

d3 z 1

1

x1 dx1 (z 1 + x1 - z - x)F ( , 1 ).

ÄÎ Å É É

?

È

z1 È

É È

È

É

Ä ÅÈ



1 + (z + x - x1 )2 + x1 - - x =

- 1 - q = 1 (-1-q ). ÄÎ Å 1

È

ÄÍ ÅÈ ÄÍ Å

ÄÎÏÅÈ



( - 1 - q ) =

x1 - x

- z - z 1 + x(1 - Å) x1

.

ÄÎ Å

?

È
2 r 2 m 2 c2 2 2 re x2 d2 1 1 F ( , 1 ) = e k d 1 F , 2 2 2 (pk )2 1

ÄÎ Å ÄÍÍÅÊ

x1 Ä

k1 Å

ÈÊÊ È



Ê

É Ê É

ÿ ÎÊ
ÍÊ  Ê Ê É



È

Ê È

?

È Ê Í

Ê d3 p

É É É


È Ê d4 p = dp0 d3 p Ê É
p2 - m2 c = d3 p = d3 p dp0 dp0 p0 -

ÄÍÅ Ê
p0

Ê

É É

È ÄÍÅ p 2 - m 2 c2
2

p

0

ÈÊÊ

É É

d4 p = d3 p

dp0 p2 - p2 - m2 c 0
2

2

=
2

p0 -

p 2 + m2 c
2

p0 +
2

p 2 + m2 c =

= . ÄÏÌÅ

p 2 + m2 c

2

p 2 + m2 c

d3 p 2 p 2 + m2 c
2

É Ä È Ê È È È ÈÊÊ Ê Ê? È È Å Ê?
p0 È

È É ÄÍÅ

È

É

É É É É

d3 p È p0 È

Ê Ê
dk k k 2 d2 È k = kÈ

d3 k k

É



d2



Ê

É ÄÎ ÅÊ 

ÍÌ


p f + r f + F p f Ê t m

É Ê 1 = , - Ê c t k k = + k = k c t È È
nÈ

È Ê  È É É

ÑÈ È 

1 + È c t



Ê È

É È Ï Ê É É É


I




I = B (T ) =

2 h 3 I = 2 nÊ c 2 h n, c2
3

È ÄÑÊÎÌÏÅ
1 e
h /kB T

n =



Ê

È È ÊÊ È ÊÊ

-1

,

ÄÏÍÅ É É ÄÏÎÅ

È



n (k ) = V= c , V V

1 , exp(k V /kB T ) - 1

? Ê

È

ÄÏÎÅ È

È
T = T (1 - V /c)

Ê È

É É

h k kc kV = , = (c - V ) = kB T kB T kB T kB T

. ÄÏÏÅ

È

È ÍÍ È

ÄÏÍÅÈ

É


Ê Ê Ê

È

È

È

fe (p) = fe (z )/(m3 c3 )

É É ÄÏ Å

fe (p)d3 p =

fe (z )d3 z = ne .

pfe (p) n
e

d3 p = p0

z fe (z )

d3 z = n e V / c,

ÄÏ Å

È Ê

È
V

È

È





Ê

É É

ne fe (p) = 3 3 fe ( ), mc V z / cÈ z fe (V z /c)



4
0

z 2 fe ( )dz = 1.

ÄÏ Å


d3 z = V / c.

ÄÏ Å É ÄÏ Å È

?

È
fe ( ) = fM ( ) =

È
-y

y e 4 K2 (y )

,

m c2 kB Te K2 (y ) y=

Ê ÍÎ






ÄÏ Å
fM (pV /mc2 ) = y e 4 K2 (y )

Ê
-pV /kB Te

=

y e 4 K2 (y )

-y z V /c

.

ÄÏ Å

È ÎÊ

Ê È É

Ê Ê

È
t k

È

È
r

É Ê n = n(r , t, k )

kn = -

2 re 2 2 d3 p d3 p1 d3 k1 (p + k - p1 - k 1 )F ( , 1 )ç mc 2 p0 p0 1 k1 ç [fe (p)n(1 + n11 ) - fe (p1 )(1 + n)n11 ] , Ä ÌÅ

n = n(r , t, k ) n
11

= n(r, t, k1 )Ê

È ÄÎÅ È È  Ê Ê Ä Ê
= c = m = 1Ê ? Ä

Ä ÌÅ Ê

É É É É É É

È

kÊ

É È Ä ÌÅ ÅÊ Ê

È

È

É É

ÍÏ


2 Å m cÈ

C

m c2 È = /(m c)È C /c = /(mc2 )Ê

Å

m c2 / È

e2 e2 e2 re = = = = fs = 1/137.036È 2 m c c mc c e = re = 1/ 137.036 = 0.0854245Ê ? Ä ÌÅ x r2 + n = - e t 2 d3 z d3 z1 d3 x1 (z + x - z 1 - x1 )F ( , 1 )ç 1 x1

ç [fe (z )n(1 + n11 ) - fe (z1 )(1 + n)n11 ], n = n(r , t, x, )È n
11

Ä ÍÅ Ä ÍÅ ÄÏ ÅÈ É É Ä ÎÅ
z
1

= n(r , t, x1 , 1 )Ê

?

È

Ê

fM ( )È
y ( - 1 )


= fM ( )e

fM (1 ) = fM ( )e

-y (x -x 1 )

.

Ä ÍÅ
r2 + n = - e n t 2 d3 z d3 x1 ( + x - 1 - x1 )F ( , 1 )ç 1 x1
-y (x -x 1 )

x

e

ç fM ( ) n(1 + n11 ) - e É

(1 + n)n

11

.

Ä ÏÅ É

È

x1



Ê
e

ÄÍÍÅ Ä ÏÅ
d3 z x2 d2 1 1 F ( , 1 )fM ( )ç
-y (x -x 1 )

r2 + n = - e n t 2x

ç n(1 + n11 ) - e

(1 + n)n

11

.

Ä ÄÎ Å

Å É É

ÄÎ ÅÊ ? È

È Ê Í

Ê


ÏÊ

É

È

È

Ê Ï Ê

È

Ä ÌÅ

Ä ÍÅ Ä Ä Å É Ê Å

È p, k p1 , k1
R(k k1 ) =
2 2 m3 c3 re T ne

d3 p d3 p1 (p1 + k 1 - p - k )F fe (p) p0 p1 0

R(x x1 ) =

31 4 ne

d3 z d3 z1 (z 1 + x1 - z - x)F ( , 1 )fe (z ). Ä 1 z 31 4 ne
1

Å

?

ÄÎ ÅÈ Ä Å

R(x x1 ) =

d3 z ( - 1 - q )F ( , 1 )fe (z ).

T ne + n = - t 4 x

d3 x1 {R(x x1 )n(x)[1 + n(x1 )]- x1

-R(x1 x)n(x1 )[1 + n(x)]} T n + n = - t x

Ä

Å

e

x1 dx1

d2 1 {R(x x1 )n(x)[1 + n(x1 )]- 4

-R(x1 x)n(x1 )[1 + n(x)]} . 1 Ê d3 x xn = x

Ä

Å É


N= d3 x{1, }n xÈ

Ä ÌÅ É É

È x x1

Ä

Å

Í


È

Ê
N = 0,

Ä ÍÅ É É

Ê



È
3 4



R(x, x1 , Å) = R(x x1 , Å) =

d3 z ( - 1 - q )F ( , 1 )fe ( ). Ä ÎÅ

R(x, x1 , Å, ) = R(x x1 , Å, ) =

z 2

d2 F ( , 1 ) ( - 1 - q ), Ä ÏÅ

Ä ÎÅ
3 R(x, x1 , Å) = 2


Äz dz = d Å
R(x, x1 , Å, )fe ( )d ,
(x1 ,x,Å)

Ä

Å

Ä ÏÅ
T + n = - n t x

È ÊÊ

(x1 , x, Å)È Ê É d2 1 R(x, x1 , Å)ç 4 (1 + n)n
11

e 0 -y (x -x 1 )

x1 dx1

ç n(1 + n11 ) - e R(x, x1 , Å, )

.

Ä Ê È

Å É Ï É

Ê È Í Ê

Ê Ä Å

Ê




È

arccos ÅÈ

Ê È È È

Ê È È È Å ÈÊÊ

È È Ê

É É É

Ê
ne Ê

É É É É

Ê

Ä Ê

n = n(T , , x)È ÈÊÊ

T

È

É
1/(T ne )Ê

d1 1 n = - x1 dx1 {R(x, ; x1 , 1 )n(T , , x)[1 + n(T , 1 , x1 )]- T x 2
0 -1



1

- R(x1 , 1 ; x, )n(T , 1 , x1 )[1 + n(T , , x)]},
2

Ä

Å

R(x, ; x1 , 1 ) =

1 2

R(x, x1 , Å)d.
0

Ä È

Å

1 +

1 - 2 È

2 1 - 1 cos Ê

Å=

È Ê Ê

Ê Í

É

É É É É


?
n = n(x, t) n
11


= n(x1 , t)Ê
e 0

È

n(x, t) T n =- t x

R(x, x1 )n(x, t) (1 + n(x1 , t)) -

- R(x1 , x)n(x1 , t) (1 + n(x, t)) x1 dx1 .

Ä

Å


R(x, x1 ) = 1 2
1

È
R(x, x1 , Å)dÅ.
-1

Ä

Å

?

R(x, x1 , Å, ) ÄÅ

ÏÈ ÈÊÊ È È




Ê È È

ÄÅ

n(x, 0)Ê

È Å

Ä

Ê

ÅÊ

É É É

Ä

x2

dN = 0, N = dt

x n(x, t)dx =
0 0

2

x2 n(x, 0)dx.

Ä ÌÅ

ÿ ÏÊ
ÍÊ Å ÄÅ
nÈ

Ê



È Ê

Ä

É É 1 Ê

ÄÎ Å Í




Ê

z



x = z x = x( - z )

É

( ) =

2 re 2 2

F ( , 1 )x2 d2 1 . 1

Ä ÍÅ ÄÍÏÅ

?
1 0 r2 ( ) = e2 2 s0 ( ) s0 ( ) =

F
1

Å È Å0 Ä 1 Å 0 Ê 1 = /[1 + (1 - Å0 )]È /(1 + 2 ) Å0 = -1 Å0 = 1Ê È
2 2 1 )1

È

F ( ,
-1

dÅ0
0

r2 d0 = e2 2 2



F ( , 1 )d1 = T s0 ( ).

/(1+2 )


3 8
2

Ä ÎÅ

4+ -2-

2

2 l + 2 2 (1 + )R ,

Ä ÏÅ


l = ln(1 + 2 ), R = 1 . 1 + 2

Ä È
0È

Å É É

È ÎÊ
x 3 16

s0 (0) = 1Ê



Ê Ê

x 0È



Ä xl+2 F ( , 1 )d2 1 . 1

É É = x( - z )Å Ä Å É É

xl s0 ( ) = 1 l=0 Ä ÏÅÊ ?

2

È
1

l=1 0 Ê Í

l = 2È




ÄÍ Å



È
1 - Å2 0
2 1 - 0

ÄÍ Å
.

x1 = 1 + z Å0 0 +

Ä

Å

?

ÄÎ Å

Å0 ÄÍ ÅÊ

0




3 sl ( ) = l+ 8

2 /(1+2 )

l F ( , 1 )d1 .

Ä Ä ÎÅ

Å É

?

È

È s0 ( )



s1 ( ) =

3 4 3 2 3 9 4 l + 2 - - R - R , s2 ( ) = 1 + 4 + 7 2 + 3 R . 8 3 3 2 2 3 2 ÄÅ x1 s0 ( ) = [ S1 ( ) + xS2 ( )], < x2 1 > s0 ( ) =
2

Ä

Å

1 3 = x2 s2 ( )+(4 x-3x2- 2 )S3 ( )+ 2 2 - 3 x + x2 + 2 2

S4 ( ). Ä ÌÅ

?

sj È


=0

Sj ( )

È
- S1 ( ) , - S3 ( ) .

É Ä ÍÅ Ä ÎÅ É

s0 ( ) - s1 ( ) s1 ( ) , S2 ( ) = s1 ( ) - s2 ( ) S1 ( ) S3 ( ) = , S4 ( ) = S1 ( ) =

? È


È
sl ( ) =
n=0

Ê È


a

l, n

(-2 )n ,

Sl ( ) =
n=0

Al,n (-2 )n .

Ä ÏÅ

ÍÌ


1.0

1.4 1.2

S

4

0.8 1.0 0.6 0.8

0.4

s s
2 1

0

0.6 0.4 0.2 0.0

s

1

0.2

S

3

S

2

S
0.0 0.0 0.5 1.0

1.5



2.0

0.0

0.5

1.0

1.5



2.0



Ê ÎÊ

s i ( )

Si ( ) Ê

n
a
0,n


2 8 16 , + - Ä n+1 n+2 n+3 1 24 n3 + 9 n2 + 2 2 n + 3 2 = n(n + 5) + , a2,n = .Ä 8 n+3 32 = 3 8 n+2+

É

Å Å

a

1,n




A1,n = 2 (a1,n+1 - a0,n+1 ), A2,n = 2(A1,n+1 - a1,n+1 ), A3,n = 2(a2,n+1 - a1,n+1 ), A4,n = 2(A3,n+1 - A1,n+1 ).

Ä Ä Ê

Å Å

? È È Ê

È



s

2



È

ln(1 + 2 )È

É É

s0 ( ) =

3 8

2

-2

95 2 ln(2 ) + + - + 2 2 4

n=0

1 - 2

n+2

b

0,n

,Ä

Å

ÍÍ


s1 ( ) =

3 8

2

4 31 1 - + ln(2 ) - - 3 2 4 s2 ( ) = 3 8
2 n=0



-

1 2

n=0 n+2

-
2,n

1 2

n+2

b

1,n

,Ä

Å

b

, S

Ä ÌÅ

b

l, n



2 =- a 3 Ä ÍÅÊ ÊÎ

l,-(n+4)

Ê



l

si ( )

Ê È
nÄ

È

Si ( )Ê Ä ÏÅ

É É É É

Ê ÍÌ

Ê ÎÍÏÅ
(2 )p a

-1/2+i

1 sl ( ) = - 2 i
-1/2-i

l, p

dp sin( p)

Ä ÍÅ



Sl ( )Ê sin( p)Ê ?

(-1)n Ê ? 2 > 1 Ê sin( p)È È al,n Al

2 < 1 É ÈÊÊ É / sin( p) p=n Ä ÏÅÊ È

È

È
a
2,n

,n Ä Ê? Ä ÅÄ

ÅÈ

É É È ÍÈ È Ê

ÅÈ

? ? È ÏÊ Ê

Ê

< x1 >

È

Ê Ê É

È ÍÎ


Ê

È ÊÊ ÅÈ
Ê 1 4 xl

Ä

É

?



l (x, ) =

+1

d2 xl s0 ( ). 1 d2 = d dÈ

Ä ÎÅ

Ê Ê = ( - /x)/z È d = -d /(xz )Ê = -1 = 1
1 l (x, ) = 2 z xl
+2 x ( -z )

ÄÍ Å



x ( +z )

xl s0 ( )d . 1

Ä ÏÅ
l=0
+z


l=1 u2 10 (xu) 0 (x, ) = 4 z
+z

È

-z

u3 , 1 (x, ) = [ 21 (xu) + x22 (xu)] 6 z

,




Ä

-z

Å

m

l

m+1 ( ) = m+1
0



m

sl ( )d ,





ml

m+1 ( ) = m+1
0



m

Sl ( )d . Ä

Å

?





ln(1 + )
0

È

gC ( ) =

d .

Ä

Å




È

ÍÏ


gC ( ) =



n=1

(-1)n-

1

n , 0 , n2
k =0

?

2 12 + ln 2 Ç ln +

(1 - )k+ k+2

2 k +1 m =1

1 , 1. m2 m

Ä

Å

0.8 0.9Ê 1

>1


2 . 12

É

gC ( ) = 2gC (1) +

12 ln - gC (1/ ), 2

gC (1) =

Ä

Å


0 0 ( ) = 3 2 gC (2 ) - + 8 311 4 0 1 ( ) = -+ 8 2 3 3 92 1 0 ( ) = 2 + + 4 2 1 1 1 ( ) = 2 6 + 4 - 3 4


1 3 121 + + 2 l - R - , 2 2 2 1 1 12 - 2 l - R - R , 2 3 6 l - 4 - + 2R - 2gC (2 ) , 31 + 2
2 l - (1 + )R .

Ä

Å

Ä ÌÅ Ä ÍÅ Ä ÎÅ

1 1 ( ) =

2 3 [0 0 ( ) - 0 1 ( )], 2 1 ( ) = [1 0 ( ) - 1 1 ( )], Ä ÏÅ 2 3 2 2 ( ) = [1 1 ( ) - 1 1 ( )]. ÄÅ 2





m+1 , m+n+1
ml

É
m+1 . m+n+1 ÄÅ

ml ( ) =
n=0

a

l, n

(-2 )n

( ) =
n=0

Al,n (-2 )n

Í




Ä ÅÊ x < 1/

É Å Å

x 26 2 0 (x, ) 1 - (4 2 - 1) + (2 2 - 1)x2 , Ä 3 5 4 2 - 1 42 4 - 29 2 + 2 x 1176 4 - 1147 2 + 206 2 - + x .Ä 1 (x, ) 3 5 25

l (x, 1) = sl (x)Ê ?


1/x4 x > Ê ? 1 2

É

2 3 x - 2Lz - 2 8 x x 9 13 + Lz + Lz - 2 8 3 - 2Lz 3 - Lz + 1 (x, ) = 8 x2 x 11 13 1 - + 3Lz - - 6 4x 0 (x, ) = Lz = ln( + z ) Ê z

ln(2x) + Lz -

x+

2 7 , - x 12 x2 4 2 ln(2x) + x + 2 - 3 3 11 1 3 . Lz - 2 12 x2

Ä
Lz-

Å

Ä

Å

> max(1, 1/x)Ê
0 (x, )

È

È

È

É

31 1 31 11 4 x ln(4x ) - , 1 (x, ) . ln(4x ) - + 2 8 x 2 8x 6 3 ÄÍÌÌÅ



Ê

Ê

È


xl (x)s0 (x) = 4 xl 1
0

z 2 fe ( )dz l (x, ).

ÄÍÌÍÅ É

?
z

Í


1 s0 (x, y ) = 2K2 (y ) x1 (x, y ) s0 (x, y ) = x
-y



e
1

-y

d 2 u s0 (xu) (+), z -z
+z

+z

ÄÍÌÎÅ

1

e d u 2K2 (y ) z

3

+

1 S1 (xu) + xS2 (xu) (+). ÄÍÌÏÅ y -z

È ? Ê
x2 (x, y )s0 (x, y )/x2 = 1


È

É É

=
1

e-y d u 2K2 (y ) z 2 +

2

s2 (xu) - u2 + 3 + u2 - 3 + 1 y u+

1 u + 3 S3 (xu)+ y 3 S4 (xu) 2 s0 ( )
+z

+

2 2 1 ++ y y2 2

(+). ÄÍÌ Å
-z

Ä ÍÅ

Ê

ÄÍÌÎÅÈ
-1/2+i

È

É

1 s0 (x, y ) = - 2 i
-1/2-i

(2x)p a

0,p

f sin( p)

p+2

(y )dp,

ÄÍÌ Å

fp (y ) =

Kp+2 (y ) Ê K2 (y )

2x < 1

2x > 1

É È

ÎÈ


s0 (x, y ) = s0 (x, y ) = + 3 8x2 x-

n=0

(-2x)n a

0,n fn+2

(y ),

ÄÍÌ Å

2 x92 f1 (y ) - 2f0 (y ) ln(2x) + + + f0 (y )+ x y 2 xy


x 5 - 2 4x

f1 (y ) +
n=0

-

1 2x

n+4

b

0,n fn+2

(y ).

ÄÍÌ Å

Í


? Ê
1 =- 2 i
-1/2-i

Ï Ê

Ê É



x1 s0 (x, y )/x =
-1/2+i

(2x)p dp a sin( p)

1,p fp+2

(y ) + A1,

p

p+4 f y

p+3

(y ) , ÄÍÌ Å

x2 1 1 s (x, y ) = - 20 x 2 i +2A3,
p

-1/2+i

(2x)p
-1/2-i

dp [a sin( p)

2,p fp+2

(y )+

p+5 f y

p+3

(y ) + A4,

p

p2 + 1 1 p + 3 0 f y2

p+4

(y ) .

ÄÍÌ Å É

ÄÍÌ Å ÅÊ È Ê Ê sin( p) È Ï Ê Ê Å
x - x1 È

È ÄÍÌÎÅ ÄÍÌ Å


y

È Ä

Ê

É É É É


y

pÊ ?

È x1 (1 - Å)È

Ê

?

Ï Ê É

È

Ê x1
zÈ

ÄÍÍÅÈ
x

Ä

É Ê É É É

Í


1 Ê x - x1

È É (x - x1 )ne T s0 ( ) = ne T (x + x - )S1 ( ) È x Ê È È x É È x[1 - 1 (x, )]/0 (x, )È x[0 (x, ) - 1 (x, )]ne T È Ê È x - x1 È É x Ä È ÅÊ ne T Ê È Ê É Ê x 1/ Ê Ê
4 126 4- 127 2+ 16 x 1176 4- 1407 2+ 336 2 1 (x, )-0 (x, ) z 2 - + x, 3 15 25 ÄÍÍÌÅ 1 (x, )/0 (x, ) - 1 4 2 218 4 - 181 2 + 8 x 13672 6 - 14529 4 + 2262 2 + 80 x2 z- + . 3 45 675 2 ÄÍÍÍÅ ? x1 É 1 (x, ) - 0 (x, ) 11 + ÄÍÍÎÅ 6 ) -1 ) 11/6]/x .ÄÍÍÏÅ



Ê 1 Ê

È

ÊÏ 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0

3 -x ln(2x) + Lz - 8 x2 31 11 1 (x, +( + Lz ) ln(2x) + Lz 2 - - , 6 6 0 (x, ln(2x) + Lz - 11/6 - [( + Lz) ln(2x) + Lz ( 2- 31/6) - - ln(2x) + Lz - 1/2 - Lz (2 ln(2x) - 9/2)/x



z = 0È = 1.0, 1.118, 1.414, 2.236È

Í


x[0 (x, ) - 1 (x, )]
0.5

x[1 - 1 (x, )/0 (x, )]
4 2

z=0

z=0

0.0
0

-0.5

-2

-1.0

z = 10

-4

z = 10

-1.5 0 2 4 6

-6

x

8

0

2

4

x

6



Ê ÏÊ



x

z = 0, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0

Ê

5.099, 10.050Ê

È È  Ê ÎÈ ÏÊ

È

z



Ê Ê



Ê



È

È Ê

É É É É É É

Ê

È

Ï

É É

Í


ÿ Ê?
ÍÊ ?


Ê? Ä ÏÅÈ È É É É
1

Ê

È , , 1 Ê 1 e
(1)

1 - Å 1-

È
, e
(2)

=

Å2

=

ç


(1)

1 - Å2

,

ÄÍÍ Å

=

1 - 2 (cos e e

+ sin e
(2)

(2)

) + .

ÄÍÍ Å ÄÅ È = -

È ÄÅ Ê

(1)

,e

, Ê

Ê 2 + 2q - q q
2

É


Ê
1 = - q

F

É É

F ( , 1 ) = 2 +

1 1 - -q

+

1 1 + . 2 ( - q )2

ÄÍÍ Å

Ä ÏÅ
R(x, x1 , Å, ) = z 2 d F ( , - q )R(x, x1 , Å, , ),
2

ÄÍÍ Å

È

R(x, x1 , Å, , ) =
0

d ( - 1 - q ).

ÄÍÍ Å É

?

È

z x1

1 - Å2 = 0Ê

ÍÌ


É
- 1 - q = (x - x1 ) - q + z [x1((Å + 1 - Å2

É

1 - 2 cos ) - x ]. ÄÍÍ Å

È
cos 0 È cos 0 = x1 z P + z (x - x1 Å ) 1 - Å2 1-
2

É È

È co s =

,

P = (x1 - x) + q .

ÄÍÎÌÅ

ÍÈ Ê Ê

22 2 2 22 2 G( , , x, x1 , Å) = z x1 (1-Å )-P +2P (x1 Å-x)z -z Q 0, ÄÍÎÍÅ

Q = |x - x1 | =

2 x2 - 2xx1 Å + x1 =

(x - x1 )2 + 2q.

ÄÍÎÎÅ
Ê É

ÄÍÎÍÅ - + , Á = (x1 Å - x)P Á x1 z Q2 z 2 Q2 - P 2 . 1 - Å2 ,

ÄÍÎÏÅ ÄÍÎ Å

=

È
z 2 Q2 - P 2 0 . È É = 0 = 2 - 0 Ê Ê? È |a| < |b| cos 0 = a/bÈ
2

ÄÍÎ Å

Ê

É ÄÍÎ Å É É

0

d (a - b cos ) =

2 1 2 = |b| | sin 0 | |b|

1 2 . ÄÍÎ Å = 2 - a2 2 /b2 b 1-a

ÍÍ


ÄÍÍ Å



ÄÍÎ Å ÄÍÍ Å ÄÍÎÍÅ ÄÍÎ ÅÈ
2 . ( , , x, x1 , Å) G

É ÄÍÎ Å

R(x, x1 , Å, , ) =

ÄÍÎÏÅ

È



ÄÍÎÍÅ ÄÍÎ Å É

22 G( , , x, x1 , Å) = z Q (+ - )( - - ).

ÎÊ ?

ÄÍÍ ÅÈ R(x, x1 , Å, )È
1 Q
+ -

Ê

R(x, x1 , Å, ) =

F ( , - q )

d (+ - )( - - )

.

ÄÍÎ Å É ÄÍÏÌÅ É

?

ÄÍÍ ÅÈ
=

È

+ + - + - - - c o s , 2 2 d = dÈ (+ - )( - - ) 0 È F 2 / QÊ




=

q [ (x + x1 ) - x(x1 Å - x) + r cos ] , Q2 q - q = 2 [ (x + x1 ) + x1 (xÅ - x1 ) + r cos ] . Q

ÄÍÏÍÅ ÄÍÏÎÅ È
+

?Ê
R(x, x1 , Å, ) =

È

É

1 2 1 q 2 - 2q - 2 - + a( , Å, -x1 ) a( , Å, x) Q q2 1 A- ( , Å, x, x1 ) A+ ( , Å, x, x1 ) +2 . + a3 ( , Å, -x1 ) a3 ( , Å, x) q

ÄÍÏÏÅ

ÍÎ



1+Å , 1-Å a2 ( , Å, x) - a2 ( , Å, -x1 ) Á Q2 . AÁ ( , Å, x, x1 ) = 2 a( , Å, x) =
2 ( + x)2 + rÅ ,

É
rÅ =

ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å

R(x1 , x, Å, ) =

È ÏÊ ÄÍÎ ÅÊ

1 q 2 - 2q - 2 1 2 + - 2 a( , Å, -x) a( , Å, x1 ) Q q 1 A- ( , Å, x1 , x) A+ ( , Å, x1 , x) . + +2 a3 ( , Å, -x) a3 ( , Å, x1 ) q

+

ÄÍÏ Å

Ê Ê È È È É É É

È x 0, x1 0, -1 Å 1, 1Ê Ê x1 È È È
(x1 , x, Å) = 1 2

Ä

x ÄÍÎ Å

Å ÅÊ
2 q

É É

(x1 , x, Å),

x1 - x + Q

1+

.

ÄÍÏ Å É É

Ä ÅÊ

(x1 , x, Å)

z (x1 , x, Å) =

1 2 (x1 - x) 1 + + Q . 2 q

ÄÍÏ Å È

ÄÍÎ Å
2 2 - 2 (x1 - x) - q - Q2 0. q

ÄÍÏ Å

ÍÏ


Ê

ÄÍÏ Å

È q = xx1 w, w = (1 - Å)È

ÄÍÏ ÅÈ

É

[1 - 2 x1 w -

[1 + 2 xw + x2 w2 ]x2 - 2x[1 + xw + z 2 w]x1 + x2 0, 1 x2 1 w ]x + 2x1 [1 - x1 w + z w]x +
2 2 2

ÄÍ ÌÅ È É

x2 1

0. ÄÍ ÍÅ

?
x- x1 x+ , 1 1

ÄÍ ÌÅ



x2 1

xÁ = x 1

1 + xw + z 2 w Á z w a( , Å, x) . 1 + 2 xw + x2 w2

ÄÍ ÎÅ É Ê È

-1 - + 1Ê

È
ÅÈ

ÄÍÏ Å Ê Ê È
x

x2

x1 È

ÄÍ ÍÅ

Ê

É É É

ÄÍÍ Å

Ê É ÄÍÍ ÅÊ

ÄÍÍ Å È z = 0Ê

ÍÅ
1 R(x, x1 , Å, ) z

z =0

= 2 (x - x1 - q ) 1 + Å2 +

x2 (1 - Å)2 1 1 - x1 (1 - Å)

. ÄÍ ÏÅ

ÎÅ

Ê

x=0

R(0, x1 , Å, ) = 2 (x1 )[2 ln( + z ) + z ( 2 + z 2 )(1 - Å)2 - 2 z (1 - Å)]. ÄÍ Å ÏÅ Ê R(x, x1 , 1, ) = 4 (x - x1 ) ln( + z ).

ÄÍ

Å

Í


Å ÈÊÊ ÄÍ ÏÅ ÄÍ Å


Ê

Ê

Å = -1

Ê

É

ÄÍÏÏÅ

ÄÍÏ Å

Ê

È ÄÍ È

È Å Ê É É R(x, x1 )Ê
Å

R(x1 , x, Å, ) = R(x, x1 , Å, + x - x1 ). 1 È

Ê

Ä

Å ÈÊÊ

Ê
Å

x

x1 Ê q 1+ = 2 1-Å , 2

ÄÍÏ Å

Ê

É

(x, x, Å) =

1 + x2

z (x, x, Å) = x

1-Å . 2

ÄÍ

Å

? È +È

È
(x, x, -1) = 1 + x2 , (x, x, 1) = 1.

ÄÍ

Å

x = x1 È q = 0È

ÄÍÏ Å Å=1 Q = |x - x1 | = 0Ê Å - ÄÍÏ Å Q È q Ê È Ê

+È È

ÄÍ Å É

(x1 - x)2 (x1 , x, Å) xx1 1- . =- Å q2 Q 1 + 2/q Å

È |x1 - x| Å<1- xx1 Åmin = 1 - |x1 - x|/(xx1 ) È
x1 - x + |x1 - x| = 2

(x1 , x, Å) |x1 - x| Å>1- Ê xx1

min = (x1 , x, Åmin ) = 1 +

1 + x1 - x, x1 x, 1, x1 x. ÄÍ ÌÅ

Í


ÅÊ

È ÈÊÊ
x x1 > -1È

Åm

in

m in

È
|x1 - x| < 2xx1 x > x1 >

[-1, 1]Ê Åmin < 1È Ê Åmin È

È È [-1, 1]Ê

x1 x . ÄÍ ÍÅ , x1 > x > 1 + 2x 1 + 2x1

È
xm (x) = x , 1 + 2x

Åmin -1È

xm (x) < x1 < xM (x)È 1 x x< , 1 - 2x 2 xM (x) = 1 x . 2

ÄÍ ÎÅ



[-1, 1] (x1 , x, Å)

(x1 , x, -1) =

1 1 x1 - x + (x1 + x) 1 + . 2 xx1 m
in

ÄÍ ÏÅ É ÄÍ Å

È (x1 , x, Å) =
Å- = 1 - D , xx1

(x1 , x, -1)È ÅÈ (x1 - x)2 , xx1 D

Å+ = 1 -

D = z 2 - (x1 - x) + z D0, (x1 , x, -1)È

D0 =

z 2 - 2 (x1 - x) + (x1 - x)2 . -1 Å+ 1 [Å- , Å+ ]È

ÄÍ

Å

È Å- -1È
[-1, Å+ ]Ê È

Å- Å+ Ê Å É (x1 , x, -1)È

Å+

1 R(x1 , x, ) = 2

R(x1 , x, Å, )dÅ,
Åm

ÄÍ

Å

Í


É
-1, Åm = -1, Å- , |x1 - x| 2xx1 , |x1 - x| 2xx1 |x1 - x| 2xx1

Ê
3 R(x, x1 ) = 2


Å

(x1 , x, -1), min (x1 , x, -1). ÄÍ Å É È È

R(x, x1 , )fe ( )d ,
(x 1 , x )

ÄÍ

Å

(x1 , x) =

(x1 , x, -1), min ,

|x - x1 | 2xx1 , |x - x1 | 2xx1 .

ÄÍ
m

Å
in

Ê
x, x1
x1 3.0
2.5
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.0 0.5

x
x
1

È x1 Ê

Ê

x1 =

x1 = x min = 1
1.5 1.0 0.5 x 0.0

min = 1 + x1 - x

(x1 , x, -1)

x 1-2x

2.0

m

in

m

in

M

x1 = x/(1 + 2x)

x

m

(x1 , x, -1)
1.0 1.5 2.0

2.5 x 3.0

0.0

0.5

1.0

1.5

x

2.0



Ê

Ê



Ê

Ê




Å

(x1 , x, Å)

(x1 , x, Å)

Ê

Ê

ÄÍÏÏÅ

Ê

É É Í


Ê

È

É É

R(x1 , x, Å, ) =

2 2 u2 (u2 + 5v ) + Q2 (u2 + 3v ) u 1- + , ÄÍ ÌÅ + Qv q 2q 2 v 2 v = a( , Å, x) a( , Å, -x1 )

u = a( , Å, x) - a( , Å, -x1 ) = (x + x1 )

2 + x - x1 . ÄÍ ÍÅ a( , Å, x) + a( , Å, -x1 )

Ê È

È



ÄÍ

Å



Ï É É É

Ê -Q/xx1 È Ê È ÄÍ ÌÅÊ ?

È Ê

É É É ÄÍ ÎÅ

È

È

Q|Å+ = |z - D0 |, Q|Å- = z + D0 , Q(-1) = x + x1 . |z - D0 | - z - D0 |z - D0 | - x - x1 Åm = Å- , Åm = -1.

Q|Å+ = Q|Å+ - Q|Åm = Åm

ÄÍ ÏÅ È È

? È D0 > z x1 -x-2 < 0È x1 > x + 2 ÊÊ x1 = x È

z È D0 Ê (x1 - x - 2 )(x1 - x) > 0Ê x1 < xÈ D0 > z Ê x1 > xÈ D0 > z Ê 0 < x1 - x < 2 È D0 < z Ê Ë 2 = x1 - x È

D0 = z Ê

Ê

Ê

É

Í


È

Ê

ÿÎ É

ÿÊ
ÍÊ È ÊÊ È Ê Ê Ê kB T mc É h m c2 È È

2

y = mc2 /kB T È

xt = y xÊ

Ê

Ä



K2 (y )

/2y e

-y

È (1 + 15/8y )Ê
= y 2
3/2

È
fM ( ) ey e

1 + z 2 1 + z 2 /2Ê 1/y .

É xt = h /kB T È Ê Ê Å É È È y

-y (1+z 2 /2)

ÄÍ

Å É

È
p = mc ÍÊ 1/ y Ê

z 2/y zt Ê

y /2 = z

t

z

y /2 = zt Ê

È

1/y 1

Ä Ê
1 2 15 z- 2y t 4

Å É


d3 zt y e-y(z /2-z /8) d3 z 3/2 e 4 /2y(1 + 15/8y )
2 4

fM ( )d3 z

-z

2 t

1+

.

È
1/y

ÄÍ

z

t

È

Å É

Í


Ê 1/y È
yÈ ÄÍ

É È È Ê Ê Ê
x1 Ê

Å

zt Ê

Ä

Å

ÎÊ Ê ÄÍÍÅ
1+ z2 -z 2

É É

Ä È

Å xt1 - xt = xÈ
1+

2 zt 2 - zt x y y -1 xt z2 z2 1-Å 1 + + x - (z 1 + xÅ) 1 + t + xt - zt1 2 y y

2 y

-1



2 2/yzt (1 - ) - xt (1 - Å)/y + 2zt 1 (1 - )/y .

ÄÍ

Å

È È = , 1 = 1 , Å = 1 Ê
xt y xt1 y
2 zt - zt y 2 zt - zt 1 y

ÄÍ Å
1+ 2 y 2 y , . F

= x( - z ) 1 = x1 ( - z 1 )

ÄÍ ÄÍ

Å Å É

1+

1/y 2 Ê ? = 1-

B2 Ê Å0 = 1 - x x1 / 1 =



1-Å Å - (1-Å) ( - z )( - z 1 ) F 1 + Å2 -

22 2 2 zt ( + 1 ) - zt (1 - 2 - 1 - 1 ) . y y ÄÍ Å

-2(1-Å)Å

2 2 2 2 zt ( +1 )+ (1-Å)zt [2Å(1- 2 -1 - 1 )+(1-Å)( +1 )2 ]. y y ÄÍ ÌÅ

ÍÌ


È È
xt Ê

È

È

É É Ê xÈ

n

11

= n(xt1 , 1 ) = n(xt + x, 1 ) = n1 + x n + 1

(x)2 n1 . ÄÍ ÍÅ 2 xt Ê É (x)2

n1 = n(xt , 1 ) x 2 x2 (2/y )zt ( - 1 )2 Ê t Ä ÅÈ n(1 + n11 ) - e
x

È ÄÍ ÍÅ
11

ÄÍ

ÅÈ

É

(x)2 - 2 (x)2 (x)2 - 1 + x + (1 + n) n1 + n x + n 1 1 2 2 (x)2 n - n1 - [n + n1 (1 + n)]x - [n + (2n + n1 )(1 + n)] . ÄÍ ÎÅ 1 1 1 2 (1 + n)n n 1 + n1 + n x + n 1
1





È

È

É

1+2

1+

2 2 2 22 zt (1 - ) - [xt (1 - Å) + 2zt 1 (1 - )zt (1 + 2- 21 )] y y 2 2 [1 + zt /y ][1 + zt /y - 2/yzt ]

x2 /(x ) = x21 /[x2 ( - z )] 1 t t

2 2 2/yzt (21 - ) - (2/y )[xt(1 - Å) + zt (1 - 31 + 2 1 )]. ÄÍ ÏÅ

x2 1 F 1+Å2+ x 2 zt [21 (1 - Å + 2Å2) - (1 + 2Å - Å2)] + y 2 2 + zt [-1 + 2Å - 3Å2+ 2 (1 - Å)2+ 21 (2 - 4Å + 5 + 2 {-(1 + Å2)(1 - Å)xt+ y Å2) - 4 1 Å(2 - Å)]}.ÄÍ

Å

ÍÍ


ÏÊ

È É

È Ê Ê Ê

È

È

É

È

É É

d d d2 2 d2 2 4 d2 d 4 = 4, = 1 = 0, = 1 = , 1 = Å. 3 3 ÄÍ Å È 2/y É Ê
2

2

2

1



e
0

-z

2

11 z dz = , 4
2



e
0

-z

2

z 4 dz =

3 . 8

ÄÍ

Å

ÈÊÊ
1 1 = 1, z
2 t 3/2

e
2

-z

2 t

d3 zt (zt ) = . 1 1 2 , zt 1 = Å. 2 2

ÄÍ ÄÍ

Å Å

=

3 2 , zt 2 È

22 = zt 1 =

x =

xt x2 (1 - Å)(1 - xt ), (x)2 = 2 t (1 - Å). y y

ÄÍ

Å É É

È

ÄÍ Å

È

Ê y

ÄÍ ÎÅ

2 (n - n1 ) 1 + Å2 + [1 - 2Å - 3Å2 + 2Å3 - (1 + Å2)(1 - Å)xt ] . y

ÄÍ ÌÅ

ÄÍ ÎÅ



ÄÍ

1/y È ÅÈ Ê Ê 1 + Å2 È

-

xt (1-Å){(1-xt )[n +n1 (1+n)]+xt [n+2n (1+n)+n1 (1+n)]}. ÄÍ ÍÅ 1 1 1 y

ÍÎ


1/ y -3 xt (1 - Å)(1 + Å2 )[n + n1 (1 + n)]. 1 y

É ÄÍ ÎÅ É É

È
=
2 re n 2



+ n = t



e

d2 1 (n1 - n) (1 + Å2 ) 1 -

2xt 2 (1 - Å) + (1 - 2Å - 3Å2+ 2Å3 ) + y y

+

xt (1 - Å)(1 + Å2)[4(n + n1 ) + xt (n + n ) + n(4n1 + 2xt n )] . ÄÍ ÏÅ 1 1 1 1 y

È È Ê

y= È

Ê È

È È Ê? ÄÍ ÏÅ È

È Ê Ê
nÈ

É É É É É É ÈÊÊ È É É

Ê
n+ 3 T n 16
e

2 + n = -T ne 1 - xt t y 2xt (1 - Å) + ç n1 (1 + Å2 ) 1 - y xt + (1 - Å)(1 + Å2) 4 n + n1 (1 + n) 1 y

d2 1 ç

2 (1 - 2Å - 3Å2 + 2Å3 ) + y + xt (n + n (1 + 2n) 1 1 .ÄÍ

Å É É

ÍÈ Ê Ê ÍÏ

1/y

È


ÄÍ ÅÊ ? È Ê Ê Ê Ê ÿ ÎÈ




Ê

É É Ê? É T È É É É È Å É É É

È Ê Ê ÅÊ È

È
xÊ

È È Ï È Ä
h m c2 Å

nn È

1

Ê ?Ê Ä

Ê

Ê

Ä Ä ÅÊ

kB T mc

2

È È

È Ê

ÄÍ n1 = n

ÅÈ

n T ne 1 n x4 n + n2 + = t 2 x t y xt xt t

.

ÄÍ

Å É É É É É

È È Ê Ê Ê Ê È

È Ê

Ê

Í





4z 2 /3

ÄÍÍÌÅ Ê Ê È ÄÍÍÌÅ

È



É É

z 2 1Ê

1 (x, ) - 0 (x, )

42 z - x. 3

ÄÍ ÄÍ

Å ÅÊ É

zt È

zÊ

È
2/ y Ê


Te mc2 /kB È



[x1 - x]s0 (x, y ) = 4 x

0

z 2 dz fM( )[(x, )-0 (x, )]

4 x-x2 . ÄÍ y

Å



s0 (x, y ) 1 - 2xÈ

ÏÈ
x 4 = -x x y

ÄÍ Å


4 dx = x - x2 . du y

ÄÍ ÄÍ Å

Å É

È


1 =e x
-4u/y

Ê
1 y + (e x0 4
4u/y

- 1) .

ÄÍ ÌÅ

xt xt = x0 t

t = u/y e 1+ x0 t 4
4t 4t

ÄÍ ÍÅ

(e - 1)

Í


È

Ê

x0 t

t

È Ä ÅÈ

ÏÊ

Ê ÄÍ Å

xt È

Ê

ÿ Ê
ÍÊ È è Ä Ê? È
xÊ

È È ÄÍ ÎÅ É

m c2 / h Å ÄÍ Å y /(cT ne )È

kB T /hÈ

n n 1 x4 n + n2 + =2 t x x x

.

È ?Ê Ê Å Ä Ê

Ê

Î

Í

Í

Î

É É

n (t) T ne h = t mc 2

4

kB T n (t) + n (t) + n2 (t) h

.

ÄÍ ÏÅ É

n (t) = n(xt , t) = n(x, t)Ê ? ÄÍ ÎÅÊ ÄÍ ÎÅÈ Ê ÄÍ ÎÅ x2 4 n d2 x x n(x, t)dx = +n+n dt x x
0 0 2

È

Ä

ÅÈ

É

dx = x4

n +n+n x

x = 2 x =0

= 0.

ÄÍ

Å

Í


È È È
n
2

È ÄÍ ÎÅÈ ÈÊÊ  Ê È

ÄÍ ÎÅ È

Ê

Èn É É É

Ê? Ê

ÎÊ
n1 ÄÍ ÎÅ

Ê

n2 Ê n +n x .

1 n(x, t) x4 =2 t x x

ÄÍ  È ÄÍ ÄÍ Å ÄÍ

Å É É Å




n(x, t) =
0

G(x, x1 , t)n(x1 , 0)dx1 .


1 G(x, x1 , t) x4 =2 t x x G +G x ,

Å

G(x, x1 , 0) = (x - x1 ).

ÄÍ

Å

Ä ÌÅ




x2 G(x, x1 , t)dx = x2 . 1
0

ÄÍ

Å É É

G(x, x1 , t)

ÄÍ

ÅÊ

?Ê Ê ÏÏÊ Í

Ä Ê ÊÅ
t


 ?
Ce
-x

12 xe 21 n(x, ) = CÊ 1 e 2

-x

È
n(x1 , 0)x2 dx1 Ê 1

-x 0

È

É

É
x = 2Ê 3Ê x

x2 n(x, ) t = Ê

É È É 2.7012Ê É

x2 /(ex - 1) ? 
n2 È

Ä ÌÅ

Ï È È

x = 1.5936È

 ÏÊ

Ê

Ê

Ê ÊÈ Ê x1 = 0.1, 1 Ê Ê

Ê 10È



x2 G(x, x1 , t)Ê n

È

n(t, x) n 1 x4 =2 t x x x

ÄÎÌÌÅ
x=e ÄÎÌÌÅ

y

ÄÍ ÅÈ Ê y = t, u = 3t + ln x
n 2n = . u2 y

u-3y



, t=

ÄÎÌÍÅ


Gdif (x, x1 , t) = 1


ex p - 1 4t ln x + 3t x1
2

2x1 t

.

ÄÎÌÎÅ

Ê ?Ê



Ê

ÍÌÍÊ

 È

È



Ê Ê

ÄÎÌÎÅ ÄÍ

ÅÈ

É

Í


G(x, 0.1, t)
40

G(x, 1, t)
4 0.005 3 0.01

t

t
30
0.005 0.01

20
1.0 0.5

t
0.2

0.1 0.02 0.03 0.05

2

t
1.0 0.5 0.2 0.1

0.02 0.03 0.05

10

1

0 0.00

0.05

0.10

0.15

x

0.20

0 0.0

0.5

1.0

1.5



Ê

Ê





G(x, x1 , t) x2 G(x, 10, t)
100

x1= 0.1 Ä Å

x x1= 1 Ä ÅÊ

2.0

x2 G(x, 1, t)
4

t
0.005

90 80 70 60
0.001 0.005

3

t
2 0.2

0.01

t
0.01 1.0 0.5 0.2 0.1

t
0.02 0.03 0.05

0.02 0.03

50 40 30 20 10

0.5 1 1.0

0.05 0.1

0 0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0 2.5 3.0 0 2 4 6 8 10 12 14



Ê

Ê



x x2 G(x, x1 , t)

x1 = 1 Ä Å

x x1 = 10 Ä ÅÊ

Í Ê Ê

È







ÄÎÌÎÅÈ

É É

È
1d x4 x2 dx dn +n dx

ÄÍ ÎÅ

Ê

É É ÄÎÌÏÅ

= 0.

Í


C2 dn +n= 4. dx x
x

ÄÎÌ Å

n = C1 e >0 x Ê ?

-x

+ C2 e

-x

e

x



dx . (x )4

ÄÎÌ Å É x0 Ä ÌÅ É ? ÈÊÊ É ÈÉ È É ÄÎÌ Å È

Ê?
=0

È

Ê Ê

È



Ê?

ÄÎÌÏÅÈ Ê Ê
dn +n dx = f (x)

1d x4 x2 dx

Ê
x 0 x dn +n dx 1 =4 x
0 x

x2 f (x1 )dx1 . 1

ÄÎÌ Å É


x

n(x) = e

-x 0

dx ex 4 (x )


x



x

x

x2 1
0

f (x1 )dx1 = e

-x 0

x2 1

f (x1 )dx1
x
1

e

x



dx . (x )4



È




È

ÄÎÌ Å ÄÍ Å ÄÎÌ Å

n(x) =
0

G(x, x1 )f (x1 )dx1 ,

1d x4 x2 dx

dG +G dx

= (x - x1 )

ÄÎÍÌÅ

ÎÌÌ




x

G(x, x1 ) =

e

-x 2 x1 x
1

dx , x1 x, (x )4 x1 x.

ÄÎÍÍÅ
f (x) = xö

0,

?
n(x) =

ÏÏ
xö ö(ö + 3) e
-x

lg n(x)
1

xö , x 1, ö(ö + 3) F (ö, ö + 1, x) xö-1 , x 1. ö+3
2.5 2.0

ÄÎÍÎÅ

0

1.5 1.0

-1

0.5 0.2

ö
-2

-3 0 2 4 6 8 10

x



Ê

Ê

Ê

Ê È Ê ÄÍ ÏÅÈ Ê

Ê ÄÍ ÎÅÈ È

öÊ

É É É

Ê

n(x, t) 1 x4 n + n =2 t x x

2

.

ÄÎÍÏÅ

ÎÌÍ


È
>0 n(x, t/) = n(x, t),

ÄÎÍ Å

ÊÊ

Ê Ê
dt = -

ÄÎÍÏÅ

ÄÎÍÏÅÈ

È

È

É

dx dn = . x2 (1 + 2n) 3x(n + n2 ) x4 B = C
4

ÄÎÍ Å
1/2

B = n + n2 È F (, k ) =
0

4C t + 2

F (, 2

-1/2

É )È

d1 1 - k 2 sin2 1

ÄÎÍ Å

È



È

= (B ) = 2 arctg(2

-1/2

B

-1/4

).

ÄÎÍ Å È

ÏÏ
t= F (0 , 2
-1/2

) - F (, 2 23/2 C

-1/2

)

,

ÄÎÍ Å

= (B0 (x0 )), B0 (x) = n(x, 0)[1 + n(x, 0)], C = xB 1/4 (x) = x0 B (x0 )Ê n 1È Ê Ê É È ÈÈ B n2 , 21/2 n-1/2 1, F (, 2-1/2 ) È ÄÎÍ Å 0 1/4 0 t= 1 1 1 . - 2 x0 n(x0 ) xn(x)

ÄÎÍ Å Ê ?Ê Í È ÄÎÎÌÅ

È

Ê Ê
n n - 2x2 n = 4xn2 . t x

ÎÌÎ


ÊÈ ÄÎÍ ÅÊ
1

n(x, 0) = xe
lg[x2 n(x, t)]

-x

ÏÏÈ

È

ÄÎÍÏÅ

t
0 -1
1.0 0.5 0.4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0

-2 -3 -4 -5 -3

t

-2

-1

0

1

2



Ê

Ê



lg x Ê

È È È Ê È

È

Ê Ê

É É É É É

È

È

Ê

È Ê ÄÎÎÌÅ È ÄÎÍ ÅÈ

nÊ

x

dx = -2x2 nÈ Ê Ê dt

É



Ê

È Ê Í

ÎÌÏ


È Ê Ä È Ê Å

Ê Ê É Ê É È É É É É É É Ê

È È È 


È

Ê

Ê? È Ê È Ê

È

È



0

x2 dx exp(x - Å) - 1



0

x2 dx = 2.4041138. exp(x) - 1

ÄÎÎÍÅ
N

Ê É

È Ê ÍÌ Ì

Ä ÌÅ
x2 n(x, t)È È

0

É

É

N0 n(x, 0) = e

-(x-x1 )2 /2

. N0 1

ÄÎÎÎÅ

= 0.01Ê

È

ÊÈ

ÎÌ


x2 n(x, t)
60 50 40 30

x2 n(x, t) t
0.002 0.003
160 140 120 100

t
0.002 0.003 0.502

80

0.005
20 60

0.529
40 20

0.01
10 0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

x
Ê ÍÌÊ

x N0 = 50Ê

N0 = 10È

È È
x2 n(x, t)
0.5 50 16.82 8.82 4.82 1.82 0.2 0
20

É

Ê
x2 n(x, t)
60 50

0.4

0.3

t

2.82
40 30

t

2.32

1.82 1.32

0

0.1

10 0 0.0

0.0

0

2

4

6

8

x

10

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

3.0



Ê ÍÍÊ

É N0 = 1È

N0 = 50Ê

Ê ÍÍ

Ì
8 N0 xe 3

n(x, 0) =

-2x

.

ÄÎÎÏÅ

ÎÌ


N0 = 1

È

È

N0 = 5 0 È

 È Ê È È Ê È Ê È

È Ê

É Ê É Ê É É É É É É

È

Ê

ÿ ÍÈ

? Ê

É É

ÿ Ê?
ÍÊ È
10
-6


Ê É É

ÎÈ È È

È Ê É

Ä? ÅÈ 108 ? 109 M È Ê?
1

È

Ê
6 Ç 10
9

Ä É Ê Ê È çíâ æãèæãâ ç à É ãáäèãâÅÊ È

É É ÅÊ É É É

È

Ä

É

ÏÈ ÎÊ

ÎÌ


È


È
102 10
7

Ä

Ê ÊÊ

É

ÑÑÑÅÊ ? Ê Ê Ê Ê É

È

Ê



-p

É

-(p-1)/2

É

Ä

È È

ÅÊ Å

Ä éáäÅÈ É É É É É

Ê?

Ä âèæ à â â ÅÊ

Ê Ê Ê? É

ÎÊ È ? È È Ê Ê È Ê È È È Ê

È

Ê È È È È



È

É É

È

É É É É É É ÍÎÊ

? È

È ?

È È

È

É É È É

? È ÎÌ


È É È ÏÊ  Ê? 10

È Ê

È È È ÏÊ Ê?

Ê

É É É É É

Å
5

Ä

ÈÊÊ ÈÊÊ 109 ? 1010 Ä
10
6

È

Ê È ÌÌÌ È Ê È È

È

É É É Ê É É É

ÅÊ

È

È ÍÊ È ÌÊ

È Ä

Å É É Ê É É ? Ê È

?

È

Ê È Ê È Ê Ê? È Ê È ? È Ê È Ê

É É Ê? É

ÎÌ


Ê ? È È ? È Ê È É ÎÊ È

Ä Å Í Ê

È

É

Ê

Ê È

É É È Ê É É É É É

Ê Ê
10
-5

Í È ÎÍÈ

Ê ?
-6

Ê É Ê É É Ê É É É È È É É É

?

Ê Ê

ÏÊ ÍÌ ÁÈ Ê Ê 10

È

È ÅÊ

10

8

Ê Ä

Å Ê

È Í Ê

Ê

Ä Å

È ÏÊ ÎÌ






Ê

Ê

É É É É É É

È Ê È È ? È ÏÌ Ê È È Ê

ÎÈ

Ê ÏÊ

È



Ê Ê Ê

É É É Ê É É

Ä ÍÊ

?

Å É




ÞÑÊ

É

ÿ ÍÊ
ÍÊ È È Ê? È Ê? Ä? ÅÈ É Ê Ê È ÎÈ Ì É È È È Ï È Ï Ê È É Ä È Ê È Ê ÈÊÊ ÊÊ ÎÍÍ
È È



É É É É É



?

É

Ì Ê? È

È

È

?

ÍÊ É È É É É É É È É È

?

ÅÊ È

Ê

Ê

È

È È

È È zÊ

È

É É É




È È

Ê? È Ä Ê ÍÈ
k1 k

ÍÊ Ê ÍÅÈ Ê

È È È

É É É Ê

k

k1

p
Ê ÍÊ

+

p

-

p

+

p

-

Ê

?
p+ + p- = {p +p , p+ + p- } = mcs = mc{s0 , s},

0+

0-

ÄÍÅ ÄÎÅ

k k 1 = m2 c2 q , p- k = m2 c2 , p- k 1 = m2 c2 1 ,

s = {s0 , s} = z + + z-= {+ + - , z+ + z- }, x x1 = q , z - x = , z - x1 = 1 . ÄÏÅ É = + - , Å = 1 .

ÄÅ

z+ z- = z+ z- , xx1 = xx1 Å, x x1 = xx1 (1 - Å) = q .

ÄÅ

ÎÊ

É

ÎÍÎ

Ê




È

z + +z-= x + x1 = s, + +- = x+x1 = s0 , z+ + +z- - = x +x1 1 = s. ÄÅ ? ÄÅ 1 + z + z - = x x1 = s2 s2 - s2 =0 = q. 2 2

ÄÅ Å É ÄÅ

ÄÅ



Ä

z + x = z - x1 = 1 , z + x1 = z - x = .

È

ÄÅ

ÄÅ

x(z + + z - ) = x1 (z + + z - ) = x x1 .

ÄÍÌÅ z + s = z - s = x s = x1 s = + 1= q , z - x = z + x1 = , z - x1 = z + x = 1 ,ÄÍÍÅ z + z - = + - - z+ z- = q - 1. ÄÍÎÅ
2 2 s2 - s2 = 2q , s2 = x2 + x2 + 2xx1 Å = z- + z+ + 2z- z+ , 0 1

ÄÍÌÅ
s s2 = s2 - 2 q 0 , 0 s = 0 , s0 = 2 q
0

È
q 2q . s0

É ÄÍÏÅ Ê È ÄÍ Å É

z+z- 1

+ - 1 + z+ z- ,

|z+ - z- |2 + |z+ ç z- |2 0Ê q = xx1 (1 - Å) 2,

ÄÍÎÅ

ÄÍ Å
2 . 1-Å

xx1

ÄÍ Å

ÎÍÏ


? ÏÊ Ê È
+ ç - È Ä

xx1 1Ê

Ê Ê

É É
e sÊ ?
+

È ÊÊ

3

É

-

s

e3 ÅÊ

È

È

sÊ

É

È

È É

s ä (z+ + z- )- - (z- + z+ )+ ä + ç - ä , e2 = , e3 = e3 = . ÄÍ Å e1 = 2 2 s s 1- 1- 1 (zÁ + z )e3 z s
ä 1 - 2 e1 .

Á =



ÄÍ Å É

Ê
s , s0 È

È
z
Á

È ÄÍ ÅÊ È È È È

zÁ , Á , Á , È

È

q

ÎÊ È Ê

É É É

ä ä = sin (cos e1 + sin e2 ) + cos e3 .

Ä0 , 0 2 Å

ÄÍ Å

?

ÄÊ Ê

Å

ÄÍÌÅ

x=

q . s0 - s c o s

ÄÍ Å

ÎÍ



s 2 + s 2 - 2 s s0 c o s s 2 + q - s s0 c o s =0 . s0 - s c o s 2(s0 - s cos )

x1 = s0 - x =

ÄÎÌÅ


1 =

s - x (s0 - s cos )s - q =2 . x1 s + q - s s0 c o s

ÄÎÍÅ É



1+Å=

2s2 sin2 , s 2 + s 2 - 2 s s0 c o s 0

1-Å=2

(s0 - s cos )2 . s + s 2 - 2 s s0 c o s
2 0

ÄÎÎÅ
1 - Å2 Ê É È

Ê ÄÍ ÅÈ ÄÎÌÅ
(s0 - s)/2

Å -1 (s2 - 2q )/(s2 + 2q )Ê

Ì

=0 2 s2 / s2 Ê 0

= È Å = co s

ÄÍÌÅ (s0 + s)/2Ê - 1 + 2 s2 / s2 = 0 È 1+Å ÄÎÎÅ c o s = s / s0 < 1 È É s = s0 Ä Å Ê Ê È Ê



Å

Ê?
s0 / 2 q Ê c s / s0 Ê

É

È

s0 s zc = Á - z Á s0 2q

Á

s0 s s0 s , zÁ - Á + - 1 (szÁ ) 2 s 2 q s0 2q

. ÄÎÏÅ

È Ê

È É

ÎÍ


Ê

ÄÍ ÅÈ

È

É È É É ÄÍ ÅÊ

Ê

z =

c Á

= { , z c } , 2 - 1 =

ä c = sin p e1 + cos p e3 ,

ÄÎ Å

q /2È z = co s p =

(q - 2)/2È



p

- - + z+ z- 1 - 2 , sin p = . z s zs

ÄÎ Å É

s(z- - z+) = s0 (- - + ),

22 2 (- - + )2 - z 2 s2 = -z- z+ (1 - 2 ). ÄÎ Å





c

xc = {1, c}, xc = {1, -c}. 1

ÄÎ Å
c Ê ?

È
s2 - s2 0 sin , s0 - s c o s s0 c o s - s . s0 - s c o s
c

É É É

sin c =

c o s c =

ÄÎ Å É

Ä
x=



Å



s - sÊ

s0 + s c o s c s0 - s c o s c , x1 = . 2 2

ÄÎ Å É

È

È

È ÎÍ

ÄÍ ÅÈ


ÄÍ Å
c È Ê Ê



p

È

ä äc ä c c e1 = cos p e1 - sin p e3 , e2 = e2 , e3 = c = sin p e1 + cos p e3 . ÄÏÌÅ

È

ÄÏÌÅ



c

Ê? a r cco s , È Ê È

É É

sin c cos = sin p+ 1- 2 cos p cos , sin c sin = 1- 2 sin ,ÄÏÍÅ c o s c = c o s p - 1 - 2 sin p cos . p - p Ê ?

ÄÏÎÅ É ÄÏÏÅ



È

= cos c cos p + sin c sin p cos .


sin cos = sin sin = co s
c

ÄÎ Å

, , ÄÏÍÅ ÄÏÎÅ 1 - 2 cos p cos ], s + s0 c o s c , s0 + s c o s c

[ sin p + x

x

1 - 2 sin , cos =

ÄÏ Å

? È

p - p Ê

ÄÏÎÅÊ Ä Å

É
z
Á c = { , z e3 }È

È d3 x/x = xdxd2 È x2 d2 = x2 sin dd 2 sin c dc dÊ ?

= ( - z ) , 1 = ( + z ) .

ÄÏ Å
dx/x



È xÈ Ê Ê x2 d2 Ê

É É É

ÎÍ




Ä
= 2 - , z

È

È Å Ä

2 d d Ê ? È 2 d d

È

d = - z d Ê = z /

É É É

d d / È

Ê

ÄÎ ÅÅ c o s c 1 - 2 0



Ä ÄÏÎÅÊ ?

É ÄÏ ÅÅÈ ÄÏ Å

1 - 2 =

2 2 - 2 - 2 = z

( 2 + z - )( - 2 + z ) . z ÄÏ Å

[-1, 1]

[0, 2 ] ÄÏ Å Ä ( - z ) =

È È



ÄÏ ÅÅ

È

Ê

É

1 1 ( + z ) = . 1+ 1- 1 = q - Ê

ÄÏ Å

Ê Ä È É e3 Ê Å Ê

Ê

È È

É É É ÄÏ Å

ÄÍ ÅÈ Ê Ê



È

È

(x1 + xÅ) - (x + x1 Å)1 ä 1 ç s ä ä , e3 = e3 = . e1 = , e2 = 2 2 s s 1-Å 1-Å

È

x + x1 Å x1 ä , sin = = cos e3 + sin e1 , cos = s s

1 - Å2 ,

ÄÏ Å È
e3 È

ÊÊ



É

È ÄÍ Å

ÄÍ ÅÊ ÄÏ ÅÈ

ÎÍ


ä ä ä e1 = cos e1 + sin e2 ,

ä ä ä e2 = - sin e1 + cos e2 .

Ä ÌÅ É É
x, x1

x, x1 , , 1 , Å, s, s0 È s , s0 q ÄÏ Å ejä Ê ? Ê

Ê



È

È
q

É

È È È Ê

È Ê È ÄÏ Å È

É É Ä ÍÅ

È

ä ä - = sin - (cos - e1 + sin - e2 ) + cos - e3 .

ÄÍÌÅÈ
s0 - - sz- cos - = q .

Ä ÎÅ

?
-
2 0 22 z- 2

È
z
- 2 (s2 - s2 cos2 - )- - 2s0 q - + q 2 + s2 cos2 - = 0, 0

(s - s

c o s - ) - 2 s q z - c o s - - q - s = 0 . q s 0 Á s r c o s - , s2 - s2 c o s 2 - 0

2

2 0

Ä ÏÅ ÄÅ

Ä ÏÅ
Á - (cos - ) =

Ä

Å

r=

q 2 - 2q - s2 sin2 - =

q 2 - s2 + s2 cos2 - . 0

Ä

Å É

?

ÄÅ

- (cos - ) > 1È
Á z- (cos - ) =

q s c o s - Á s0 r s2 - s2 cos2 - 0

Ä

Å

ÎÍ


2 2 - (cos - ) = 1 + z- (cos - ) Ê È Ä ÈÊÊ Å ÄÅÄÅ Á Á r = Á(q - - s0 )/z- Ä ÎÅÊ È ? + = s0 - - Ê + = (s - z- - )/z+ Ê - z- È Ê - Ê s0 = x + x1 , q = xx1 (1 - Å) cos - Ê È

É Ê É

É Ê É É É

Ê
sin - < - q s | c o s - | s0 È
-

Ê
q 2 - 2q /s Ä z- 0 | c o s - | >

Ê Ê
s2 - q 2 /sÅÊ 0

ÄÅ q s0 q < s0 È È

Ê q s0 È ÄÅÄÅ +Ê q s | c o s - | È c o s - > 0 È c o s - s2 - q 2 / sÊ 0
c o s - 0 È

s0 r > q<

È ÄÅ c o s - = 0 È Ê Ê c o s -

Ê

É É

Á z- (1) =

s2 - 2 q q Á s0 q - 2 Á s0 Á 0 , - (1) = 2q

s2 - 2 q 0 2 s0 Ê

1 - 2/q

.Ä

Å É

È
s0 2q Ê s
0

Á z- (1)

s0 = q Ê s0

Ê ÎÎÌ

s0 Ê

s0 =

2q


co s
Á z - ( s2 - q 2 / s) = 0

-

= È

s2 - q 2 / sÈ 0

s0 q È r=0

É Å

s2 - q 2 / q , 0

Á - ( s 2 - q 2 / s ) = s 0 / q . 0

Ä

Á z - ( s2 - q 2 / s) 0 s0 Ä s0 ÅÊ

Á - + Á z- (1) > z- (

s0 È ( s2 - q 2 / s) 0 s2 - q 2 / s) 0

z (1)È Ê Ê
- -

s2 - 2 q q + s0 q - 2 0 s> 2q s0 = q Ê 2q È q s2- 2q + s 0

s2 - q 2 0 q

È
qq

s2 - 2 q q - s0 q - 2 0 . 2q Ä ÌÅ É È È É s2 - 2q + s0 q (q - 2) / s2 - q 2 0 0
0

0

q (q - 2) > 2 s2- q 2 , q s2- 2q + s 0 0 s0 = q Ê ? Ê

È

q 2È 2q s
0

q (q - 2) > q s2- q 2 . 0 Ä ÍÅ s2 - q 2 É 0 È É

Ê
+ s0 È

s2 - 2 q 0

q (q - 2) > -q (s2 + q 2 )(q - 2), 0

Ä ÎÅ

c o s - = 0 + + z- (0) = q 2 - s2 /s0 È - (0) 0 + 2q qÈ z- (0)È + (q - 2)/2 Ì Ä- (0) q /2 ÍÅÊ Á È q s0 È z- (cos - ) c o s - È z- È Ä ÎÅÊ - Á z- = z- (1)È s2 - q 2 / s z - = z - ( s2 - 0 0 + z- = z- (1)Ê q = s0 È Í c o s - 0 Ê ? + z- c o s - s0 q Ê

= q / s0 Ê É

Í q 2 / s) - z- = 0
0Ê

ÎÎÍ


Ä
s

c o s - Å Ê q 2 - 2q - q 2q s s s

q > s0 È

È + + + z- (-1) < z- (0) < z- (1)
q 2 - s2 s 0 < s0 s2 - 2 q È 0
0

z z s2 - 2 q 0
- -

+ -

0

s2 - 2 q 0

<

q 2 - 2q + q 2q

.

Ä ÏÅ

0

0

q 2 - 2q + q s
0

0

È È
z s co s
0 -

q 2 - 2 q - q s2 - 2 q È 0 È Äq > s0 Å -1 1Ê È

È
z
-

É Ê? É + + z- (-1) z- (1)

q 2 - 2q - q

s2 - 2 q / 2 q , s 0

0

q 2 - 2q + q z
-

s2 - 2 q / 2 q 0

Ä Ä

Å É Å É

-


c o s - =

s0 - - q . z- s z- È

? Ä + = s0 - - È 0È ÅÊ

È


È

- z+ , cos - , sin - ÄÍÌÅÊ

z- cos - + z+ cos + = s, z- sin - = z+ sin + ,

Ä

Å É

Ê ÄÏ ÅÊ È ÎÎÎ

ÄÍ ÅÊ Ê ÄÍ ÅÈ

Ê

ÄÏ Å Ê ÄÎ ÅÈ

É É


c = sin c e

ph 1

+ c o s c e 3 È c o s c =



c



xx1 1 - Å2 x - x1 , sin c = , s s ÄÍ ÅÈ ÄÎÌÅÈ ÄÎÎÅÈ ÄÎ Å ÄÎ ÅÊ È Ê

Ä

Å É

z

-

ÄÎ Å

p È

c Ê ?

È

Ä ÍÅÈ Ê Ê

ÄÎ ÅÈ

ÄÏ Å

Ê? Ä Å

È

ä ä c = sin p (cos - e1 + sin - e2 ) + cos p e3 .

?

ä e1 È ÄÎ Å ÄÅ - = -È È Ä ÌÅÊ p - È ÄÎ Å z- s0 z- cos - - s- sin p = sin - , cos p = . z 2z È È È ÄÏ ÅÈ ÄÏ Å c È xc

Ä

Å É

ä ä ä 0 0 0 e1 = cos c e1 - sin c e3 , e2 = e2 , e3 = c = sin c e1 + cos c e3 . Ä ÌÅ



c

Ê
c =

È

c È

0 0 0 1 - 2 (cos 0 e1 + sin 0 e2 ) + e3 .

Ä ÍÅ É

È

Ä ÌÅ

sin p cos = sin c+ 1- 2 cos c cos 0 , sin p sin = - 1- 2 sin 0 , c o s p = c o s c - 1 - 2 sin c cos 0 .

Ä ÎÅ



c

Ê

ÎÎÏ

ÄÏ ÅÈ


Ä ÎÅ

ÄÅ ÄÏÏÅÊ È È

c - c Ê

ÄÏ ÅÊ


ÄÏ ÅÊ È È

É É É É d3 zÁ /Á =



Ê? 2 zÁ dzÁ d2 Á /Á Ê Ê

È

ÈÊÊ È

È

È

É

É È
r rdz- È sz- -

2 z- d2 - /rÈ ( /2)d d0 = -d d0 /(2 2 )Ê - È z- Ä - ÅÈ (s0 - q - )dz Ä ÅÊ sin - d- = 2 sz- -

É

-

=

Ä ÅÊ
2 z- d2- = r z- dz- d d- d È = s- s É - È d- =

Ê? z- p È cos p = (2- - s0 )/z sÊ ÄÎ Å -sz sin p dp /2 = (s /2) sin p dp ( /2) sin p dp dÊ 0 ?

2 z- sin - d- d r

È

( /2)d d0 Ê

É É



Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ Ä Ê ÅÈ Ê É

ÎÎ



ann = re 1 + +2 1

È
F . q-2

2 re F r2 (1 - 2 )2 r2 =e F= e 2 4 3 z 2 4 2q

3/2

Ä ÏÅ Ä Å Ê

È
1 1 + 1 1

F = F ( , 1 ) =

-

1 1 + 1

2

,

ÄÅ
F F =2

, 1 , q , , z

ÄÏ Å Ä


bth =
2 re s z 8 4

1 - 4 4 + 2(1 - 2 )(1 - 2 2 ) - 2(1 - 2 )2 . (1 - 2 2 )2

Å È

Ä ÏÅ
-



2



d3 z+ r2 (z - + z + - s)F sin - d- = e 4 F = 2 ann . + 2 4 ÄÅ

ÎÊ

É
2 1 re 4 vr z - z +

Ê

Ä
q (q - 2) = 2z = 2 2. Ä

0 ann =

d3 x d3 x1 (z - + z + - x - x1 )F ( , 1 ). x x1

Å É Å É É

ÄÑÊ ÌÅ vr =
vr z - z + =

1 - 1/(z - z + )2 È (q - 1)2 - 1 =

(z - z + )2 - 1 =

È
x1

Ê É

È Ê

s2 + x2 - 2s0 x 0 2 q xx1 = x- = x1 (q - s x) = q s0 - s c o s (s0 - x - |s - x|) =

- s2 - x2 + 2s x =Ä Å x1 xx1 q . x- 2 2 s0 - s c o s

ÎÎ


ÄÅÄÅ Ä ÏÅ
0 ann =

Ä ÅÈ
x2 d2 F = 1 2 x2 d2 ann .

É Ä ÌÅ É É É
x2 d2 F

2 re 1 2 8

4

1/2

È È
È

È

Ê

ÄÅ
È 2 d d Ê 2 Ê

Ê

É
1 1+ ln . Ä ÍÅ 2 1 -

1

F0 ( ) =
0

F d = 2[(3 - 4 )a( ) - 2 + 2 ],

a( ) =

?
0 2 ann = re s

È
( ), s ( ) =

É

ann

ann

1 - 2 (3 - 4 )a( ) - (2 - 2 ) . F0 ( ) = 4 2 2 Ä ÎÅ ÄÅ

0 bth=

z- Ê

2 re r2 d3 z- d3 z- d3 z+ (z -+z +-x-x1 )F = e (+-s0 +- )F. 2xx1 - + 2q - + Ä ÏÅ x x1 = q È È Ê É È Ê Ä ÏÅ z+ È z+ = s - z- = x + x1 - É Ê É + + s0 - - = 2+ = 2 (s - z- )2 + 1È c o s -

ÎÎ


2 2 d3 z- d3 z- 1 + s2 + z- - 2sz- - - - s2 + 2s0 - 0 = (sz - - q ) = - + 2+ - s0 - - q d- = sin - d- cos - - Ä d. sz - s

Å

Ä ÏÅ
0 b th

- È
2 re 2q s

=

F d- d.

Ä

Å

È ÄÅ
0 bth


b

Ä

Å
1

È Ê É d- d = (s /2)d d0 È

=

2

th

r2 d d0 = e 2 4

0 F d = 2 2 ann . -1

Ä

Å

5

4

s
3

ann

( )

2

1

s
0 0.0

b th

( )
0.4 0.6 0.8 1.0

0.2





Ê ÎÊ

Ê

0

Ê 1/(2 )È

ÊÎ

Å
= 1Ê

Ê

ÎÎ


ÏÊ





Ê

É Ä
È

xl s

ann

( ) =

1 16 3 z

F xl

+2 2

d .

Å

?
x2 d2 2 d d Ê ÄÏ Å Ê l = 0, 1, 2Ê
1

ÈÊÊ ÄÏÎÅ
Ê



È ÄÎ ÅÊ


Ä ÏÅ


F

É ÅÈ É

Ä ÍÅ
F 2 d =
0

Ä Ê

F2 ( ) =

2 2

5 - 4 2 +

4

8 a( ) - 5 + 3 s

2

.

Ä

Å

l=0



ann

( ) = xs
ann

?
1 = F d [s0 + s(cos p + sin 32 z
-1 0 1 2

F0 ( ) Ê 4 2 ( ) = ( ),

p

1 - 2 cos )]d =

s0 s 2

ann

Ê Ê x = x1 = s0 /2È
x2 s
1 2 ann


( ) =

Ä

Å Ê

1 1 = F d d [s2 + s2 (cos2 p 2 + sin2 p (1 - 2 ) cos2 + 16 z 40
-1 0

+ 2cos p sin p 1- 2 cos ) +2s0 s(cos p + sin = 1 4 s2 + 0 s2 sin2 2
p

p

s

ann

( ) +

s2 1 cos2 p - sin2 4 z 2

1- 2 cos )] =
p

F2 ( ) .Ä ÌÅ

ÎÎ





s2 F2 ( ) sin2 p + (2 - 3 sin2 p ) . 8 F0 ( )

Dx = Dx1 =

Ä ÍÅ É

È

Ê Ê



ÿ ÏÊ
ÍÊ È Ê? Ê Ê È È È Ê


È É É É É È

È



È È

È
2 3 C n (z )d3 z = n0 , 2 3 C n(x)d3 x = n0 .

Ä ÎÅ
n
0

C = h/mc

Ê
m=c=



Ê Ê

n

0

É
= 1È C = 2 Ê

Ä

ÅÈ

É É É É É É É

ÎÊ É
2 re 2m2 c 2 h3 2

Ê È



È

k n(k ) =

d3 k1 d3 p- d3 p+ (p-+ p+- k - k1 )F ( , 1 )çÄ ÏÅ k1 p0- p0+

ÎÎ


{n- (p-)n+ (p+)[1+ n(k)][1+ n(k1)] - n(k)n(k1)[1- n- (p-)][1- n+ (p+)]}. É

? Ä ÏÅ

Ä ÅÊ

Ê? È È Ê Ê È Ê

F

É Ê É É Ä ÏÅ Ê

Ê È Ê É

È ?

d3 x1 d3 z- d3 z+ (z -+ z+- x - x1 )F ( , 1 )ç ÄÅ x1 - + ç{n-(z-)n+(z+)[1+ n(x)][1+ n(x1 )] - n(x)n(x1)[1- n-(z-)][1- n+(z+)]}. x n(x) = D
e 2 De = re /3 Ê C



Ê Ä ÅÈ

Ê

Ê
TÈ v

È

É É É É É

ÅÊ Ê?
nÁ (zÁ ) =

Ä

È


1 1 e
y (x+Å )

e

y (Á +ÅÁ )

+1

,

n(x) = -ÅÁ

É

m c2 Å

y = mc2 /kB T È

-1

,

Ä Ä

Å

-Å



Ê

Å- + Å+ = 2Å Ê

É É É

È

ÎÏÌ


È

È
nÁ (z ) = CÁ e
-y

É
, CÁ = e
-y ÅÁ

=n

0 Á

3 y C 8 K2 (y ) xÈ

Ä

Å

K2 (y ) 2/y
2

ÄÅ ? È ? È ÄÅ

È



Ê? È È


n(x) = e

-y (x+Å )

Ê

É K2 (y ) È É É É

C- C+ = 1Ê

ÏÊ Ê





È

Ê Ä

É É È É Å

+ n(x) = -n(x)( - - - + ) + [1 + n(x)] + . t

È
3 3 3

Ä Ä Å Å

De d x1 d z- d z+ n(x1 ) F ( , 1 ), x x1 - + De d3 z- d3 z+ d3 x1 (x) = n(x1 ) F ( , 1 )n (z ), x x1 - + De d3 x1 d3 z- d3 z+ (x) = F ( , 1 )n- (z- )n+ (z+ ), x x1 - + d3 z- d3 z+ De d3 x1 n(x1 ) F ( , 1 )n- (z-)n+ (z+). (x) = x x1 - + (x) =

Ä ÌÅ Ä ÍÅ É É É

È Ä ÅÄ Å Ê È

É

È = (z - + z + - x - x1 )Ê ? Ê È Ä Å
d3 x



d3 x = xn(x) x

È

ÎÏÍ


= - d3 x n(x)[ (x)-- (x)-+ (x)]+ d3 x{(x)[1+n(x)]+ (x)}. Ä ÎÅ

Ê È ÄÅ
2

Ä Ê Ê Ê

ÅÊ É É



= z / = È

d3 x1 0 n(x1 )q bth ( ). x x1 q = x x1 = xx1 (1 - Å) È È È ÊÊx x1 Ê ? È È È Ê? È 2 - 1/ Ê È È = 3 C 12 x 3 C 14 x 3 C d3 x1 dd- 4 5 n(x1 ) bth n (z ) = x1 s z d3 x1 n(x1 ) 4 d d0 bth n (z ). x1 È Ä ÅÊ

Ä ÏÅ È Ä ÏÅ q = 2 2 È É È É É

= = bth È

Ä

Å

Å

ÄÅ
co s

Ä



È

É È 0 È É

= (s0 Á s cos p )/2,

Ä

c

Å É É

p



Ä ÎÅÈ Ä ÅÊ

È

Å

ÎÏÎ


Á z [( sin c + z =
2 - 1È

s Á s0 c o s p Á 2 ä ä 1 - 2 cos c cos 0 )e1 + 1 - 2 sin 0 e2 ], Ä z = e
3

Å

É ÄÏ ÅÊ Ä ÌÅ Ê É

Ê

Ê Ä ÎÅÊ Ä ÎÅÈ

0 = (x)d3 x = = 4 3 C

2 re 2 2 3 C

d3 x d3 x1 d3 z- d3 z+ F n- (z- )n+ (z+ ) = x x1 - +

d3 z- d3 z+ 0 n- (z- )n+ (z+ )vr z - z + ann ( ). - + È

Ä Ä Å

Å

Ä ÍÅÈ vr È q = 1 + z-z+Ê È Ê
xÊ


xx



Ä

ÅÈ È

Ä

ÅÊ
1

È

È È É

Ê



È È

Ä ÌÅ É É Ê È É Ä Å É

Ê È Ä ÅÊ ?

È

(x) =

4 x3 C

d3 x1 4 d d0 bth n- (z- )n+ (z+ ). x1

?

ÄÅ

Ä ÅÊ ÎÏÏ

È


È

ÄÅ Ê È È È
ÄÅ n(x1 )Ê

Ê

È

É É É

ÿÊ
ÍÊ È ÊÊ Ê


È Ê? È Ê É É


n(x) = n(x)Ê

É Ä
ÅÊ

Ê Ê È Ê



ÅÊ ?

É É



È

2 Ê q = x x1 = xx1 (1 - Å) 2È x1 Å
1-2/(xx1 )

É

De 4 (x) = x

2 1/x

x1 dx1 n(x1 )
-1

dÅ q 2 2 s

ann

( ).

Ä

Å

?
32 2 D = x2
e

Å

Ä

= Å
p

È 1 - 2/[xx1 (1 - Å)]È dÅ = -4 4 d /(xx1 )Ê (x) = 1 3 2 2 De 1+v g = n 1- xx1 x3 x
0 p

É

dx1 n(x1 )g

v dv . 1+v

1/x

ÄÍÌÌÅ ÎÏ


[0, 1]
u u

uÈ

É

gp (u) = 2
0

d s gp (u)

36

ann

( ) =
0

2 4 [(3 - 4 )a( ) - 2 + 2 ]d . ÄÍÌÍÅ



gC È

ÿÏ 

Þ

Ä

ÄÞÊ Å ÄÞÊ ÅÅ
gp (u) = u

1 u 1 + u2 1 1 + u2 a(u) - - ln(1 - u2 ) - + 2 1-u 2 2 2 1 - u2 1-u 1 1+u 1 - gC - . + gC - + ln(1 - u) ln ÄÍÌÎÅ 2 4 2 2

uÈ 1 42 + u +u 35
4 n=0

ÍÈ gp (u)
u2n 2n + 7
n m

É

gp (u) = u

3

u < 1È


C

È
- 1 2

ÍÈ
1-u 2

2n + 9 6 3 + + +4 . 2m + 1 2n + 3 2n + 5 =1 ÄÍÌÏÅ È É


g

-g

C

-

=
n=1

(1 - u)n - 1 . n2 2 n

ÄÍÌ Å È
y=

?

È
(x, y )

mc2 /(kB T )È y /xÊ



n(x1 )

(x, y ) = 32 2 D


e
e

-y Å

y

3

BE

y , y Å , x v 1+v

ÄÍÌ Å

BE (z , ) = z

3

e
0

z (1+v )

dv -e

-

g

p

.

ÄÍÌ Å

ÎÏ



W (z )È

ÊÏ

È

È Å = P (z ) = BE (y /x, 0) Ê z 0Ê



Ä W (z ) (z /2) ln(1/z )


Å = 0 É ? È W (z ) = BE (y /x, )Ê Ê É È P (z ) > É É Ê? Å È È z z e 4

BE (z , ) =
m =1

e

-(m-1)

m

3

W (mz ) W (z )

-z

.

ÄÍÌ Å

0.25

P (z ) W (z )

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

z

Ê ÏÊ BE (z , ) Ä Å = 0 (P (z )), 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0, 2.0, (W (z ))Ê

Ê Ê
(x, y ) = 32 2 D
e


1 4 1 W (y /x) = 2s 3 W (y /x). y3 fy T=

É ÄÍÌ Å
m c2 Ê kB y

ÎÏ



(x, y ) (x, y ) y 221 ln fs xy 2 x
-11

2s f

1 xy
5

É
e
-y /x

xy

x yÊ

ÄÍÌ Å
yÈ Ê Ê 10.41Ê

É

C = 3.861411 Ç 10

È



ÊÊ

Ê Ê
5

É x = 1.7y È

lg (x, y )
0

-5

-10

-15

-20 -6 -4 -2 0 2 4 6

lg x

(x, y ) Ä Å y = 0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0, 20.0, 50.0ÅÊ
Ê Ê

?

ÄÍÌÌÅ Ê





Ê Ê È È
z
Á

È



ÎÊ


Ê È Ê Ê n (z ) = n ( )Ê ÈÊÊ

É É

È

ÎÏ


=

De x De = x

z 2 d3 z d3 x1 n(x1 ) n ( ) (+ + - - x - x1 )F ( , 1 ) = x1 - + z 2 dz 2 d3 x1 n(x1 )n ( ) d ( + 1 - q )F ( , 1 ) = x1 De d3 x1 z dz = F (x, x1 , Å, ). ÄÍÌ Å n(x1 )n ( ) 2 x x1

Ê
z

É

È

È

È
z 2

É É ÁÊ

F (x, x1 , Å, ) =

d2 ( + 1 - q )F ( , 1 ),

ÄÍÍÌÅ

= x z = x( - z ), 1 = x1 z = x1 ( - z 1 )Ê ÄÍÍÌÅ Ê

É É È È Ê È É = Å +

È Ê Ê

FÊ

È
Å = 1 È

È Ê = Ê 1 - 2 1 - Å2 cos È , , 1 Ä ?
F= q 2 + 2q - 2 q 1 1 + q-

ÈÊÊ
F -



1

ÅÊ

1 1 - -2 2 (q - )2

ÄÍÍÍÅ

ÎÏ


È È
2

È = x( - z )Ê

È z x1 Ê 1 - Å2 = 0Ê


q

É É

0

d x( - z ) - q + x1 - x1 z Å - z x1 = 2 zs 1 (+ - )( - - ) = , Á =

1 - Å2

1 - 2 co s = 1 - Å2 , ÄÍÍÎÅ

P (x1 Å + x) Á x1 z s2 P = s0 - q ,

z 2 s2 - P 2 , Ê

ÄÍÍÏÅ É É È É

Ê Á

ÄÍÍÎÅ Ê

cos È Ê [0, 2 ]

Î È ÄÍÍÎÅ

ÄÍÍÌÅ

-1 - + 1Ê

=

+ + - + - - 1 + cos = 2 [(x1 Å+x)P +x1 2 2 zs

1 - Å2 cos ]. ÄÍÍ Å

ÄÍÍÌÅ
1 F (x, x1 , Å, ) = s


F ( , 1 )d .
0

ÄÍÍ Å É

ÄÍÍÌÅ
1 q 2 + 2q - 2 1 + 2 a( , Å, -x) a( , Å, -x1 q 2 A( , Å, x, x1 ) A( , Å, x1 , x) +3 -, a3 ( , Å, -x) a ( , Å, -x1 ) s

F (x, x1 , Å, ) = - 1 q2

-

ÄÍÍ Å

ÎÏ




a rÅ ÄÞÊÍÏ ÅÅÈ A( , Å, x, x1 ) =

È
s2 - a2 ( , Å, -x) + a2 ( , Å, -x1 ) . 2

Ä

É

ÄÍÍ Å É

F (x, x1 , Å, ) = F (x1 , x, Å, ) = F (x, x1 , Å, x + x1 - ).

ÄÍÍ Å È É

ÏÊ


Ê

È

z 2 s2 - P 2 = - 2 q 2 + 2 q s0 - q 2 - s2 0 .

ÄÍÍ Å

È



Ê

ÈÊÊ
2 1. q

ÅÈ

Á (x, x1 , Å) = Á

s0 s Á 2 2

1-

ÄÍÎÌÅ Ê É É


x

Ê

x1

ÄÍÍ ÅÈ

ÅÈ

x2 [1 - 2 x1 (1 - Å) + x2 (1 - Å)2 ] + 2xx1 [Å + ( - x1 )(1 - Å)] + x2 0. 1 1 ÄÍÎÍÅ x É x È ÄÍÎÍÅ ( - x1 )(1 - Å) + Å Á z (1 - Å)a1 xÁ . =- x1 1 - 2 x1 (1 - Å) + x2 (1 - Å)2 1

ÄÍÎÎÅ

?
x

ÄÍÎÍÅ ÎÌ

È

ÄÍÎÎÅÈ


Ê?

É

1 - 2 x1 (1 - Å) + x2 (1 - Å)2 = [x1 (1 - Å) - - z ][x1 (1 - Å) - + z ] ÄÍÎÏÅ 1

È x1 (1 - Å) > + z Ê È xÈ ÄÍÎÎÅ È Ê? Ê È - z < x1 (1 - Å) < + z x2 x- È x+ x
Å) < - z x x- < x < x- < x < x+

Ê

È

x1 (1 -

É É É

Ê

È

ÈÅ È

È

È ÄÍÍÎÅÈ Ê Ê Ê

0 < x1 < ( - z )/(1 - Å), ( - z )/(1 - Å) < x1 < ( + z )/(1 - Å), ( + z )/(1 - Å) < x1 < . ÄÍÎ Å ÄÍÎÍÅÈ ÈÉ x x1 Ê È É z x1 1 - Å2 = 0Ê

É É

x1 = 0

Ê

z = 0, = 1 Å=1 È Å = -1

Ê



F (x, x1 , Å, 1) = 0Ê Å = -1



Ê Ê É

È Ê

ÄÍÍ Å



Ê

s = 0Ê ?

ÅÊ 

ÄÍÎÌÅÊ

Á (x, x1 , Å) È q=2

É

Å = Å , -1 Å = 1 - 2/xx1 < 1, Á (x, x1 , Å ) = (x + x1 )/2. ÄÍÎ Å

ÎÍ


Å > Å s=0 x = x1 = 0È Å = -1, x = x1 È È Ê È Åe =1-

Å = -1È

Ê? È

É È

È ÄÍÎ Å

xt

1 1 - - , + = x + x1 - 1, m = 1. x x1 m

Åe

xt

< -1Ê

x, x1 xx1 = 1

É É É (x - 1/2)(x1 - 1/2) = 1/4Ê È
x + x1 < 2xx1 È

[-1, 1]È Ê Ê x + x1 > 2xx1 Ê

ÊÊ

x = x1 = 1Ê -1 < Åe < 1Ê

È È

xt

Á (x, x1 ) =

Á (x, x1 , -1) Á m

x + x1 2xx1 , x + x1 2xx1 .

ÄÍÎ Å

Á (x, x1 , -1) =


Å

È

x + x1 1 |x - x1 | 1- ÄÍÎ Å . Á 2 2 xx1 È x = x1 xx1 = 1Ê = Á (x, x1 , Å)È É ÄÍÎÌÅÈ ÄÍÍ ÅÈ

q 2 - 2q [ (x + x1 ) - z 2 ] + (x + x1 )2 = 0. q Á = (x + x1 ) - z 2 Á z D0 , ÅÁ (x, x1 , ) = 1 - D0 = (x + x1 )2 - 2 (x + x1) + z 2 = q , xx1

ÄÍÎ Å

ÄÍÏÌÅ

(x + x1 - 1 - )(x + x1 + 1 - ). ÄÍÏÍÅ

ÎÎ


È


+ (x , x 1 ) Å+

É

(x) =

2 re



2 x
1/x

x1 dx1 n(x1 )
- (x , x 1 )

n ( )d
Åm

dÅF (x, x1 , Å, ).

ÄÍÏÎÅ É

Å - Å -1 Åm = - Å 1 - (x, x1 , -1), - (x, x1 , -1) + (x, x1 , -1), + (x, x1 , -1) x + x1 - 1.

ÄÍÏÏÅ É È

Ê



Ê

È
arsh( h) , h A0 (h) = arcsin( -h) , -h


h > 0, , h < 0,

Ê?

A(h) =

1 + h. ÄÍÏ Å



ÊÍÍÍÈ ÊÍÎÍÊÎ

ÊÍÎÍÊÎ F



É Ê ? ÄÍÏ Å

F (x, x1 , Å, )dÅ = -2 1-Å 2
3/2

s + T(x, x1 , Å, ) + T(x1 , x, Å, ), xx1
1/2

T(x, x1 , Å, ) = 2 +

1-

1 1-Å 2 x2 x12

1/2

xx1 (1 + Å) + ( - x)(x1 - x) - 4xx1 A0 (h) . ÄÍÏ Å A(h) x x1 h1 = (z 2 -

2 1 A0 (h) - A(h) 2 A(h)+ -22 xx1 h x x1 1 - Å

h = (z 2 - 2 x+ x2)(1 - Å)/2Ê ÄÍÏ Å h 2 x1 + x2 )(1 - Å)/2Ê 1

ÎÏ


ÿ È Ê

Ê Ê

È

É É Ä ÌÅ

(x) = De x De = x =


De d3 x1 d3 z- d3 z+ F n- (- )n+ (+ ) = x x1 - + d3 x1 d3 z- (- + + - x1 - x)F n- (- )n+ (+ ) = x1 - + d3 x1 d- n- (- )n+ (x + x1 - - )2 F (x, x1 , Å, - ),ÄÍÏ Å x1

È
Å

Ä ÅÈ

F

x1

ÄÍÍÌÅÊ
Å+

È

È

ÄÍÍÌÅÊ É È

De (2 )2 (x) = x1 dx1 d- n- (- )n+ (x + x1 - - ) F (x, x1 , Å, - )dÅ. x
Åm

?
De x



ÄÍÏ Å

ÄÍÏ Å ÄÍÏ ÅÊ

(x) =

x

d3 x1 n(x1 )d- n- (- )n+ (x + x1 - - )2 F (x, x1 , Å, - ). x1 ÄÍÏ Å É È ÄÍÏÎÅÈ ÅÈ Ê ÄÅ È É ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å Ê È n- (- )n+ (+ ) e - y ( - + + ) È

Î


e

- y ( x +x 1 )



Ä ÏÅÊ

ÄÍÏ Å

ÄÍÏ ÅÈ
e
-y x

Ê?
1 xx1

É É

(x, y ) = 32 2 De C- C+ = 3 2 2 De e g
p

x2
1/x

e

-y x

1

dx1 g

p

1-

=

-y (Å- +Å+ )

e

-y x

y

3

W (y /x),

ÄÍ ÌÅ È È É É É É È É




y /xÊ È

ÄÍÌ Å

ÄÍÌÍÅÈ W (y /x) = Ê ÍÌÌ Ê

È È

e-

È Ê

y (x+Å )

È Ê





Ä

ÅÈ Ê Ê
2 2

2 y y y e -y x re 6 y e -y x (x, y ) C W W = 32 3 = 4 2s f 0 n0 2 K (y ) 3 3 n- + C (8 ) y x K2 (y ) y x 2 ÄÍ ÍÅ x yÊ É È É Ê È É È 3 È C Í È C È ÈÊÊ ÄÍ ÍÅÈ 5 = 8.5877 Ç 10-53 È Ê C 5 lg C = 52.066Ê È È

Î


-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -16 -18 -20 -4 -2 0 2 4

lg

(x , y ) n0 n0 -+

lg x
Ê Ê ÄÍ ÍÅ Ä y = 0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10.0, 20.0, 50.0Ê

Å

Ê
(x, y ) 4 3 2s f n0 n0 -+

È
y e -y /(2y ) y 3
2 x

y1 y e x

yx = 8 2 2s f y e x
-y (x+1/x-2)

-y /x

.

x = xm = y 8 2 2s y f 1+ 1 1 -e 16y 2 4y
-2y (

Í


ÄÍ ÎÅ 1 1 1 - 1- 1+ È 16y 2 4y 4y È È
8 2 2s y , ÄÍ ÏÅ f

1+1/(16y 2 )-1)

ÊÊ

È


x3 Ê

yÊ (x, y ) È

É È Å Ê ÍÌÌÈ È É Ê





Î


? ÄÍ ÌÅ Ê


(x, y ) n(x1 )Ê

(x, y )

É É É Ê É Å


lÉ

È

Ê?

Ê

xl 0 = l = 8 D

e

d3 z- d3 z+ n- (z- )n+ (z+ ) 2 xl s - + z
-

ann

( ), ÄÍ



Ä ÅÊ È x2 s
1 32
2

ann

0 Äl = 1Å È x = s0 /2 = (- + + )/2Ê ( ) =

z+ Ä

ÅÊ ?

É

=

3 s2 - 4 2 - 0



(-- + )2 (- - + )2 F0 ( ) + 3 - s2 + 4 2 F2 ( ) . 0 2 2 ÄÍ Å F0 ( ) F2 ( ) Ä ÍÅ Ä ÅÊ lÊ
1

l = 8 De 4 2
0

2 z- dz- n- (- ) -

0

2 z+ dz+ n+ (+ ) +

2 xl s

ann

( )d .

-1

?

ÄÍ

Å

Ê
1- 1 = 2 1-



=

2 , 1 + + - - z+ z-

Á = |

= 1

.

ÄÍ

Å

+ - =

2 2 |z+ Á z-| |+ - - | |z+ - z-| - |z+ - z-| = , = , Á = , ÄÍ s0 s2 + z+ + z- s0 0

Å

Î


d = -(4/z-z+ ) 4 d


ÄÍ


Å

l=0

0 = 1 2 8 3 D

e 1

d- n- (- )
1

d+ n+ (+ )g0 ( )



+ -

,

ÄÍ

Å

È

s0 / 2 Ê



1

ÄÍ
l=2

ÄÎ Å
3

Å g0 ( ) ÄÍ Å

ÄÍ

Å

Ï

É

2 = 16 De d- n- (-) d+ n+ (+)[s2 g1 ( )-2g2 ( )+(--+ )2 g3 ( )]+. 0 -
1 1



?



ÄÍ ÌÅ

g g0 ( ) =
2

3 2 2 + a( ) a( ) - 2 , 2 4 g1 ( ) = 2 2 2 - 3 + 2a( ) a( ) - 2 + 5[a( ) - 1], 3 17 2 2 4 + - 2 2 + 7a( ) a( ) + 10[a( ) - 1], g2 ( ) = 2 3 3 1 5 g3 ( ) = 2 2 2 + 4a( ) a( ) - 2 2 - 5[a( ) - 1] 3 + 2 + 3 gl ( )/ 2 , l = 0, 1, 2, 2/3 g3 ( )/ È
4

ÄÍ ÍÅ ÄÍ ÎÅ ÄÍ ÏÅ
.ÄÍ

Å

0

?

2/7Ê x

1/2, 4/3È

x2

È
T = mc2 /(kB y )È u = s0 - 2 = - + + - 2, v = - - +
u

Ê É
l (y ) dv g0 ( )
0
+ -

0 (y ) = D(y )
0

e

-y u

du

,

ÄÍ

Å

Î


D(y ) 2 (y ) = e 8
0



u -y u 2 du dv (2 + u)2 g1 ( ) - 2g2 ( ) + r0 g3 ( ) 0



+

, ÄÍ

Å É

-


y

È

Î


D(y ) = 128 3 De n0 n -

0 +

y e -y 4 K2 (y )

2

.

ÄÍ

Å É

?

1 (y )

È

È

È

1 + u/2Ê

6 Ç 10

9

ÈÊÊ

È y 1 0 (y )

mc2 /kB ,ÄÍ , ÄÍ

15 1 D(y ) 1+ - 4 y3 4y D(y ) 1 (y ) 4 y3 D(y ) 29 2 (y ) 1+ + 3 4y 4y

123 1 1435 1 70917 1 1002669 1 + - + 32 y 2 128 y 3 2048 y 4 8192 y 5 21 1 117 1 205 1 9831 1 1+ + + + 2 3 4y 32 y 128 y 8192 y 5 537 1 10303 1 432437 1 5061483 + + + 32 y 2 896 y 3 14336 y 4 63079
2

Å Å



0 , 1 ,

1 . y5 ÄÍ ÌÅ

x= x2

87 1 8295 3 1 15 1 1 (y ) - + 1+ + 0 (y ) 2y 8 y2 8 y3 128 2 (y ) 1611 1 303 7 1 15 1 = - + 1+ + 0 (y ) 2y 2 y2 112 y 3 28

1 , y4 31 , y4

ÄÍ ÍÅ ÄÍ ÎÅ

Ä
Dx (y ) = x2 (y ) - [ x (y )]2 (y ) = x2 - x 2 1 2y

Å
1 2y 1+ 3 195 1 29 1 1+ + + y 56 y 2 14 y 3 3 1 69 1 1545 1 + + 2 y 112 y 2 224 y 3 l (y ) Ä D(y ) x yÅ yÊ , ÄÍ ÏÅ . ÄÍ

Å

Ê
l = 1ÅÈ

È

È

È É

Ä



ÎÌ


8

10

6

8

4

6

2

4

0

lg 2 (y ) lg 0 (y )

2

x Dx
0 2 4

x

2


6
2

-2 0 2 4

0



Ê

Ê?

y 10 i (y ) Äi = 0, 1, 2È Å

6

8

8

y

10

x È x È Dx (y )

(y ) Ä ÅÊ

Ê

Ê È È ÊÊ È È È ÍÍÊ ?Ê Ê È Ê È È È È È È

y

É È È É Ê É É É È È ÄÍ ÍÅ ÍÊ Ê È É É É É É É

È ÎÈ



È

Ê Ê È  ?È È È

ÄÍ ÎÅÈ È

Ê ÎÍ


Ê

È È Ê  ÑÑÊ Ê

È

É È È É É É È

È Ê


?Ê
ÍÊ È Ê È n! = 1 Ç 2 Ç 3 Ç ... Ç n, 0! = 1Ê


É
É È É É É É ÄÍÅ É ÄÎÅ É ÄÏÅ Ê?
z = -n



(z ) =
0

e

-y z -1

y

dy .

Re z > 0È Ê Ê Ê

zÈ

(n + 1) = n! = n(n - 1)!.

ÄÍÅ

È

É

(z + 1) = z (z ).

ÄÏÅ

É

È Ê?

z =- n

res (z ) = lim (z + n)
z -n

(-1)n (z + n + 1) = . ÄÅ z (z + 1)...(z + n - 1)(z + n) n!



Ê

É


s>0
-z y s-1 -s

e
0

y

dy = z

(s).

ÄÅ

z

È

È

Ê?

É

z

ÎÏ




cos(xy )y
0

s-1

dy =

(s) s co s , xs 2



sin(xy )y
0

s-1

dy =

(s) s sin . Ä Å xs 2

ÎÊ  É

É È

Ê É
1

È

É

É

B (x, y ) =
0

t

x -1

(1 - t)y

-1

dt.

ÄÅ

1

1

B (x, x) =
0

[t(1 - t)]
1

x -1

dt =
0 -1

1 - (1 - 2t)2 4
1-2x

x -1

dt =

=2

2(1-x) 0

(1 - u2 )x

du = 2

B (1/2, x).

ÄÅ



É
B (x, y ) = (x)(y ) . (x + y )

É ÄÅ





(x)(y ) = 4
0 /2

e

-t2 2x-1

t

dt
0

e

-u2 2y -1

u

du =

2x-1

= 4 d cos
0

sin2y-1 e
0

-2 2(x+y )-1



d = B (x, y )(x + y ).ÄÍÌÅ

t = cos , u = sin ; =

v , cos2 = wÊ

Î


ÏÊ 0<<1

È
1

Ê?

B (, 1 - ) = () (1 - ) =

0

x-1 (1 - x)- dx.

ÄÍÍÅ È

È È
x = -z

È

È

[-1, 0]Ê

ÄÍÍÅÈ

É É

z z È ÄÍÎÅ

-1

(1 + z )- dz = 2 i.

ÄÍÎÅ
1/z È [-1, 0]


2 iÊ z = -1

Ê È

É É É É

Ê

Ê
0

È exp (Á i( - 1))Ê È È ÄÍÎÅ
-1

z > 0È É

e
-1

i (-1)

|z |

-1

(1 + z )

-

dz +
0

e

- i (-1)

|z |-1 (1 + z )- dz . ÄÍÏÅ

z = -x

È
() (1 - ) =





È

É ÄÍ Å É É

. sin (0, 1)È

? Ê Î


È
22z-1 (2 z ) = (z )(z + 1/2)



ÄÅ

Ä ÅÈ ÄÍ Å

Ï
(3 z ) = 3

zÊ 
3z -1/2



É

2

(z )(z + 1/3)(z + 2/3).

ÄÍ Å É É É

Ê

É Ê (1 + n + iÅ) = R (1 + n, Å) + iI(1 + n, Å)Ê (1 + iÅ)È ÄÏÅÈ

R (1+n, Å) = nR (n, Å)-ÅI (n, Å), I (1+n, Å) = nI (n, Å) + ÅR (n, Å). ÄÍ Å ÅÊ Å 3.2 ÊÏÎÍÊÍ È É


R (1, Å) =
n=1

(-1)n an Å2n , I (1, Å) = -Å

n=1

(-1)n bn Å2n .

ÄÍ Å ÏÍÊ É
ç

?

ÍÌ È

an b n È a0 = 1, b0 = E = 0.5772 Å > 3.2
2 Åe
- Å/2

Ê ÊÏÎ iÅÊ ?

Ê

(1 + iÅ) =

cos Å ln (-1)m Å2m

ç 1-

m =0

Å Å + i sin Å ln + + e4 e4 cm dm . +i Å2 Å

ÄÍ Å Ê ÏÍÊ È ÄÎÌÅ

?




c
m

dm

m = 1(1)9



Ê ÊÏ

ln (1 + iÅ) = rR (Å) + irI (Å),

Î


1 + Å(ln Å - 1) - 4 2Å  Ê

n=0

Å 1 ln(2 Å) - È 2 2 n B2n+2 (-1) Ê (n + 1)(2n + 1) Å2n rR (Å) =

rI (Å) = B2n+
2

Ê
Å sh( Å)

È
- Å/2

È

É

e

r

R

=

2 Åe

,

ÄÎÍÅ

È

ÄÍ ÅÊ
Å sh( Å)
n

É Å = 3.2 É

(1 + n + iÅ)(1 + n - iÅ) =

(k 2 + Å2 ).
k =1

ÄÎÎÅ

Ä ÊÏÎ

Ê

È
z

Ê

|z | 1

Å

z (z+1) = 2 z e

1+

1 139 571 1 - - + ... . ÄÎÏÅ + 2 3 12z 288z 51840z 2488320z 4

Ê
ÍÊ 
z
2




É È

Ê? 

Ê Ê



w

Ê

dw d2 w +z + (z 2 - 2 )w = 0, 2 dz dz Èz Ä

ÄÎ Å È Ê Å

Î





È
z 2
+2 m



É

J (z ) =
m =0

(-1)m m!( + 1 + m)

.

ÄÎ Å ÄÎ Å zÊ Ä Ê

(x)

È 

ÈÊÊ

É 

Ê Ê


È  

J (z )

J- (z )È

É É É ÅÊ É É ÄÎ Å

Y (z ) =

J (z ) cos ( ) - J- (z ) , sin ( )

ÎÊ
z z
2

? i zÈ Ê

Ê  ÄÎ Å ÄÎ Å Ê ÅÊ È
+2 m

d2 w dw +z - (z 2 + 2 )w = 0, dz 2 dz

Ä È   Ä

È Å





É É É



I (z ) = e

- i /2

J (e

i /2

z) =
m =0

1 z m!( + 1 + m) 2

.

ÄÎ Å

?



È
K (z ) =



I- (z )Ê 

É ÄÎ Å

I- (z ) - I (z ) . 2 sin ( )

Î




ÏÊ
Jn (z ) È


Ê
J-n (z ) (-1)m (z /2)-n+2 m = m!(-n + 1 + m)
+n m =n

=n

È

Ê

É

J-n (z ) =
m =0

(-1)m (z /2)-n+2 m = m!(-n + 1 + m) = (-1)n Jn (z ).

=

m =0

(-1)m

1 z (n + m)! m! 2

n+2 m

ÄÏÌÅ È

È



É
m

È
n + mÊ In (z )Ê

Ê

Ê È È
n

È Ê Ê Ê ?

? ÄÎ Å ÄÎ Å


É É Ê
.
=n

Yn (z ) = lim

J- (z ) J (z ) cos ( ) - J- (z ) 1 J (z ) = - (-1)n sin ( )

?
Kn (z ) = + (-1) 2
n l= 0

ÄÏÍÅ

(-1)n I- (z ) I (z ) - 2 (z /2) l!(n + l)!
n+2l l



z = (-1)n+1 In (z ) ln + E + ÄÏÎÅ 2 =n
n-1

k =1

1 + k

n+l

k =1

1 1 + k 2

l= 0

(-1)l

z 2

2l-n

(n - l - 1)! . l!

Ê
1 Jn (z ) = e 2
0 2

Ê Ê

 È

É É

iz sin -in

1 d = 2m

=0

(z /2)m (ei - e m!
0

2

-i m -in

)e

d =

Î


1 = 2 = 1 2
0

m =0

1z m! 2


mm k =0

(-1)k m! k !(m - k )!

2

e
0

i(m-k-k-n)

d =

ÄÏÏÅ

(-1)k k!

m =k

(z /2)m 2 (m - k )!

m 2k+n

=
k =0

(-1)k

(z /2)n+2k . k !(n + k )!

?

Jn (z )

Ê È

z

È È ÄÏÏÅ É

1 Jn (z ) =



0

cos(n - z sin )d.

ÄÏ Å


1 In (z ) =



e
0

z cos

cos n d,

ÄÏ Å ÄÎ Å
z co s

ÄÏÏÅ = - /2 ? È


Ê

É É É

1 1 z J (z ) = ( + 1/2) 2 1 z 1 I (z ) = ( + 1/2) 2



e
0

i z cos

sin2 d,

ÄÏ Å



e
0

z cos

sin2 d.

ÄÏ Å È É



È

ÄÏÏÅ



Ê

ÎÌ


z Jn (z ) = 2 n



e

in-iz sin

cos d,

Jn

-

i (z ) = - 2



e

in-iz sin

sin d.

-




ÄÏ Å É

K (z ) =
0

e

-z ch t

(z /2) ch( t)dt = ( + 1/2)



e
0

-z ch t

sh2 tdt.

ÄÏ Å É É Ä ÌÅ Ä ÍÅ

Ê

Ê



z [J

-1

(z ) + J

+1

(z )] = 2 J (z ), (z ) = 2
J

J

-1

(z ) - J

+1

(z ).

?

È


z [K -1 (z ) - K +1 (z )] = -2 K (z ), K -1 (z ) + K +1 (z ) = -2 K (z ).



Ê Ä ÎÅ Ä ÏÅ É É Ä Å



Ê? Ê

È







Ê? Ê ÄÎ Å ei z
-i

z
i

K (ei z ) =

e 2

I- (z ) - e sin( ) K


I (z )

.

ÄÎ Å

ÄÅ
I (z ) =

I 1 [K (z )e i

-i

- K (z ei )].

Ä

Å


J (z ) =


i [e
i /2


K (e
i /2

z) - e

- i /2

K (e

- i /2

z )].

Ä

Å

ÎÍ


Ê
z0

Ê
J (z ) I (z ) z 1 ( + 1) 2


ÄÎ Å
.

ÄÎ Å Ä È Ä > 0 Å

È Å



Ê

È

Ê



É Ä Å

K (z )

I- (z ) ( )2 2 sin( ) z Ê

-1 -

z

.

ÄÏÎÅÊ Ê u = z (ch t - 1), ch t = 1 + u/z , sh2 t = ÄÏ ÅÈ (2/z )u(1 + u/2z ), z sh tdt = du
K (z ) = e 2z e -z 2z ( + 1/2)
-z 0

Ê?



e
0

-u -1/2

u

1+

u 2z

-1/2

dt =



=

due e 2z

-u -1/2

u

n=0 -z n=0

un = (2z n!( + 1/2 - n) )n

=

( + 1/2 + n) . (2z )n n!( + 1/2 - n) K
z n=0

Ä

Å

ÄÅ

È Ä ÅÊ

È


e 2z





I (z )

1 i K (ei z )

(-1)n ( + 1/2 + n) . (2z )n n! ( + 1/2 - n)

Ä ÌÅ

È
J (z )




n=0

2 co s z - - z 2 4

(-1)n ( + 1/2 + 2n) - (2z )2n (2n)! ( + 1/2 - 2n)

ÎÎ


- sin z -

- 2 4

n=0

(-1)n ( + 3/2 + 2n) . Ä ÍÅ (2z )2n+1 (2n + 1)! ( - 1/2 - 2n)

? Ê Ê ?Ê ?Ê Ä ÊÈ ? Ê

È

È

Ê Ê 

É Ê É É Ê

Ê

ÍÈ ? Ê È ÎÎÅÈ

Ê

È

È

? Ä ÎÅ

w (z ) Á u2 (z )w(z ) = 0 ex p Á i

w(z ) =

1

u(z )dz u(z )dz

+, -. z

|u(z )| exp Á

Ä ÏÅ



z = ey Ê

ÄÎ Å

y

d2 J - 2 (1 - e dy 2

2y

)J = 0. y 0Ê

Ä

Å

 Å
0 0

È

Ê?

z È



?

v+ =
y

udy =
y

1-e

2y

dy =

1 1+u ln - u, 2 1-u

Ä

Å

u=

1-e

2y

=

1 - z 2 / 2 , z =

1 - u2 .

Ä

Å

ÎÏ


Ä
J (z ) = u
-1/2

Å
v+

?
+ C2 e
- v+

(C1 e

).

Ä

Å



C1

C2 Ä ÅÊ

Ê
J (z ) z 2


È z0 u 1 - z 2 /2 2 1È 2 1 4 2 -1 v+ ln 2 - 1 = ln 2 z z
z 1 ( + 1) 2


1 2

e



.

Ä

Å É

È

ÄÅ

ÄÅ
J (z ) = z > Ê

È

C1 = 0, C2 = 1/ 2 Ê
- v+

1 e 2 u

.
2y

Ä È
-1 =

Å

v
y y

y 0, u = Ä ÅÈ

e

z 2 / 2 - 1Ê É

v- =
0

udy =
0

e

2y

- 1dy = u - arctg u.

Ä ÌÅ


J (z ) = u z /, v- z / - /2È J (z )
-1/2

[C1 cos( v ) + C2 sin( v- )]. z È .

Ä ÍÅ
u

C1 cos z - + C2 sin z - z 2 2

Ä ÎÅ

Ä ÍÅ
J (z ) C1 = C2 = 1/ Ê 2 . co s z - - z 2 4

Ä ÏÅ

Î


Ê?
|z 2 / 2 - 1| J (z ) =

u=

ÍÌÊ ?

1 1+u v+ = ln e- v+ , - u, z 1 2 1-u 2 u 2 cos v- - , v- = u - arctg u, z 4 Ä u È ? È vÈ Ê È È Ê

, .

Å È

È

Ê
z È

ÄÎ Å

È Ä

z Ê



Å Ä

É Å

1 J (z ) = F (vÁ ). u

ud dvÁ du d d = . = dz du dz dvÁ z dvÁ

Ä

Å

z

1u -1 z dJ (z ) =z F F 3/2 2 u dz uz 2u



=Á

z
2

2 5/2

2 u

F - uF



.Ä

Å É

ÄÎ Å

z

dJ (z ) Áz z2 z 2 -5 1 z u d z = z 2 5/2 F Á 2 F Á 2 5/2 F + 7/2 2 u dz dz 2 2 u z u 2 u z2 1 z u 5 z4 1 = u3/2 F + Á 2 5/2 + 4 9/2 F. Ä Å F + uF z 4 u 2 u 2u u


F 2 F = - z2 4 2 u
6

F 5 z2 Á 4u 2
2

=-

1 u2 u 4

-6

(5 u2 )F.

Ä

Å

Î


vÁ u3 /3Ê

Ä
F 2 F +

Å

Ê?

uÈ

É È

5 -2 v F = 0. 36 Á

Ä ÌÅ Ä ÅÈ È Ä ÍÅ

È
vÊ F (vÁ ) =

È Ä ÌÅ
vÁ G( vÁ ).


z 2 G (z ) + z G (z ) - (1/9 Á z 2 )G(z ) = 0,

Ä ÎÅ

ÊÊ



ÍËÏÊ ÄÅ È K1/3 Ê J1/3 J-1/3 Ê

 È


v+

È
G



?

v+ K1/3 ( v+ ), z , 1 J (z ) = v- u [J ( v ) + J - 1/3 -1/3 ( v- )], z . 3 z= J ( ) = 1 (1/3)2
-2/3 -1/6 -1/3

Ä ÏÅ

3



=

21/3 3 (2/3)

-2/3 -1/3



.

Ä

Å É

?

Ê


J (z ) - J z

É Ä ÍÅ 
J (z ) È

Ä ÌÅ

Ä ÍÅ
J (z ) =

É É Ä Å

+1

(z ) = J

-1

(z ) -

J (z ). z

Î


Ê Ê È

z



É È
vÁ È

1/(3 vÁ )Ê


É

É É


J

1 u v+ K2/3 ( v+ ), z , z (z ) = 1 u v- [J-2/3 ( v- ) - J2/3 ( v- )], z . 3z z= 1 3

Ä

Å



J ( ) =

1/6 -1/3 -2/3

2



(2/3) = 3

-1/3 2/3 -2/3

2



/(1/3).

Ä

Å É É É

Ê Ê

ÌÊ ? ÎËÏ  È Ê  È Ì

È

ÍËÏ ÏÍÊ

ÍÈ

É

ÍÍÊ ?
ÅÊ

Ê

È

KiÅ (z )Ê


z z Å

Ê É

zÈ È

ÄÎ Å
I-iÅ (z ) - IiÅ (z ) . 2 i sh( Å)





É

KiÅ (z ) =

Ä

Å

Î


ÄÎÎÅ
zÈ KiÅ (z ) z < Å < 10Ê É

ÄÎ Å

IÁiÅ (z )

È

É

Ê

É É É

?Ê


ÄÏ Å
cos(Åt)dt, KiÅ (z ) = -

KiÅ (z ) =
0

e

-z ch t

ch te
0

-z ch t

cos(Åt)dt. Ä

Å É É

?

J (z )Ê KiÅ (z )

Å

È

z 2 KiÅ (z ) + z KiÅ (z ) - (z 2 - Å2 )KiÅ (z ) = 0.

Ä ÌÅ É Ä ÍÅ

Ä ÌÅ

z = Åey , y = ln(z /Å)Ê d2 KiÅ + Å2 (1 - e2y )K dy 2

iÅ

= 0.


u Å2 v zÅ K

Å
vÈ zÅ

Ê

zÅ

? Ê z ÅÊ ? È Ê Ê

Ä

Å

2È

Ä ÍÅ É

zÅ È

Ê ?
-1/2

iÅ

=u

[C1 e

iÅv+

+ C2 e zÊ

-iÅv+

],

Ä ÎÅ É É

È
K
iÅ

È
z 0È C1 e
-iÅ

z 2Å

-iÅ

+ C2 e

iÅ

z 2Å

iÅ

.

Ä ÏÅ

Î







- Å

È

É É

KiÅ (z ) ie

(z /2)iÅ (z /2)-iÅ . - (1 + iÅ) (1 - iÅ) Å Å

Ä

Å É É

Ê



È

É



(1 + iÅ) = iÅ(iÅ) iÅ exp iÅ ln(iÅ) - iÅ - =

ln(iÅ) ln(2 ) + 2 2

=

2 Å exp(- Å/2 + i(Å ln Å - Å + /4)).

Ä
Å1 .Ä

Å

Ä
KiÅ (z ) e 2Å
- Å/2

ÅÈ
e
iÅ+i /4

z1 + z 2Å
-iÅ

z 2Å

iÅ

e

-iÅ-i /4

Å

ÄÅ
C1 =

ÄÅ
e 2Å
- Å/2-i /4

, C2 =

e 2Å

- Å/2+i /4

.

Ä

Å

?
K
iÅ

Ä ÎÅÈ z<Å
= 2 e Åu
- Å/2

cos(Åv+ - /4).

Ä

Å

z ÅÊ K
iÅ

?
(C1 e
Åv-

=u

-1/2

+ C2 e

-Åv-

).

Ä Ä

Å É

z È Å
KiÅ (z ) 2z
1/2



e

-z

.

Ä ÌÅ

Î


z K
iÅ

u z /Å 1, v- u - /2 = z /Å - /2È (Å/z )1/2 (C1 e
z - Å/2

+ C2 e
1/2

-z + Å/2

).

Ä ÍÅ



C1 = 0,

C2 =

2Å

e

- Å/2

Ä ÎÅ
z > ÅÈ

È
2Åu

?
1/2

KiÅ (z ) =

e

- Å/2 -Åv-

e

.

Ä ÏÅ É



È
KiÅ (z ) = W x2 W (x) + xW (x) -


ÅvÁ W (ÅvÁ ). u

Ê Ä

Å

1 1 W (x) = 0. 9

Ä

Å É É

? È
Á1/3

Ä Ä ÎÅ Ä
W = AJ1/3 (Åv+ ) + B J-

Å

uÊ

Ê z<Å

Å
1/3


(Åv+ ).

É Ä Å


KiÅ v+ u

? È
1/2



uÈ

È v+

Ê

2 + B sin Åv+ + - A cos Åv+ - - Åv+ 64 64

.

Ä ÎÌ

Å


?  Ä ÏÅÈ
A=B= e 3 z>Å
- Å/2

É Ä Å É É

.



Ä ÏÅÊ È u z /Å, v- uÊ Ä ÏÅÊ È

ÄÅ ÍËÏÊ
K (Åv- )È


u


z ÅÈ ÄÅ

1/3

1/2 e-Å/2 v+ [J1/3 (Åv+ ) + J- u 3 KiÅ (z ) -Å/2 v- 1/2 e K1/3 (Åv- ), u z=Å È È

1/3

(Åv+ )],

z Å, z Å.



ÄÅ Ê É u 0, v u3 /3 0È
Å (1/3) . 22/3 31/6

KiÅ (Å) =

e (2/3)

- Å/2 -1/3

Å

2 3

1/3 2/3

=e

- Å/2 -1/3

ÄÍÌÌÅ

Å e-Å/2 (uv+ )1/2 [J2/3 (Åv+ ) - J- z 3 KiÅ (z ) - e-Å/2 Å (uv- )1/2 K (Åv- ), 2/3 z

2/3

(Åv+ )], z Å, z Å.



ÄÍÌÍÅ

KiÅ (Å) = -

e-Å/2 2 (1/3) Å2/3 3

2/3 1/3

=-

e

- Å/2

Å2/

3

(2/3)

31/6 . 21/3

ÄÍÌÎÅ

È

È ÌÊ ÌÊ

È

È

Ê
KiÅ (z )

É É

ÎÍ


 

ÍÎÊ


zÈ

  Ê
zÊ



Ê

È



JÅ (z ) J (z ) =


m,n=0

(-1)m

+n

(z /)Å+ +2 m+2 n = m!n!(Å + 1 + m) ( + 1 + m)

=
r =0

(-1)r (-1)r

z 2 z 2

Å+ +2 r r m =0 Å+ +2 r

1 = m!(r- m)!(Å + 1 + m) ( + 1 + r - m)

=
r =0

(Å + + 1 + 2 r) . ÄÍÌÏÅ r!(Å + 1 + r) ( + 1 + r) (Å + + 1 + r)

r m =0

=

F (-r,-r - ; Å + 1; 1) (Å + + 1 + 2 r) = . r!( + 1 + r)(Å + 1) r!(Å + 1 + r) (Å + 1 + r) (Å + + 1 + r)

1 = m!(r - m)!(Å + 1 + m)( + 1 + r - m)

ÄÍÌ Å

Ä

Ê Ï

ÊÍÎÎÅ
F (a, b; c; 1) =


(c)(c - b - a) . (c - a)(c - b)

Í

É

ÄÍÌ Å

ÍÏÊ Ê
1

È
y

Ê

É

É

1 - t2 2 J (y t)dt = t
0

J2 (2y )dy



0

1 1 - y y

.

ÄÍÌ Å

ÄÍÌÏÅ

Å = È

É ÎÎ

tÈ




È
1

Ê?
(2 + 1 + 2 r)t2 +2r = r!2 ( + 1 + r)(2 + 1 + r)

É

1 - t2 dt t


r =0

0

(-1)r

y 2

2 +2r

=
r=

y (-1) 2 0
r

2 +2r

(2 + 1 + 2 r) ( + r) = r! 2 ( + 1 + r) (2 + 1 + r) 2 ( + r + 3/2) 1/2 = ÄÍÌ Å r!(2 + 1 + r)( + r)( + r + 1/2) 1 1 - + r + r + 1/2 .

=
r =0

(-1)r y

2 +2r

=
r =0

(-1)r y

2 +2r

1 r!(2 + 1 + r)

?
1 y

ÄÍÌ ÅÊ
J2 (2y )dy - y
2 2 0 y

0

1 1 tdt 2 J (y t) = J2 (2y ) + 2 y y 1-t

J2 (2y )

dy . y

0

È ÄÍÌÏÅÊ
J (z ) = 2

Ä ÍÅ

ÄÍÌ Å É

=

1 4

r =0

(-1)r r!

12 2 [J (z ) + J +1 (z ) - 2J -1 (z )J +1 (z )] = ÄÍÌ Å 4 -1 (2 - 1 + 2r)4/z 2 (2 + 3 + 2r)z 2 /4 +2 - 2 ( + r)(2 - 1 + r) ( + 2 + r)(2 + 3 + r) z 2
2 +2r

-2


(2 + 1 + 2r) ( + r)( + 2 + r)(2 + 1 + r)

= .

=
r =0

(-1)r

(2 - 1 + 2r)c(Å, r) r!( + r)( + 1 + r)(2 + 1 + r)

z 2

2 +2r -2

c(Å, r) = [( + r)2 ( + r - 1) + 2 /2]Ê z = yt È
r =0

(-1)r

(2 - 1 + 2r) y r!(2 + 1 + r) 2

2 +2r -2

c(Å, r) = ( + 1 + r) 2( + r + 1/2)

ÄÍÌ Å

ÄÍÌ Å

ÎÏ


1 = 2

r =0

(-1)r

( + r)2 c(Å, r) y r!(2 + 1 + r)

2 +2r -2

( + r - 1/2)( + r) = ( + r + 1)( + r + 1/2)

=
r =0

(-1)r y 2 +2r-2 r(2 + r) 2 +r- . ÄÍÍÌÅ - r!(2 + 1 + r) 2 + 2r - 1 2 + 2r

ÄÍÌ ÅÊ Í Ê È É


Ê
lk J2l (2l ), | | < 1. l
(n)

Jk n ( ) =

ÄÍÍÍÅ

l= 1






ÄÏÏÅ


Jl ( l)È


l= -

1 Jl ( l) = 2

d
l= -

e

il( sin -)

1 = 2

d sin

sin - 2

.

-

-

ÄÍÍÎÅ



e
l= -

il

= sin

2

,

ÄÍÍÏÅ







e
l= -

il

= lim

q1-0

q | l| e
l= -

il

= lim

q1-0

ql e
l= 0

il

+ ql e

-i l

-1 =

= lim

1 1 1 - q2 + - 1 = lim = q1-0 1 - q ei q1-0 1 + q 2 - 2q cos 1 - q e-i (1 - q )/2 q 1+q s = lim = lim 2 . ÄÍÍ Å q1-0 2 q [(1 - q )/2 q ]2 + sin2 /2 s+0 s + sin2 /2

ÄÍÍÏÅÊ Î


?

É < 1È
[- , ]È 1- 2 É



cos

= 0È
sin - 1- cos 2 2

= 0Ê ((x)) = (x - x0 )/| (x0 )|

Jl ( l) =
l= -

1 1 + = 2 + 2, = 2 1- 1- 1 - 2 1 1-
2

ÄÍÍ Å



=

Ê
lÊ È lÅÈ

È Ê Ä

É É

Ê?


J2l
l= 0

+1

((2l + 1) ) =

2 , J0 0 ( ) = 2



l= 1




1 22 J2l (2l ) = ( 2 - 1) = . 2 2 ÄÍÍ Å È
l2 J2l (2l ) = l= 1

J1 1 ( ) =

lJ2l (2l ) = l= 1

4 , J2 2 ( ) = 2

È



1 + 3 2 6 . 4 ÄÍÍ Å ÄÎ ÅÈ

4l2 2 J2l (2l ) + 2l J2l (2l ) + 4l2 (1 - 2 )J2l (2l ) = 0,

ÄÍÍ Å

l


ÄÍÍ ÅÈ
l2 J2l (2l ) = 1 + 2 2 8 . 2

J2 0 ( ) =

ÄÍÍ Å 

l= 1

Ê Î








ÄÏÏÅÊ
2

Ê?

È

É É

Jl2

1 (z ) = 8

2

d d exp i 2z sin

- -2

- + co s - l( + ) 2 2 = - Ê È È
/2

.

l
2 -

= ( + )/2

ÄÍÎÌÅ

Jl2

1 (z ) = 4

d
-

d e

i(2z cos sin -2l )

2 =
0

d J2l (2z cos ).

= lÊ

È



È

È

È

ÄÍÌÏÅ ÄÍÎÍÅÈ Ê?

ÄÍÎÍÅ Å=

Jl

i (z ) = 2



sin e
-

i(z sin -l)

d.

ÄÍÎÎÅ

Jl 2

1 (z ) = 8


2 -

2

d
-2

d exp i 2z sin


+ 2


co s

- - 2 ç

d - l( + ) [cos( + ) - cos( - )] = e 4 2
- -

i[2z sin cos -2l ]

ç [cos 2 cos 2 ]d = -

2 d [sin2 J2l (2z cos ) + J2l (2z cos )].ÄÍÎÏÅ
0

È

ÄÎ Å Î

= lÊ

É


lÊ
/2



ÄÍÎÍÅ
/2

É

l
l= 1

22 Jl

2 2 cos2 d 2 d J2 0 ( cos ) = [1+ 2 cos2 ] = (l ) = (1- 2 cos2 )4
0 0

/2

=

2
0

d =

1 3 2 = - + (1 - 2 cos2 )2 (1 - 2 cos2 )3 (1 - 2 cos2 )4 2 (4 + 2 ) 7 2 [V2 ( ) - 3V3 ( ) + 2V4 ( ] = . 16

ÄÍÎ Å

ÄÍÎÏÅ
/2

l
l= 1

2 2 Jl

2 (l ) =
0

d [sin2 J2 0 ( cos ) + J2 2 ( cos )] =

/2

= =

2
0

d

sin2 1 + 2 cos2 2 1 1 + 3 2 cos2 cos2 + = 2 (1 - 2 cos2 )4 4 (1 - 2 cos2 )3

3 2 V1 ( )-3V2 ( )+2V3 ( ) V2 ( )-3V3 ( )+2V4 ( ) + +V3 ( )- V2 ( ) .ÄÍÎ Å 2 2 2 2 2 4


l2 Jl 2 (l ) =
l= 1

4 + 3 2 5 . 16

ÄÍÎ Å É È É È É É

ÍÊ  Ê ÎÊ Ê Ê Ê


Ê? ÏÊ

ÄÍÎ Å

ÄÍÎ ÅÈ Ê

Ê ÎÊÍ ÊÎÊÎÊÈ ÍÊÍ ÊÏÏÊÎÊ
Å-2


Å- 2

xÅ-1 K (x)dx = 2
0



Å+ 2



,

ÄÍÎ Å

Î


2 xÅ-1 K (x)dx = 0

2Å-3 (Å)

2

Å Å Å + - , ÄÍÎ Å 2 2 2
2

d 2 -2 = ch ( )

. 2

ÄÍÎ Å È

0



~ A3/

21/2

(Å) =
21/2

=x
0

Å-1

A3/

(x)dx = dx K 3
0



5/3

(x)

xÅ-1 xÅ-2 K Å-1

2/3

(x) = =

2Å-2 3Å + 5 3Å - 5 3Å - 1 3Å - 5 = 2Å-3 Å-1 6 6 6 6 3 3Å - 5 3Å - 1 Å - 1/3 1 . = 2Å-3 6 6 Å-1 3

ÄÍÏÌÅ É





~ A1 (Å) = 2


d2 (1 + 2 )
0 0

xÅ-1 dxK
2 -Å

2 1/3

x (1 + 2 )3/ 2

2

=

= 2 d2 (1 + 2)
0

2Å-3 (1 + 2)3/ (Å) 2 3Å + 2 6




2

3Å + 2 3Å - 2 Å = 2 6 6


22Å-2 = (Å)

2

Å 2




3Å - 2 6

2 d ,ÄÍÏÍÅ (1 + 2 )3Å/2-1

0

~ A2 (Å) = 2


d(1 + )
0 Å-3

22 0

xÅ-1 dxK
-Å

2 2/3

x (1 + 2 )3/ 2

2

=

= 2 d(1 + 2 )2
0

(1 + ) 2 (Å) 2 Å 2

2 3/2



2

3Å + 4 3Å - 4 Å = 2 6 6


22Å-2 = (Å)

2

3Å + 4 6



3Å - 4 6

d .ÄÍÏÎÅ (1 + 2 )3Å/2-2

0

Î





= sh


É
3Å - 5 2

0

2 d = (1 + 2 )3Å/2-1
2

0

ch2 - 1 23Å-7 d = 3Å-3 (3Å - 5) ch = 23Å-7 (3Å - 5) =
2

2

-

23Å-5 - (3Å - 3)


3Å - 3 2


3Å - 5 2
2

1 ,ÄÍÏÏÅ 3Å - 4 3Å - 5 2 . ÄÍÏ Å

0

d = (1 + 2 )3Å/2-2

d ch
3Å-3

0

23Å-7 (3Å - 5)

È
3Å - 5 ~ A1 (Å) = 2Å-2 6 3 Å 25Å-9 2 2 3Å + 4 = (Å)(3Å - 5) 6 3Å - 5 ~ A2 (Å) = 2Å-2 6 3 Å 25Å-9 2 3Å + 2 2 = (Å)(3Å - 5)(3Å - 4) 6 3Å - 1 6 1/3 = Å-1

3Å - 5 3Å - 4 2 , 6 2 3Å - 1 Å - 2/3 = 6 Å-1 3Å - 2 6
2

ÄÍÏ Å

3Å - 5 2

. ÄÍÏ Å



ÄÍ Å

ÄÍ ÅÊ ?



ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å

É É Å > 5/3Ê

?Ê
ÍÊ Ê


Ê
1

Ê?

É

Im n ( ) =
0

sin cosm d = (1 - cos )n

-1

m d . (1 - )n

ÄÍÏ Å

Î


É
Im n ( ) = Im
-1 n

( ) - Im È

-1 n-1

( )

, Im n ( ) = n Im

+1 n+1

( ).

ÄÍÏ Å
È É

È È
I0 4 =



Ê I0 2 = 2 2 È I0 3 = 2 4 È

2 (3 + 2 ) 6 , I0 5 = 2(1 + 2 3 8 I1 3 = 2 4 , I1 4 = 6 , 3 2 2 I2 4 = (1 + 3 2 ) 6 , I2 5 = (1 + 3 3 4 I1 6 = (5 + 3 2 ) 10 , I2 6 = 5 Ê = 1 1-
2

2 ) 8 , I0 6 = (5 + 10 2 + 4 ) 10 , 5 2 ÄÍÏ Å I1 5 = (5 + 2 ) 8 , 3 5 2 ) 8 , I3 5 = 2 (1 + 2 ) 8 , 2 (5 + 38 2 + 5 4 ) 10 . 15 È d = 3. d

È ÄÍ ÌÅ

,

I0 5 - I2 5 = 4 6 /3, I1 5 - I3 5 = 4 6 /3.

ÄÍ ÍÅ

Ê


1

In,m ( ) =
0

2m d . (1 - 2 2 )n

ÄÍ ÎÅ É

?
In, In,m = = In,
m-1

m



2(n-1)

- In-1,m-1 , In,m ( ) = 2 nIn+1,m+1 ( ), ÄÍ ÏÅ 2 2(n-1) + (2n - 3)In-1,0 - (2m - 1)In-1,m-1 , In,0 = . 2 2(n - 1) 2(n - 1) ÄÍ Å

ÎÌ


É
I0,m = I2,
0

1 , I1,0 = 2m + 1 12 = + I1,0 2 1 I2,2 = 2 4 Un ( )Ê

1 1+ I1,0 - 1 , ln , I1,1 = 2 1 - 2 1 , I2,1 = 2 - I1,0 , 2 2 2 + 2 - 3I1,
0

ÄÍ ÄÍ ÄÍ

Å Å Å

.

ÎÊ



Un ( ) =
0

d . (1 - cos )n U ( ), nn

ÄÍ

Å

?
U

È
n+1

( ) = Un ( ) +

n 1.

ÄÍ

Å

U0 ( ) = , U1 ( ) = , U2 ( ) = 3 È 3 U3 ( ) = (2+ 2 ) 5 , U4 ( ) = (2+3 2 ) 7 , U5 ( ) = 1 + 3 2 + 2 2 8
4

7.

ÏÊ
/2

Vn ( )Ê

È
/2

ÄÍ ÌÅ É

Vn ( ) =
0

d = (1 - 2 cos2 )n


0

d = [1 - 2 (1 + cos 2)/2]n U
n

=

1 2(1 - 2 /2)n

0

2 d 1 - 2 = . ÄÍ ÍÅ 2 cos2 /(2 - 2 ))n (1 - 2(1 - 2/2)n

? 1/ 1 - 2 Ê

ÄÍ ÌÅ ÄÍ
Vn+1 ( ) = Vn ( ) + V ( ). 2n n

=

Å

É ÄÍ ÎÅ

ÎÍ


V1 ( ) = /2È V2 ( ) =

V0 ( ) = /2È (2 - 2 ) 3 , V3 ( ) = (8 - 8 2 + 3 4 ) 5 , 4 16 (16 - 24 2 + 18 4 - 5 6 ) 7 . V4 ( ) = 32

ÄÍ ÏÅ ÄÍ Å

Ê


Ip

mn

=
0

v m dv . (1 + v p )n

ÄÍ

Å

É
Ip
mn

y = 1/(1 + v p ) m+1 . p ÄÍ Å

1 1 m+1 m+1 m+1 = B n- = , n- p p p p(n) p



Ê


Ê
Vn (x) = d , (ch - x)n |x| < 1,

ÄÍ

Å É

-

n x


È

-

d 2 = ch - x 1 - x2 x = 1/

+ arcsin x , 2

ÄÍ

Å É

= ln(x + 1 - x2 u)Ê ? 1 + arcsin 2



-

3 2 + 2 d =2 +2 ( ch - 1)3 ( - 1)2 ( - 1)5/

2

.

ÄÍ

Å


? Ê

È È Ê? É È Ê È

È

É É É É É È È È Ê Ä Ê Ê È É É É É ÅÊ ? É É É Ê ÑÞÈ È É É É

È

? Ê È

È

È Þ È Ê

È È Ê È ÌÈ ? Ê È



Ê È È Ê

È

È

É É



È ÎÏ


È

È Ê È È Ê?

Ê È È È È È Ê? ?Ê Ê Ê Ê È È



È È ÊÊ

È

É É É Ê? É

?

Ê È È É

Ê È È È Ê È

É



? ÊÊ



É É É

È

É

ÎÊÎÌÌ ÊÎ



Ì ÉÌÎÉÍ Ì

Ê


Í ? Î ? Ï    Í

Ê ?ÊÈ È

Ê Î È Ö ÍÈ ÍÍ

?Ê ?ÊÈ ÍÏÍÊ ?Ê Ê

?Ê Ê

ËË ? Ê

É ÊÈ É Ê É É

?Ê ÊÈ  È ÎÌÌÎÈ Í Ê ÊÈ È Ê ÑÈ Í ÏÈ Î Ê ÑÞÊ Ê ?Ê ÊÈ È È ÎÌÌ È ÎÌ Ê ÊÈ Ê ?Ê Ê Ê ?Ê ÊÈ È Ê Ê Ê ÊÈ Ê ?Ê ? Ê ÑÑÈ Í

ÈÎ Ê ÊÈ

Ê Ê

ÊÈ ÊÊ Ê ÈÍ ÊÈ

Ê

ÊÈ ÍÈ Ï

  Í  ËË  ÍÌ ÍÍ ÍÎ Í ÍÏ Ê ÈÍ

ÈÍ

ÌÈ

ÎÊ Ê ÊÈ È

È

Ê ÊÍ Ê Ê Í Ê Ö ÍÊ ÊÍ ÎÊ È Ê ÊÈ ÈÍ Ê È ÈÎ ÊÈ Ê É É Ê É Ê É Ê

Ê

Ê ÊÈ Ê ÊÈ ÈÎ ?Ê ÊÈ Ê ÊÖ Ê Ê Ï Ê ?Ê ? ?Ê ?ÊÊ Ê

ÊÊ È ÍÍÌ Ê

Ê ?Ê Ê ËË ?Ê ÊÍ ËË ÎÊ Ê ÎÊ Ö Ê Ê ?Ê  Ê ÊÊ É Ê ÊÈ Ê ÍÎÍ Ê ÊÍ

ËË ?

Ê

Ê Ê ? ÍÍÍ Ê Ê ÊÈ Ê Ê Ê ÊÈ

Ê

Ê ÍÍ Ê Ö ÎÊ

Í

Ê ?Ê ? ? ÍÎÎ Ê ÊÍ Ê ? Ê

ËË

Í

Î ÎÏ Î Î Ê ÈÍ

Ê

ÊÖ Ê Ê

Ê Ê

Í

Ê ÊÈ ÈÏ Ê

Î


Í Í Í Í ÎÌ Ê ÍÊ Ö Ê ÎÍ Í ÎÎ ÎÏ Î Î Î Ï ÊÖ Ê Î ÖÊ Î Î ÏÌ Ê Ê ÎÊ Ê

Ê ÊÈ Ê ÊÈ ?Ê Ê Ö ÍÊ ÊÈ Ê ÏÊ

Ê ÊÊ Ê ?Ê

Ê

ÊÈ

ÈÍ

È Ê?

Ê

É

È

Ê

Ê

ÈÍ É

ÎÊ

Ê ËË ?

Ê

É É Ê É Ê É Ê É

Ê ?Ê

Ê

?Ê ÊÈ Ê ?Ê Ê ÍÊ Ö Ê Ê ÏÎ Ê ÈÍ Í ÏÈ È Ê ÊÈ Ê ?ÊÈ Ê ?ÊÈ ÎÊ ÊÈ Ê ÍÍ Î ÍÍ ÈÍ ÍÍÊ

Ê ?Ê

È ËË ? È

Ê

ÊÍ

Ê ?Ê Ê Ê

?

ËË ?

Ê

ÈÌ Ê Ê Ê Ê ?Ê ÊÊ

Ê

ÊÈ Ê

ÈÍ ÊÈ

ÏÈ É È

Ê ?ÊÈ ÌÊ ÊÊ ÊÏ ?Ê Ê Ê Ê ÊÈ Ê ÊÈ Ê ÊÈ Ê ?ÊÈ Ê ÊÍ ÈÍ Ê ÍÊ Ê



Ê

ÊÈ

ËË ?

Ê

ÊÍ

Ê

Ê

ËË Ê

Ê Ê È ÎÌÌ È ÏÏ Ê ÊÈ

Ê

Ê È ÎÌÌ È Í

ÊÍ È È

Ê

Ê ÏÍÊ ÑÑÊ ÞÊ É ËË É

ÊÊ È Ê ÍÊ Ê ?Ê Ê Ê Ö ÏÊ Ê

Ê È

? Ê

Ê

Í

ÌÊ

ÏÍ ÏÎ

Ê ÊÈ

ÌÈ Ì

Ê

Ê ÍÊ

ÊÈ

ÈÍ

ÎÈ Ï Î Ê

Î


ÏÏ Ê ÎÌÊ Ö ÍÊ Ï ? Ï Ï ? Ï Ï Ê

Ê Ê ÊÍ ÊÊ ÊÍ Ê Ê Ê ?ÊÈ ËË Ê Ê  Ê Ê ÏÅÊ Ê Î ËË ? ?Ê ?Ê ËË ? Ê ÊÈ Ê ÎÌÌÌÊ Ê ÊÈ ËË ? ÊÍ Ê ÏÊ Ö ÏÊ ?Ê Ê ?Ê Ê Ê Ï ÊÈ  Ê ÌÊ Ö ÏÊ ÎÊ Ê ÊÊ ÊÍ Ê Í Ê Ê ÑÊ Ê ÎÊ Ö ÍÊ

ËË ?



ÊÍ

É Ê

Ê ÍÌÍ ÍÍ Ê Ê ÊÊ É ÊÍ È

ËË Ê É

ÊÊ  È ÎÌÌÎÈ Î Ê ÊÈ Ê Ê ÊÈ Ê ÊÈ

ÌÊ

ÍÊ Ö Î Ê Ä

Ê ÊÍ

 Ê ÌÊ Ö ÍÊ

Ê

ÍÍ Ê

É

Ê

Ê ÑÑÊ Ê ÎÊ Ö ÎÊ

ÊÎ

Î

Ê

É

Ï

ËË ? É

Ì

ÊÊ ÊÏ Ï Ê

É

Í Î Ê? Ï

Ê

?Ê ?ÊÈ ÊÈ ÈÍ Ê ?ÊÈ É ÈÍ Ê ?ÊÈ Ê Ê? ?Ê ÊÈ  ?Ê ÊÈ  ÎÊ

Ê Ê ÏÈ ÏÎÌ Ê Ê ËË Ê ÎÍÊ Ê Ê Ê Ê ÊÈ ÊÈ ÊÈ Ê ÎÏ ÊÈ Ê? Ê ?ÊÈ Ê ?ÊÈ ÈÍ ÈÍ ÏÌ Ê Ê ?Ê ÈÍ Ê ?Ê Ê Ê Ê? ÊÎ ÏÏÍÊ Ê Ê Ê Ê ÊÈ Ê ÈÍ É ÍÈ É Ê É

Ê ÑÑ ËË Ê Ê ÏÍÊ



ÊÊ ÍÈ ÌÌ Ê ÏÈ ÊÊ ÎÊ

ÈÍ

È

Ê Ê Ê

ÏÏÎ Ê

?Ê Ê ?

Î


Ì

Í Ì

È ÏÍ Ê

Ê

Ê Ê? Ê ?ÊÈ ÊÍ ÍÊ Ö Ê Ê Ê Ê ?Ê ÊÊ Ê Ê Ê ?Ê ÊÍ Ê Ê Ê ÊÈ

Ê

ÊÈ ÈÍ

È È É

?Ê ?Ê ?Ê ?ÊÈ  Ê

ËË ÎÊ

Í Î Ï

Í

ÏÈ ÏÌ

?Ê ?ÊÈ Ê Ê Ê  Ê ÊÈ Ê

Ê

ÊÈ

È É

È ÎÌÌÏÈ Ï Í Ê Ê Ê ÑÑÊ Ê

Ê ÊÈ ? È Í ÏÈ Í Ê

ÊÈ ÊÈ ËË

ÈÍ

È ÏÊ

Ê

?

Ê

ÊÊ Ê ÏÌÈ Ö ÍÈ Í

ÏÌÈ Í

é àÉØ íæ èáãçä æ çãéæ è æá Ö ÍÎÊ ØÊ ÍÎ

çç ÒÊ ØÊÈ Úãéê ààã ç Ê Ú è ê èæ âç æ â â ÔÜ â âè æ à æâ à ãæáéà è ãâ ã è ãáäèãâ ç èè æ ËË ÒÊ Ùé âèÊ Ûä èæãç Ê Ú èÊ Üæ âç æÊ Í ÌÊ ÞãàÊ ÍÌÊ ÍÎ ÌÊ ãáäèãâ ç èè æ â ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í æ è ãâ ÎÊ



æ ãî ÊÊ âãè ãâ ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÊ ØÊ ÏÌÍ ÏÌ Ê

ãæâççãâ ÊÈ Ûê âççãâ ÚÊ Ðãè ä æÉ ãá â è çèæãä íçÊ ÒÊ Í ÎÊ ÞãàÊ Ï Ê Ö ÎÊ ØÊ ÌÌ Í Ê

ç ç ËË

æà ç Ø Ê à ãà ç â ãéæ à ìí ã ç æê è ãâ ËË Ü ãæí ã à Ðãà ç æ è ãâ ç ç Ë çÊ ÕÊ Ê æ áãë îÈ Ê Ê ãæâççãâÈ ? ÒÊ Ê Øæ â à Ê áæ áæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê ØÊ Í ÎÍÊ Í ææí ÜÊ ÕÊ Ýâ ãæá çíáäèãè ìä âç ãâç ËË ÒÊ Ôãâ ãâ Õ è Ê Ûã Ê Ê ÞãàÊ Î Ê ØÊ ÍÎÍ ÍÏÌÊ

Ì Í

éæ îãê ÊÈ Ûéâí ê ÚÊÈ Û îãâãê ÛÊÈ Ú êâ êèç ê ÕÊÈ Þ æç àãê Ê Øãç èæãâ ââ à è ãâ çä èæéá æãá è à è âè æ æ ãâ ã ç æê í ÛØÑËÑÖÜ Ú Ô ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê ÎÌÌÏÊ ÞãàÊ Ï Ê Ö Ê ØÊ ÍÏ ÍÏ Ê æá æ Ê ÊÈ Ûèéæâ æ ÛÊ ÒÊÈ Û à ç æ ÚÊ Öãâè æá à ãáäèãâ â çíâ æãèæãâ äæã çç ç â èç ã è ê à è âé à ËË çèæãä íçÊ ÒÊ ÛéääàÊ Û æÊ Í Ê ÞãàÊ ÍÌ Ê Ö ÍÊ ØÊ ÍÌÏ ÍÏ Ê

Î

Î


Ï

ãà ãê Ê ÊÈ ãæãç ê à çç è ãâ ã ç â éà æ äã âèç æãéâ â âê èãæç ã Ê Ê ÊÍ ÊÊ Ê æ â ÒÊÈ áæ áã Óâ ÊÈ áæ

Ê ÊÈ Öãê ãê Ê ÑÊÈ Öãê ãê ÑÊ Ê â äãà æ î è ãâ à ã ãçá á æãë ê Ûèã ç á èæ ì ËË ÊÉ Ö Ê ÊÏ ÌÍÊ çèæãä íç çÊ



Úâ Ê æ è ãâ Øãë æ â Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê Î äÊ

ç àà â Ê Ø æ äæã é è ãâ â çè í çíâ æãèæãâ ç à É ãáäèãâ àç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ ÎÏ Ê Ö ÎÊ ØÊ Ê



ç àà â ÊÈ Ð æ è ÊÈ Ûê âççãâ ÚÊ Ü æá à î è ãâ í çíâ æãèæãâ çãæäè ãâ â ãáä è çãéæ ç à èæãâ â ä ãèãâ çèæ éè ãâç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ Î Ê Ö ÎÊ ØÊ Ï ÏÊ âî éæ ÞÊ ÔÊÈ Ûíæãê èç ÛÊ ÑÊ ê àãäá âèç çíâ æãèæãâ æ è ãâ â èç æ çãæäè ãâ ËË çèæãä íçÊ Í Ê ÞãàÊ Ê ØÊ Ï ÎÌÊ âè è ââÊ Ú êÊ ãæí ã çèæãâÊ





ãéà ÚÊ ÒÊÈ Û æ æ Ê ØÊ Ø æ äæã é è ãâ â ä ãèãâÉä ãèãâ ãàà ç ãâç ËË Ø íçÊ Ú êÊ Í Ê ÞãàÊ Í Ê Ö Ê ØÊ Í Ì Í Ì Ê é à æè ØÊ ßÊ ãáäèãâ è â â ããà â â è æá à à èæãâ ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ ÎÍ Ê Ö ÍÊ ØÊ Í Í Í Ê çç

Ì Õ ãà ÉÖ îë ÊÈ î æç Ê ÊÈ ãää ØÊ ÛÊ à èæãâÉäãç èæãâ ä æ äæã é è ãâ â ââ à è ãâ çä èæ à èéæ ç æãá ãáä è çãéæ çÊ ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÊ ØÊ Î Ï Î ÎÊ Í Õ ÒÊÈ Úãî âç ?Å Ê Éæ í ææ è áã à çè àà æ èáãçä æ çÊ ÑÑÊ ãáäæ âç ê èæ èá âè ã ãáäèãâ ç èè æ â ËË çèæãâÊ çèæãä íçÊ ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ Ï ÏÊ ØÊ ÍÌ ÍÌ Ê Î Õ ç Ê ÕÊ à ãà ç â è ê à è âé à ã ç æê è ãâ ËË Ü ãæí ã à Ðãà ç æ è ãâ ç ç Ë çÊ ÕÊ Ê æ áãë îÈ Ê Ê ãæâççãâÈ ÒÊ Ê Øæ â à Ê ? áæ áæ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê ØÊ ÎÎ ÌÊ Ï Õ æç æ Ê ØÊÈ æ ßÊ ÓÊ Õã àç ãæ É æ åé â í æ ã ãéè éæçèç â ìèæ à è çãéæ çÈ ë è ääà è ãâ èã è æàí Í Ï á àà á èæ ÉèãÉ âæ æ æ ã Ï Î Ï ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í Ê ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÊ ØÊ ÍÍ ÍÎ Ê Õ âî à Ê Ø íç à äæã çç ç â ç ãéç â éà Ê ÑÊ çãæäè ãâ â á çç ãâ ã æ è ãâ ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í Ï Ê ÞÊ Ê Ö Ê ØÊ ÏÏÌ ÏÏ Ê Ä É Ê Ê ÊÊ Ê È ÊÊ Ê ÊÍ ÊÅ Õæ à ÑÊ ÊÈ Úã æÅ é ç ÔÊ Ê Ûãéæ ç ã æ à è ê çè ËË ââÊ Ú êÊ çèæãâÊ çèæãäíçÊ Í Ê ÞãàÊ Ï Ê ØÊ Ì èç â è ÏÊ à ìí

Î


Õãàâ æ ÛÊ ÕÊÈ æ âç ë ÕÊ Ñâê æç æ à è ê çè äà çá ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í

ãáäèãâ ç èè æ â Ê ÞãàÊ ÎÏÊ Ö ÍÊ ØÊ

â á à àí Ê

Õãç à â ã ÑÊ ÞÊÈ Ûèæãâ Ê ßÊ â çãèæãä âê æç ãáäèãâ ç èè æ â âè à ìí ËË çèæãä íçÊ ÒÊ ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÊ ØÊ Ï ÏÊ Ö æâ æ Ê ÑÊÈ Øãéè â â ÒÊ Û â à Ûä Ø íçÊ Ú êÊ Í Ê ÞãàÊ Ê ØÊ Í Ø è æçãâ áæ Ì Øãéè æ Ë á ãáäèãâ ç èè æ â ËË ÌÊ à è Öé à Ê çèæãä íçÊ áæ

Ê ÕÊ â Ñâèæã é è ãâ èã è ê Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê ÎÏ äÊ

â â ÒÊ æ è ãâ ç É ãæãâ áã àç â Ë Éæ í çä èæ ã èâ à ãà ç ËË Ü ãæí ã à Ðãà ç æ è ãâ ç ç çÊ ÕÊ Ê æ áãë îÈ Ê Ê ãæâççãâÈ ÒÊ Ê Øæ â à Ê ? áæ æ Ýâ ê æç èí Øæ ççÈ Í Ê ØÊ ÍÌÌ ÍÎÎÊ

Í Øãéè â â ÒÊÈ Ûê âççãâ ÚÊ Ü èëãÉä ç ä æ ãæãâ áã à ãæ è ê à è âé à â Éæ í â æ ç ãë èã ã è â ì è çãàéè ãâç ËË Ê ÞãàÊ ÌÊ Ö ÍÊ ØÊ Î ÎÊ çèæãä íçÊ ÒÊ Í Î Øéí ÊÈ æ â æ ÔÊÈ Ò èî æ Ø ÊÈ Û âãæ ÕÊ çä æ èí ã à è àéçè æç â Ûéâí ê àà ãê è ËË çèæãâÊ çèæãä íçÊ ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ Ï ÏÊ Í ÎÊ Ï Ú ä à Ê ãáäèãâ î è ãâ ã è ãçá á æãë ê æãéâ è Ûéâí ê à ãê è ËË ââÊ Ú êÊ çèæãâÊ çèæãä íçÊ Í Ê ÞãàÊ ÏÏÊ ØÊ Í Ê Úí Ê ÊÈ Ô èá â Ê ØÊ Ú è ê äæã çç ç â çèæãä íç çÊ ß à íÉÑâè æç â Ê Òã â ß à í  ÛãâçÊ ÖÊ Ê Í Ê Ï Î äÊ Û çè ãê Ê ÑÊÈ Ó æç ë Ê ÛÊÈ Øæ ç ÕÊ ÓÊ ê àé è ãâ ã âè æ à ã ãáäèãâ ç èè æ â æãççÉç è ãâ ËË ÒÊ Ùé âèÊ Ûä èæãç Ê Ú Ê Üæ âçÊ Í Ê ÞãàÊ ÌÊ Ê

Ûéâí ê ÚÊ ÊÈ Ü è æ é ÔÊ Ê ãáäèãâ î è ãâ ã Éæ íç â äà çá àãé çÊ Üíä à æ è ãâ çä èæ ËË çèæãâÊ çèæãä íçÊ Í ÌÊ ÞãàÊ Ê Ö ÍÉÎÊ ØÊ ÍÎÍ ÍÏ Ê Ûê âççãâ ÚÊ Ü çèæãä íçÊ ÒÊ Í ä æ ââ à è ãâ äæã çç â æ à è ê çè äà çá ç ËË ÎÊ ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÉÎÊ ØÊ ÏÎÍ ÏÏ Ê

Ûê âççãâ ÚÊ à èæãâÉäãç èæãâ ä æ åé à æ â æ à è ê çè äà çá ç ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í ÎÊ ÞãàÊ Î Ê Ö ÍÊ ØÊ ÏÏ ÉÏ Ê Ûê âççãâ ÚÊ Ü è æá à ä æ ââ à è ãâ çä èæéá èà ääæã ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í ÏÊ ÞãàÊ Î ÌÊ Ö ÍÊ ØÊ ÏÌÌ ÏÌ Ê à â

Ì Ûê âççãâ ÚÊ Ûè í á à àí æ à è ê çè è æá à äà çá ç äæã çç ç â äæãä æè ç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ ÎÌ Ê Ö ÍÊ ØÊ Í ÎÌ Ê

ÎÌ


Í Ûê âççãâ ÚÊ ÖãâÉè æá à ä æ äæã é è ãâ â ãáä è Éæ í çãéæ ç æçè ãæ æ ãáäèãâ ç ç â çã è æ è ãâ à ç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê Í Ê ÞãàÊ ÎÎ Ê Ö ÎÊ ØÊ ÌÏ ÍÊ Î Ûê âççãâ ÚÊ Ü âãâè æá à ä æ áã à ãæ è Éæ í â çä èæ æãá è ê à è âé à ËË çèæãä íçÊ ÒÊ ÛéääàÊ Í Ö ÎÊ ØÊ ÎÊ áá Éæ í Ê ÞãàÊ ÎÊ

Ï Ûê âççãâ ÚÊ Ü æá à î è ãâ á â çáç â ãáä è çãéæ ç ËË Ð â æ í Øæã çç ç â æ è â à Ðãà ç Ë çÊ ÒÊ Øãéè â â â ÚÊ Ûê âççãâÊ çèæãâãá à Ûã èí ã è Ø Ê ãâ æ â Û æ çÊ Í Ê ÞãàÊ Í ÍÊ ØÊ Ï Í Ï Ê Ü æ ÊÈ Óéçéâãç ÕÊ à èæãâÉäãç èæãâ ä æç â á à àí æ à è ê çè äà çá â è ê à è âé à ËË çèæãä íçÊ Ûä Û Ê Í Ê ÞãàÊ ÍÍ Ê Ö ÍÊ ØÊ ÎÍ ÎÍ Ê Üæ èî Ê ÊÈ Üçéæéè ÛÊ ãëç ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í èç ã à èæãâÉäãç èæãâ ä æç ãâ æ è ãâ Ê ÞãàÊ Ï ÌÊ Ö ÍÊ ØÊ ÎÌÏ ÎÍ Ê

ß æ î âç Å ÊÈ î æç Ê Ü æá à çíâ æãèæãâ æ è ãâ â èç ãáäèãâ î è ãâ â ãáä è Éæ í çãéæ ç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ ÏÍ Ê Ö ÍÊ ØÊ Í Ï Í Ê ß çè ãà ÓÊ Ê Ü äãà æ î è ãâ ã çíâ æãèæãâ æ ÒÊ Í Ê ÞãàÊ ÍÏÌÊ Ö ÍÊ ØÊ Î Í Î Ê è ãâ ËË çèæãä íçÊ ìä â â

ß íá ââ ÚÊ Ü â æ í çä èæéá ã æ è ãâ â è éâ ê æç ËË çèæãä íçÊ ÒÊ Í Ê ÞãàÊ Í Ê Ö ÎÊ ØÊ Ì ÍÊ ÍÌÌ ÍÌÍ

é ÊÉÒÊÈ ßé ÊÉØÊ Ú ãâçèæé è ãâ ã æ à è áä æ èéæ äæã à ã à ìí àéçè æç ËË çèæãâÊ çèæãä íçÊ ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ Ï ÌÊ Ô Ï Ô Ê î æç Ê Ê ââ à è ãâ çä èæéá ã æ à è ê çè äà çá ËË çèæãâãá Ê Í ÌÊ ÞãàÊ ÏÌÊ Ö Ê ØÊ Ï Í Ï ÍÊ æ è

àà ãê Ê ÊÈ Ûéâí ê ÚÊ Ê Ü âè æ è ãâ ã á èè æ â è ãâ â ãèÉáã à éâ ê æç ËË çèæãä íçÊ Ûä Û Ê Í Ê ÞãàÊ Ê ØÊ ÏÌÍ ÏÍ Ê Ä Ê ÊÈ Ê ?Ê ? É ? ËË çèæãä íçÊ Ûä Û Ê Í Ê ÞãàÊ Ê ØÊ Î ÏÌÌÊÅ


? 
ÍÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ï

ÑÊ
ÿ ÍÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê ÎÊ ÊÊ Ê ÏÊ Ê ÊÊÊÊ Ê ÎÊ ÊÍ Ê? ÊÊ Ê ÍÎÊ ÊÊ ÊÊ Ê ÏÊ Ê Ê? É ÊÊ É Ê ÍÌÊ É Ê ÍÏÊ ? Ê ÊÍ Ê É Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÎÏ Ê ÎÊ ? ÊÊ Ê ÏÊ É Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÏÎ ÊÊ Ê ÎÊ ÊÊ Ê ÏÊ É É

ÊÊ
ÿ ÎÊ

ÍÊ

ÊÊ Ê ÍÍÊ Ê
ÿ ÏÊ

ÍÊ

ÍÊ Ê
ÿ Ê

ÍÊ Ê
ÿ Ê

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í Ê Ê Ê ÎÊ É É Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

ÍÊ Ê

Ê ÏÊ

ÊÊ Ê
Ê

ÿ


ÍÊ

Ñ ÑÊ
ÿ ÍÊ

ÊÊÊÊ Ì Ê ÎÊ Ê Ê Ê ÏÊ ÊÊ É

ÊÊ Ê

ÎÎ


ÿ ÎÊ

Ä

Å

Î É É

ÍÊ

ÊÊ Ê
ÿ ÏÊ

Ê ÎÊ

ÊÊ

Ê ÏÊ

Ê Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ

ÍÊ

Ê ÎÊ ÊÊ ÊÊ
ÿ Ê

Ê ÎÊ Ê Ê ÎÊ Ê ÏÊ

ÊÊ

É

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Ê É

ÍÊ

Ê Ê


ÍÊ Ê

Ñ Ñ ÑÊ
ÿ ÍÊ 

É
ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ ÊÊ Ê ÎÊ ÊÊ Ê ÏÊ Ê


ÿ ÎÊ

Ê

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ É Ê ÊÊ
É

ÍÊ ÏÊ Ê?
ÿ ÏÊ

Ê ÎÊ

Ê Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÍÌÏ ÊÊ ÊÊ Ê ÏÊ É

ÍÊ

ÊÊ Ê

Ê ÎÊ ÊÊ
ÿ Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÍÍ Ê ÎÊ ÊÊ Ê Ê Ê ÊÊ É Ê

ÍÊ ÏÊ Ê É

ÊÊ Ê

ÎÏ



ÍÊ Ê ÍÊ

ÑÞÊ
ÿ ÍÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÍÏ Ê ÎÊ Ê ÏÊ ÊÊ ÊÊ É

ÊÊ
ÿ ÎÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í Î Ê ÎÊ Ê ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÍ Ï Ê ÎÊ Ê ÏÊ ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í Ê ÎÊ Ê Ê? Ê ÏÊ ÊÊ Ê Ê

ÿ ÏÊ

ÍÊ

Ê
ÿÊ

ÍÊ Ê


ÍÊ

ÞÊ
ÿ ÍÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÍ Î ÊÊ Ê ÎÊ É É

Ê ÏÊ Ê
ÿ ÎÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í Ê ÎÊ Ê ÏÊ ÊÊ É É

ÍÊ
ÿ ÏÊ

Ê Ê ÏÊ

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Í Ê ÎÊ


ÍÊ
ÿ

ÊÊ
Ê?

Ê Ê Ê ÎÊ ?

Ê

É ÊÊÊÊÊÊÊÍ Ì

ÍÊ ?

Ê ÏÊ

Ê

ÊÊ

ÊÊ

É Ê Ê É

Î


ÿ

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÍ Ê ÎÊ ÊÊ ÊÊ

ÍÊ

Ê ÏÊ
ÿ Ê

Ê ÊÊ É É

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÍ Ê Ê


ÍÊ



Ê ÏÊ

Ê



Ê ÎÊ Ê Ê

ÿ

Ê?

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÍÌ Ê ÏÊ  Ê Ê Ê ÎÊ ÊÊ Ê É

ÍÊ Ê Ê



ÞÑÊ
ÿ ÍÊ



É
Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÎÍÍ Ê ÎÊ Ê Ê? Ê Ê É

ÍÊ ÏÊ Ê

Ê Ê
ÿ ÎÊ

ÊÊ

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÎÎ Ê Ê ÎÊ


ÍÊ ÏÊ


ÿ ÏÊ

Ê

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÎÎ Ê ÎÊ ÊÊ Ê


ÍÊ ÏÊ Ê
ÿÊ

Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÎÏ Ê ÎÊ ÊÊ Ê Ê Ê É É Ê

ÍÊ Ê



Ê ÏÊ ÊÊ



Î


?Ê

É

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÎ Î É Ê ÏÊ É Ê

ÍÊ Ê ÍÊ

È
Ê

Ê


Ê ÎÊ  Ê Ê É


ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Î Ê ÏÊ Ê Ê ÊÊ ? Ê ÍÍÊ ?  Ê ÍÏÊ ÊÍ Ê ÊÊÊÊÎ Ê ÎÊ Ê Ê
Un ( )Ê ÏÊ

Ê? Ê?

ÊÊ

Ê ÎÊ

z Ê Ê

Ê ÍÌÊ KiÅ (z )Ê ÍÎÊ ÊÍ Ê
?Ê

É Ê Ê É É Ê

ÍÊ

V n ( )Ê Ê Ê

É É

ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Î Í ÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ Î Ï